2 5 Ortskurven 5.5 Ortskurven höherer Ordnung Ortskurve Parabel Die Ortskurvengleichung für die Parabel lautet P A + p B + p 2 C. (5.) Sie kann entweder aus der Geraden A + p B und dem Anteil p 2 C oder aus der Geraden A + p 2 C und dem Anteil p B durch Überlagerung der Zeiger zusammengesetzt werden, wie im Bild 5.28 erläutert ist. Bild 5.28 Konstruktion der Ortskurve Parabel Beispiel: Ortskurve für das Spannungsverhältnis /U des an einer Spannungsquelle angeschlossenen Reihenschwingkreises bei variabler Frequenz U + jω + jω jω U jωc U r ω 2 + C mit ω p ω U + p jω U p 2 ω 2. C Bild 5.29 Schaltung für das Beispiel einer Parabel-Ortskurve Mit ω und ω X kr Q r (vgl. Gl. 4.8) ist U + p j p 2. Q r Durch Vergleich mit der allgemeinen Ortskurvengleichung ergibt sich: A, B j Q r und C.
5.5 Ortskurven höherer Ordnung 2 Wird die Güte des Resonanzkreises wie im Beispiel des Abschnitts 4.5. (siehe Bild 4.95) Q r 2 gewählt, dann lautet die Ortskurvengleichung U j + p 2 p2 p 2 + j p 2, deren Ortskurve im Bild 5.3 dargestellt ist. Bild 5.3 Beispiel einer Parabel-Ortskurve Bei Resonanz des Reihenschwingkreises ist, also p, und das Spannungsverhältnis ist imaginär: U j j Q r 2 mit U bzw. Q r U Q r (vgl. Gl. 4.25). Wie im Abschnitt 4.5. im Bild 4.96 (siehe S.5) zu sehen ist, wird in den Resonanzkurven das Spannungsverhältnis /U dargestellt. Die zugehörige Ortskurvengleichung U j + p p 2 j + p p2 Q r 2 gehört nicht zu den einfachen Ortskurven und müsste Punkt für Punkt ermittelt werden, indem verschiedene p-werte in die Ortskurvengleichung eingesetzt werden, die komplexen Größen jeweils berechnet und in die Gaußsche Zahlenebene gezeichnet werden. Wie im Bild 5.3 gezeigt, kann die Ortskurve aber auch durch Inversion der Parabel ermittelt werden, indem die Zeiger für bestimmte Parameter invertiert werden. Dabei werden die Längen der Parabelzeiger abgegriffen und der Kehrwert der Beträge jeweils auf dem Strahl mit umgekehrten Winkel angetragen. Die dadurch entstehende Ortskurve enthält nicht nur die Beträge des Spannungsverhältnisses wie die Resonanzkurve im Bild 4.96, sondern auch die Phasenlage der beiden Spannungszeiger zueinander. Um die Beträge der Ortskurve mit den Resonanzkurven im Bild 4.96 vergleichen zu können, muss die Identität p x beachtet werden. Mit der Gl. (4.3) lässt sich auch der Parameterwert errechnen, bei der die Kondensatorspannung ihr Maximum hat: Bild 5.3 Inversion der Parabel pxx c 2Q r 2 8,935. Der Ortskurvenpunkt kann dann mit der Ortskurvengleichung berechnet werden: U p 2 + j p/2 U,935 2,533 j,996 2,66 e j 75 + j,468
22 5 Ortskurven Ortskurve Zirkulare Kubik Die allgemeine Ortskurvengleichung der zirkulären Kubik O A + p B + p2 C D + p (5.2) kann durch Division in die Summe einer Geradengleichung und einer Kreisgleichung überführt werden: CD B (p 2 C D CD C + pb + A): (p + D) p + + A B D + p 2 CD p C+ p CD p B + A CD D CD p B B + D CD Rest : A B O R + p S + F D + p R + p S + D F + p. (5.3) F Wird also die Ortskurvengleichung in der allgemeinen Form (Gl. 5.2) erkannt, dann muss diese zuerst in die Summenform der beiden Ortskurvengleichungen (Gl. 5.3) überführt werden, ehe die Konstruktion erfolgen kann. Dann werden der Kreis durch den Nullpunkt nach der Anleitung im Abschnitt 5.3 und die Gerade (siehe Abschnitt 5.2) getrennt konstruiert. Anschließend werden für gleiche Parameterwerte die jeweiligen beiden Zeiger durch Addition der Realteile und Imaginärteile überlagert. Beispiel: Ortskurven für den komplexen Leitwert und den komplexen Widerstand des Praktischen Parallel-Resonanzkreises in Abhängigkeit von der Frequenz (Schaltbild siehe Bild 5.32 oder Bild 4.8, S. 9). Y jω + + jω +jω ω2 + jω Y p jω + + p jω p2 ω 2 mit ωp ω + p jω + p jω L. r Die rechte Seite obiger Gleichung entspricht der allgemeinen Form der Ortskurvengleichung der zirkulären Kubik (Gl. 5.2). Die Division kann entfallen, weil die Summe der Geradengleichung und einer Kreisgleichung sofort aus der Schaltung (Bild 5.32) abgelesen werden kann (linke Seite obiger Gleichung).
5.5 Ortskurven höherer Ordnung 23 Als Bezugsfrequenz ω sollte die Resonanzfrequenz gewählt werden, die nach der Gl. (4.55) berechnet werden kann: 2 2 RLr Ω ω 2s. LC 6 r r Lr,5H 2,5 F,5H Die Ortskurvengleichung in Zahlenwerten lautet dann Y p j 2 3 s 2,5 6 As V + Ω +p j 2 3 s,5vs/a Y p j 5 ms + Ω +p j Ω. Die Gerade ist identisch mit der positiven imaginären Achse, und der Kreis durch den Nullpunkt hat den Mittelpunkt bei /(2A) /(2Ω) 5mS. Die Ortskurve für den komplexen Leitwert ergibt sich durch Überlagerung der Zeiger mit jeweils gleichem Parameterwert (siehe Bild 5.32). Aus der Ortskurve für den komplexen Leitwert Y Y e jϕ lassen sich Betrag und Argument für die p-werte ablesen und die entsprechenden komplexen Widerstände Z Z e jϕ berechnen und in die Gaußsche Zahlenebene einzeichnen: p,6,8,,2,5 2, Y ϕ ms Grad 7,5 6, 8 5, 4,2 + 5 4, + 42 6,4 + 7 + 9 Z /Y ϕ Ω Grad 33 + 64 + 8 2 238 5 244 42 56 7 9 Bild 5.32 Ortskurven des komplexen Leitwerts und komplexen Widerstands des Praktischen Parallel-Resonanzkreises
24 5 Ortskurven Die Ortskurve für den frequenzabhängigen komplexen Widerstand Z kann natürlich nicht genau sein, weil sie über abgelesene Y-Werte ermittelt wurde. Deshalb soll die nicht einfache Ortskurve punktweise mit der Ortskurvengleichung errechnet werden. Nach Gl. 4.58 lautet die Formel für den komplexen Widerstand des Praktischen Parallel-Resonanzkreises mit ω p ω : R Z Lr + jω R Lr + p jω + jω ω 2 + p jω p 2 ω 2 und mit Zahlenwerten Z Ω +p j Ω ( p 2,5) + p j,5. Für p,6 ergibt sich beispielsweise Z,6 Ω + j 6Ω,82 + j,3 6,6Ω e j 3,873 e j 2, 33,6Ω e j,9. Die auf diese Weise berechneten Widerstandswerte sind in folgender Tabelle zusammengestellt: p,6,8,,2,5 2, Z Ω 33,6 62,3 2 235,9 237, 58, ϕ Grad,9 8,2 4,8 43,2 7,6
Übungsaufgaben zu den Abschnitten 5. bis 5.5 25 Übungsaufgaben zu den Abschnitten 5. bis 5.5 5. Für die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstands 2 und einer variablen Induktivität 3mH sind. die Ortskurve für die Spannung bei konstantem Strom I ma bei f 2Hz und 2. die Ortskurve für den Strom bei konstanter Spannung U V bei f 2Hz zu ermitteln. 3. Kontrollieren Sie rechnerisch die Ortskurvenpunkte des Stroms für die Induktivitäten, 2 und 3mH. 5.2 Mit Hilfe von Ortskurven soll die Frequenzabhängigkeit der komplexen Widerstände und Leitwerte der Reihenschaltung und Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Kapazität untersucht werden.. ntwickeln Sie die Ortskurven des komplexen Widerstandes und komplexen Leitwerts der Reihenschaltung von 7,3 und 38µF. 2. rmitteln Sie anschließend die Ortskurven des komplexen Leitwerts und des komplexen Widerstandes der Parallelschaltung von R p 23, und C p 79,6µF. Die Bezugsfrequenz f soll so gewählt werden, dass für p die Reihenschaltung und die Parallelschaltung äquivalent sind. s ist also zu untersuchen, ob die Bedingungsgleichung für Äquivalenz bei einer bestimmten Frequenz erfüllbar ist. 3. Kontrollieren Sie anhand der Ortskurve, ob die Scheinwiderstände und Scheinleitwerte für p gleich sind. 5.3. Für den Reihen- und Parallelschwingkreis sollen die Ortskurven für den komplexen Widerstand und den komplexen Leitwert bei Variation der Frequenz ermittelt werden. Die ohmschen Widerstände, die Induktivitäten und Kapazitäten der Reihen- und Parallelschaltung sollen gleich sein: R p 2 L p,4h C p µf 2. Lesen Sie aus der Ortskurve für den komplexen Leitwert des Reihenschwingkreises die Strom-Resonanzkurve ab. 5.4 Für die Reihen- und Parallelschaltungen von Induktivität/ohmscher Widerstand und Kapazität/ohmscher Widerstand sind die Ortskurven für die Verhältnisse der Teilspannungen zur Gesamtspannung bzw. Teilströme zum Gesamtstrom in Abhängigkeit von der Frequenz zu entwickeln, wobei die Bezugsfrequenz jeweils festgelegt ist: /,R p /L p, /R p C p,/. 5.5 An den ingang des gezeichneten Vierpols wird eine sinusförmige Spannung mit veränderlicher Frequenz angelegt. Bild 5.33 Übungsaufgabe 5.5. Stellen Sie die Gleichung für das Spannungsverhältnis U 2 /U in Abhängigkeit von,, R und auf. 2. Konstruieren Sie die Ortskurve des Spannungsverhältnis in Abhängigkeit von p, nachdem Sie die Gleichung mit R und R/ vereinfacht haben. Geben Sie mindestens fünf Ortskurvenpunkte mit den entsprechenden p-werten an. 3. rgänzen Sie die Ortskurve durch entsprechende Ortskurven für /R, /2 und 2. 4. rmitteln Sie aus der Ortskurvenschar für p die Funktion U2 RLr f U R und stellen Sie sie dar.
26 5 Ortskurven 5.6 Die Ortskurve des Spannungsverhältnis U R /U des Reihenschwingkreises bei variabler Frequenz p ist zu ermitteln. Deuten Sie die Ortskurvenpunkte für p, und. Bild 5.34 Übungsaufgabe 5.6 5.7 Für die gezeichnete Schaltung ist die Ortskurve für U 2 /U in Abhängigkeit von der Frequenz zu konstruieren.. Leiten Sie zunächst die Ortskurvengleichung allgemein und dann mit den Zahlenwerten her. 2. Konstruieren Sie die Ortskurve mit den Ortskurvenpunkten p, /3, /2,, 2, 3 und. 3. rklären Sie den Ortskurvenpunkt für p. Bild 5.35 Übungsaufgabe 5.7 5.8. ntwickeln Sie die Ortskurve für den komplexen Leitwert Y der skizzierten Schaltung im Frequenzbereich s s in Schritten von s. Bild 5.36 Übungsaufgabe 5.8 2. Kontrollieren Sie rechnerisch die Ortskurvenpunkte für, 5s und. 3. rmitteln Sie aus der Ortskurve den Graphen der Funktion Y f ( ) und stellen Sie ihn dar. Tragen Sie den Wert ein, den die Kurve für hohe Kreisfrequenzen anstrebt (Asymptote).
Übungsaufgaben zu den Abschnitten 5. bis 5.5 27 5.9. Für einen Reihenschwingkreis mit der Güte Q r 2, angeschlossen an eine Wechselspannungsquelle, ist die Ortskurve des Spannungsverhältnisses U/U L in Abhängigkeit von der Frequenz zu entwickeln. Bild 5.37 Übungsaufgabe 5.9 2. Anschließend ist durch Inversion der Zeiger die Ortskurve des Spannungsverhältnisses U L /U zu ermitteln. Die Ortskurvenpunkte für p, /2, 2/3,, 2 und sind rechnerisch zu kontrollieren. 3. Schließlich sind die Beträge U L /U für die unter 2. angegebenen Parameterwerte mit Hilfe der Formeln des Abschnitts 4.5. zu kontrollieren. Das Maximum des Spannungsverhältnisses ist zu berechnen. Die rgebnisse sind mit der Resonanzkurve (Bild 4.95) zu vergleichen. 5.. Konstruieren Sie die Ortskurve des komplexen Leitwerts der skizzierten Schaltung in einem Frequenzbereich s s im Abstand von s, indem Sie einfache Ortskurven überlagern. Bild 5.38 Übungsaufgabe 5. 2. Lesen Sie aus der Ortskurve die Frequenz ab, bei der der komplexe Leitwert reell ist. Weisen Sie die abgelesene Frequenz und den reellen Leitwert rechnerisch nach. 5.. Bei welchen Kreisfrequenzen ist der komplexe Widerstand der Schaltung reell? Bild 5.39 Übungsaufgabe 5. 2. ntwickeln Sie die Ortskurve des komplexen Widerstandes durch Überlagerung einfacher Ortskurven, indem Sie eine der Kreisfrequenzen unter. als Bezugsfrequenz wählen. Die Ortskurve ist für p, /2,,,5 und 2 zu konstruieren. 3. Kontrollieren Sie rechnerisch die Ortskurvenpunkte für p und p.