Mathemathik-Prüfungen

M. Arend Stand Juni 2005 Seite 1 1980: Mathemathik-Prüfungen 1980-2005 1. Eine zur y-achse symmetrische Parabel 4.Ordnung geht durch P 1 (0 4) und hat in P 2 (-1 1) einen Wendepunkt. 2. Diskutieren Sie f(x) = (x-1)(x+2) 2 und zeichnen Sie den Graph und die Wendetangente. 3. f(x)= 1/6 x 3 + 1/2 x 2 + 1/2 ; D = R ; a) Weisen Sie Rechts- bzw. Linkskrümmung nach b) Berechnen Sie die Gleichung der Wendetangente. 4. Berechnen Sie von zwei stetigen Funktionen f(x) = 1/2 x 3-2x und g(x) = - x 3 + x die Schnittwinkel! 5. Berechnen Sie die Fläche zwischen den Graphen f(x) = x 2-2x + 2 und g(x) = x + 2! 1981: 1. Trigonometrie 6 Punkte 2. Gegeben ist f(x) = x 3 + 3x 2-22x - 24 2.1 Gesucht Kurvenpunkte mit m = - 13? 2.2 Tangentengleichung in einem der Punkte aus 2.1? 2.3 Gesucht die Schnittwinkel des Graphen mit der x-achse? Bei x = - 1 ist eine Nullstelle. 7 Punkte 3. Eine zur y-achse symmetrische Parabel 4.Ordnung hat ihren Tiefpunkt in E(0-4). Die Parabel berührt die x-achse bei x = - 2. 5 Punkte 4. f(x) = 1/8 x 4-1/2 x 3 4.1 Symmetrie 4.2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 4.3 Verhalten im Unendlichen 4.4 Extrempunkte 4.5 Wendepunkte 4.6 Graph im Intervall [-1 4] (1 LE 2 cm) 14 Punkte 5. Berechnen Sie die schraffierte Fläche des Graphen der Funktion f(x) = 1/2 x 2 + 1. 8 Punkte

M. Arend Mathematikprüfungen 1980-2005 Seite 2 1982: 1. Trigonometrie 3 Punkte 2. f(x) = - x 3 + 2x 2 + 5x - 6 2.1 Verhalten i. U. 2.2 Achsenabschnitte 2.3 Extremwerte 2.4 Wendestellen 2.5 Graph mit Variationsdiagramm oder mit Wertetabelle für Intervall [-5 5] aus Z 8 Punkte 3. Bestimmen Sie die Funktion 4. Grades, die symmetrisch zur y - Achse ist und deren Maximum in M(0 4) liegt. Die Funktion schneidet die x-achse in x = 2 und in x = - 1. Berechnen Sie die Fläche, die die Funktion mit der x-achse einschließt. 5 Punkte 4. Bestimmen Sie die Fläche, die die Funktion f(x) = x 3-3x mit ihrer Tangente an den Hochpunkt einschließt. 4 Punkte 1983: 1. Trigonometrie 7 Punkte 2. f(x) = - 1/3 x 3 + 3x 2-8x + 20/3 eine Nullstelle bei N 1 (2 0) 2.1 weitere Nullstellen 2.2 Weisen Sie rechnerisch nach, daß P 1 (4 f[4]) ein Hochpunkt ist! 2.3 Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes! 2.4 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente, die den Graph der Funktion in P 2 (1/2 f[1/2]) berührt 3. Ganzrationale Funktion 4.Grades symmetrisch zur y-achse, hat in P(-1 4) einen Wendepunkt, dessen Tangente durch den Koordinatenursprung geht. 8 Punkte 4. f(x) = - 1/2 (x 2-4)(x - 2) 4.1 Nullstellen 4.2 Schnittwinkel des Graphen mit der x-achse 4.3 Berechnen Sie den Betrag der Fläche, die der Graph mit der x-achse einschließt. 8 Pkte 5. Berechnen Sie den Betrag der Fläche, die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossen wird. f(x) = 1/2 x 2-3x und g(x) = - 3/2 x + 2 7 Punkte 1984: 1. f(x) = 1/4 x 4 - x 3 + 4x - 4 a) Ordinatenschnittpunkt b) Verhalten i.u. c) Symmetrie d) Nullstellen e) Extremwerte f) Wendepunkte g) Wertetabelle im Intervall [-5 5] oder Variationsdiagramm 22 Punkte 2. a) Unter welchen Winkeln schneidet f(x) = - 1/4 (x 3-6x 2 ) die Abszissenachse? 4 Punkte b) Berechnen Sie die Gleichung der Wendetangente von f! 5 Punkte 3. Funktion 3.Grades,die die Abszissenachse im Ursprung berührt, und den Wendepunkt W(-2 6) hat? 6 Punkte

M. Arend Mathematikprüfungen 1980-2005 Seite 3 4. Berechnen Sie die schraffierte Fläche des Graphen der Funktion f(x) = 2 x 2-3! 6 Punkte 5. Trigonometrie 7 Punkte 1985: 1. f(x) = - 1/2 x 4-1/3 x 3 + 3 x 2 19 Punkte 1.1 Symmetrie 1.2 Nullstellen 1.3 Extrema und Wendepunkte 1.4 Gleichungen der Wendetangenten 1.5 Verhalten i.u. 1.6 Berechnen Sie f(x) für [-3;-2,5;-0,5;0,5;2,5]; auf 2 Stellen hinterm Komma runden 1.7 Zeichnen Sie den Graph im Intervall [-3 2,5] : x-achse 1 LE 2cm; y-achse 1 LE 1cm 2. Funktion 3.Grades schneidet die x-achse bei x 1 = -2. Wendepunkt liegt auf der y-achse. Wendetangente hat die Gleichung g(x) = 1/3 x + 2 6 Punkte 3. f(x) = x 4-6 x 2 + 8 x - 3 7 Punkte 3.1 Weisen Sie rechnerisch nach, daß die Funktion den Sattelpunkt S(1 0) hat. 3.2 Berechnen Sie den Betrag der Fläche, die der Graph mit der x-achse einschließt! 4. f(x) = - 1/12 x 3-1/2 x 2 4.1 Für welche x aus R ist der Graph rechtsgekrümmt? 2 Pkte 4.2 Die Gerade g(x) = - 3 x - 18 berührt den Graph in P(-6 0). Berechnen Sie den Betrag der Fläche, die vom Graph der Funktion f und der Geraden g eingeschlossen wird. 6 Pkte 1986: 1. f(x) = 1/5 x 4-7/5 x 2 + 2 14 Punkte 1.1 Symmetrie 1.2 Verhalten i.u. 1.3 Schnittpunkte mit den Achsen 1.4 Extrempunkte 1.5 Wendepunkte 1.6 Gleichung der Normalen im Punkt P(2 f[2]) 1.7 Graph 1 LE 2,5 cm 2. Funktion 3.Grades geht durch den Ursprung und hat den Wendepunkt P(2-4). Die Wendetangente schneidet die x-achse in Q(4 0). 8 Punkte 3. f(x) = x 3-5 x 2-4 x + 20 3.1 Nullstellen 3.2 Schnittwinkel mit der x-achse 3.3 Berechnen Sie die Fläche, die der Graph mit der x-achse einschließt. 4. Berechnen Sie den Flächeninhalt, der vom Graphen der Funktion f mit der Gleichung f(x) = 1/36 x 3-1/6 x 2 und seiner Tangente im Punkt P(4 f[4]) eingeschlossen wird. 8 P. 1987:

M. Arend Mathematikprüfungen 1980-2005 Seite 4 1. f(x) = 1/12 x 4 - x 3 + 4 x 2-20/3 x + 4 16 Punkte 1.1 Symmetrie 1.2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 1.3 Bestimmen Sie Hoch -, Tief -, Wende - und Sattelpunkte (soweit vorhanden) 1.4 Gleichung der Wendetangente 1.5 Verhalten i.u. 1.6 Bestimmen Sie die Funktionswerte für x = { - 0,5; 1; 3; 5,5; 6,5; 6,75 } (runden auf 2 Stellen hinter dem Komma ) 1.7 Graph im Intervall [-0,5 6,75] und Graph der Wendetangente 1 LE 1 cm 2. f(x) = x 3-2 x und g(x) = 1/2 x 2 + 2 12 Punkte 2.1 Berechnen Sie die Nullstellen und die Extrema von f. 2.2 Weisen Sie rechnerisch nach, daß sich die beiden Funktionsgraphen nur in einem Punkt schneiden, und bestimmen Sie den Schnittpunkt. 2.3 Skizzieren Sie die beiden Graphen. 2.4 Berechnen Sie die Summe aller Flächenbeiträge, die der Graph von f mit der x-achse einschließt. 2.5 Berechnen Sie die Fläche, die von beiden Graphen und der y-achse eingeschlossen werden. 3. Funktion 4.Grades hat in x 1 = - 1 einen Hochpunkt, in x 2 = 1 einen Sattelpunkt und schneidet die y-achse in S y (0 4). Die Tangente an den Graphen in S y bildet mit der x-achse einen Winkel von 135. 7 Punkte 4. Bestimmen Sie die Menge aller b R, für die gilt: b ( x 3 3 x) dx= 0 5 Punkte 2 1988: 1. f(x) = - 1/2 x 3 + 3/2 x + 1 15 Punkte 1.1 Definitionsmenge 1.2 Ordinatenschnittpunkt 1.3 Symmetrie 1.4 Verhalten i.u. 1.5 Nullstellen 1.6 Extremwerte 1.7 Wendepunkte 1.8 Wendetangente 1.9 Funktionswerte :[ -2,5;-0,5; 0,25;3] 1.10 Skizze in [-3;3] mit 1 LE 1 cm 1.11 Fläche zwischen f(x) und x-achse im Bereich -1 x 3. 2. Gegeben sind h(x) = 1/2 x 2 + 1/2 x - 1 sowie g(x) = - 1/2 x + 3 und k(x) = ax - 5 2.1 Berechnen Sie den Winkel, unter dem sich h(x) und g(x) im 1. Quadranten des Koordinatensystems schneiden! 2.2 Bestimmen Sie von k(x) = ax - 5 das a so, daß sich h(x) und k(x) an der Stelle x = 1 schneiden! 4,5 Punkte 3. Ganzrationale Funktion 3. Grades, die die Ordinatenachse bei 10 schneidet und in P(-2-8) eine waagerechte Tangente hat. Diese Tangente schneidet die Funktion an der Stelle x = 3. 5,5 Pkte 4. Berechnen Sie die Fläche, die eingeschlossen wird von: f(x) = x 4-13x 2 + 36 und g(x) = - 5x 2 + 20 5 Punkte 1989: 1. Diskutieren Sie die Funktion f (x) = 2/3 X 3 - x 2-4x + 15 1.1 Definitionsbereich (0,5) 1.2 Symmetrie (0,5) 1.3 V.i.U. (1) 1.4 Ordinatenschnittpunkt (0,5) 1.5 Nullstellen (2) 1.6 Extrema (2) 1.7 Wendepunkte (1) 1.8 Geben Sie an, wo Rechtskrümmung vorliegt (1,5) 1.9 Funktionswerte von x = -4;x = 3; x = 4 (1,5) 1.10 Graph im Intervall [-4;4] mit LE x-achse 1 LE = 1 cm ; y-achse 1 LE = 1 cm (1,5) Σ 12 P. 2. Gegeben ist f (x) = - 1/2 x 3 + 9/2 x 2-12 x + 13 2.1 Bestimmen sie das Integral in den Grenzen 2 bis 4. 3 Punkte 2.2 Welchen Winkel α schließt die Tangente an die Kurve durch P(3 f(3)) mit der x-achse ein (0 α 360 ) 2 Punkte

M. Arend Mathematikprüfungen 1980-2005 Seite 5 3. Ermitteln Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, die symmetrisch zur y-achse ist, die Parabel p(x) = 3(x-2) 2-1 in deren Scheitelpunkt berührt und bei x = 1 eine Nullstelle hat. 6,5 Punkte 4. Gegeben ist die Funktionsgleichung h (x) = x 3-12x 2 + 37x und die Kurvenpunkte A(1 26) und B(4 20). 4.1 Geben Sie die mittlere Steigung von h(x) zwischen A und B an! 1 Punkt 4.2 Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden, die durch A und B geht! 0,5 Punkte 4.3 Berechnen Sie die Fläche, die h(x) mit g(x) = - 2x + 28 einschließt! 5 Punkte 1990: 1. Diskutieren Sie die Funktion f(x) = 1/4 x 4 - x 3 + 4x - 4 1.1 Symmetrie 1.2 Verhalten im Unendlichen 1.3 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 1.4 Hoch-, Tief-, Sattel- und Wendepunkte 1.5 Funktionswerte an den Stellen x= -2,5 ; 1 ; 3 ; 4 1.6 Skizze in [-2,5; 4] mit den Maßstäben: x-achse 1LE = 1 cm y-achse 2LE = 1 cm (12,5 Pkte) 2. Der Graph einer Funktion 3. Grades berührt die x-achse im Ursprung des Koordinatensystems. Die Tangente in der weiteren Nullstelle hat die Funktionsgleichung t(x) = -x+3. Stellen Sie die Funktionsgleichung auf. (4,5 Punkte) 3. 3.1 Berechnen Sie die Fläche, die die Graphen von f(x) = 1/8 x 2 und g(x) = x miteinander einschließen. 3.2 Unter welchem Winkel schneiden sich die Tangenten der Funktionen f und g im Punkt P (4 f(4))? (6 Punkte) 4. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 3-6x 2 +9x (7 Punkte) 4.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion und fertigen Sie eine Skizze an. 4.2 Berechnen Sie die Abszissenwerte der Schnittpunkte der Funktion f mit der Ursprungsgeraden g(x) = mx. 4.3 Geben Sie an, für welche Steigungen m die Funktionen f und g drei verschiedene Schnittpunkte haben. 4.4 Zeigen Sie, daß die 1. Winkelhalbierende vom Graphen der Funktion f zwei gleichgroße Stücke abschneidet. 1991: 1. Untersuchen Sie f(x) = 3x 4-20x 3 + 42x 2-36x + 27 1.1 Einfache Symmetrie 1.2 Verhalten im Unendlichen 1.3 Ordinatenschnittpunkt 1.4 Nullstellen 1.5 Relative Extrempunkte 1.6 Wendepunkte und Sattelpunkte soweit vorhanden 1.7 Skizze des Graphen 1.8 Gleichung der Tangente im Punkt P (2 f[2]) 14 Punkte 2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades, die in P (0 1) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente besitzt. Außerdem berührt ihr Graph die Gerade mit der Funktionsgleichung y = 3x - 1. 6 Punkte 3. Gegeben ist die Funktion f(x) = 1/30 x 4-9/10 x 2 + 5/3 3.1 Bestimmen Sie die Winkel, unter welchen die Kurve die x-achse schneidet. 3.2 Berechnen Sie den Betrag der Fläche, die der Graph der Funktion mit der x-achse einschließt. 4. Gegeben ist die Funktion f(x) = - 1/16 x 3 + 3x 4.1 Bestimmen Sie die Gleichung der Verbindungssehne zwischen den relativen Extrempunkten. 4.2 Berechnen Sie die Fläche, die der Graph der Funktion mit der Geraden mit der Gleichung y - 0,75 x = 0 einschließt.

M. Arend Mathematikprüfungen 1980-2005 Seite 6 1992: 1. Diskutieren Sie die Funktion f mit der Gleichung: f(x) = - 1 8 x 4 + 3 2 x 3-6 x 2 + 10 x - 6 1.1 Symmetrie (1 P.); 1.2 Verhalten im Unendlichen (1 P.);1.3 Ordinatenschnittpunkt (1 P.); 1.4 Nullstellen (2 P.); 1.5 Extrempunkte (3 P.); 1.6 Wendepunkte (2 P.); 1.7 Wertetabelle und Skizze von f(x) für x = 0 bis x = 6 und für den Einzelwert x= 6,5 (2 P.) 1.8 Bestimmen Sie die Tangente im einfachen Wendepunkt (2 P.) 14 Punkte 3 2 2. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung: f(x) = x - 3 x - 6 x + 8 3 2 x 4x Bestimmen Sie die Definitionsmenge (2 P.), das Verhalten im Unendlichen (2 P.), Pole und Lücken (2 P.) und die Nullstellen (2 P.). 8 Punkte 3. Berechnen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, die im Ordinaten-schnittpunkt y = - 5 einen Wendepunkt besitzt. Bei x = - 1 berührt die Kurve die x - Achse und hat bei x = 1 die Steigung m = - 120. 8 Punkte 4. Berechnen Sie die schraffierten Flächen aus der nachfolgenden Abbildung! Die beiden Funktionen haben die Gleichungen: f(x) = 1,5 x 2 und g(x) = 0,25 x 3-4x 1993: 4 3 2 1 1 1 1. Diskutieren Sie f(x)= x + x x 1.1 Symmetrie 1.2 V.i.U. 1.3 Ordinatenschnittpunkt 1.4 32 4 2 Nullstellen 1.5 Extrempunkte 1.6 Wendepunkte 1.7 Bereiche der Linkskrümmung 1.8 Wertetabelle für x { -2; -1; 5; 6 }1.9 Graph mit Maßstab 1LE 2 cm 14 Punkte 2. Gegeben ist f(x) = x 4 + 8 x 3 + 18 x 2 : 2.1 Wendetangente 2.2 Ermitteln Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel zwischen f(x) und der Wendetangente für x < - 3. 8 Punkte 3. Der Graph einer Funktion 4. Grades berührt bei x = - 2 eine Parallele zur x-achse und schneidet die Ordinate bei 1/2. Die Wendetangente des Wendepunktes ( - 1 8/3 ) schneidet die x-achse im Ursprung. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x). 8 Punkte

M. Arend Mathematikprüfungen 1980-2005 Seite 7 4. f(x) = 0,25 x 3 + 1,5 x 2 und g(x) = m x + 6 : 4.1 Bestimmen Sie m so, daß ein Schnittpunkt der Funktionsgraphen im Wendepunkt der Funktion f(x) liegt. 4.2 Bestimmen Sie die weiteren Schnittpunkte und ermitteln Sie die eingeschlossene Fläche zwischen den Funktionsgraphen. 4.3 Bestimmen Sie die Intervallgrenze b > 0 des Intervalls [ - 2; b ] so, daß die Fläche zwischen den Graphen von f(x) und der x-achse 8 FE beträgt. 1994: 1. Diskutieren Sie die Funktion f(x) = - x 3 + 8 x 2-5 x - 14 1.1 Symmetrie; 1.2 V. i. U., 1.3 OSP., 1.4 NST., 1.5 Extrema, 1.6 Wendepkt., 1.7 Skizze, 1.8 Tangente in x o = 1 14 Punkte. 2. Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 4. Grades, die in P(1,1) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente hat und die x-achse bei x = 3 berührt. 6 Punkte 2x 3 17x 2 + 19x+ 14 3. fx ( )= 4x 2 3.1 Definitionsbereich, 3.2 V.i.U. 14x 8 3.3 Art der Unstetigkeitsstellen, 3.4 Nullstellen 8 Punkte 4. f(x) = 1/6 x 3 - x 2 4.1 Fläche zwischen f(x) und der x-achse 4.2 Fläche, die der Graph von f(x) mit der Geraden, die den Ursprung mit dem Tiefpunkt des Graphen von f(x) verbindet, einschließt. 12 Punkte 1995: 1. Diskutieren Sie die Funktion f(x) = - 0,25 x 4-2,5 x 3-6,25 x 2 + 9 1.1 Symmetrie; 1.2 V. i.u.; 1.3 OSP.; 1.4 NST. ; 1.5 Extrema; 1.6 Wendpkt.; 1.7 Skizze; 1.8 Gleichung der Tangente in der NST, die im Intervall ] - 3; - 1] liegt! 14 Punkte 2. Eine ganzrationale Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-achse und hat im Wendepunkt W( 3 /2 f [ 3 /2]) eine Tangente mit der Gleichung y = 3 x - 1,5. 7 Punkte 3. Eine Funktion f(x) hat die erste Ableitung f (x) = 4 x 3-15 x 2 + 12 x + 4 9 Punkte 3.1 Wie lautet die dazugehörige Funktionsgleichung f(x), wenn der Funktionsgraph eine Nullstelle an der Stelle x = 2 hat? 3.2 Bestimmen Sie die Monotonie-Intervalle der Funktion und geben Sie jeweils an, ob der Graph monoton steigt oder fällt! 3.3 Berechnen Sie die Fläche, die der Funktionsgraph mit der x-achse einschließt! f(x) 4. Nebenstehend ist der Graph der Funktion f(x) = x 3-6 x 2 y + 9x dargestellt. (Die Skizze ist nicht maßstäblich!) 4.1 Zeigen Sie g(x) = x ist die Gleichung der Ursprungsgeraden durch den Wendepunkt! x 4.2 Bestimmen Sie den Schnittwinkel dieser Geraden mit dem Funktionsgraphen im Wendepunkt! 4.3 Berechnen Sie die in der nebenstehenden Skizze markierte Fläche A 1! y g(x) f(x) 4.4 Berechnen Sie die in der nebenstehenden Skizze markierte Fläche A2! W A 2 A 1 x

M. Arend Mathematikprüfungen 1980-2005 Seite 8 1996: 1. Untersuchen Sie die Funktion f(x) = 1 3 x 4 + 8 3 x 3 + 6 x 2-9: 1.1 einfache Symmetrie 1.2 V. i. U. 1.3 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 1.4 Relative Extrempunkte 1.5 Wende - und Sattelpunkte 1.6 Tangentengleichung in x 0 = - 2 1.7 Graph der Funktion 14 Punkte 2. Eine Parabel 4. Grades schneidet die x-achse bei x = - 1 mit der Steigung m = 24. Auf der Ordinate ändert sie ihr Krümmungsverhalten und besitzt dort die Tangente mit der Gleichung f(x) = - 6 x + 3. Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung 7 Punkte x 3 x 2 + 6x 3. f(x) = 2x 3 5x 2 Bestimmen Sie: + 9x 18 3.1 Definitionsmenge 3.2 V. i. U. 3.3 Nullstellen 3.4 Pole und Lücken 3.5 Grenzwert an der Lücke im Bereich x < - 2! 9 Punkte 4. In der nachfolgenden Abbildung sind die Graphen f(x) = x 3-9 x und g(x) = - x 2 + 9 abgebildet. (Skizze ist nicht maßstäblich!) 1997: 4.1 Bestimmen Sie den Schnittwinkel beider Funktionsgraphen im Punkt B! 4.2 Berechnen Sie die markierten Flächen A 1 und A 2! 1. Untersuchen Sie die Funktion f(x) = 1 8 x 4-5 4 x 2 + 9 8 1.1 Definitionsmenge 1.2 Symmetrie 1.3 Ordinatenschnittpunkt 1.4 V. i. U. 1.5 Nullstellen 1.6 Extremwerte 1.7 Wendepunkte 1.8 Skizze mit 1 LE = 2 cm 12 Punkte x 2 - x - 2 2. Berechnen Sie die Funktion f(x) = x 2-5 x + 6 a) Definitionsmenge b) Nullstellen, Pole, Lücken c) Ordinatenschnittpunkt d) Verhalten im Unendlichen e) Verhalten an der Stelle x 0 = 3 8 Punkte 3. Berechnen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, welche bei P(4 f(4) ) einen Wendepunkt mit der Tangentengleichung y T = - 3 x + 16 hat. Der Graph der Funktion schneidet bei x 0 = 6 die x-achse. 7 Punkte 4. Berechnen Sie die Fläche zwischen f(x) = x 3-4 x 2-5 x + 24 und h(x) = - 2 x 2 + 18 8 Punkte 5. f(x) = - x 3-3 x 2-6 x - 4 a) Weisen Sie nach, daß bei x 1 = - 1 eine Nullstelle ist. b) Berechnen Sie die Gleichung der Wendetangente. c) Unter welchem Winkel schneidet die Gerade g(x) = - 3 x - 3 die x-achse? d) Untersuchen Sie f(x) auf Linkskrümmung 5 Punkte

M. Arend Mathematikprüfungen 1980-2005 Seite 9 1998: 1. Diskutieren Sie die Funktion f(x)= 3 8 x4 - x 3-3 4 x2 + 3 x - 13 8 1.1 Symmetrie 1.2 Verhalten im Unendlichen 1.3 Ordinatenschnittpunkt 1.4 Nullstellen 1.5 Extrempunkte 1.6 Wendepunkte 1.7 Skizze von x = - 2 bis x = 3 ( x - Achse 1LE 2 cm y-achse 1LE 1 cm) 1.8 Bestimmen Sie die Tangente, die bei x = - 2 die Funktion berührt. 13 Punkte 2. Bestimmen Sie von der Funktion: f(x) = x2-2 x + 1 x 2-1 2.1 Definitionsmenge in 2.2 Nullstellen, Pole, Lücken 2.3 Verhalten an einer Polstelle 2.4 Asymptote, Verhalten im Unendlichen 2.5 Ordinatenschnittpunkt 7 Punkte 3. Berechnen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, die im Ordinatenschnittpunkt y = 5 einen Wendepunkt besitzt. In x = - 0,5 hat sie die Steigung m = 7,5. Bei x = -1 berührt die Kurve die x Achse. 8 Punkte 4. Gegeben ist die Funktion: f(x)= 1 4 x3 - x 2-3 x a) An welchen Kurvenpunkten ist die Steigung der Funktion f gleich 1? b) Berechnen Sie die Schnittwinkel mit der x - Achse. c) Für welche x ist die Kurve rechtsgekrümmt? 6 Punkte 5. Berechnen Sie die Fläche, die von der Funktion f(x)= - 1 3 x3 + 2 x und der Normalen im Wendepunkt von f(x) begrenzt wird. 6 Punkte 1999: 1. Diskutieren Sie die Funktion f(x)= - 1 4 x4 + 9 4 x2 + x - 3 1.1 Symmetrie 1.2 Verhalten im Unendlichen 1.3 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 1.4 Extremwerte 1.5 Wendepunkte 1.6 Skizze von x = - 3 bis x = 3,5 (1 LE = 1 cm) 1.7 Für welche Werte von x ist f(x) rechtsgekrümmt? 17 Punkte 2x 2. Bestimmen Sie von der Funktion f(x) = 3-2 x x 2-3 x + 2 2.1 Definitionsmenge in 2.2 Nullstellen 2.3 Symmetrie (Zähler und Nenner symmetrisch?) 2.4 Definitionslücken (Pole, Lücken) 2.5 Verhalten an den Definitionslücken 2.6 Grenzfunktion = Asymptote 2.7 Verhalten im Unendlichen 3. Der Graph G f einer ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft symmetrisch zur Ordinatenachse und schneidet die Abszissenachse im Punkt N(3 0). Die Tangente an den Graph G f im Punkt P(1 4) ist parallel zur Geraden mit der Gleichung 3x - y = 0. 8 Punkte 4. Gegeben sind die beiden Funktionen f(x)= 1 2 x3 - x und g(x)= 1 4 x2 + 1 4.1 Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich die beiden Funktionsgraphen nur in einem Punkt schneiden und berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen f(x) und g(x) in diesem Punkt. 4.2 Berechnen Sie die Fläche, die der Graph von f(x) mit der x-achse einschließt. 4.3 Berechnen Sie die Fläche, die von der y-achse und den beiden Funktionsgraphen eingeschlossen wird. 4.4 Die Gerade h(x) = a schließt mit dem Graphen der Funktion g(x) eine Flache von 64 3 FE ein. Berechnen Sie a! 15 Punkte

M. Arend Mathematikprüfungen 1980-2005 Seite 10 2000: 1. Diskutieren Sie die Funktion f(x)= - 1 4 x4 + 2 x 2 + 9 4 1.1 Symmetrie 1.2 Verhalten im Unendlichen 1.3 Ordinatenschnitt 1.4 Nullstellen 1.5 Extremwerte 1.6 Wendepunkte 1.7 Graph von x = - 3,5 bis x = 3,5 (1 LE = 1 cm) 1.8 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt P(1 f(1) ). 14 Punkte 2. Bestimmen Sie von der Funktion f(x) = x3-4 x 2 + x + 6 6 x 2-54 2.1 Definitionsmenge in 2.2 Nullstellen, Pole, Lücken 2.3Ordinatenschnittpunkt 2.4 Verhalten im Unendlichen 2.5 Verhalten an der Polstelle 2.6 Asymptotengleichung 9 Punkte 3. Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x) einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, deren Wendepunkt auf der Ordinate bei y 0 = - 4 liegt. Die dazu gehörige Wendetangente schneidet die x-achse an der Stelle x 1 = 1. Eine zur Wendetangente parallele Gerade berührt den Funktionsgraphen von f im Punkt P(3 1,25 ). 7 Punkte 4. Gegeben sind die beiden Funktionen f(x)= - 1 12 x3 + 1 2 x2 und g(x)= - 3 4 x + 9 2 4.1 Berechnen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt P(3 f(3) ). 4.2 Berechnen Sie die Fläche, die diese Tangente mit dem Graphen von f einschließt. 4.3 Berechnen Sie die Fläche zwischen den Graphen von f und g im Intervall [-3;4]. 4.4 Ermitteln Sie den Schnittwinkel zwischen den Graphen von f und g im Punkt P(3 f(3) ). 2001: 12 Punkte 2. Eine ganzrationale Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-achse und hat in ( - 1l - 2) einen Wendepunkt. Die zugehörige Wendetangente geht durch den Ursprung. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung. 6,5 Punkte 3. Bestimmen Sie von der Funktion f(x) = x4-10 x 2 + 9 3 x 2 + 3 x - 6 3.1 maximale Definitionsmenge 3.2 Nullstellen 3.3 Pole, Lücken 3.4 Verhalten an der Lücke 3.5 Gleichung der Grenzfunktion 3.6 Verhalten im Unendlichen 9 Punkte 4. Gegeben sind die beiden Funktionen f(x)= - 1 9 x4 + x 3-3 x 2 + 3 x und g(x)= x 2-3 x 4.1 Weisen Sie nach, dass die Funktion f eine Sattelpunkt hat. 4.2 Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x- Achse. 4.3 Berechnen Sie die Fläche zwischen den Graphen von f und g. 4.4 Berechnen Sie die Inhalte der Flächen zwischen der y- Achse, dem Graphen von g und der 2002 Geraden mit der Gleichung y = - 9 4. 12,5 Punkte 1. Diskutieren Sie die Funktion f(x) = 1 12 x4 1 6 x3 x 2 x 1.1 Symmetrie 1.2 Verhalten im Unendlichen 1.3 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 1.4 Extrempunkte 1.5 Wendepunkte 1.6 das Krümmungsverhalten! 1.7 Graph im Intervall [ - 3,5; 5 ] (1LE = 1 cm)! 2. Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung: f(x) = 2x3 - x 2-8x + 4 4 x 2 + 10x - 6 14 Punkte

M. Arend Mathematikprüfungen 1980-2005 Seite 11 2003 Bestimmen Sie: 2.1 den größtmöglichen Definitionsbereich in 2.2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 2.3 die Art der Definitionslücken und das Verhalten an den Definitionslücken 2.4 die Gleichung der Grenzfunktion (Asymptote) und das Verhalten im Unendlichen! 3. Der Graph einer Funktion 4. Grades hat in P ( 2 4 ) einen Hochpunkt und im Ursprung des Koordinatensystems einen Wendepunkt mit der Tangentengleichung t(x) = x. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung! 6 Punkte 4. Gegeben sind die Funktionen mit den Gleichungen: f(x) = x 3 + 2 x 2-3x + 5 und g(x) = 3x 2 + 2x - 1 4. 1 Die Graphen f und g schneiden sich in S( -2 7 ). Berechnen Sie den Schnittwinkel! 4.2 Berechnen Sie die Fläche, die vom Graphen g, der x-achse und den Geraden mit den Gleichungen x = 2 und x = 2 eingeschlossen wird! 4.3 Berechnen Sie die Fläche zwischen den Graphen von f und g! 1. Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung: f(x)= 3 2 x4 + x 3-9 2 x2 + 2 x 1.1 Bestimmen Sie: a) Symmetrie b) Verhalten im Unendlichen c) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen d) Extrempunkte e) Wendepunkte 1.2 Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [-2,5 ; 1,5], (LE= 1 cm) 1.3 Ermitteln Sie die Steigung unter der die Funktion die x-achse im Intervall [ -1; 0] schneidet! 1.4 Berechnen Sie die Gleichung der Sekante (Gerade) durch den Hochpunkt des Graphen und den Punkt P ( 1 f(1))! 14 Punkte 2. Eine Parabel 3. Grades besitzt eine Doppelnullstelle bei x = - 3 und einen Wendepunkt an der Stelle x 2 = 1. Parallel zur Wendetangente verläuft eine Gerade mit der Gleichung g(x) =- 12x + 10. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. 6 Punkte 3. Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung: f(x) = 2x3 + 7 x 2-4x - 3 x 2 + 15x - 12 Bestimmen Sie: 3.1 die Definitionsmenge 3.2 die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 3.3 die Polstelle(n) und Lücke(n) und das Grenzverhalten an diesen Stellen 3.4 die Gleichung der Grenzfunktion (Asymptote) 3.5 das Verhalten im Unendlichen 4. Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung: 1 3 3 9 f ( x) = x x 2 + x 4 8 2 2 4.1 Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f mit der x-achse im Intervall [ 0 ; 8] einschließt! 4.2 Berechnen Sie den Schnittpunkt und Schnittwinkel zwischen den Funktionsgraphen von f und g mit g(x) = 1 2 x - 4 für 2 < x < 6! 4.3 Ermitteln Sie die Fläche zwischen der y-achse, dem Funktionsgraphen von f und der dazugehörigen Wendetangente! 2004 1. Diskutieren Sie die Funktion f(x) = 1 8 x4 x 3 + 9 4 x2 2x + 4 x 1.1 Verhalten im Unendlichen 1.2 Symmetrie 1.3 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 1.4 Lage und Art der Extrempunkte 1.5 Wendepunkte 1.6 das Krümmungsverhalten! 1.7 Graph 1.8 Gleichung der Tangente im Ordinatenschnittpunkt. 15 Punkte

M. Arend Mathematikprüfungen 1980-2005 Seite 12 2. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet die x-achse bei x 1 = 4 und hat an der Stelle x 2 = 3 die Steigung - 2. Die zweite Ableitung hat die Gleichung f (x) = 6x - 8. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f. 6 Punkte 3 2 x 3x 10x + 24 3. Bestimmen Sie für die Funktion f mit der Gleichung: f ( x) = 2 2x + 10x 8 3.1 die Definitionsmenge 3.2 Nullstellen, Pole und Lücken 3.3 das Verhalten an den Definitionslücken 3.4 die Gleichung der Grenzfunktion (Asymptote) 3.5 das Verhalten im Unendlichen 1 3 9 4. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung: f ( x) = x 3x 4.1 In welchen Kurvenpunkten ist die Steigung der Funktion f gleich 3? 4.2 Welchen Inhalt hat die Fläche zwischen dem Graph der Funktion f und der x-achse? 4.3 Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die die Extrempunkte von f miteinander verbindet. 4.3 Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der Geraden mit der Gleichung y = - 2x begrenzt wird! 2005 1. Diskutieren Sie die Funktion f(x) = - 3 4 x4 + 2 x 3 4 x 1.1 Definitionsbereich 1.2 Symmetrie 1.3 Verhalten im Unendlichen 1.4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 1.5 Extrempunkte 1.6 Monotonie 1.7 Wendepunkte 1.7 Graph 11,5 Punkte 2. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung: f(x) = 1 3 x4-4 x 2 + 9 2.1 Bestimmen Sie den faktorisierten Funktionsterm. 2.2 Fläche von f(x) mit der x-achse 2.3 Der Graph von f wird von der waagerechten Geraden g geschnitten bzw. berührt: 2.3.1 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von g 2.3.2 Fläche zwischen f, g und x- Achse 8 Punkte 6x 3. Bestimmen Sie für die Funktion f mit der Gleichung: f ( x) = 9 x 2 + 4 3.1.1 die Definitionsmenge 3.1.2 Symmetrie 3.1.3 das Verhalten für x ± 3.1.4 die Gleichung der Asymptoten 3.1.5 die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 2 9 6 ( x ) 2 27 12x( x ) 4 3.2 Zeigen Sie: f ' ( x ) = f ''( x) = 4 2 9 2 2 9 3 ( x + ) ( x + ) 4 4 3.3 Hoch- und Tiefpunkte 3.4 Steigungswinkel der Tangente im Ordinatenschnittpunkt

M. Arend Mathematikprüfungen 1980-2005 Seite 13 4. Setzt man in einen Zuchtteich junge Forellen ( Setzlinge") ein und beobachtet das Wachstum, so lässt sich die durchschnittliche Länge L der Fische während der Aufzucht mit der Funktion beschreiben: L(t) = 24 21 e -0,164 t (L = Länge in cm, t = Zeit in Monaten) Länge in cm Zeit in Monaten 4.1 Welche Durchschnittsgröße haben die Setzlinge beim Einsetzen in den Zuchtteich? 4.2 Welche Durchschnittsgröße haben die Forellen nach einem Jahr? 4.3 Berechnen Sie die durchschnittliche Größe einer ausgewachsenen Forelle! (Hinweis: Asymptote) 4.4 Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Fische 98 % ihrer maximalen Durchschnittsgröße erreicht haben! 4.5.1 Beantworten Sie unter Zuhilfenahme des Funktionsgraphen: Zu welchem Zeitpunkt ist die Längenzunahme am größten? Begründen Sie kurz Ihre Antwort! 4.5.2 Berechnen Sie diese größte Längenzunahme! 4.5.3 Welche Gleichung hat die Tangente an den Funktionsgraphen zu diesem Zeitpunkt? 4.5.4 Nach wie vielen Monaten wären die Fische ausgewachsen, wenn diese Längenzunahme während der ganzen Wachstumsphase konstant gewesen wäre?