Kroemer

Kroemer - 02011-1-

Normalparabel 13 y 2.0 2.1 3.0 3.1 4.0 4.1 5.1 5.2 6.1 6.2 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1 -2 Aufgabe: a) Zeichne eine Normalparabel p: y= x² - erstelle hierzu eine Wertetabelle für x [-3;3] mit x=0,5. b) Zeichne eine Normalparabel mit einer Parabelschablone. Kroemer - 02011-2-

Öffnungsfaktor a --> p: y = a x² 8 y 7 6 5 4 p: y = a x² p: y = 1x² 3 2 1 0-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-1 -2-3 -4-5 -6-7 Anmerkung: Eine Parabel mit Öffnungsfaktor a = nennt man Nur hierfür kann die Parabelschablone verwendet werden! Merke: Aussehen der Parabeln mit Öffnungsfaktor a im Vergleich zur Normalparabel p: y = x² a < -1-1 = a -1 < a < +1 +1 = a +1 < a -8 Kroemer - 02011-3-

! # # % # % & # () # # # + (% # ) # #, # # #. % % & # # # Kroemer - 02011-4-

Parabelgleichung: die Scheitelform 6 5 4 3 p 1 2 S 1 1 p: y = a x² 0-4 -3-2 -1 0 1 2 S 2 3 4 5 6 7 p 1 p 2 a = 1 p 3-1 -2-3 -4 p 2 Verschiebe S 1 von p 1 entlang de y-ache. Wie lautet die neue Parabelgleichung? Verschiebe S 2 von p 2 entlang der x-achse. Wie lautet die neue Parabelgleichung? (Tipp: Wie muss mit der x-koord. gerechnet werden damit die gleiche y-koord. wie bei p herauskommt?) Aufgabe: Stell die zugehörige Parabelgleichungen auf und zeichne die Parabeln in ein Koordinatensystem!! a) Ein nach unten geöffnete Normalparabel verläuft durch den Scheitel S(-1 2,5). b) a = 0,5 S(2 3) c) a = -2 S(-3-1) Gib den Scheitel an und ob die Parabel nach unten oder oben geöffnet ist d) p: y = -0,5(x-5)² + 9 e) p: y = (x+8)² - 10 f) p: y = -2(x-6)² g) p: y = x² + 9 h) p: y = -x² Kroemer - 02011-5-

Der zugehörige Scheitel S hat die Koordinaten S(2 1) Kroemer - 02011-6-

! # %& () + + +!,. %& #) / 0 + 1 # 2 1 2 # # %% 3 0!! 45#65 0! 0%# () 7% ( 8) 0 9 0! 0. 5 0! % # :4) %4 () Kroemer - 02011-7-

! # % (Lösung: p: y = x² - 4x -1) Kroemer - 02011-8-

(Lösung p : y = 0,25x² 0,5x + 5,25) (Lösung: y = -0, 25x² + 3x - 2) Kroemer - 02011-9-

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Scheitelberechnung Berechne den Scheitel der Parabel: Scheitelpunkts-Formel: Berechne den Scheitel mit der Formel Berechne jeweils den Scheitel der folgenden Parabeln: p 1 : y= -4x² + 2x -7 p 2 : y = -x² + x -1 p 3 : y = x² + 6 p 4 : y = 7x² - 4x Kroemer - 02011-11-

Scheitelberechnung zur Extremwertberechung Der Scheitel ist der h oder n Punkt einer Parabel. Er ist also das M oder M = E. --> Man kann die Scheitelpunktformel auch zur Extremwert-Berechnung anwenden. Aufgabe: Bestimme rechnerisch mit der Scheitelpunktsformel das minimale Volumen V min des Volumens V(x) = (4x² + 2x - 10)cm³ und den zugehörigen Wert für x. Kroemer - 02011-12-

! # % & ( ) + (,./ 0 1./ 0 1./ 0 1./ 2 ( 3./ 0 1 ( 4 ( 3, ( 5 6 7 8 7 9 : 7 9 ((; < 7 /9 6 = = 7 9 3>?? ;?? /9 ax 2 + bx + c = 0 2x 2-6x - 34 = 0 --> a= b= c= Kroemer - 02011-13-

! # %! &! %! &!( ) # ( ( +,./!! & 0!( # % )! (! (+ Kroemer - 02011-14-

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen y a) Wieviele gemeinsame Punkte besitzt die Parabel mit der y-achse? 14 b) Wieviele gemeinsame Punkte kann die Parabel mit der x-achse haben? 12 Antwort 10 8 6 4 p: y = (0.5)x² + (3)x + (1) 2 T Q 1 Q 0 2-12 -10-8 -6-4 -2 0 2 4-2 p Aufgabe: 1 a) Gib den Schnittpunkt T der Parabel p mit der y-achse an. b) Berechne die Schnittpunkte Q1 und Q2 der Parabel p mit der x-achse. Kroemer - 02011-15-

C(-3.4 5.08) Parabel - Gerade 6 y 5 g2 a = 0.5 b = 0.5 c = 1 4 D(2 4) 3 p:y=0.5x² +0.5x + 1 g1 g3 2 B(0.7 6) 1 g 1 : y = -0.2x + 4.4 g 2 : y = 2x + 0.76 g 3 : y = -0.5x + -0.8 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1 -2-3 -4-5 Aufgabe: a) Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte von g1 mit p b) Zeige, dass g2 Tangente an p ist. Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Berührpunktes B. c) Zeige rechnerisch, dass g3 an p vorbeiläuft (= Passante ist) Kroemer - 02011-16-

Parabel - Parabel Wieviele gemeinsame Punkte können zwei Parabeln miteinander haben? A.1 14 12 y p: y = ax² + bx + c p 1 : y = (-0.4)x² + (-2.5)x + (6) p 2 : y = (0.5)x² + (3.5)x + (7.2) p 1 10 8 Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte T 1 und T 2 Ergebnis: T 1 (-6.46, 5.46) T 2 (-0.21, 6.5) T 6 2 T 1 4 p 2 2 0-14 -12-10 -8-6 -4-2 0-2 Kroemer - 02011-17-

!!!!!!!!!!!!!WICHTIG!!!!!!!!!!!! Standardaufgaben zu quadratischen Gleichungen - Parabeln 2007a 2007b (Lösung: x = 2,4) (Lösung: x = 3,75; V = 625 cm²) (Lösung: x = 8,26) 2009n Volumen ABCS = 160 cm³) (Lösung: x = 2,64) 2008n (Lösung: minimale Streckenlänge = 4,37 cm; x = 7,35 ] 2005a (Lösung: es gibt kein Dreieck) Kroemer - 02011-18-

2004c [MnCn] ist die Höhe im Dreieck, [AnBn] ist die Basis. (Lösung: größtmöglicher Flächeninhalt = 10,13 FE) die x- (Lösung: x = 3,97 oder x = 9,03) 2004b (Lösung: kleinster Flächeninhalt = 8 FE) (Lösung: x = -1,08 oder x = -6,92) Kroemer - 02011-19-

2007n Volumen ABCS = 180 cm³ (Lösung: x = 9,79) 2007c Volumen ABCDS = 52 cm³ 2004a1 (Lösung: x = 1,46) (Lösung: minimaler Flächeninhalt = 16,5 FE) 2006c (Lösung: x = 3,19) 2006a Volumen ABCDS = 130 cm³ (Lösung: Determinante ist neg. --> keine Lösung) Kroemer - 02011-20-

2004n3 D 3.2... Pyramide Q1BDP1 mit x = 4... Volumen ABCDS = 90 cm³ (Lösung: 16,89%) 2004a3 A 3.0 Höhe der Pyramide: h = 10 cm Volumen ABCS = 180cm³ 2004n1 (Lösung: x = 3,07) (Lösung: x = -0,57 oder x = 5,24) (Lösung: kleinstmögliche Länge = 1,67 LE) Kroemer - 02011-21-

!!!! # % & & (!! ) +, & #. / 0 111! 2 / 0 11 3 / 4 % Kroemer - 02011-22-

!! #! % 5 + 6 3 0 + 7! & 3 3 & 3 0 7!! 7 3 3 / 4 % ) ) 3 8 8! 6 3 ) Kroemer - 02011-23-

3!9 3 8: ; 9 3 0 7! 3!< = )! 3 7 3!9 3 & 7) > & 7 %!2 0 ) # % 3 %! 3 7 3!9 Kroemer - 02011-24-

! 0. %? 0 ) ) & 0 4 1! & 9 Α:Α %! 3! & ) Kroemer - 02011-25-

Typische (einfache) Abschlussprüfungsaufgabe Haupttermin 2007 Aufgabe P 2 P 2.0 Eine nach unten geöffnete Normalparabel p verläuft durch den Ursprung. Ihre Symmetrieachse s hat die Gleichung x = 1,5; GI = IR IR. P 2.1 Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitels S der Parabel p und zeigen Sie anschließend, dass die Gleichung y= x + 3x die Funktionsgleichung von p ist. 3 2 P P 2.2 Zeichnen Sie die Parabel p im Bereich für x [ 0,5; 3,5] in das Koordinatensystem ein. 1 P y 1 O 1 x Kroemer - 02011-26-

Mathematik II Haupttermin Aufgabe P 2 P 2.3 Die Parabel p schneidet die x-achse in den Punkten A(0 0) und B(3 0). Diese Punkte legen zusammen mit Punkten C n, die auf dem Parabelbogen zwischen A und B liegen, Dreiecke ABC n fest. Im Dreieck ABC 1 hat der Winkel BAC 1 das Maß 42. Zeichnen Sie das Dreieck ABC 1 in die Zeichnung zu 2.2 ein und berechnen Sie sodann die Koordinaten von C 1. 3 P P 2.4 Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Dreieck ABC 0 mit C 0(1,5 2,25) gleichseitig ist. 2 P Kroemer - 02011-27-

Abschlussprüfung 2007 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Haupttermin Aufgaben P 1 3 Lösungsmuster und Bewertung P 1 Die geschmolzene Eiscreme passt in den Eisbecher, wenn gilt: VEiscreme < VEisbecher 4 3 VEiscreme = 0,42 CM π 3 4 3 3 3 VEiscreme = 0,42 4,0 π cm VEiscreme = 112,6 cm 3 1 2 VEisbecher = CN π AN 3 CM 4,0 tan 20 = AC = cm AC tan 20 AC = 11,0 cm AN cos 20 = AC AN = 11,0 cos 20 cm AN = 10,3 cm CN sin 20 = AC CN = 11,0 sin 20 cm CN = 3,8 cm 1 2 3 3 VEisbecher = 3,8 π 10,3cm VEisbecher = 155,8 cm 3 3 3 Die geschmolzene Eiscreme passt in den Eisbecher, da 112,6 cm < 155,8 cm. 5 P 2.1 2 p:y = (x 1,5) + y S GI = IR IR ; ys IR 2 O(0 0) p: 0 = (0 1,5) + y S ys IR ys = 2,25 IL = {2, 25} S(1,5 2, 25) 2 p:y = (x 1,5) + 2,25 2 p : y = (x 3x + 2, 25) + 2, 25 2 p:y= x + 3x 3 P 2.2 y S C 1 1 A O B 1 x Kroemer - 02011-28- 1

P 2.3 Einzeichnen des Dreiecks ABC 1 AC 1 : y = tan 42 x GI = IR IR y= 0,9x = + 2 y x 3x x = 2,1 y= 1,9 GI = IR IR IL = {(2,1 1,9)} C(2,1 1,9) 1 3 P 2.4 Das Dreieck ABC 0 ist gleichseitig, wenn gilt: BAC0 = 60 tan BAC = m 0 AC 0 2, 25 tan BAC 0 = BAC 0 = 56, 3 1, 5 Das Dreieck ABC 0 ist nicht gleichseitig, da BAC 0 = 56, 3 oder Das Dreieck ABC 0 ist gleichseitig, wenn gilt: AB = AC0 AB = 3 LE 2 2 AC0 1,5 2, 25 LE = + AC0 = 2,7 LE Das Dreieck ABC 0 ist nicht gleichseitig, da AC0 = 2,7 LE 2 Kroemer - 02011-29-