Normalparabel

Transkript

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2 Normalparabel y Aufgabe: a) Zeichne eine Normalparabel p: y= x² - erstelle hierzu eine Wertetabelle für x [-;] mit x=0,5. b) Zeichne eine Normalparabel mit einer Parabelschablone.

3 Öffnungsfaktor a --> p: y = a x² 8 y p: y = a x² p: y = x² Anmerkung: Eine Parabel mit Öffnungsfaktor a = nennt man Nur hierfür kann die Parabelschablone verwendet werden! Merke: Aussehen der Parabeln mit Öffnungsfaktor a im Vergleich zur Normalparabel p: y = x² a < - - = a - < a < + + = a + < a -8

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5 Parabelgleichung: die Scheitelform p S. p: y = a x² S p p a = p p Verschiebe S von p entlang de y-ache. Wie lautet die neue Parabelgleichung? Verschiebe S von p entlang der x-achse. Wie lautet die neue Parabelgleichung? (Tipp: Wie muss mit der x-koord. gerechnet werden damit die gleiche y-koord. wie bei p herauskommt?) Aufgabe: Stell die zugehörige Parabelgleichungen auf und zeichne die Parabeln in ein Koordinatensystem!! a) Ein nach unten geöffnete Normalparabel verläuft durch den Scheitel S(-,5). b) a = 0,5 S( ) c) a = - S(- -) Gib den Scheitel an und ob die Parabel nach unten oder oben geöffnet ist d) p: y = -0,5(x-5)² + 9 e) p: y = (x+8)² - 0 f) p: y = -(x-6)² g) p: y = x² + 9 h) p: y = -x²

6 Der zugehörige Scheitel S hat die Koordinaten S( )

7 ! # %& () + + +!,. %& #) / 0 + # # # %% 0!! 45#65 0! 0%# () 7% ( 8) 0 9 0! ! % # :4) %4 ()

8 ! # % (Lösung: p: y = x² - 4x -)

9 (Lösung p : y = 0,5x² 0,5x + 5,5) (Lösung: y = -0, 5x² + x - )

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11 Scheitelberechnung Berechne den Scheitel der Parabel: Scheitelpunkts-Formel: Berechne den Scheitel mit der Formel Berechne jeweils den Scheitel der folgenden Parabeln: p : y= -4x² + x -7 p : y = -x² + x - p : y = x² + 6 p 4 : y = 7x² - 4x

12 Scheitelberechnung zur Extremwertberechung Der Scheitel ist der h oder n Punkt einer Parabel. Er ist also das M oder M = E. --> Man kann die Scheitelpunktformel auch zur Extremwert-Berechnung anwenden. Aufgabe: Bestimme rechnerisch mit der Scheitelpunktsformel das minimale Volumen V min des Volumens V(x) = (4x² + x - 0)cm³ und den zugehörigen Wert für x.

13 ! # % & ( ) + (,./ 0./ 0./ 0./ (./ 0 ( 4 (, ( : 7 9 ((; < 7 /9 6 = = 7 9 >?? ;?? /9 ax + bx + c = 0 x - 6x - 4 = 0 --> a= b= c=

14 ! # %! &! %! &!( ) # ( ( +,./!! & 0!( # % )! (! (+

15 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen y a) Wieviele gemeinsame Punkte besitzt die Parabel mit der y-achse? 4 b) Wieviele gemeinsame Punkte kann die Parabel mit der x-achse haben? Antwort p: y = (0.5)x² + ()x + () T Q Q p Aufgabe: a) Gib den Schnittpunkt T der Parabel p mit der y-achse an. b) Berechne die Schnittpunkte Q und Q der Parabel p mit der x-achse.

16 C( ) Parabel - Gerade 6 y 5 g a = 0.5 b = 0.5 c = 4 D( 4) p:y=0.5x² +0.5x + g g B(0.7.6) g : y = -0.x g : y =.x g : y = -0.5x Aufgabe: a) Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte von g mit p b) Zeige, dass g Tangente an p ist. Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Berührpunktes B. c) Zeige rechnerisch, dass g an p vorbeiläuft (= Passante ist)

17 Parabel - Parabel Wieviele gemeinsame Punkte können zwei Parabeln miteinander haben? A. 4 y p: y = ax² + bx + c p : y = (-0.4)x² + (-.5)x + (6) p : y = (0.5)x² + (.5)x + (7.) p 0 8 Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte T und T Ergebnis: T (-6.46, 5.46) T (-0., 6.5) T 6 T 4 p

18 !!!!!!!!!!!!!WICHTIG!!!!!!!!!!!! Standardaufgaben zu quadratischen Gleichungen - Parabeln 007a 007b (Lösung: x =,4).... (Lösung: x =,75; V = 65 cm²) (Lösung: x = 8,6) 009n. Volumen ABCS = 60 cm³) (Lösung: x =,64) 008n. (Lösung: minimale Streckenlänge = 4,7 cm; x = 7,5 ] 005a. (Lösung: es gibt kein Dreieck)

19 004c. [MnCn] ist die Höhe im Dreieck, [AnBn] ist die Basis. (Lösung: größtmöglicher Flächeninhalt = 0, FE). die x- (Lösung: x =,97 oder x = 9,0) 004b.. (Lösung: kleinster Flächeninhalt = 8 FE) (Lösung: x = -,08 oder x = -6,9)

20 007n... Volumen ABCS = 80 cm³ (Lösung: x = 9,79) 007c... Volumen ABCDS = 5 cm³ 004a (Lösung: x =,46). (Lösung: minimaler Flächeninhalt = 6,5 FE) 006c. (Lösung: x =,9) 006a... Volumen ABCDS = 0 cm³ (Lösung: Determinante ist neg. --> keine Lösung)

21 004n D.... Pyramide QBDP mit x = Volumen ABCDS = 90 cm³. (Lösung: 6,89%) 004a A.0 Höhe der Pyramide: h = 0 cm.. Volumen ABCS = 80cm³. 004n (Lösung: x =,07) (Lösung: x = -0,57 oder x = 5,4) (Lösung: kleinstmögliche Länge =,67 LE)

22 !!!! # % & & (!! ) +, & #. / 0! / 0 / 4 %

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26 . Typische (einfache) Abschlussprüfungsaufgabe Haupttermin 007 Aufgabe P P.0 Eine nach unten geöffnete Normalparabel p verläuft durch den Ursprung. Ihre Symmetrieachse s hat die Gleichung x =,5; GI =. P. Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitels S der Parabel p und zeigen Sie anschließend, dass die Gleichung y= x + x die Funktionsgleichung von p ist. P P. Zeichnen Sie die Parabel p im Bereich für x [ 0,5;,5] in das Koordinatensystem ein. P y O x..

27 Mathematik II Haupttermin Aufgabe P P. Die Parabel p schneidet die x-achse in den Punkten A(0 0) und B( 0). Diese Punkte legen zusammen mit Punkten C n, die auf dem Parabelbogen zwischen A und B liegen, Dreiecke ABC n fest. Im Dreieck ABC hat der Winkel BAC das Maß 4. Zeichnen Sie das Dreieck ABC in die Zeichnung zu. ein und berechnen Sie sodann die Koordinaten von C. P P.4 Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Dreieck ABC 0 mit C 0(,5,5) gleichseitig ist. P.

28 Abschlussprüfung 007 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Haupttermin Aufgaben P Lösungsmuster und Bewertung P Die geschmolzene Eiscreme passt in den Eisbecher, wenn gilt: VEiscreme < VEisbecher 4 VEiscreme = 0,4 CM π 4 VEiscreme = 0,4 4,0 π cm VEiscreme =,6 cm VEisbecher = CN π AN CM 4,0 tan 0 = AC = cm AC tan 0 AC =,0 cm AN cos 0 = AC AN =,0 cos 0 cm AN = 0, cm CN sin 0 = AC CN =,0 sin 0 cm CN =,8 cm VEisbecher =,8 π 0,cm VEisbecher = 55,8 cm Die geschmolzene Eiscreme passt in den Eisbecher, da,6 cm < 55,8 cm. 5 P. p:y = (x,5) + y S GI = ; ys O(0 0) p: 0 = (0,5) + y S ys ys =,5 IL = {, 5} S(,5, 5) p:y = (x,5) +,5 p : y = (x x +, 5) +, 5 p:y= x + x P. y S C A O B x

29 . P. Einzeichnen des Dreiecks ABC AC : y = tan 4 x GI = y= 0,9x = + y x x x =, y=,9 GI = IL = {(,,9)} C(,,9) P.4 Das Dreieck ABC 0 ist gleichseitig, wenn gilt: BAC0 = 60 tan BAC = m 0 AC 0, 5 tan BAC 0 = BAC 0 = 56,, 5 Das Dreieck ABC 0 ist nicht gleichseitig, da BAC 0 = 56, oder Das Dreieck ABC 0 ist gleichseitig, wenn gilt: AB = AC0 AB = LE AC0,5, 5 LE = + AC0 =,7 LE Das Dreieck ABC 0 ist nicht gleichseitig, da AC0 =,7 LE = = + = = = + = = = =

30 Prüfungsdauer: 50 Minuten Abschlussprüfung 00 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Aufgabe B Nachtermin B.0 Die Parabel p hat eine Gleichung der Form y= 0,5x + bx+ c mit GI = und b,c. Die x-koordinaten der Schnittpunkte der Parabel p mit der x-achse sind und 6. Die Gerade g hat die Gleichung y= 0,5x 4 mit GI =. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma. B. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Gleichung y= 0,5x x+ hat. Zeichnen Sie die Parabel p und die Gerade g für x [ ;0] in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; < x < ; 5< y< 9. 5 P B. Punkte B(x 0,5x n x+ ) auf der Parabel p und Punkte C(x 0,5x n 4) auf der Geraden g haben dieselbe Abszisse x und sind zusammen mit Punkten A n und D n die Eckpunkte von Parallelogrammen A n B n C n D n. Die x-koordinate der Punkte D n, die ebenfalls auf der Geraden g liegen, ist um größer als die Abszisse x der Punkte C n. Zeichnen Sie das Parallelogramm A B C D für x = und das Parallelogramm A B C D für x=6 in das Koordinatensystem zu. ein. P B. Unter den Parallelogrammen A n B n C n D n hat das Parallelogramm A 0 B 0 C 0 D 0 den minimalen Flächeninhalt. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms A 0 B 0 C 0 D 0. [Teilergebnis: BC(x) n n = (0,5x,5x+ 7)LE ] 4 P B.4 Zeigen Sie rechnerisch, dass die Winkel D n C n B n stets das Maß 75,96 besitzen. B.5 Punkte E n, die wie die Punkte D n auf der Geraden g liegen, sind zusammen mit den Punkten A n und D n die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken A n D n E n mit den Hypotenusen [A n D n ]. Zeichnen Sie das Dreieck A D E für x = und das Dreieck A D E für x = 6 in das Koordinatensystem zu. ein. B.6 Für die Dreiecke A D E und A 4 D 4 E 4 gilt: DE = DE 4 4 =,00LE. Berechnen Sie die zugehörigen Werte für x. P P P Bitte wenden!

31 Lösungsmuster und Bewertung Minuten Abschlussprüfung 00 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Aufgabe B Nachtermin FUNKTIONEN B. Die beiden Schnittpunkte der Parabel p mit der x-achse haben die y-koordinate 0: 0= 0,5 + b c 0 0,5 6 b6 c Ù = + b,c b= Û IL(b c) = ( Ù c p: y= 0,5x x+ GI = y K4 B B g B. Einzeichnen der Parallelogramme A B C D und A B C D 5 L K4

32 B. BC(x) n n [0,5x x (0,5x 4)]LE = + x BC(x) n n = (0,5x,5x+ 7)LE K A = BC (LE) ParallelogrammeAnBCD n n n n n A ParallelogrammeAnBCD (x) (0,5x,5x 7) FE n n n = + x A ParallelogrammeAnBCD (x) = (0,75x 6,75x+ )FE n n n Der minimale Flächeninhalt beträgt 5,8 FE (für x = 4,5). AParallelogrammABCD = 5,8FE 4 B.4 tanj = m j [0 ;80 [\{90 } g tanj = 0,5 j = 4,04 L K DCB n n n = 90-4,04 n n n DCB = 75,96 B.5 Einzeichnen der Dreiecke A D E und A D E DE n n DE n n B.6 cos EDA n n n = AD n n = AD cos EDA n n n n n EDA n n n = DCB n n n AD n n = BC n n,00 0,5x,5x+ 7= cos75,96... x x =,54 Ú x = 7,46 IL = {,54;7,46} 7 L K4 K Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

33 Prüfungsdauer: 50 Minuten A h u prüfung 00 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Aufgabe B aupttermin B.0 Die Parabel p hat den Scheitel S( und verläuft durch den Punkt C(4 7). Sie hat eine Gleichung der Form b,c. y= ax + bx+ c mit GI = und a \{0} ; Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma. B. Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel p die Gleichung y= 0,5x + x+ 7 hat. Zeichnen Sie die Parabel p für x [ ;8] in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; < x < 9; < y< 9. 4 P B. Punkte B(x n 0,5x x 7) + + auf der Parabel p sind für x > 4 zusammen mit dem Punkt C und Punkten A n die Eckpunkte von Dreiecken A n B n C mit AB n n = 6LE. Die Punkte A n und B n haben dieselbe Ordinate y. Zeichnen Sie das Dreieck A B C für x=7 in das Koordinatensystem zu. ein. Begründen Sie sodann, dass das Dreieck A B C nicht gleichseitig ist. 4 P B. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke A n B n C in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte B n gilt: A(x) = (0,75x x)fe. P B.4 Der Flächeninhalt des Dreiecks A B C beträgt FE. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B. B.5 Im Dreieck A B C ist der Punkt F [AB] der Fußpunkt der Höhe [F C]. Der Winkel F CB hat das Maß. Zeichnen Sie das Dreieck A B C in das Koordinatensystem zu. ein und berechnen Sie sodann die x-koordinate des Punktes B. P 4 P Bitte wenden!

34 sungsuster und Beertung Minuten A hlu prüfung 00 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Aufgabe B aupttermin FUNKTIONEN B. S( ) p und C(4 7) p: 7 a (4 = + a! a = 0,5 IL= 0, p: y 0,5 (x = + GI = p : y= 0,5 (x 4x+ 4 + p : y= 0,5x + x+ 7 y K4 B B B. Einzeichnen des Dreiecks A B C Wenn das Dreieck A B C gleichseitig wäre, dann wäre die Länge der Höhe = LE (da AB Im Dreieck A B C gilt jedoch: hc B(7 0, ) = 6LE ). + + B(7,75) Þ h " 5,5LE c Das Dreieck A B C ist somit nicht gleichseitig. 4 4 L K4 L K#

35 B. B.4 A= AB n n (yc y B )LE n = + + x > 4; x A(x) 6 7 ( 0,5x x 7) FE A(x) = (0,75x x)fe 0,75x x = x > 4; x... (x =,47 ) x = 6,47 IL= 6,4 B(6,47,00) K B.5 Einzeichnen des Dreiecks A B C mcb = tan( 0 (90 )) mcb =,60 CB : y=,60 (x 4) + 7 GI = CB : y=,6x+,4 0,5x + x+ 7=,6x+,4 x > 4; x... (x = 4 ) x = 6,4 IL= 6, 4 7 L K4 K Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

36 üfungsdauer: bschlussprüfung 50 Minuten an den Realschulen in Bayern 009 Mathematik II Nachtermin Aufgabe B B.0 Die nach oben geöffnete ormalparabel p verläuft durch die Punkte P( 4) und ( 4). Sie hat eine Gleichung der Form y= ax + bx+ c mit GI = und a \{0} ; b,c. Die Gerade g hat die Gleichung y= x+ mit GI =. 5 B. Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Parabel p. Zeichnen Sie sodann die Parabel p und die Gerade g in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; 5< x < 6; 6< y< 9. [Ergebnis: p: y= x 4x ] 4 P B. Punkte B(x x n 4x ) auf der Parabel p und Punkte C n auf der Geraden g haben dieselbe Abszisse x. Sie sind für x ] 0,8;5[ zusammen mit Punkten A n und D n die Eckpunkte von Parallelogrammen A n B n C n D n. ¾¾¾$ æ 4% Es gilt: BA n n = ç &. è 4' Zeichnen Sie die Parallelogramme A B C D für x=0,5 und A B C D für x=4,5 in das Koordinatensystem zu. ein. B. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes A. P P B.4 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Parallelogramme A n B n C n D n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte B n. berprüfen Sie sodann rechnerisch, ob es unter den Parallelogrammen A n B n C n D n ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt 40 FE gibt. [Ergebnis: A(x) = ( 4x + 6,8x+ 6)FE ] 4 P B.5 Zeigen Sie rechnerisch, dass die Winkel C n B n A n stets das Maß 45 besitzen. B.6 Im Parallelogramm A B C D gilt: BAC = 0. Berechnen Sie die Länge der Seite [B C ]. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. P P

37 Abschlussprüfung an den Realschulen in Bayern 009 Mathematik II Nachtermin Aufgabe B Lösungsmuster und Bewertung FUNKTIONEN B. a = P( 4) p und ( 4) p: 4 = ( ) + b( ( ) + c 4 b c ) = + ( * b,c b= 4, IL(b c) = ( 4 ) c = p: y= x 4x GI = y K4... g B. B 4

38 - - B. Einzeichnen der Parallelogramme A B C D und A B C D L K4 B. B(0,5 0,5 40,5 ) / 0 B(0,5,75) A(0,5 4,75+ 4) A(,5,5) K B.4 A BC n n/ d(a n;bc) n n = + 5 A(x) x (x 4x ) 4FE A(x) = ( 4x + 6, x+ 6)FE 0, < x< 5; x 4x + 6, x+ 6 = 40 0, < x< 5; x K K 4x + 6, x 4= 0 D< 0 Unter den Parallelogrammen A n B n C n D n gibt es kein Parallelogramm D< 0 mit dem Flächeninhalt 40 FE. B.5 tanϕ= m A n B ϕ [0 ;80 [\{90 } n m ϕ= 5 AnBn = y x y Bn An AnBn B x n An Die Geraden B n C n verlaufen senkrecht zur x-achse: m = CBA n n n = 5 90 n n n BC AB B.6 = sin BAC sin ACB AB ( 4) 4 LE = + AB CBA = 45 ACB = 80 ( ) = 5,66LE ACB = 05 4 K L K BC 5,66LE = sin0 sin05 BC =,9LE 7 Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

39 Prüfungsdauer: Absch u rüfung 50 Minuten an den Realschulen in Bayern 009 Mathematik II upttermin Aufgabe B B.0 Die Parabel p mit der Gleichung y= x 8x+ 4 hat den Scheitel S(4 ). Die Parabel p besitzt den Scheitel S(6 7) und verläuft durch den Punkt P(9 4,75). Sie hat eine Gleichung der Form y= ax + bx+ c mit a \{0} ; b,c. ( GI =.) B. Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Parabel p in der Scheitelform und bringen Sie die Gleichung in die Form y= ax + bx+ c mit a \{0} ; b,c. Erstellen Sie sodann für die Parabel p eine Wertetabelle für x [0;0] mit Dx 4 und zeichnen Sie die Parabeln p und p in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; < x < ; < y< 8. [Ergebnis: p : y= 0,5x + x ] 5 P B. Punkte A(x x n 8x+ 4) auf der Parabel p und Punkte B(x n 0,5x + x ) auf der Parabel p haben dieselbe Abszisse x. Sie sind zusammen mit Punkten C n die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken A n B n C n mit der Basis [A n B n ], wobei gilt: ya < y n B. Die x-koordinate der Punkte C n n ist um 4 kleiner als die Abszisse x der Punkte A n. Zeichnen Sie die Dreiecke A B C für x= und A B C für x=6,5 in das Koordinatensystem zu. ein. P B. Ermitteln Sie durch Rechnung, für welche Belegungen von x es Dreiecke A n B n C n gibt. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. P B.4 Unter den Dreiecken A n B n C n besitzt das Dreieck A 0 B 0 C 0 den maximalen Flächeninhalt. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks A 0 B 0 C 0 und geben Sie die Koordinaten des Punktes C 0 an. [Teilergebnis: AB(x) = (,5x + x 6)LE ] 5 P n n B.5 Für x=4 ergibt sich das Dreieck A B C. Zeichnen Sie das Dreieck A B C in das Koordinatensystem zu. ein und begründen Sie, dass das Dreieck A B C rechtwinklig ist. P

40 Absch u rüfung an den Realschulen in Bayern 009 Mathematik II Haupttermin Aufgabe B Lösungsmuster und Bewertung FUNKTIONEN B. S(6 7) p und P(9 4,75) p : 4,75= a 5(9 6) + 7 a \{0} 6 a = 0,5 IL = { 0,5} p : p : p : y= 0,5 5(x 6) + 7 GI = y= 0,5 5(x x+ 6) + 7 y= 0,5x + x x ,5x + x 0,75 4,75 6 6,75 7 6,75 6 4,75 y B 7 K4 7 B 8 B B. Einzeichnen der Dreiecke A B C und A B C 5 L K4

41 - - B. x 8x+ 4= 0,5x + x x... 9 x =,84 : x ; 6,96 IL = {,84;6,96} K,84? x? 6,96 (x ) B.4 A@ AnBC = A AB n n n na (4LE) AB(x) n n [ 0,5x x (x 8x 4) LE = + +,84? x? 6,96; x K AB(x) n n = (,5x + x = A + B A,84? x? 6,96; x A AnBC(x) (,5x x 6) 4FE n n AnBC(x) = (,5x + x )FE n n... Der maximale Flächeninhalt beträgt 6,4 FE (für x = 4,4). A@ = 6,4FE ABC C ya E y 0 B F 0 C0 xa 4 G 0 H C(0,4,6) 0 C,84E 6,6 F C0 G 4,4 4 H 5 B.5 Einzeichnen des Dreiecks A B C AB (, )LE = A + A B AB = 8LE Es sei der Punkt M der Mittelpunkt der Strecke [A B ]. Da die Dreiecke A n B n C n gleichschenklig sind, gilt: MC = 4LE. Aus MC = MA = MB folgt, dass der Punkt C auf einer Kreislinie um den L K4 L K Mittelpunkt M mit dem Durchmesser AB liegt, womit das Dreieck A B C rechtwinklig ist ( Thaleskreis ). 7 Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

42 Prüfungsdauer: Abschlussprüfung Minuten an den Realschulen in Bayern R4/R6 Mathematik II Nachtermin Aufgabe D D.0 Die Parabel p besitzt den Scheitel S(4 ) und hat eine Gleichung der Form y= 0,5x + bx+ c mit GI = und b,c. D. Zeigen Sie, dass die Parabel p die Gleichung y= 0,5x x+ hat. Erstellen Sie eine Wertetabelle für x [ ;0] mit x = und zeichnen Sie sodann die Parabel p in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; < x < ; 4< y< 7. 4 P D. Punkte B(x 0,5x n x+ ) und D n haben dieselbe Ordinate y und liegen auf der Parabel p. Sie sind für x ]6;0[ zusammen mit den Punkten A( ) und C(0 6) die Eckpunkte von Vierecken AB n CD n. Zeichnen Sie für x=8 das Viereck AB CD in das Koordinatensystem zu. ein und überprüfen Sie sodann rechnerisch, ob das Viereck AB CD ein Trapez ist. P D. Zeigen Sie, dass für die x-koordinate der Punkte D n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte B n gilt: xd n = 8 x. P D.4 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Vierecke AB n CD n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte B n. 4 P D.5 Im Viereck AB CD hat der Winkel B AC das Maß 0. Zeichnen Sie das Viereck AB CD in das Koordinatensystem zu. ein und berechnen Sie sodann die x-koordinate des Punktes B. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. [Teilergebnis: mab = 0,7 ] 5 P

43 Abschlussprüfung 008 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Nachtermin Aufgabe D Lösungsmuster und Bewertung FUNKTIONEN D. S(4 ) p: y= 0,5 (x 4) GI = y= 0,5x x+ p: y= 0,5x x+ GI = x ,5x x y p K4 C D B O D 0 B x A 4 D. Einzeichnen des Vierecks AB CD L K4 Aus der Wertetabelle folgt: B(8 ) ; D(0 ) m AB ( ) = 8 ; mab 0,5 = mdc AB D C Das Viereck AB CD ist ein Trapez. 6 = 0 0 ; mdc= 0,5 L K

44 - - D. x-koordinate des Scheitels S: xd n xs = 4 + x = 4 x xd n = 8 x D.4 A= A ABnC+ A ACDn x AB n(x) = 0,5x x+ 6 x AD n(x) = 0,5x x+ 8 AC = 8 x x A(x) = FE+ FE 0,5x x ,5x x+ x ]6;0[; x A(x) = [ (x ) 8 8(6 x) ] FE A(x) = (8x )FE x ]6;0[; x D.5 Einzeichnen des Vierecks AB CD tan m AC ϕ= mac 6 ( ) = 0 ϕ= 45 ϕ ]0 ;90 [ mab = tan(45 0 ) mab = 0,7 AB : y= 0,7 (x ) GI = 0,7x,54= 0,5x x+ x ]6;0[; x... (x = ) x = 7,08 IL = {7,08} K L K4 K Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

45 Prüfungsdauer: Abschlussprüfung Minuten an den Realschulen in Bayern R4 Mathematik II Haupttermin Aufgabe C C.0 Gegeben sind die Parabel p mit der Gleichung nach unten geöffnete Normalparabel p mit der Gleichung ( GI =.) y= 0,x +,x+, und die y= x + 8x 6. C. Zeigen Sie, dass die Parabel p den Scheitel S(,5 4,875) hat. Erstellen Sie sodann für die Parabel p eine Wertetabelle für x [0;7] mit x = und zeichnen Sie die Parabeln p und p in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; < x < 9; < y<. 4 P C. Punkte n A(x n 0,x,x,) + + auf der Parabel p und Punkte C(x x + 8x 6) auf der Parabel p sind zusammen mit Punkten B n und D n die Eckpunkte von Rauten A n B n C n D n mit BD n n dieselbe Abszisse x und es gilt: ya < y n C. n = LE. Die Punkte A n und C n haben Zeichnen Sie die Rauten A B C D für x= und A B C D für x=5 in das Koordinatensystem zu. ein. P C. Ermitteln Sie durch Rechnung, für welche Belegungen von x es Rauten A n B n C n D n gibt. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. P C.4 Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Gerade B C eine Tangente an die Parabel p ist. [Teilergebnis: B(6 6,6) ] 4 P C.5 Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Länge der Diagonalen [AnC] n der Rauten A n B n C n D n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A n wie folgt darstellen lässt: AC(x) n n = ( 0,7x + 5,9x 7,)LE. P C.6 Unter den Rauten A n B n C n D n hat die Raute A 0 B 0 C 0 D 0 den maximalen Flächeninhalt. Berechnen Sie den zugehörigen Wert von x und den Flächeninhalt der Raute A 0 B 0 C 0 D 0. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. P

46 Abschlussprüfung 008 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Haupttermin Aufgabe C Lösungsmuster und Bewertung FUNKTIONEN C.,, S, ( 0,) 4( 0,) S(,5 4,875) x ,x +,x+,, 4, 4,8 4,8 4,, y K4 C C D B D B A A O x p p 4 C. Einzeichnen der Rauten A B C D und A B C D L K4

47 - - C. 0,x +,x+,= x + 8x 6 x... x =,48 x = 6,95 IL = {,48;6,95} K,48< x< 6,95 (x ) 9 4, C.4 B 5+ 4,+ C(5 9) 9 6,6 B C : y = (x 6) + 6,6 5 6 B C : y=,4x+ B(6 6,6) GI = K,4x+ = x + 8x 6,48< x< 6,95 ; x x 0,4x+ 7= 0 D 0 Die Gerade B C ist keine Tangente an p. 4 C.5 AC(x) n n [ x 8x 6 ( 0,x,x,)]LE = + + +,48< x< 6,95 ; x AC(x) n n = ( 0,7x + 5,9x 7,)LE C.6 A= AC n n BD n n A(x) = ( 0,7x + 5,9x 7,) FE,48< x< 6,95 ; x A(x) = ( 0,7x + 5,9x 7,)FE... K Für x = 4, gilt: ARauteABCD = 5,FE. 7 Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

48 Prüfungsdauer: Abschlussprüfung Minuten an den Realschulen in Bayern R4/R6 Mathematik II Haupttermin Aufgabe B B.0 Die Parabel p verläuft durch die Punkte A( ) und C(5 0,5). Sie hat eine Gleichung der Form y= ax + x+ c mit GI = und a \{0} ; c. B. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für a und c, dass die Parabel p die Gleichung y= 0,5x + x+ hat und zeichnen Sie die Parabel p für x [ ;7] in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; 4< x < 8; 8< y< 6. P B. Punkte D(x n 0,5x + x+ ) auf der Parabel p sind für x ] ;5[ zusammen mit den Punkten A und C und Punkten B n die Eckpunkte von Parallelogrammen AB n CD n. Zeichnen Sie das Parallelogramm AB CD für x = 0,5 in das Koordinatensystem zu. ein und überprüfen Sie sodann rechnerisch, ob das Parallelogramm AB CD ein Rechteck ist. 4 P B. Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Parallelogramme AB n CD n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte D n. [Ergebnis: A(x) = (,5x + 0,5x+ 5)FE ] P B.4 Unter den Parallelogrammen AB n CD n besitzt das Parallelogramm AB 0 CD 0 den maximalen Flächeninhalt. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D 0. P B.5 Im Parallelogramm AB CD hat der Winkel CAD das Maß 5. Zeichnen Sie das Parallelogramm AB CD in das Koordinatensystem zu. ein und berechnen Sie sodann die x-koordinate des Punktes D. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. [Teilergebnis: mad =,6] 5 P

49 Abschlussprüfung 008 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Haupttermin Aufgabe B Lösungsmuster und Bewertung FUNKTIONEN B. A( ) p und C(5 0,5) p: = + + a ( ) ( ) c = + + 0,5 a5 5 c a \{0} ; c a = 0,5 IL(a c) = {( 0,5 )} c = p: y= 0,5x + x+ GI = y K4 D D O C x 5 A B B p

50 - - B. Einzeichnen des Parallelogramms AB CD D( 0,5,875),5 AD = 4,875 AD CD mad =,5 CD 5,5 =,75 mcd = 0,5 m m = 0,85 Das Parallelogramm AB CD ist kein Rechteck. 4 L K4 L K B. A= A ACDn 7 AC =,5 AD x = 0,5x + x+ 6 + n x ] ;5[ ; x K 7 x+ A(x) = FE,5 0,5x + x+ 6 x ] ;5[ ; x A(x) = 7( 0,5x + x+ 6),5(x + ) FE A(x) = (,5x + 0,5x+ 5)FE B.4 A(x) = (,5x + 0,5x+ 5)FE x ] ;5[ ; x... A max für x =,5 D(,5 4,875) 0 B.5 Einzeichnen des Parallelogramms AB CD 0,5 tanϕ= m AC mac = 5 ϕ= 6,57 ϕ ]0 ;90 [ L K4 K mad = tan(6, ) mad =,6 AD : y=,6 (x+ ) GI = AD : y=,6x 0,48,6x 0,48= 0,5x + x+ x ] ;5[ ; x... (x = ) x =,48 IL = {,48} 5 7 Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

51 Prüfungsdauer: Abschlussprüfung Minuten an den Realschulen in Bayern R4/R6 Mathematik II Haupttermin Aufgabe A A.0 Die Parabel p verläuft durch die Punkte A( ) und C(6 ). Sie hat eine Glei- chung der Form y= 0,5x + bx+ c mit GI = und b,c. Die Gerade g hat die Gleichung y= 0,5x+ 5,5 mit GI =. A. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Gleichung y= 0,5x x hat und zeichnen Sie die Parabel p sowie die Gerade g für x [ ;7] in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; 4< x < 8; 6< y< 8. 4 P A. Punkte B(x 0,5x n x ) auf der Parabel p und Punkte D(x n 0,5x+ 5,5) auf der Geraden g haben dieselbe Abszisse x und sind für x ] ;6[ zusammen mit den Punkten A und C die Eckpunkte von Vierecken AB n CD n. Zeichnen Sie das Viereck AB CD für x = und das Viereck AB CD für x = in das Koordinatensystem zu. ein. P A. Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Vierecke AB n CD n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte B n. [Ergebnis: A(x) = ( x + 7x+ 4)FE ] 4 P A.4 Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von x die zugehörigen Vierecke einen Flächeninhalt von 8,5 FE haben. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. A.5 Die Vierecke AB CD und AB 4 CD 4 sind Drachenvierecke mit der Geraden AC als Symmetrieachse. Berechnen Sie die x-koordinaten der Punkte B und B 4 auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. A.6 Das Viereck AB 5 CD 5 ist ebenfalls ein Drachenviereck. Zeichnen Sie das Drachenviereck AB 5 CD 5 in das Koordinatensystem zu. ein. P 4 P P

52 Abschlussprüfung 008 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Haupttermin Aufgabe A Lösungsmuster und Bewertung FUNKTIONEN A. A( ) p und C(6 ) p: = 0,5 ( ) + b( ) + c = + + 0,5 6 b6 c b,c b= IL(b c) = {( )} c = p: y= 0,5x x GI = y p K4 D D 5 D A C g B O x B B 5 4

53 - - A. Einzeichnen der Vierecke AB CD und AB CD L K4 A. A= A + A ABnC ACDn x AB n(x) = 0,5x x AC = 0 K x+ AD n(x) = 0,5x+,5 x ] ;6[ ; x x+ 8 8 x+ A(x) = FE+ FE 0,5x x ,5x+,5 A(x) = (0,5x x 6) 8 + 8( 0,5x +,5) FE A(x) = ( x + 7x+ 4)FE x ] ;6[ ; x 4 A.4 x + 7x+ 4= 8,5 x ] ;6[ ; x... x = 0,85 x =,65 IL = {0,85;,65} A.5 Da die Gerade AC die Symmetrieachse der Drachenvierecke AB CD und AB 4 CD 4 ist, muss gelten: A ABnC = A ACDn x+ 8 A ABnC(x) = FE 0,5x x x+ A ACD n (x) = FE 0 0,5x+,5 x ] ;6[ ; x K x + 8x+ 4= x+ 0 x ] ;6[ ; x... x =, x = 5,7 IL = {,;5,7} A.6 Einzeichnen des Drachenvierecks AB 5 CD L K Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

54 Mathematik II Nachtermin Aufgabe P P.0 Eine konstant ansteigende B B Straße wird über ein Gebirgstal geführt. Sie wird durch vertikale Stützpfeiler A und eine parabelförmige Unterkonstruktion abgestützt. 00 m A Die parabelförmige Unterkonstruktion liegt in den Punkten A und A an den Berghängen auf (siehe Skizze). Dabei liegt A 0 m höher als A und der horizontale Abstand dieser beiden Punkte beträgt 00 m. In den Punkten B und B liegt die Straße auf den Stützpfeilern [AB ] mit AB = 0m und [AB ] auf. Der Punkt B liegt um 4 m höher als der Punkt B. P. Zeichnen Sie die Straße mit den Punkten B und B in das Koordinatensystem, sodass B im Ursprung liegt. Für die Zeichnung gilt: Auf der x-achse: cm für 0 m; Auf der y-achse: cm für 0 m P y 0 O 0 x P. Geben Sie die Gleichung der Geraden B B an. P Seite

55 Mathematik II Nachtermin Aufgabe P P. Bestätigen Sie, dass die Parabel p mit der Gleichung y= 0,0x + 0,8x 0 einen Parabelbogen der Unterkonstruktion gemäß den obigen Vorgaben beschreibt. Zeichnen Sie die Parabel p in das Koordinatensystem zu. ein. 4 P P.4 Zwischen den Stützpfeilern [A B ] und [A B ] gibt es weitere Stützpfeiler, wodurch die Straße auf dem Parabelbogen abgestützt wird. Berechnen Sie die kürzeste Stützpfeilerlänge AB 0 0. P Seite

56 5 P. y 0 B s B O 0 x A p A P. BB :y= 0,04x GI =

57 - - P. A(0 y) p:y = 0,00 + 0,80 0 y = 0 Der Punkt A liegt somit 0 m tiefer als der Punkt B. A (00 y ) p : y = 0, , y = 40 Der Punkt A liegt somit 0 m höher als der Punkt A. P.4 Einzeichnen der Parabel p AnB n(x) = (0, 04x ( 0, 0x + 0,8x 0)) m AnB n(x) = (0,0x 0,76x + 0) m AB 0 0 = 5,56mfür x = 8 4 P. 60 0,5 0 cm sin = 0 r 0,5 0 cm r = sin8 r =,4cm P. AK = r π AK =,4 π cm A= 0 A Δ AΔ = r r sin6 A= 0,4 sin6 cm A 085, cm AK 97,9 cm Der prozentuale Anteil beträgt 9,6%. AK = 97,9 cm A= 085,cm = A = 0,96 AK 9 Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten. Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.