WS 008/09 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit. Funktionen.. Potenzfunktionen... Potenzfunktion. Grade Zu jedem IR lät ih die dritte Potenz eindeutig berehnen. Die Gleihung = behreibt omit eine Funktion. Diee heißt kubihe Grundfunktion, ihr Graph heißt kubihe Grundparabel.,5 0,5 0 0,5,5 =,75 0,5 0 0,5,75 = Eigenhaften: Definitionmenge: DI = IR Wertemenge \W = IR Monotonie: Für alle, D I gilt: > f( ) > f( ) Die Funktion f mit = it treng monoton zunehmend. f( ) f( ) Smmetrie: Der Graph it punktmmetrih zum Urprung. Wendepunkt Bewegt ih ein Punkt auf dem Graphen vom III. Quadranten in den I. Quadranten, o durhläuft er zunäht eine Rehtkurve. Vom Punkt O (0 0) ab durhläuft er eine Linkkurve. Man bezeihnet O (0 0) dehalb den Urprung al Wendepunkt W der kubihen Grundparabel.... Abbilden der kubihen Grundparabel durh orthogonale Affinität Die kubihe Grundparabel mit der Gleihung = kann mit einem Faktor a 0 getrekt oder getauht werden. Ahe; a E gilt: P ( ) P ( a ) = Gleihung der Grundparabel: = Gleihung der Bildparabel: = a Bei dieer Abbildung werden alle Funktionwerte mit dem Faktor a multipliziert. Eine olhe Abbildung nennt man orthogonale Affinität. Die -Ahe heißt dabei Affinitätahe. Der Wendepunkt W ( 0 0) it der einzige Fipunkt de Graphen bei dieer Abbildung.... Abbilden der kubihen Grundparabel durh Parallelverhiebung Die kubihe Grundparabel mit der Gleihung = wird durh Verhiebung mit dem Vektor v = punktweie abgebildet. b Die Gleihung der Bildparabel kann man folgendermaßen ermitteln (Parameterverfahren) ermitteln: P ( ) v P ( ) Gleihungtem: I = + b II = + Elimination von : Au I = b In II = ( b) + Die Koordinaten von P erfüllen die Gleihung = ( b) +. Die it alo die Gleihung der Bildkurve. Sie it mmetrih zum Wendepunkt W (b ). Wir bezeihnen eine verhobene kubihe Grundparabel al kurz al kubihe Parabel. Verhiebung und Abbildung durh orthogonale Affinität ergeben zuammen eine Gleihung der Form = a ( b) + W = ( b) + b v = = = 0,
WS 008/09 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit..4. Potenzfunktionen mit natürlihen Eponenten (n IN) Die maimale Definitionmenge it IR. Die Graphen kann man mit Hilfe einer Wertetabelle zeihnen. Man nennt ie Parabeln n-ter Ordnung. Wir unterheiden, ob der Eponent n eine gerade oder ungerade Zahl it. a) Parabeln gerader Ordnung b) Parabeln ungerader Ordnung = 6 = 4 = = 7 = 5 = Smmetrie zur -Ahe Smmetrie zum Urprung + I 0 DI = R \W = I R D I = IR \W = I R..5. Potenzfunktionen mit negativ-ganzzahligen Eponenten (n Z ) Die maimale Definitionmenge it IR \ {0}. Die Graphen nennt man Hperbeln n-ter Ordnung. Wir treffen dieelbe Fallunterheidung wie oben. ) Hperbeln gerader Ordnung d) Hperbeln ungerader Ordnung = 6 = 4 = 7 = 5 = = Smmetrie zur -Ahe Smmetrie zum Urprung + DI = IR \ {0} \W = IR D I = IR \ {0} \W = IR \ {0}..6. Potenzfunktionen mit rationalem Eponent Funktionen mit der Gleihung = und IR +, m Z, n IN nennen wir Grundfunktionen der Potenzfunktionen. Die zugehörigen Graphen ind entweder Parabeltüke (Eponent poitiv) oder Hperbeltüke (Eponent negativ). Die Graphen dieer Funktionen können durh Parallelverhiebung und durh orthogonale Ahenaffinität abgebildet werden. n m..7. Potenzfunktionen mit irrationalen Eponenten Da e Potenzen mit irrationalen Zahlen gibt, it e innvoll, auh Potenzfunktionen mit irrationalen Eponenten zu betrahten. Ihre Graphen zeihnet man mit Hilfe einer Wertetabelle.
WS 008/09 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit.4. Eponentialfunktionen Wir behränken un neben einer kurzen Überiht über die in der Sekundartufe I vorkommenden Funktionen auf Wahtum- und Ablingprozee..4.. Die Funktion mit = Jedem IR kann eindeutig die Zahl zugeordnet werden, da die Potenzen für beliebige reelle Eponenten definiert ind. Die Gleihung = behreibt alo eine Funktion. Sie heißt Eponentialfunktion zur Bai. Eigenhaften: Definitionmenge: DI = IR Wertemenge \W = IR + Monotonie: Für alle, gilt: > f( ) > f( ) Die Funktion f mit = it in D I treng monoton zunehmend. Amptoten: Die -Ahe it Amptote. =.4.. Die Funktion mit = ( ) Wegen ( ) = gilt für jede IR: Die Funktion g mit = ( ) hat an der Stelle den gleihen Funktionwert wie die Funktion f mit = an der Stelle. Alo erhält man den Graphen von = ( ) durh Spiegelung de Graphen von = an der -Ahe. = 0,5 Für alle, D I gilt: > f( ) < f( ) Die Funktion f mit = ( ) it in DI treng monoton abnehmend. Die Graphen der Funktionen mit = ( ) und mit = gehen durh Spiegelung an der -Ahe in einander über. Funktionwerte können durh Ableen au einer Graphik oder mit dem Tahenrehner betimmt werden..4.. Die allgemeine Eponentialfunktion = a Entprehend der Definition der allgemeinen Potenz behränken wir die Bai a in = a auf poitive Werte. Der Term a it für jede IR berehenbar. Die Menge der Zahlenpaare ( a ) und IR tellt alo eine Funktion dar. Die Funktion mit der Gleihung = a heißt Eponentialfunktion zur Bai a. = 0, Eigenhaften für a : Definitionmenge: DI = IR \ {0; } Wertemenge: \W = IR + Amptoten: Die -Ahe it Amptote. Monotonie für a > : Für alle D I gilt: > f( ) > f( ) Die Funktionen ind in D I treng monoton zunehmend. Monotonie für 0 < a < : Für alle D I gilt: > f( ) < f( ) Die Funktionen ind in D I treng monoton abnehmend. Alle Graphen gehen durh den Punkt P (0 ). Für a = erhält man al Sonderfall eine Parallele zur -Ahe. = = ( ) ( ) = 0 = = ( )
WS 008/09 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit.4.4. Definition de Logarithmu Nebentehende Graphik zeigt, da die Funktion = in DI = IR umkehrbar it. Funktion f: = Umkehrfunktion f : = = Graph zu f Die Gleihung der Umkehrfunktion können wir mit den biher bekannten Rehenarten niht nah auflöen und wollen dehalb eine neue Rehenart definieren, da Logarithmieren. Damit kann man eine Eponentialgleihung der Form a = nah dem Eponenten auflöen. Wir zeigen die Vorgehenweie an einem Beipiel: Graph zu f = log = 64 = 6 Eponentenvergleih: = 6 6 it der Eponent, der den Potenzwert 64 ergibt, bei der Bai 6 it der Eponent zu 64 zur Bai Neue Sprehweie: 6 it der Logarithmu von 64 zur Bai Kurzhreibweie: 6 = log 64 Entprehend kann die Gleihung = nah aufgelöt werden: = log..4.5. Überiht über die Rehenarten der dritten Stufe Diee Rehenarten umfaen da Potenzieren, da Radizieren und da Logarithmieren. Sie tehen in folgendem Zuammenhang: a b = radizieren logarithmieren.4.6. Sonderfälle für Logarithmen Au den Definitionen für Potenzen ergibt ih für jede zuläige a, : a 0 = log a = 0 a = a log a a = log a a n = a = mit n = log a log a = n log a a n = n mit = a n.4.7. Logarithmieren eine Produkt Für jede zuläige a, b, gilt: log a (b ) log b + log log b log a = b b = log a a a a a I a = b II a = a a = b log a (b ) loga b + loga Au dem Vergleih von I und II folgt: a = a Durh Eponentenvergleih: log a (b ) = log a b + log a.4.8. Logarithmieren eine Quotienten Für jede zuläige a, b, gilt: log a (b : ) I a = b : II log a b log a log a b log a a = a : a = b : Au dem Vergleih von I und II folgt: log a (b : ) loga b loga a = a Durh Eponentenvergleih: log a (b : ) = log a b log a.4.9. Logarithmieren einer Potenz Für jede zuläige a, b, gilt: I loga b a = b II loga b a = ( a log b ) = b loga b log a b a Au dem Vergleih von I und II folgt: a = Durh Eponentenvergleih: log a b = log a b.4.0. Wehel der Logarithmenbai
WS 008/09 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Dem Tahenrehner können wir nur Zehnerlogarithmen, alo Logarithmen zur Bai 0 entnehmen. Die Berehnung eine Logarithmu zu einer beliebigen Bai lät ih auf die Berehnung eine Zehnerlogarithmu zurükführen. Wir formen die Gleihung a = auf zwei Arten um: Nah Definition: Durh Logarithmieren zur Bai 0: I = log a II log 0 a = log 0 = log log 0 0 a = lg lg a Gleihetzen: log a = lg lg a IR + a IR + \ {}.4.. Die allgemeine Logarithmufunktion Wir bezeihnen jede Funktion mit der Gleihung = log a al logarithmihe Grundfunktion. Die Funktion f mit = log a und a IR + \ {} heißt Logarithmufunktion zur Bai a. = log = log Die Logarithmufunktion mit = log a it die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion mit = a. Eigenhaften: Definitionmenge: DI = IR + Wertemenge: \W = IR Monotonie für a > : Für alle, D I gilt: > f( ) > f( ) Die Funktion f mit = log a und a > it in DI treng monoton teigend. Monotonie für 0 < a < : Für alle D I gilt: > f( ) < f( ) Die Funktion f mit = log a it treng monoton fallend. Amptote: Die -Ahe it Amptote. Gemeinamer Punkt: Alle Graphen gehen durh Punkt P ( 0). = lg = = = log 0 log log.4.. Eponentialgleihungen Eine Gleihung, bei der eine Variable im Eponenten auftritt, heißt Eponentialgleihung. Für die Löung einer Eponentialgleihung der Form k a + b = bzw. a + b = k mit k > 0 tehen drei Verfahren zur Verfügung. a) Graphihe Löung Man zeihnet den Graphen der zugehörigen Eponentialfunktion = k a + b. Die Parallele zur -Ahe mit = und > 0 hneidet den Graphen in einem Punkt P. Die -Koordinate diee Punkte it die geuhte Löung. Beipiel Gegeben: = Geuht: L Zugehörige Eponentialfunktion: = Die Parallele zur -Ahe im Abtand d = hneidet den Graphen im Punkt P (4,6 ). Au der Zeihnung: = 4,6 L = {4,6} Probe: 4,6 =,0 4,6
WS 008/09 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit b) Löung durh Eponentenvergleih Diee Verfahren it nur anzuwenden, wenn ih k al Potenz von a hreiben lät. In dieem Fall kann ein Eponentenvergleih durhgeführt werden. Beipiel. + 4 = 8 + 4 = Eponentenvergleih: + 4 = = L = { }. 4 5 = 6 5 = 9 5 = Eponentenvergleih: 5 = = 7 L = {7} ) Löung durh Logarithmieren Durh Logarithmieren beider Seiten lät ih jede Eponentialgleihung k a + b = nah auflöen: lg lg k lg lg k lg k + ( + b) lg a = lg + b = = b lg a lg a Wegen der Verwendung de Tahenrehner zur Berehnung von Näherungwerten verwendet man güntigerweie den Zehnerlogarithmu..4.. Wahtumprozee Von einer Bakterienkultur ind anfänglih 0 Bakterien vorhanden. Im Durhhnitt verdoppelt ih ihre Anzahl in jeder Stunde. Auf welhen Betand it die Bakterienkultur nah 5,5 Stunden angewahen? Nah welher Zeit hat ie ih verzehnfaht. Geuht it alo der funktionale Zuammenhang zwihen der Zeit ( Stunden) eit Anlage der Kultur und der Anzahl () der vorhandenen Bakterien. Zu Beginn: 0 = 0 bzw. 0 = 0 0 = 0 0 Nah Stunde: = 0 bzw. = 0 = 0 Nah Stunden: = 40 bzw. = 0 4 = 0 Nah Stunden: = 80 bzw. = 0 8 = 0 Nah 4 Stunden: 4 =60 bzw. 4 = 0 6 4 = 0 4 Nah Stunden: = 0 Da Anwahen der Bakterienkultur kann alo durh die Funktiongleihung = 0 mit D I = IN 0 behrieben werden. Diee Gleihung kann auh für Zwihenwerte (z. B., Stunden) verwendet + werden, alo D I = IR 0. a) Graphihe Löung Au der Graphik: Für = 5,5 erhält man 450 Überprüfung mit dem Tahenrehner: = 0 5,5 Da Ergebni kann nur eine ganze Zahl ein; alo it auf 45 zu runden. Nah 5,5 Stunden it die Bakterienkultur auf 45 Bakterien angewahen. 450 Au der Graphik: Für = 00 erhält man, = 0 Nah, Stunden hat ih die Anzahl der Bakterien in der Bakterienkultur verzehnfaht. b) Rehnerihe Löung Für = 00 erhält man: 00 = 0 0 =. Logarithmieren: lg 0 = lg Auflöen nah : = lg 0 lg, 00 Nah, Stunden hat ih die Anzahl der Bakterien in der Kultur verzehnfaht., 5,5
WS 008/09 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit.4.4. Abklingprozee Da Edelga Radon wandelt ih durh radioaktiven Zerfall um, wobei täglih 6,7 % der Retmae zerfallen. Nah welher Zeit it noh die Hälfte de Stoffe vorhanden? Wie viele Gramm von 60 g Radon ind nah zwei Tagen zerfallen? Geuht it der funktionale Zuammenhang zwihen der Zeit de Zerfall (in Tagen) und der Mae ( Gramm) de noh vorhandenen radioaktiven Gae. Anfangmae: 0 = 60 6, 7 Mae nah Tag: = 60 60 00 = 60 ( 0,67) = 60 0,8 6, 7 Mae nah Tagen: = 00 6, 7 Mae nah Tagen: = 00 Mae nah Tagen: = 60 0,8 = ( 0,67) = 60 0,8 = ( 0,67) = 60 0,8 be- Der Zuammenhang kann alo durh die Eponentialgleihung = 60 0,8 mit D I = hrieben werden. a) Graphihe Löung Au der Graphik: Für = 0 erhält man =,8. Nah,8 Tagen it alo die Hälfte de Radon zerfallen. + IR 0 Die Zeit, nah welher Zeit von der urprünglihen Mae de radioaktiven Gae noh die Hälfte übrig it, nennt man Halbwertzeit. Au der Graphik: Für = erhält man = 4. Nah Tagen ind alo 8 g de Radon zerfallen. 4 0 = 60 0,8 b) Rehnerihe Löung Mae nah Tagen: = 60 0,8 g = 4,6 g Nah zwei Tagen ind 8,7 Gramm zerfallen.,8 Für eine beliebige Anfangmae m 0 eine radioaktiven Stoffe gilt allgemein da Zerfallgeetz m = m 0 a. Die Halbwertzeit eine Stoffe errehnet ih dann folgendermaßen: Mit m = m 0 gilt: m 0 = m 0 a Kürzen mit m 0 : = a Logarithmieren: lg 0,5 = lg a = Für Radon: = lg 0,5 lg 0,8 =,79 Die Halbwertzeit von Radon beträgt,79 Tage. lg 0,5 lg a
WS 008/09 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit.4.5. Empirihe Funktion Wir prehen von einer empirihen Funktion, wenn die Zahlenpaare keiner erkennbaren mathematihen Geetzmäßigkeit unterliegen. Beipiel: Die Klae 8a der Stein-Realhule liet eine Wohe lang täglih um 8.00 Uhr und um.00 Uhr die Tagetemperatur ab. Sie erhält eine Metabelle folgender Art: Montag Dientag Mittwoh Donnertag Freitag 8.00.00 8.00.00 8.00.00 8.00.00 8.00.00 4 8 0 7 7 4 Die graphihe Dartellung ergibt folgende Bild: C 5 0 5 0 5 Mo Di. Mi. Do. Fr. Durh die Zahlenpaare in der numerihen und graphihen Wertetabelle it eine Funktion fetgelegt. Häufig verbindet man auh die Endpunkte näherungweie zu einem gehloenen Strekenzug.
WS 008/09 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit.4.6. Übung: Potenz- und Eponentialfunktionen Aufgabe Der Graph der Funktion f mit = ( = ) oll zuer t durh eine orthogonale Affinität mit a und anhließend durh eine Parallelverhiebung mit v abgebildet werden. Geben Sie die Gleihung de Bildgraphen an. Überprüfen Sie die Ergebnie mit einem Geometrieprogramm. 5 7 a) a =,5 v = b) a = 0,4 v =,5 Aufgabe.0 Die kinetihe Energie eine Körper lät ih nah der Formel E kin = m v berehnen. m: Mae de Körper v: Gehwindigkeit de Körper. Für die Einheit J (Joule) der Energie gilt: kg m J =. Betätigen Sie die.. Welhe Energie hat ein Auto (m =,4 Tonnen), da mit 00 km h fährt?. Stellen Sie den Zuammenhang au 8.0 für v [0 km h ; 00 km h ] und m =,4 t graphih dar. -Ahe: m = 0 km h -Ahe: LE = 0 000 J.4 Mit welher Gehwindigkeit fährt da Auto (Angabe in km h ), wenn eine anfänglihe Bewegungenergie von 60 000 J halbiert wird? Graphihe und rehnerihe Löung..5 Da Auto fährt nun bi 50 km h gleihmäßig behleunigt, dann behält e für Minute die erreihte Gehwindigkeit bei und erreiht letztlih mit der gleihen Behleunigung die Endgehwindigkeit von 00 km h. Stellen Sie dieen Vorgang graphih dar und geben Sie die einzelnen Bewegunggleihungen an. Aufgabe.0 Zu einem Kapital K 0 werden die Zinen jeweil am Jahreende hinzugefügt. Kapital und Zinen werden zuammen weiter verzint (Zinezinen). Da Kapital K 0 wäht o in n Jahren bei p% Zinen auf K n an. p E gilt die Gleihung: K n = K 0 ( + 00 )n.. Auf welhen Betrag wahen 800 EUR bei einem Zinatz von 4% in 6 Jahren?. Legt man 800 EUR bei 6% Verzinung für 4 Jahre fet, erhält man ein kleinere Endkapital. Berehnen Sie den Unterhied.. Wie hoh it der Zinatz bei der Gleihung K n = K 0,055 n? Nah wie vielen Jahren verdoppelt ih bei dieer Verzinung da Kapital? Aufgabe 4 4.0 Eine Streke der Länge l = m wird fortlaufend halbiert (vgl. Skizze). 4. Geben Sie eine Gleihung der Form = a an, die dieen Vorgang behreibt. 4. Nah wie vielen Teilungen erhält man eine Streke, deren Länge kleiner it al mm? 4. Ein Stabbakterium it etwa 0 7 m lang. Nah wie vielen Teilungen erhält man eine Streke dieer Länge?
WS 008/09 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Löungen Zu Aufgabe Zu Aufgabe a) =,5 ( 5) + bzw. =,5 ( 5) b) = 0,4 ( + 7) +,5 bzw. = 0,4 ( + 7). [E kin ] = [m] [v ] = kg m = kg m = J + +,5. E kin = 400 kg (7,78 m ) E kin = 540 0 J = 540, kj. E kin = J v = km h = 400 kg 000 600 = 54,0.4 Au der Graphik: A (, 600 000) B (,57 00 000) Bei Halbierung der Bewegungenergie reduziert ih die Gehwindigkeit nur auf da 0,7-fahe. Durh Rehnung: E kin = 60 000 J = E kin = 0 000 J = n =,57 = 0,7,.5. Abhnitt: = a t a =. Abhnitt: =,78 m (5 ) = 4,75 m +,89 m 60 000 54,0 0 000 54,0 km =, =,57 m 50 h,89 m = =,78 = 5 5,78 m t [0 ; 5 ] = 4,75 m (t 5 ) t [0 ; 65 ] t. Abhnitt: = 4,75 m +,89 m 60 = 868,5 m Zu Aufgabe = 868,5 m +,78 m (t 65) v = a t 7,77 m =,78 m t t = 0 t [65 ; 75 ]. K 6 = 0,6. K 4 = 009,98. p = 5,5 %,055 n = n =,95 Nah Jahren verdoppelt ih da Kapital..4 entprehend dem Unterriht Zu Aufgabe 4 4. = 0,5 4. 0,00 = 0,5 = lg 0,00 lg 0,5 = 9,97 Nah 0 Teilungen it die Streke kürzer al mm. 4. 0 7 = 0,5 = l g 0,000000 lg 0,5 =,5