Rechnen mit Brüchen
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... 2 Impressum... 3 Grundrechenarten... 4 Aufgabe 1... 6 "Punkt-vor-Strich"- und Klammerrechnung... 7 Aufgabe 2... 9 Aufgabe 3... 10 Textaufgaben... 12 Knobeleien... 14 Seite 2
Impressum Produktion: leitner.interactive, Äußere Buchleuthe 58, 87600 Kaufbeuren Herausgeber: e/t/s Didaktische Medien GmbH Kirchstraße 3 87642 Halblech Autor: Bfw Bad Pyrmont Rechte: Copyright 2006 e/t/s Didaktische Medien GmbH, Halblech. Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Herausgebers reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Auch die Rechte der Wiedergabe durch Vortrag, Funk und Fernsehen sind vorbehalten. Text, Abbildungen und Programme wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Herausgeber, Programmierer und Autoren können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Namensschutz: Die meisten in dieser Einheit erwähnten Soft- und Hardwarebezeichnungen sind auch eingetragene Marken und unterliegen als solche den gesetzlichen Bestimmungen. Microsoft, Windows und andere Namen von Produkten der Firma Microsoft, die in dieser Qualifizierungseinheit erwähnt werden, sind eingetragene Warenzeichen der Microsoft Corporation. Inhaltliche Verantwortung: Diese Qualifizierungseinheit enthält Verweise (sogenannte Hyperlinks) auf Seiten im World Wide Web. Wir möchten darauf hin weisen, dass wir keinen Einfluss auf die Gestaltung sowie die Inhalte der gelinkten Seiten haben. Deshalb distanzieren wir uns hiermit ausdrücklich von allen Inhalten der Seiten, auf die aus unserem Lerninhalt verwiesen wird. Diese Erklärung gilt für alle in diesem Lerninhalt ausgebrachten Links und für alle Inhalte der Seiten, zu denen Links oder Banner führen. Seite 3
Rechnen mit Brüchen und Dezimalbrüchen Grundrechenarten In den Qualifizierungseinheiten Bruchrechnung 1+2 haben Sie die Grundrechenarten der Bruchrechnung geübt. Dabei fällt auf, dass die Addition und die Subtraktion recht aufwendige Verfahren darstellen (Hauptnennersuche!), während die Multiplikation und Division mit Hilfe der Technik des Kürzens weitaus anwenderfreundlich sind. Daher ist es möglich, wenn Sie mit Kommazahlen und Brüchen rechnen, die jeweils günstigere Methode zu wählen. Beispiel: 3 8 + 0,37 = Der Bruch 3 8 ist gleich 0,375. 0,375 + 0,37 = 0,745 (= 745 1000 = 149 200 ) Hier ist es ungeschickt, die Aufgabe über die Bruchschreibweise zu lösen. Es geht aber auch: 3 8 + 0,37 = 3 + 37 100 = 8 75 200 + 74 200 = 149 200 (= 745 1000 = 0,745 ) Seite 4
Welchen Weg Sie wählen, bleibt Ihnen überlassen! Punktrechenarten sind oft günstiger über Brüche zu lösen. Tauchen periodische Dezimalzahlen auf, können Sie die schriftlichen Rechenverfahren nicht anwenden. Das Runden bringt nur ungefähre Ergebnisse. Also kann die Bruchrechnung Sie hier retten: Beispiel: 0,4 * 3 28 = 1 1 4 9 * 3 28 3 7 = 1 21 (= 0,047619 ) Für alle folgenden Aufgaben gibt es mehrere Rechenwege. Wir stellen jeweils nur einen Weg dar, versuchen aber insgesamt viele Kniffe und Tricks zu zeigen, die Sie bei anderen Aufgaben verwenden können. Wir empfehlen, die wichtigsten Brüche und periodischen Dezimalzahlen und ihre Übertragungen tatsächlich auswendig zu wissen! Darüber hinaus ist es günstig, das Kürzen und Erweitern durch Kommazahlen zu beherrschen (Bruchrechnung 1). Seite 5
Aufgabe 1 Wählen Sie bitte einen geeigneten Weg, so dass Sie ein genaues Ergebnis erzielen. Nicht runden! Geben Sie das Ergebnis als Bruch oder Dezimalzahl an! a) 1,2 + 3 4 = b) 6,3-2 1 4 = c) 3,3-1 7 = d) 2 3 : 1,5 = e) 1,44 * 11 12 = f) 56,4 + 3 1 5-8 1 2 + 7,9 = g) 3 1 5 + 8 1 2 + 0,3 = h) 2 2 11 * 7,7 = i) 1,6 : 5 12 * 0,5 = j) 5 8 + 2 37 1000-1,71 = k) 180 : 0,9 * 0,3 = l) 3,2 * 1 1 14 : 5 21 = m) 24,8-3 5 + 4 3 4 = n) 0,25-0,2 + 3 8 = o) 5,6 7,7 : 2,4 12,1 = p) 6,3 : 7 9 = q) 4,2 * 1 7 = r) 58 1 2 * 0,3 = s) 0,3 * 1,5 : 1 1 3 : 4,5 * 5 28 : 21 * 14 = Seite 6
"Punkt-vor-Strich"- und Klammerrechnung Erinnern Sie sich noch an die folgenden Rechengesetze? 1. Punktrechnung (*, :) geht vor Strichrechnung (+,-)! 2. Klammern haben Vorrang! 3. Auch innerhalb der Klammer gilt die "Punkt-vor-Strich"-Regel! 4. Doppelklammern werden von innen nach außen gelöst! Diese Gesetze gelten selbstverständlich auch bei der Bruchrechnung. Beispiel: + + 7 1 * 12 7-4 3 : 1 Klammer zuerst! 5 18 4 10 + + Ganze subtrahiert und erweitert mit 2 bzw. 9 = 7 1 * 8 14-27 : 1 5 36 10 Ein Ganzes in 36stel umgewandelt = 7 1 * 7 50-27 : 1 5 36 10 = 7 1 * 7 23 : 1 5 36 10 In unechte Brüche umwandeln! Mit dem Kehrwert multiplizieren! Kürzen! 1 2 = 36 * 275 * 10 5 36 1 1 1 = 550 Seite 7
Beachten Sie bitte die Art des Aufschreibens: Von Zeile zu Zeile notieren Sie die gesamte Aufgabe, indem Sie Schritt für Schritt ausrechnen. Nebenrechnungen notieren Sie bitte nicht in der Aufgabe, sondern auf einem Zettel oder in einer gesonderten Spalte am Rand Ihres Rechenblattes! Seite 8
Lösen Sie die folgenden Aufgaben schrittweise analog des Beispiels unter Beachtung der Rechengesetze! Aufgabe 2 a) 3 * 2 + 8 = b) 3 5-20 * 5 5 = 4 5 15 9 39 12 c) 4 + 7 : 14 + 13 = d) 68 : 52 + 2 2 : 1 1 = 5 9 15 16 65 15 35 + + + + e) 24 * 9 2-3 5 = f) 3 1-2 2 * 2 2-1 5 9 6 3 15 9 12 + + + + + + + + g) 6 * 11 + 3 : 2 + 8 * 7 + 3 : 3 = 12 5 8 10 5 + + + + Seite 9
Aufgabe 3 Diese Aufgaben sind teilweise sehr schwer. Bearbeiten Sie immer nur wenige nacheinander! Suchen Sie einen günstigen Weg! Periodische Dezimalzahlen sollten Sie in Brüche verwandeln! a) 0,6 * 1 1 + 1 7 * 1 1 = 9 8 3 b) 360 : 4 4 + 17,5 : 5 + 6 2 * 1 = 5 3 20 c) 1-1 : 2-0,3 * 1-5 * 1 = 8 4 16 + + d) 3 3 + 4 1 * 1,7 = 5 2 + + + + + + e) 16 7-5,65 * 7-2 5 = 15 13 + + + + + + f) 16 3-0,3 * 5 2-3 3 = 4 3 5 + + + + g) 1 * 7,7 : 2 17 = 5 30 + + Seite 10
+ + + + h) 16 * 1 : 6 4 * 5 + 5 * 4,5 = 14 21 8 9 + + + + + + + + i) 5 * 4 4 : 62,5 : 4,4 * 4 1 = 5 11 + + + + + + 3 + + 4 j) 34,56 * 2 * 1 + 1 : 2 = 3 2 10 5 + + + + k) 0,4 * 5 16 1,5 + 3 8 = l) [ 1 2 + 1 3 ] * 0,6 3-1 3-0,5 = Seite 11
Textaufgaben 1.Ein Kino hat für die Abendvorstellung sämtliche Eintrittskarten verkauft. Wie viel beträgt die Einnahme, wenn auf die Sperrsitzplätze drei Achtel aller Eintrittskarten zu je 8,50, auf den 1.Rang zwei Fünftel aller Eintrittskarten zu je 7,60, auf den 2.Rang ein Sechstel aller Eintrittskarten zu je 6,20 und auf den 3.Rang 49 Karten zu je 4,50 entfallen? 2.Franz, Lena und Jupp bilden eine Tippgemeinschaft, die ihren Gewinn im Verhältnis ihrer Einsätze teilt. Von einem Gewinn in Höhe von 2.065 gehen 590 an Franz und 295 an Lena. In der nächsten Woche setzen alle wieder denselben Betrag, doch dieses Mal gewinnen sie nur 5,25 ( = 5 1/4 ). Wie viel hat Jupp in der zweiten Woche gewonnen? 3.Ein Erbe wird aufgeteilt: Eine Hälfte geht an die Ehefrau, die andere Hälfte wird an die 4 Kinder verteilt. Da ein Sohn verzichtet, wird sein Anteil unter den Geschwistern und der Mutter gleichmäßig verteilt. a)welchen Bruchteil des Erbes erhält jede einzelne Person? b)verteilen Sie 128.000! 4.Eine Gruppe macht eine Wanderung. In gleichmäßigen Abständen sind 2 Pausen geplant. Nach 1.750 m verstaucht Fritz sich den Knöchel, doch von der ersten Etappe ist erst ein Viertel zurückgelegt. Tapfer hält er immerhin noch 13,25 km durch, bis er von einem "Begleitfahrzeug" aufgelesen wird. a) Wie lang ist die Wanderung? (Überlegen Sie, wie viele Etappen es sind!) b) Welchen Bruchteil des Weges legt Fritz zu Fuß zurück? Seite 12
5.LKW-Fahrer Dieselmann benötigte bislang für die Strecke bis nach Turin 18 1/3 Stunden. Durch den neuen LKW mit Turbolader braucht er jetzt nur noch 9/10 dieser Zeit. Wie lange dauert nun die Fahrt nach Turin? 6.Drei Fünftel eines Erbes bekommt die Ehefrau. Fünf Zwölftel davon schenkt sie ihren Kindern. Benennen Sie den Anteil vom Gesamterbe, den sie selbst behält! 7.Ein Seidenfaden ist durchschnittlich 3 250 mm dick. Wie dick erscheint er unter einem Mikroskop mit 75-facher Vergrößerung? 8.Die Schrittlänge eines Erwachsenen beträgt durchschnittlich 7/10 m, die eines Kindes 2/5 m. Wie viele Schritte macht das Kind mehr als der Erwachsene bei einer Wegstrecke von a) 3.500 m b) 1 2/5 km? 9.Auf einem Sportfest wurden 8 Fässer Bier zu je 50 l angestochen. Wie viel wurden eingenommen, wenn 0,4 l ( = 2/5 l ) für 3 verkauft wurden und 1/100 der gesamten Biermenge Schankverlust war? 10.Eine bekannte Fluggesellschaft füllt 60 cm 3 feinen Sand vom Strand in Acapulco zu 3/5 in Tüten zu 0,5 cm 3 und den Rest in Tüten zu 0,75 cm 3. Wie viele Tüten von jeder Größe können gefüllt werden? Seite 13
Knobeleien 1. a)vermehren Sie die Summe von 45 3/7 und 6 1/9 um die Differenz von 15 11/18 und 4 1/9! b)bilden Sie die Differenz aus dem 10-fachen Produkt von 1/3 und 2/5 und der Zahl 1 1/4! c)dividieren Sie die Summe aus 3 1/2 und 35 durch die Differenz aus 5 1/6 und 3 1/8! d)dividieren Sie den Quotienten aus 4/5 und 5 1/7 durch 1/3! 2.Setzen Sie das fehlende Rechenzeichen ein! 1 2 0,1 = 5 3.Ergänzen Sie das magische Quadrat derart, dass die Summe in allen Zeilen, Spalten und Diagonalen 1 ergibt! +-----------------+ 0,5 +-----+-----+----- 1 0,5 3 +-----+-----+----- +-----------------+ Seite 14