Medizinische Physik und Statistik WS 2016/2017 Mechanik II Die Mechanik von Massenpunkten Tamás Marek 14. September 2016
Gliederung Einleitung Beschreibung von Bewegungen, Kinematik Kräfte und ihre Wirkung, Dynamik Einfache mechanische Maschinen
Wiederholung In der medizinischen Praxis werden täglich verlässliche Informationen darüber benötigt, wie sich bestimmte Eigenschaften des menschlichen Organismus verhalten. Dabei werden diese Messergebnisse mit solchen aus der Vergangenheit verglichen und so über Normalität bzw. Anomalie entschieden. Für solche Vergleiche eignen sich nur solche Eigenschaften eines Systems, die sich, durch die Definition geeigneter Kriterien, von anderen Eigenschaften möglichst eindeutig abgrenzen und quantifizieren lassen. Es muß also möglich sein die Menge der Eigenschaft als ein Mehrfaches einer Einheitseigenschaft auszudrücken.
Wiederholung Die Eigenschaft muß also eindeutig abgrenzbar und meßbar sein! In den Naturwissenschaften werden solche Eigenschaften Größen, z.b. physikalische Größen, genannt. Der Wert einer physikalischen Größe ist somit durch eine Maßzahl und eine Einheit definiert. Größenwert = {Maßzahl} mal [Einheit] l = 1 m
Einleitung Basisgrößen und Abgeleitete Größen Es lässt sich zeigen, dass in der Physik alle Größen auf 7 Basisgrößen zurückgeführt werden können. Basisgröße Symbol Basiseinheit (Zeichen) Länge l 1 Meter (1 m) Masse m 1 Kilogramm (1 kg) Zeit t 1 Sekunde (1 s) el. Stromstärke I 1 Ampere (1 A) Temperatur T 1 Kelvin (1 K) Lichtstärke I 1 Candela (1 cd) Stoffmenge n 1 Mol (1 mol)
Einleitung Beispiele für Abgeleitete Größen Abgeleitete Größen Symbol Basiseinheit (Zeichen) Fläche A l 2 (m 2 ) Volumen V l 3 (m 3 ) Geschwindigkeit v l/t (m/s) Beschleunigung a l/t 2 (m/s 2 ) Dichte ρ m/l 3 (kg/m 3 )
Einleitung Das wissenschaftliche Modell Dem Modell kommt im wissenschaftlichen Erkenntnisprozess eine große Bedeutung zu. Es dient u.a. dazu, komplexe Sachverhalte zu vereinfachen zu idealisieren und so unserer Anschauung zugänglich zu machen. Aufgabe der physikalischen Modellbildung ist also die Reduktion der betrachteten z.b. mechanischen Strukturen auf ein funktionell gleichwertiges Ersatzsystem, das der systematischen, mathematischen Behandlung leichter zugänglich ist.
Einleitung Ein Modell ist gekennzeichnet durch: Abbildung Ein Modell ist stets eine Kopie von etwas, repräsentiert ein natürliches oder einen künstliches Original, das selbst wieder Modell sein kann. Verkürzung Ein Modell erfasst im Allgemeinen nicht alle Attribute des Originals, sondern nur diejenigen, die dem Modellschaffer bzw. Modellnutzer relevant erscheinen. Pragmatismus Modelle sind ihren Originalen nicht per se eindeutig zugeordnet. Sie erfüllen ihre Aufgabe: a) für bestimmte Subjekte (Für Wen?), b) innerhalb bestimmter Zeitintervalle (Wann?) c) unter Einschränkung auf bestimmte gedankliche oder tätliche Operationen (Wozu?).
Einleitung Das menschliche Modell Kopie von etwas Verkürzung auf relevante Attribute Pragmatismus Für Wen? Wann? Wozu?
Einleitung Betrachten wir einen beliebigen starren Körper im Raum ohne Zwangsbedingungen, so verfügt er über sechs Freiheitsgrade: drei Translations- und drei Rotationsfreiheitsgrade. Er kann also entlang der X-, Y- und Z-Achse verschoben werden und sich um die X-, Y- und Z-Achsen drehen. (Hinzu käme noch die Deformation!)
Einleitung Führen wir Zwangsbedingungen ein (z.b. eine ortsfeste Drehachse, oder wir frieren die Rotation gänzlich ein), so reduziert sich die Zahl der Freiheitsgrade. Die physikalische Behandlung der Bewegung wird so immer einfacher. Drehachse
Einleitung Wir können also allgemein feststellen, dass alle Bewegungen auf eine Kombination geradlinige und Kreisbewegungen zurückgeführt werden können! Diese beiden Bewegungsarten können voneinander unabhängig untersucht und dann wieder kombiniert werden. Deshalb wird in der physikalischen Betrachtung der Mechanik, mehr aus pragmatischen Gründen, die Diskussion der geradlinigen und Kreisbewegungen in zwei getrennten Abschnitten vorgenommen! Wir werden hier auch geradlinige und Kreisbewegungen getrennt behandeln.
Modell des Massenpunktes Def.:Idealisierung eines Körpers als mathematischer Punkt mit verschwindender Ausdehnung, aber endlicher Masse. Ein Massenpunkt besitzt keine Rotationsfreiheitsgrade!! Die Bewegung eines Körpers kann durch das Modell des Massenpunktes idealisiert werden wenn: unter den gegebenen physikalischen Bedingungen ausreicht, nur die Bewegung des Schwerpunktes des Körpers zu untersuchen, ohne die räumliche Verteilung der Masse zu berücksichtigen. In diesem Abschnitt werden alle Bewegungen als Bewegungen von Massenpunkten idealisiert, folglich reduziert sich die Zahl der Freiheitsgrade von 6 auf3.
Bezugssysteme Ruhe und Bewegung sind Begriffe, die nur relativ zu einem Bezugssystem einen Sinn haben. Wir verwenden meist das sog. Laborsystem.
Der Ort eines Punktes im Laborsystem Koordinatensystem Ortsvektor r(x,y,z) Als Ortsvektor oder Radiusvektor eines Punktes bezeichnet man in der Mathematik und in der Physik einen Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zu diesem Punkt (Ort) zeigt.
Vektoren Ein Vektor kann durch einen Pfeil repräsentiert werden, dessen Länge dem Betrag entspricht und dessen Richtung eindeutig durch die Pfeilspitze gegeben ist. In einem willkürlich gewählten Koordinatensystem, mit Ursprung am Pfeilende, kann jeder Vektor durch seine drei Komponenten (r x, r y, r z ) (Projektionen auf die Achsen) eindeutig beschrieben werden. Länge/Betrag: r r 2 x r 2 y r 2 z Zwei Vektoren sind gleich, falls sie in Betrag und Richtung übereinstimmen.
Vektoroperationen a 1 a 2 a 1 a2 3 a1 a1 a1 a1 a a a a a a a a a a a1 2 1x 2x, 1y 2 y a1 2 1x 2x, 1y 2 y Eine skalare Größe (z.b. Komponenten a i eines Vektors, die Zeit, Masse ) wird in der Physik allein durch die Angabe eines Zahlenwertes und die entsprechende Einheit charakterisiert.
Die Zeit Die Zeit beschreibt die Abfolge von Ereignissen. Sie hat also im Gegensatz zu anderen physikalischen Größen eine eindeutige, unumkehrbare Entwicklungsrichtung. Eine Uhr ist eine Vorrichtung, die periodisch ablaufenden Vorgänge zählt (Erdbewegung, Pendel, atomare Schwingungen) In einem abgeschlossenen System kann mit Hilfe der physikalischen Prinzipien der Thermodynamik die Richtung, als Zunahme der Entropie, d.h. Zunahme der Unordnung bestimmt werden. Die SI-Einheit der Zeit ist die Sekunde, s. Formelzeichen: t
Einleitung Eine Klassifizierung wird meist danach unternommen, ob die für die Bewegung ursächlichen physikalische Kräfte mit betrachtet werden oder die Bewegung nur beschrieben wird.
Beschreibung von Bewegungen, Kinematik (Wir fragen nicht nach der Ursache der Bewegung, wir beschreiben die Bewegung nur.)
Bewegung, Weg, Strecke Als Bewegung im physikalischen Sinne versteht man die Änderung des Ortes eines Beobachtungsobjektes (Massenpunktes) mit der Zeit r(t). Weg : Vektor r(t 2 -t 1 ) r(t 1 ) r(t 2 -t 1 ) r(t 2 ) Strecke : Länge s des Vektors, r(t 2 -t 1 ), Skalar Die SI-Einheit der Länge ist das Meter, m. Formelzeichen: s, l
Geschwindigkeit Die Geschwindigkeit gibt an, welche Wegstrecke ein Massepunkt innerhalb einer bestimmten Zeitspanne zurücklegt. Mittlere Geschwindigkeit: V= s/ t r(t 1 ) r( t)/(t 2 -t 1 ) r(t 2 ) Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist, m/s. Formelzeichen: v Bei der physikalischen Größe wird auch die Richtung der Bewegung miterfasst. Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe.
Momentangeschwindigkeit Durch reduzieren des Beobachtungszeitraumes Δt auf einen verschwindend kleinen Zeitintervall dt entsteht ein Grenzwert, den die Mathematik als Differentialquotienten oder Ableitung der Strecke nach der Zeit nennt. Daraus resultiert die Momentangeschwindigkeit.
Die mittlere Steigung einer beliebigen Funktion
Die lokale Steigung einer beliebigen Funktion Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x 0 gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen im Punkt P 0 (x 0 y 0 ) berührt und ist damit zugleich die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt P 0 (x 0 y 0 ). Man sagt auch Steigung der Funktion.
Beschleunigung Ändert sich die Geschwindigkeit, dann findet eine Beschleunigung statt. Diese Bezeichnung gilt auch, wenn die Geschwindigkeit sinkt. Da eine Richtungsänderung zur Änderung des Geschwindigkeitsvektors führt, liegt dem ebenfalls eine Beschleunigung zu Grunde, ohne dass sich der Betrag der Geschwindigkeit ändern muss. skalar vektoriell Die SI-Einheit der Beschleunigung ist, m/s 2. Formelzeichen: a
Gleichförmige geradlinige Bewegung Eine gleichförmige geradlinige Bewegung liegt dann vor, wenn sich ein Massenpunkt längs einer geraden Bahn ständig mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt, wenn also gilt: v = konstant
Gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung liegt vor, wenn sich bei einem Massenpunkt der Betrag der Geschwindigkeit in jeweils gleichen Zeiten in gleichem Maße ändert, wenn also der Betrag der Beschleunigung konstant ist. a = konstant
Gleichmäßige Kreisbewegung Auf einer Kreisbahn durchläuft ein Massenpunkt periodisch die selbe Bahn immer wieder. Die Koordinaten auf der Bahnkurve: y(t) = r 0 (t) sin(φ(t)) x(t) = r 0 (t) cos(φ(t)) Betrag der Bahngeschwindigkeit: V = s/ t V = konstant Betrag der Bahnbeschleunigung: a = v/ t a = 0
Gleichmäßige Kreisbewegung, eine beschleunigte Bewegung Die Richtung der Bahngeschwindigkeit V ist tangential und ändert ihre Richtung damit von Punkt zu auf der Kreisbahn. Radiale Beschleunigung: Zentripetalbeschleunigung mit Betrag: a = v 2 /r = rω 2
Polarkoordinatensystem für Kreisbewegungen von Massenpunkten Unter einem Polarkoordinatensystem versteht man ein zweidimensionales Koordinatensystem, in dem jeder Punkt auf einer Ebene durch einen Winkel φ und einen Abstand r definiert werden kann. Polarkoordinatensystem Kartesisches Koordinatensystem Ebene Polarkoordinaten (mit Winkelangaben in Grad) und ihre Transformation in kartesische Koordinaten
Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit Die Winkelgeschwindigkeit ω gibt an, wie schnell sich ein Winkel φ mit der Zeit um eine Achse ändert. ω = v / r v = ω r Bei konstanten Winkelgeschwindigkeiten ω ändert sich die Bahngeschwindigkeit v mit dem Radius r. Die SI-Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist rad/s. Formelzeichen: ω
Harmonische Vorgänge (Siehe auch spätere Vorlesungen) Punkt auf dem Radumfang im Laborsystem. Projektion π/3 π/6 0 Federpendel
Kräfte und ihre Wirkung, Dynamik
Die physikalische Kraft Die physikalische Kraft F ist eine gerichtete Größe (Vektor) und ist die Ursache der Beschleunigung von Gegenständen (Massenpunkten). F = m a m = Masse a = Beschleunigung Einige Kräfte haben eigenständige Bezeichnungen aufgrund ihrer Ursachen oder Wirkungen erhalten. Dazu gehören z.b. die Gewichtskraft, die Reibungskraft oder die Fliehkraft. Die SI-Einheit der Kraft ist der Newton, N. Formelzeichen: F
Kräfte und lineare Bewegungen Gravitationskraft F G oder auch Gewichtskraft G F G m 1 d m 2 G m g 1 2 mit m2 g 2 d m Erdmasse m 2 1 Probekörpermasse d Entfernung s g 2 2 t g = Erdbeschleunigung, g ist keine universelle Konstante, sondern auf der Erdoberfläche nur annähernd konstant. -> Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Kräfte und lineare Bewegungen Alle Körper fallen (ohne Reibung) gleich schnell. Alle Körper erfahren die gleiche Beschleunigung: g = Erdbeschleunigung (Gravitation) g ist keine universelle Konstante, sondern auf der Erdoberfläche nur annähernd konstant.
Die Sedimentation Für Stoffe die in einem Medium nicht lösbar sind, hängt ihr Sinkgeschwindigkeit von ihre Dichte ab. Die Sinkgeschwindigkeit von Stoffen mit höhere Dichte ist größer, als solche mit geringere Dichte.
Die Reibungskraft Für die Beschreibung der Bewegung: Massenpunktbetrachtung!! Für die Beschreibung der Reibung: Mikroskopische Betrachtung!! F Reib = μ F Gewicht Die Reibungskraft F R nimmt mit der Gewichtskraft F G oft annähernd linear und unabhängig von der Größe der Kontaktfläche zu. Haftreibung ist die Kraft F H,max, die mindestens benötigt wird, um einen Körper auf einem festen Untergrund aus der Ruhe in Bewegung zu setzen. Gleitreibung ist die Kraft F GR, die zur Erhaltung der gleichförmigen Bewegung notwendig ist. F Haft > F Gleit
Impuls Der Impuls (Bewegungsmenge) beschreibt die Bewegung eines massebehafteten Körpers. Anschaulich entspricht der Impuls ungefähr der Wucht, die beispielsweise bei einem Verkehrsunfall zwischen LKW und PKW zu Tage tritt. p = m v Der Impuls ist eine Vektorgröße, hat also einen Betrag und weist in die Richtung der Bewegung. Die SI-Einheit des Impulses ist der kgm/s. Formelzeichen: p
Impulserhaltung Die besondere Bedeutung liegt darin, dass der Impuls eine Erhaltungsgröße ist. p = m v Jeder bewegliche Körper kann seinen Impuls, etwa bei einem Stoßvorgang, ganz oder teilweise auf andere Körper übertragen oder von anderen Körpern übernehmen.
Grundgesetze der Dynamik Newtonsche Gesetze N1: Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Bewegungszustands gezwungen wird. N2: Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt. N3: Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio). N4: Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfte F 1, F 2, F 3,,F n, so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft F ges = F 1 +F 2 +F 3 + +F n auf.
Die mechanische Arbeit Arbeit W wird verrichtet, wenn eine Kraft F entlang eines Weges r auf einen Körper wirkt. Arbeit ist im einfachsten Fall das Produkt aus der in Wegrichtung wirkenden konstanten Kraft und der Wegstrecke. W = F r =F s cosα F α Fcosα r Die SI-Einheit der Arbeit ist das Joule, J. Formelzeichen: W
Die mechanische Arbeit W = F r =F r cosα F α Fcosα r Für Kräfte, die sich entlang des Weges ändern: B W F( s) s F( s) ds AB A B A F(s)ds
Mechanische Arbeit und Energie Arbeit ist mechanisch übertragene Energie in diesem Zusammenhang spricht man auch von der Energie als gespeicherte Arbeit. Energie eines Systems ist die Fähigkeit Arbeit zu verrichten. Die SI-Einheit der Energie ist das Joule, J. Formelzeichen: E
Die kinetische und potentielle Energie Die potentielle Energie: Potentielle Energie E Pot, auch Lageenergie genannt, kommt einem Körper durch seine Lage in einem Kraftfeld zu. In einem Gravitationsfeld ist sie proportional zu der Masse m des Körpers der Gravitationsbeschleunigung g der Höhe h über dem Ursprung des Koordinatensystems Die kinetische Energie: Die kinetische Energie E kin ist diejenige Energie, die dem Bewegungszustand eines Körpers innewohnt. m E pot = m g h v E kin =1/2mv 2
Energieerhaltungssatz die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems ändert sich nicht mit der Zeit. Energie kann zwischen verschiedenen Energieformen umgewandelt werden, beispielsweise von Bewegungsenergie in Wärme. : Die Energie ist eine Erhaltungsgröße. Für die Mechanik bedeutet es: E kin + E pot = const
Leistung Die Leistung P ist der Quotient aus verrichteter Arbeit ΔW oder dafür aufgewendeter Energie ΔE und der dazu benötigte Zeit Δt : ΔW = FΔ s ΔW Walker = ΔW Beam Δt Walker = 4Δt Beam 4 P Walker = P Beam Die SI-Einheit der Leistung ist das Watt. Formelzeichen: P
Drehbewegung: Zentrifugalkraft Auf einem mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Massenpunkt der Masse m der sich in einem Abstand r von der Drehachse sich befindet, wirkt eine Zentrifugalkraft F = m ω 2 r F ist stets von der Drehachse weg, nach außen gerichtet. Dies ist ein Spezialfall der allgemeinen Trägheitskraft. Die Zentrifugalbeschleunigung ω 2 r eines Körpers ist vom Abstand r des Körpers von der Drehachse und von der Winkelgeschwindigkeit ω abhängig. Sie steigt linear mit dem Abstand von der Drehachse. Außerdem steigt sie quadratisch mit der Winkelgeschwindigkeit oder der Drehzahl.
Das Trennen in der Zentrifuge Zentrifugen nutzen die Massenträgheit im Zentrifugiergutraum zur Stofftrennung. Partikel oder Medien mit höherer Dichte wandern aufgrund der höheren Trägheit nach außen. Dabei verdrängen sie die Bestandteile mit niedrigerer Dichte, die hierdurch zur Mitte gelangen. Der Prozess ist gegenüber der Sedimentation durch die Schwerkraft wesentlich schneller oder wird überhaupt erst möglich.
Das Trennen in der Zentrifuge Die Beschleunigung a ist von der Dichte der Stoffe unabhängig. Jedoch ist die Zentrifugalkraft umso größer, je höher die Dichte des Stoffs ist. Die Stofftrennung erfolgt aufgrund der Dichteunterschiede.
Einfache Mechanische Maschinen Unter einfacher Maschine versteht man in der Technischen Mechanik eine Vorrichtung, welche Ansatzpunkt, Richtung oder Größe einer Kraft verändert, um die vorhandene Kraft möglichst zweckmäßig zur Verrichtung von Arbeit einzusetzen. Bis heute besteht praktisch jede mechanische Maschine aus einer Kombination von einfachen Maschinen.
Drehmoment M = r F sinφ d = r sinφ (d = Wirksamer Hebelarm) M = F d Hier im Beispiel nur ein Rotationsfreiheitsgrad!!! Keine Translationsfreiheitsgrade! Das Drehmoment spielt für Drehbewegungen die gleiche Rolle wie die Kraft für die geradlinige Bewegung. Ein Drehmoment kann die Rotation eines Körpers beschleunigen oder bremsen. Die SI-Einheit des Drehmoments ist das Nm. Formelzeichen: M
Einfache mechanische Maschinen Die zentrale physikalische Größe, die zur Beschreibung eines Hebels benötigt wird, ist das Drehmoment. Der Betrag des Drehmoments ist proportional zum Kraft- bzw. Hebelarm. Mit einem großen Hebelarm kann daher mit einer kleinen Kraft eine großes Drehmoment ausgeübt werden. Der Hebel
Einfache mechanische Maschinen Mit einer losen Rolle lässt sich eine Last mit dem halben Kraftaufwand heben. Die Länge des über die Rolle zu ziehenden Seils ist dabei doppelt so lang wie der Hubweg. Der Umlenkrolle
Einfache mechanische Maschinen Die schiefe Ebene
Einfache mechanische Maschinen Die Schraube, Presse
Einfache mechanische Maschinen Der Keil Das mechanische Prinzip eines Keiles geht auf das Prinzip der schiefen Ebene zurück Die in Richtung der Keilspitze bzw. der Schneide wirkende Kraft wird danach neben der vorwärtsgerichteten Kraft auch in eine im rechten Winkel dazu wirkende Teilkraft zerlegt.
Zusammenfassung Einleitung Beschreibung von Bewegungen, Kinematik Kräfte und ihre Wirkung, Dynamik Mechanik starrer Körper Einfache mechanische Maschinen
Literatur Vorlesungsskript (http://www3.szote.u-szeged.hu/dmi/ger/) Lehrbücher über Mechanik Internet
Übung für Seminartests in Physik Die Teilnahme an den Übungen für Seminartests wird dringend empfohlen. Sie ist aber freiwillig. Mittwochs 18:00 19:30; Hetényi Géza Vorlesungssaal, 1. Internistische Klinik (1. Belgyógyászati klinika) Straße: Korányi fasor 8-10., Stadt: 6720 Szeged Start, dieser Woche 14.09.2016 mit den Gruppen: 3, 4, 6, 8, 10.