Interpolation Nadine Losert Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: Nachdem wir in den vorherigen Vorträgen verschiedene geometrische Themen besprochen haben, kommen wir nun zum ersten numerischen Thema. Es handelt sich hier um das Problem der Interpolation. Hierbei möchten wir n + 1 vorgegebene Punkte durch eine Funktion verbinden. Dabei stellen wir fest, dass es mehrere ganz verschiedene Ansätze gibt, eine solche Funktion zu nden. Alle diese Ansätze haben Vor- und Nachteile, und es hängt von der Situation ab, welche Methode man am besten verwendet. In meinem Vortrag und somit auch in dieser Ausarbeitung gehe ich hauptsächlich auf die Polynominterpolation ein, bei der wir ein eindeutig bestimmtes Polynom n-ten Grades nden, das durch die Stützpunkte verläuft. Ich werde zwei verschiedene Arten vorstellen, dieses Polynom zu bestimmen. Anschlieÿend werden wir die Restabschätzung der Polynominterpolation betrachten. In einem Sonderfall werden wir sehen, dass das aus der Analysis I und II bereits bekannte Taylorpolynom genau genommen ein Spezialfall des Interpolationspolynoms ist. Am Ende werde ich noch einen kurzen Ausblick auf die so genannte Spline-Interpolation geben, die ein Problem, das bei der Polynominterpolation vieler Stützstellen entsteht, löst.
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Interpolation 3 2.1 Benötigte Denitionen und Sätze..................... 3 2.1.1 Der Dierenzenoperator...................... 4 2.1.2 Satz von Rolle in der allgemeinen Form.............. 6 2.2 Problemstellung............................... 8 2.3 Nahe liegende Ansätze und deren Schwächen............... 8 2.3.1 Stückweise lineare Interpolation.................. 8 2.3.2 Stückweise konstante Interpolation................ 9 2.4 Polynominterpolation............................ 10 2.5 Interpolationspolynom nach Lagrange................... 10 2.6 Interpolationspolynom nach Newton................... 12 2.6.1 Die Idee hinter der Newtonmethode................ 12 2.6.2 Newtonpolynom bei äquidistanten Stützstellen.......... 13 2.6.3 Direkte Berechnung des Newtonpolynoms............ 13 2.7 Restabschätzung.............................. 14 2.8 Sonderfall.................................. 15 2.8.1 Newtonpolynom im Sonderfall................... 16 2.8.2 Restglied im Sonderfall....................... 16 2.9 Schwächen der Polynominterpolation................... 17 2.9.1 Runges Phänomen......................... 17 2.9.2 Spline-Interpolation: Ein Ausblick................. 18 3 Resümee 19 Abbildungsverzeichnis 1.1 Malen nach Zahlen............................. 3 2.1 Satz von Rolle................................ 7 2.2 Problemstellung............................... 8 2.3 Lösung durch stückweise lineare Interpolation.............. 9 2.4 Lösung durch stückweise konstante Interpolation............. 9 2.5 Lösung durch Polynominterpolation.................... 11 2.6 Runges Phänomen............................. 17 2.7 Polynominterpolation............................ 18 2.8 Spline-Interpolation............................. 18 2
1 Einleitung Aus unserer Kindheit ist uns das Spiel Malen nach Zahlen bekannt, bei dem nummerierte Punkte vorgegeben sind, die man verbinden muss, damit ein hübsches Bild entsteht. Hierfür genügt es, die Punkte durch mehr oder weniger gerade Linien zu verbinden und schon kann man das Bild erkennen. Ähnlich sieht unser Problem bei der Interpolation aus: Wir haben n + 1 Punkte, die wir beispielsweise durch eine physikalische Messung gewonnen haben, im Koordinatensystem vorgegeben und möchten sie verbinden, um auch Zwischenwerte bestimmen zu können, ohne für jeden Wert eine neue Messung vornehmen zu müssen. Allerdings verbinden wir die Punkte nicht mit einem Bleistift, sondern mit Hilfe einer Funktion, die durch unsere Punkte verlaufen und dabei die wirklichen Zwischenwerte möglichst gut annähern soll. Zusätzlich stellen wir hier den Anspruch, eine möglichst glatte Funktion zu nden, also eine Funktion, die sich möglichst oft ableiten lässt. Abbildung 1.1: Malen nach Zahlen 2 Interpolation 2.1 Benötigte Denitionen und Sätze Für die Berechnung einer der Interpolationsformeln werden wir später eine Abbildung, nämlich den Dierenzenoperator, mit einigen daraus abgeleiteten Formeln sowie den Satz von Rolle in der allgemeinen Form benötigen. Um die Schlussfolgerungen bei der Herleitung der Formeln später nicht unterbrechen zu müssen, führen wir beides vorher ein. 3
2.1.1 Der Dierenzenoperator Der Dierenzenoperator ist eine Abbildung, die zwar nicht direkt mit dem Thema Interpolation zusammenhängt, jedoch für das Herleiten und Verstehen der wichtigen Formeln unerlässlich ist. Denition 2.1. Bezeichne (s) die Menge aller Zahlenfolgen. Der Dierenzenoperator ist die Abbildung D : (s) (s) y := (y 0, y 1, y 2,...) (y 1 y 0, y 2 y 1, y 3 y 2,...) Lemma 2.2. D ist ein Endomorphismus von (s). Beweis. Für y, z (s) mit y = (y 0, y 1, y 2,...), z = (z 0, z 1, z 2,...) und α R gilt: D(y + z) = ((y 1 + z 1 ) (y 0 + z 0 ), (y 2 + z 2 ) (y 1 + z 1 ), (y 3 + z 3 ) (y 2 + z 2 ),...) = ((y 1 y 0 ) + (z 1 z 0 ), (y 2 y 1 ) + (z 2 z 1 ), (y 3 y 2 ) + (z 3 z 3 ),...) = (y 1 y 0, y 2 y 1, y 3 y 2,...) + (z 1 z 0, z 2 z 1, z 3 z 2,...) = D(y) + D(z) D(αy) = (αy 1 αy 0, αy 2 αy 1, αy 3 αy 2,...) = α(y 1 y 0, y 2 y 1, y 3 y 2,...) = αd(y) Behauptung Wir betrachten nun die k-fache Hintereinanderausführung von D: Für k = 0, 1, 2, 3 können wir berechnen D 0 (y) = id(y) = (y 0, y 1,...) D 1 (y) = (y 1 y 0, y 2 y 1....) D 2 (y) = (y 2 2y 1 + y 0, y 3 2y 2 + y 1,...) D 3 (y) = (y 3 3y 2 + 3y 1 y 0, y 4 3y 3 + 3y 2 y 1,...) 4
Da die sukzessive Berechnung der Folgen D k schnell mühsam wird, suchen wir eine Methode, sie direkt anzugeben. Dafür führen wir eine Schreibweise ein, mit deren Hilfe wir die Folgenglieder von D k direkt ausdrücken können. Deniere: 0 y ν := y ν und k y ν := k 1 y ν+1 k 1 y ν für ν N 0, k N Wir können schreiben: D(y) = ( y 0, y 1, y 2,...) D 2 (y) = ( 2 y 0, 2 y 1, 2 y 2,...) D 3 (y) = ( 3 y 0, 3 y 1, 3 y 2,...). Lemma 2.3. (id + D) k (y) = (y k, y k+1, y k+2,...) für k N Beweis. (id + D)(y) = y + D(y) = (y 0, y 1, y 2,...) + (y 1 y 0, y 2 y 1, y 3 y 2,...) = (y 1, y 2, y 3,...) Behauptung Wir können direkt ausdrücken: Lemma 2.4. k y 0 = k ( 1) ν( k Beweis. D k = [ id + (id + D)] k ν) yk ν Bin. Satz = k ( 1) ν( ) k (id + D) k ν ν ( k y 0, k y 1,...) = D k (y) = k ( 1) ν( k ν) [(id + D) k ν (y)] 2.3 = k ( 1) ν( ) k (yk ν, y ν k ν+1...) = ( k ( 1) ν( k ν) yk ν, k ( 1) ν( k ν) yk ν+1,...) k y 0 = k ( 1) ν( k ν) yk ν 5
Zuletzt betrachten wir noch Lemma 2.5. k 1 ( k ) ν ν y 0 = y k k y 0 Beweis. k 1 ( k ) ν D ν (y) = k [( k ) ν 1 k ν D ν (y) ] D k (y) Bin. Satz = (id + D) k (y) D k (y) 2.3 k 1 ( k ) ν ν y 0 = y k k y 0 2.1.2 Satz von Rolle in der allgemeinen Form Diesen Satz benötigen wir, um später eine korrekte Restabschätzung vornehmen zu können. Lemma 2.6. (Satz von Rolle) Sei φ stetig im Intervall [a, b] und dierenzierbar in (a, b) und gelte φ(a) = φ(b) ξ (a, b) : φ (ξ) = 0. Beweis. φ ist stetig in [a, b] Mittelwertsatz ξ (a, b) : φ (ξ) = f(b) f(a) b a f(a)=f(b) φ (ξ) = 0 Behauptung Dies bedeutet, dass bei einer stetigen Funktion zwischen zwei Stellen mit gleichem Funktionswert immer eine Stelle liegen muss, an der die Kurve die Steigung 0 besitzt (s. Abb. 2.1). Dieser Satz gilt natürlich insbesondere auch für f(a) = f(b) = 0, das heiÿt zwischen zwei Nullstellen einer dierenzierbaren Funktion gibt es immer eine Stelle ξ mit f (ξ) = 0. 6
Abbildung 2.1: Satz von Rolle Wir verallgemeinern diesen Satz folgendermaÿen: Lemma 2.7. Besitze f im Intervall [a, b] mindestens n 1 und in (a, b) mindestens n stetige Ableitungen. Sei f(x i ) = 0, i = 0, 1,..., n mit x i [a, b], x i < x i+1 i {0, 1,..., n 1}. ξ (a, b) : D (n) (ξ) = 0 Beweis. f n-mal dierenzierbar, f(x i ) = 0, i = 1,..., n mit x i [a, b] 2.6 ξ 0.0 (x 0, x 1 ), ξ 0.1 (x 1, x 2 ),..., ξ 0.(n 1) (x n 1, x n ) : f (ξ 0.i ) = 0 2.6 ξ 1.0 (ξ 0.0, ξ 0.1 ), ξ 1.1 (ξ 0.1, ξ 0.2 ),..., ξ 1.(n 2) (ξ 0.(n 2), ξ 0.(n 1) ) : f (ξ 1.i ) = 0. (iteriere diesen Schluss) 2.6 ξ n.0 (ξ (n 1).0, ξ (n 1).1 ), ξ n.1 (ξ (n 1).1, ξ (n 1).2 ) : f (n 1) (ξ n.i ) = 0 2.6 ξ (n+1).0 =: ξ (ξ n.0, ξ n.1 ) : f (n) (ξ) = 0 7
2.2 Problemstellung Die Ausgangssituation einer Interpolation besteht immer darin, dass für n + 1 Stützstellen x i mit i = 0, 1,, n die (nicht unbedingt verschiedenen) Stützwerte φ(x i ) = y i gegeben sind. Diese Stützwerte stammen meist aus Messungen oder von einer Funktion, deren Werte sich nur aufwendig, beispielsweise durch eine Reihenentwicklung, berechnen lassen. Um nun weitere Werte zu berechnen, suchen wir eine Funktion, die an den Stützstellen x i genau die zugehörigen Stützwerte y i annimmt und somit zwischen den Stützstellen eine gute Annäherung an die wirkliche Funktion darstellt. Der Einfachkeit halber setzen wir im Folgenden o.b.d.a voraus, dass x 0 < x 1 < x 2 < < x n gilt. Abbildung 2.2: Problemstellung 2.3 Nahe liegende Ansätze und deren Schwächen 2.3.1 Stückweise lineare Interpolation Der vermutlich nächstliegende Ansatz besteht darin, die Punkte einfach durch gerade Linien zu verbinden, also die Funktion zwischen zwei Punkten x i und x i+1 durch die lineare Funktion, die diese Punkte verbindet, anzunähern. Daraus ergibt sich die Formel S(x) = φ(x i ) + φ(x i+1) φ(x i ) x i+1 x i (x x i ), x [x i, x i+1 ) Die Werte dieser Funktion sind oensichtlich sehr leicht zu berechnen. Die Funktion hat jedoch den groÿen Nachteil, dass sie an den Stützstellen nicht dierenzierbar ist. 8
Abbildung 2.3: Lösung durch stückweise lineare Interpolation 2.3.2 Stückweise konstante Interpolation Bei der stückweise konstanten Interpolation, auch bekannt als Nearest-Neighbour- Interpolation, sucht man sich für jede Stelle x die nächstliegende Stützstelle x i und setzt dann K(x) = y i. Wir erhalten so die Funktion [ K(x) = φ(x i ), x x i x i x i 1, x i + x ) i+1 x i 2 2 Auch hier fällt die Berechnung der Werte nicht schwer, jedoch ist die Funktion vor allem bei weit auseinanderliegenden Stützwerten y i meist eine schlechte Annäherung. Weiterhin besteht hier das Problem, dass K nicht an allen Stellen stetig ist. Abbildung 2.4: Lösung durch stückweise konstante Interpolation 9
2.4 Polynominterpolation Eine weitere Lösung des Interpolationsproblems ist die Polynominterpolation. Hier bestimmen wir ein Polynom n-ten Grades, das genau durch die n+1 Stützpunkte verläuft. Der Vorteil besteht nun darin, dass Polynome bekanntlich beliebig oft dierenzierbar sind. Weiterhin sind uns Polynome sehr vertraut, wir werden also keine Probleme im Umgang mit ihnen haben. Lemma 2.8. Es existiert höchstens ein Polynom ψ n-ten Grades, für das gilt: ψ(x i ) = y i, i = 0, 1, 2,..., n. Beweis. Seien γ und ψ zwei Polynome n-ten Grades, für die gilt: γ(x i ) = ψ(x i ) = y i i {0, 1,..., n} Sei F (x) := γ(x) ψ(x) = c n x n + c n 1 x n 1 + + c 1 x + c 0 F (x i ) = 0 i 1,..., n F (x) = c n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) aber : 0 = F (x 0 ) = c n (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) (x 0 x n ) }{{} 0, da x i paarweise verschieden c n = 0 F (x) = 0 γ = ψ Es existiert höchstens ein Polynom ψ, das die geforderten Eigenschaften erfüllt. 2.5 Interpolationspolynom nach Lagrange Die Idee dieser Methode besteht darin, ein Interpolationspolynom der Form L(x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) +... + y n L n (x) zu nden mit L k (x j ) = δ kj := { 1 für k = j 0 für k j, dann folgt bei Einsetzen der Stützstellen x i oensichtlich L(x i ) = L i (x i )y i = y i. Nun suchen wir Polynome L k, die die Bedingung L k (x j ) = δ kj erfüllen. 10
Hierbei erreichen wir die Bedingung L k (x j ) = 0 j k durch den Term L k (x) := i k 0 i n (x x i ) Um nun auch die Bedingung L k (x k ) = 1 zu erreichen, denieren wir L k (x) := L k (x) L k (x k ) = x x i x k x i i k 0 i n Mit dem Lagrangeschen Interpolationspolynom L(x) = n y ν i ν 0 i n x x i x ν x i ist also das Interpolationsproblem gelöst, denn es gilt L(x i ) = y i i {0, 1, 2,..., n}. Die Schwäche des Lagrangeschen Polynoms liegt darin, dass bei Hinzunahme weiterer Stützstellen eine völlig neue Berechnung des Polynoms notwendig ist. Abbildung 2.5: Lösung durch Polynominterpolation 11
2.6 Interpolationspolynom nach Newton Einen Ausweg bietet das Interpolationspolynom nach Newton, das sich die bei Hinzunahme weiterer Stützstellen sukzessive erweitern lässt. 2.6.1 Die Idee hinter der Newtonmethode Bei der Newtonmethode bilden wir zuerst ein konstantes Polynom, das überall - also insbesondere auch an der ersten Stützstelle x 0 - den ersten Stützwert y 0 annimmt. Dieses Polynom muss natürlich N 0 (x) = y 0 := α 0 sein. Um nun auch an der zweiten Stützstelle x 1 den zugehörigen Stützwert y 1 zu erreichen, addieren wir zu N 0 einen Term, der für x = x 0 verschwindet, also den Faktor (x x 0 ) enthält. Diese Methode iterieren wir für die restlichen Stützstellen und erhalten somit: N 0 (x) = α 0 N 1 (x) = α 0 + α 1 (x x 0 ) N 2 (x) = α 0 + α 1 (x x 0 ) + α 2 (x x 0 )(x x 1 ). N n (x) = α 0 + α 1 (x x 0 ) + α 2 (x x 0 )(x x 1 ) + + α n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) Oensichtlich löst das Polynom N(x) := N n (x) mit geeignet gewählten α i das Interpolationsproblem. Um die α i zu bestimmen, rufen wir uns unser ursprüngliches Problem N(x i )! = y i in Erinnerung. Durch Einsetzen erhalten wir: y 0 = α 0 y 1 = α 0 + α 1 (x 1 x 0 ) y 2 = α 0 + α 1 (x 2 x 0 ) + α 2 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ). y n = α 0 + α 1 (x n x 0 ) + α 2 (x n x 0 )(x n x 1 ) + + α n (x n x 0 )(x n x 1 ) (x n x n 1 ) und können somit die Faktoren α i durch sukzessives Auösen der Gleichungen bestimmen. Das Newtonpolynom N(x) = y 0 + n α i (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 ) i=1 mit y k = α 0 + n α i (x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x i 1 ) i=1 12
löst also ebenfalls das Interpolationsproblem und ist somit aufgrund der Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms identisch mit dem Lagrangeschen Interpolationspolynom. Oensichlich ist es bei Hinzunahme einer weiteren Stützstelle x n+1 lediglich erforderlich, mithilfe einer weiteren Gleichung den Faktor α n+1 zu bestimmen und den Term α n+1 (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) zum Newtonpolynom zu addieren. 2.6.2 Newtonpolynom bei äquidistanten Stützstellen Wir betrachten nun den besonders häugen Fall von äquidistanten Stützstellen, das heiÿt x i+1 x i = h i {0, 1, 2,..., n 1} Wie betrachten die Formel zur Berechnung der α i : y k = α 0 + n i=1 α i (x k x 0 ) (x }{{} k x 1 ) (x }{{} k x i 1 ) }{{} =kh =(k 1)h =(k i+1)h = α 0 + n i=1 α ih i k(k 1) (k i + 1) = α 0 + n i=1 α ih i k! k i! Wir sehen also, dass die Berechnung des Newtonpolynoms bei äquidistanten Stützstellen sehr einfach wird. 2.6.3 Direkte Berechnung des Newtonpolynoms Nun wäre es wünschenswert, eine Formel zu nden, mit der wir die α i direkt - also ohne ein Gleichungssystem lösen zu müssen - berechnen können. Mithilfe des in 2.1.1 eingeführten Dierenzenoperators ist dies möglich. Lemma 2.9. Es gilt: α k = k y 0 k!h k Beweis. Induktionsanfang für k = 0 für k = 0, 1,..., n 0 y 0 0!k 0 = y 0 = α 0 Induktionsvoraussetzung Es gelte für ein k < n α i = i y 0 i!h i i = 0, 1,..., k 13
Induktionsschritt k k + 1 y k+1 2.6.2 = α 0 + n i=1 α ih i k+1! k+1 i! h = α 0 + α 1 (k+1)! h 1 + α 2 (k+1)! h k! 2 + + α k (k+1)! (k 1)! k + α 1! k+1 h k+1 (k + 1)! IV = 0 y 0 + 1 y 0 h 1 (k+1)! + 2 y 0 h 2 (k+1)! + + k y 0 (k+1)! + α 0!h 0 h 1 1!k! h 2 2!(k 1)! h k k!1! k+1 h k+1 (k + 1)! = 0 y 0 + 1 k+1! y 0 + 1!((k+1) 1)! 2 k+1! y 0 + + 2!((k+1) 2)! k k+1! y 0 + α k!((k+1) k)! k+1h k+1 (k + 1)! = ( k+1 0 ) 0 y 0 + ( k+1 1 ) 1 y 0 + ( k+1 2 ) 2 y 0 + + ( k+1 k ) k y 0 + α k+1 h k+1 (k + 1)! = k ν=1 [( k+1 ) ] ν ν y 0 + αk+1 h k+1 (k + 1)! 2.5 = y k+1 k+1 y 0 + α k+1 h k+1 (k + 1)! α k+1 = k+1 y 0 (k+1)!h k+1 Behauptung Durch Einsetzen in N(x) erhalten wir die direkte Gleichung für das Newtonpolynom: n i y 0 N(x) = y 0 + i!h (x x 0)(x x i 1 ) (x x i 1 ) i=1 Falls wir unsere Stützwerte durch eine Messung gewonnen haben, also nichts über die ursprüngliche Funktion wissen, ist das Problem der Interpolation durch Polynome hiermit vollständig gelöst. 2.7 Restabschätzung Gehen wir jedoch von einer ursprünglichen Funktion φ aus, die wir annähern möchten, so müssen wir uns natürlich nach dem Interpolationsfehler fragen, also eine Restabschätzung vornehmen. Hierfür benötigen wir die Bedingung, dass φ im Intervall mindestens n + 1 stetige Ableitungen besitzt. Deniere: R(x) := φ(x) N(x) R(x i ) = 0 i {0, 1,..., n} Deniere: K(x) := R(x) c(x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) K(x i ) = 0 i {0, 1,..., n} 14
Wähle nun y x i i {0, 1,..., n} beliebig und deniere: K hat also n + 2 Nullstellen c := R(x) (y x 0 )(y x 1 ) (x x n) K(y) = R(y) R(y) (y x 0)(y x 1 ) (y x n) (y x 0 )(y x 1 ) (x x n) = 0, 2.7 ξ (min{x 0, y}, max{x n, y}) : K n+1 (ξ) = 0 0 = φ (n+1) (ξ) N (n+1) (ξ) c(n + 1)! }{{} =0 0 = φ (n+1) (ξ) c(n + 1)! c = φ(n+1) (ξ) (n+1)! K(y)=0 0 = R(y) φ(n+1) (ξ) (n+1)! (y x 0 )(y x 1 ) (y x n ) R(y) = (y x 0)(y x 1 ) (y x n) φ (n+1) (ξ) (n+1)! y beliebig R(x) = (x x 0)(x x 1 ) (x x n) (n+1)! φ (n+1) (ξ) x Somit erhalten wir die vollständige Lösung unseres Problems durch: φ(x) = N(x) + R(x) = y 0 + n i=1 [ ] i y 0 (x x i!h i 0 )(x x 1 ) (x x i 1 ) + (x x 0)(x x 1 ) (x x n) φ (n+1) (ξ) (n+1)! mit ξ (min{x 0, y}, max{x n, y}). 2.8 Sonderfall Wir betrachten den Fall, dass alle Stützstellen x i zusammenfallen, also h = 0 ist. Wieso dies sinnvoll ist, werden wir später sehen. Wir bestimmen einen allgemeinen Limes: Lemma 2.10. lim h 0 k y i h k = φ (k) (x i ), i = 0,..., n Beweis. Induktionsanfang für k = 0 0 y i lim h 0 h 0 = lim h 0 y i = y i = φ(x i ) = φ (0) (x i ) 15
Induktionsvoraussetzung Gelte die Behauptung für ein festes k Induktionsschritt k k + 1 lim k+1 y i = lim k y i+1 k y i h 0 h k+1 h 0 h k h ( ) 1 = lim k y i+1 k y i IV = lim φ(k) (x i+1) φ(k) (x i ) h 0 h h k h k h 0 h = lim h 0 φ(k) (x i +h) φ(k) (x i ) h = φ (k+1) (x i ) Behauptung Somit gilt natürlich insbesondere 2.8.1 Newtonpolynom im Sonderfall k y 0 lim = φ (k) (x h 0 h k 0 ) Schauen wir uns nun den Grenzwert des Newtonpolynoms im Sonderfall an: lim N(x) = lim [y 0 + n i y 0 (x x h 0 h 0 i!h i 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )] i=1 = y 0 + n i=1 2.10 = φ(x 0 ) + n ( ) lim i y 0 1 (x x h 0 h i i! 0)(x x 1 ) (x x i 1 ) i=1 x i =x 0 i = φ(x 0 ) + n i=1 φ (i) (x 0 ) i! (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 ) φ (i) (x 0 ) i! (x x 0 ) i Dieser Ausdruck entspricht dem Taylorpolynom zu φ vom Grad n entwickelt um x 0. 2.8.2 Restglied im Sonderfall Betrachten wir nun das Restglied: R(x) = x i =x 0 i = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n) φ (n+1) (ξ) (n+1)! (x x 0 ) n+1 φ (n+1) (ξ) (n+1)! für ein ξ (x, x 0 ). 16
Dies entspricht dem Taylorrestglied in der Darstellung nach Lagrange. Wir sehen also, dass die Taylorformel ein Spezialfall der Newtonschen Interpolationsformel ist. Hierbei ist zu beachten, dass im Falle des Zusammenfalls der Stützstellen x i auch die Stützwerte y i zusammenfallen müssen, da es keine Funktion gibt, die an einer Stelle x verschiedene Werte y annimmt. Die Informationen, die uns durch den Wegfall der Stützstellen x 1, x 2,..., x n verloren gehen, werden im Fall der Taylorformel also durch die Werte der Ableitungen φ (1) (x 0 ), φ (2) (x 0 ),..., φ (n) (x 0 ) ersetzt. Diese Werte haben wir, wie wir gesehen haben, für die Berechnung des Grenzwertes des Newtonpolynoms benötigt. Streng genommen handelt es sich beim Taylorpolynom nicht mehr um ein Interpolationspolynom, da keine Werte zwischen Stützstellen angenähert werden, sondern um ein vollständiges Extrapolationspolynom, mit dem wir Werte auÿerhalb der Stützstellen, genauer gesagt einer einzigen Stützstelle, annähern können. Hierbei wird die Annäherung bekanntlich umso schlechter, je weiter wir uns von der Stützstelle x i entfernen. 2.9 Schwächen der Polynominterpolation Wie wir gesehen haben, erfüllt die Polynominterpolation den Anspruch, eine Interpolationsfunktion mit beliebig vielen Ableitungen zu nden. Sie hat jedoch die Schwäche, dass Polynome höheren Grades stark zum Überschwingen neigen, die Annäherung im Fall sehr vieler Stützstellen also schnell sehr schlecht wird. 2.9.1 Runges Phänomen Dieses Überschwingen sehen wir anschaulich anhand der Runge-Funktion: f(x) = 1 1 + (5x) 2 Betrachten wir nun die Interpolationspolynome (in rot) für 6 und 11 Stützstellen: Abbildung 2.6: Runges Phänomen 17
Hier wird klar, dass die Annäherung im Falle n = 10 an den Rändern sehr schlecht ist. Eine mögliche Lösung für dieses Problem besteht darin, die Abstände der Stützstellen an den Rändern kleiner zu wählen. 2.9.2 Spline-Interpolation: Ein Ausblick In der Praxis wird im Falle von sehr vielen Stützstellen jedoch meist die Spline- Interpolation verwendet. Hierbei handelt es sich um eine Art stückweise Polynominterpolation. Die Interpolationsfunktion wird jeweils zwischen zwei Stützstellen durch Polynome niedrigen Grades deniert, wobei man an die Funktion den Anspruch stellt, dass sie an den Stützstellen zweimal dierenzierbar ist. Schauen wir uns für ein Beispiel mit n = 7 die Polynom- und die Spline-Interpolation im Vergleich an: Abbildung 2.7: Polynominterpolation Abbildung 2.8: Spline-Interpolation Hier ist gut zu sehen, dass die groÿen Schwingungen des Polynoms bei der Spline- Interpolation verschwinden. Dennoch ist die Polynominterpolation in der Mathematik sehr wichtig zur Annäherung von Funktionen zwischen wenigen Stützpunkten und als Grundlage bestimmter Integrationsverfahren. 18
3 Resümee Während der Arbeit an diesem Thema el mir auf, wie kompliziert sich ein anfangs einfach erscheinendes Problem mathematisch lösen lässt. So schat man zum Beispiel durch die Verbesserung der stückweise linearen Interpolation auf die dierenzierbare Polynominterpolation wiederum das neue Problem des Überschwingens. Besonders interessant fand ich, dass es fast zu jeder Situation und zu jedem Anspruch, den ich an die interpolierende Funktion stelle, eine Lösung gibt. So werde ich zum Beispiel meist stückweise linear interpolieren, wenn es nur um die Bestimmung der Zwischenwerte geht. Lege ich dagegen Wert auf die Dierenzierbarkeit, wende ich die Polynominterpolation an. Suche ich hingegen einen Kompromiss zwischen Glätte der Funktion und Exaktheit der Zwischenwerte, so wähle ich die Spline-Interpolation. Mich würde im Anschluss an diese Arbeit das Prinzip der Spline-Interpolation genauer interessieren. Lesern, denen es genauso geht, empfehle ich für den ersten Wissensdurst Wikipedia, für fundiertere und ausführlichere Informationen jedoch das entsprechende online verfügbare Skript der Uni Göttingen 1, das jedoch meiner Erfahrung nach ohne weitere numerische Kenntnisse sehr schwierig nachzuvollziehen ist. 1 https://lp.uni-goettingen.de/get/text/1232 19
Literatur [1] Richard Courant: Vorlesung über Dierential- und Integralrechung 1 Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 4.Auage, 1971 [2] Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis 1 Teubner, Stuttgart, 4. durchgesehene Auage, 1986 [3] http://de.wikipedia.org (25.10.2008) [4] http://en.wikipedia.org (25.10.2008) Abbildungen (1.1) http://www.kigo-tipps.de/images/bildmaterial/zb_eichhoernchen.jpg (4.11.2008) (2.1) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/0/0c/satz_von_rolle.png (4.11.2008) (2.2) http://en.wikipedia.org/wiki/image:interpolation_data.svg (4.11.2008) (2.3) http://en.wikipedia.org/wiki/image:interpolation_example_linear.svg (4.11.2008) (2.4) http://en.wikipedia.org/wiki/image:piecewise_constant.svg (4.11.2008) (2.5) http://en.wikipedia.org/wiki/image:interpolation_example_polynomial.svg (4.11.2008) (2.6) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/interpolation _runge_funktion_5_stuetzstellen.png (4.11.2008) und http://de.wikipedia.org/wiki/bild:interpolation _runge_funktion_10_stuetzstellen.png (4.11.2008) (2.7) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/6/6e/polynom_interpolation.png (4.11.2008) (2.8) http://de.wikipedia.org/w/index.php?title= Bild:Spline_interpolation.svg&letimestamp=20071210125345 (4.11.2008) 20