Mathematik für Nautiker Teil 1 für Einsteiger 1. Das Sexagesimalsystem Das Sexagesimalsystem ist ein altes Babylonisches Zahlensystem. Bei iesem hanelte es sich um ein erstes wirkliches Positionssystem, allerings nicht zur Basis 10, sonern zur Basis 60 (Sexagesimal). Es war as bestentwickelte Zahlensystem vor er Erfinung es inischarabischen. Das babylonische Zahlensystem war weitaus besser als as griechische oer gar as römische; un es ist aher verstänlich, ass ie antiken Astronomen bei langwierigen Rechnungen as babylonische Zahlensystem übernahmen. Deshalb sin ie Reste ieser Überlieferung noch heute wirksam: Bei er Zeiteinteilung einer Stune in 60 Minuten zu je 60 Sekunen un er Winkelteilung eines Gras in 60 Minuten zu je 60 Sekunen rechnen auch wir heute noch nach babylonischem Vorbil sexagesimal. Zeitmaßeinheiten: Stune (h), Minute (min), Sekune (s) Winkelmaßeinheiten: Gra ( ), Minute ( ), Sekune ( ), Meriantertie ( ) Gra: Die Einteilung es Vollkreises in 360 in er Astronomie, Geometrie un Geographie wure urch ie Astronomen Hypsikles von Alexanria ( Anaphorikos, 170 v. Chr.) un Hipparch von Nikaia (190 120 v. Chr.) eingeführt. Wegen er 24 Stunen eines Tages entspricht 1 Stune geographischer Längen- oer Zeitiffenenz genau 15. Tertie: ist eine veraltete Winkeleinheit für en sechzigsten Teil einer Winkelsekunen. Sie wir urch rei er Zahl oben beigesetzte Striche bezeichnet: z.b. 00 12 25 12 Der Name leitet sich aus er Weiterführung er sexagesimalen Unterteilung (Minute, Sekune (ie ritte Unterteilung) ab, - lateinisch pars minuta tertia ritter verkleinerter Teil-. In er nautischen Praxis wir iese Einheit aber trotz ihres hohen Alters un er vermehrten Verwenung von ezimalen Einteilungen immer noch eingesetzt. Ein Beispiel hierfür ist ihre Anwenung als Längenmaß Meriiantertie (Mt) bei er Fahrtmessung mit Relingslog in er Schiffsführung. Strich oer Kompassstrich: Ältere Darstellung er Kompassrose nach Himmelsrichtungen. Die Rose eines Magnetkompasses ist auch heute noch nach ieser Einteilung z. T. beschriftet. Erste Ebene Nor (000 oer 360 ), Ost (090 ), Sü (180 ), West (270 ). Durch weitere Teilungen er Kompassrose erhält man 32 Strich; 360 : 32 Strich = 11,25.
Name Gra Vollkreis Name Gra Vollkreis Nor 000,00 Sü 180,00 Nor zu Ost 011,25 Sü zu West 191,25 Nornorost 022,50 Süsüwest 202,50 Norost zu Nor 033,75 Süwest zu Sü 213,75 Norost 045,00 Süwest 225,00 Norost zu Ost 056,25 Süwest zu West 236,25 Ostnorost 067,50 Westsüwest 247,50 Ost zu Nor 078,75 West zu Sü 258,75 Ost 090,00 West 270,00 Ost zu Sü 101,25 West zu Nor 281,25 Ostsüost 112,50 Westnorwest 292,50 Süost zu Ost 123,75 Norwest zu West 303,75 Süost 135,00 Norwest 315,00 Süost zu Sü 146,25 Norwest zu Nor 326,25 Süsüost 157,50 Nornorwest 337,50 Sü zu Ost 168,75 Nor zu West 348,75 Sü 180,00 Nor 360,00 Angaben Angaben im Sexagesimalsystem im Dezimalsystem Beispiel a.) 13 36 13,6 Beispiel b.) 54 20 12 54 20,2 Beispiel c.) 12h 30 min 15s 12h 30, 25min Beispiel.) 12h 30 min 15s 12, 50417h Beispiel e.) 1 35 47 1 35, 7833 Beispiel f.) 25 30 15 36 25 30 15, 6 Beispiel g.) 25 30 15 36 25 30, 26 Beispiel h.) 25 30 15 36 25, 504333 Umrechnungsfaktor ist abei ie Zahl 60. Beispiel a.) 36 : 60 = 0,6, somit 13,6 Beispiel b.) 12 : 60 = 0,2, somit 54 20,2 Beispiel c.) 15s : 60s = 0,25min, somit 12h 30,25min Beispiel.) 30,25min : 60min = 0,50417h, somit 12,50417h Beispiel e.) 47 : 60min = 0,7833, somit 1 35,7833 Beispiel f.) 36 : 60 = 0,6, somit 25 30 15,6 Beispiel g.) 15,6 : 60 = 0,26, somit 25 30, 26 Beispiel h.) 30,26 : 60 = 0,50433, somit 25,50433 Rechnungen im Winkelmaß: 054 10 35 245 56 44 026 44 34 + 012 12 45 + 156 45 30 013 14 44 = 066 23 20 = 042 42 14 = 013 29 50 (+) 054 10 35 ) 245 56 44 (+) 026 44 34 + ( ) 012 12 45 + (+) 156 45 30 (+) 013 14 44 = (+) 041 57 50 = ( ) 089 11 14 = (+) 013 29 50
Rechnungen im Zeitmaß: 23 Uhr 13min 15s 08 Uhr 44min 32s 01h 06min 19s + 06 Uhr 18min 12s 15 Uhr 16min 17s + 29h 46min 31s = 29 Uhr 31min 27s = ( )06 Uhr 31min 45s = 30h 52min 50s = 05 Uhr 31min 27s = 17 Uhr 28min 15s Umrechnung Winkelmaß in Zeitmaß un umgekehrt (Umrechnungsfaktor ist ie Zahl 15) Gramaß Zeitmaß Gramaß Zeitmaß 360 00 00 24h 00min 00s 001 00 00 00h 04min 00s 180 00 00 12h 00min 00s 000 30 00 00h 02min 00s 090 00 00 06h 00min 00s 000 15 00 00h 01min 00s 045 00 00 03h 00min 00s 000 05 00 00h 00min 20s 015 00 00 01h 00min 00s 000 01 00 00h 00min 04s 005 00 00 00h 20min 00s 000 00 15 00h 00min 01s Umrechnungsbeispiele: 134 25 18 : 15 = 8h 57min 41,2s 16h 14min 12s x 15 = 243 33 00 2.) Anwenung es Dreisatzes: Aufgabe 1: In 2 Stunen weren 24 l Kraftstoff verbraucht (Beingungssatz). Wieviel Kraftstoff wure in 5 Stunen verbraucht? (Fragesatz) Lösung a.) in Form einer Proportionsgleichung, wobei aus em Beingungssatz ie linke, aus em Fragesatz ie rechte Seite er Gleichung wir: 24 : 2 = 5 : x 24 5 x = = 60 In 5 Stunen weren 60l Kraftstoff verbraucht. 2 Lösung b.) nach em Dreisatz urch 3 Ansätze 24 l Kraftstoffverbrauch in 2 Stunen (Vorersatz) 24 = 12 12 l Kraftstoffverbrauch in 1 Stune (Mittelsatz) 2 5 12 = 60 60 l Kraftstoffverbrauch in 5 Stunen (Schlusssatz) 3.) Berechnungen zum Schiffsweg Der Schiffsweg rückt sich aus in Kurs in Gra ( ) un er Distanz in Seemeilen (sm). Die Distanz () ist ie Entfernung zwischen Abfahrtsort un Bestimmungsort. Der Zusammenhang zwischen er Fahrt in einem Zeitabschnitt un er azu gehörigen Distanz rückt sich aus in: Distanz Geschinig keit = Zeit v = Maßeinheit: t sm /. h sm h =
Aufgabe 2: a.) Berechne ie Distanz (), wenn as Schiff 2h mit 16 sm/h läuft! = v t = 16sm/h 2h = 32sm b.) Berechne ie Geschwinigkeit, wenn as Schiff 120sm in 6h zurückgelegt hat! v = t 120sm v = 6h v = 20 sm/h c.) Berechne ie Zeit, wenn ein Schiff 72 sm mit 12 sm/h zurückgelegt hat! t = v t = t = 6h 72 sm 12 sm/h 4.) Umrechnung von Nautischen Maßen un Geschwinigkeiten Als SI Einheiten in er Seefahrt gelten: Für ie Distanz: Seemeile, nauticel miles (Länge 1852m) Abk.: sm, nm Für ie Geschwinigkeit: Knoten (Seemeile pro Stune) Abk.: kn (sm/h) Für ie Zeit: Stunen, Minuten, Sekunen Abk.: h, min, s Für ie Richtung: Gra ( ) Für ie geographischen Koorinaten Gra ( ), Minuten ( ), Sekunen ( ) Als nicht im SI enthalten gelten: (wir jeoch aus praktischer Hinsicht genutzt) Nautische Kabellänge Abk.: kbl (1/10 er Seemeile, Länge 185,2m) Meriiantertie Abk.: mt oer ( ) Es ist er 3600.Teil einer Seemeile ( ) Faen Es ist er etwa 100. Teil einer Kabellänge (ein englischer Faen ist 1,8288m lang.) Fuß Es ist er sechste Teil eines Faens (ein englischer Fuß ist 0,3048m lang
Erumfang auf ie als Kugel angenommene Ere bezogen: ca. 40.000 km Verhältnis: 360 = 40.000 km 1 = 111,11 km 1 = 1852 m 60.Teil eines Graes 1 = 30,87 m 60. Teil einer nautischen Minute 1 = 0,514 m 60. Teil einer nautischen Sekune a.) Ein Schiff läuft 12 kn (sm/h) b.) Es läuft ann auch 2 kbl/min c.) Es läuft ann auch 12 mt/s zu a.) 12 sm/h 1852 = 22,224 km/h Zeiteinheit; Stune Zeiteinheit: Minute Zeiteinheit: Sekune sm kn = h kbl kbl/min = min Mt mt/s = s zu b.) 12 sm 10 = 60 min 12 6 = 2 kbl/min = 185,2 m 2 = 370,4 m zu c.) 22224 m 60 min = 370,4 m/min = 370,4 m 60 s = 6,17 m/s = 6,17 m 0,514 m = 12 mt/s Da ie Zeit praktischer Weise in h/min in er Schifffahrt angegeben wir, muss jeweils as Sexagesimalsystem er Zeit auf as Dezimalsystem er Distanz umgerechnet weren. Beispiel 1 Ein Schiff läuft vom Abfahrtsort zum Bestimmungsort in einer Zeit von 2h 36min. Es hat 45sm zurück gelegt. Mit welcher Geschwinigkeit ist as Schiff unterwegs? Vergangene Zeit: 2h 36min = 156min = 2,6h, vergangene Distanz: 45 sm = 450 kbl v = t 450 kbl v kbl/min = = 156 min 2,88 kbl/min 2,88 kbl/min 60 min v kn = = 2,88 kbl/min 6 = 17,30 kn 10 oer 45sm v kn = = 17,30 sm/h 2,6h oer 45 sm 60 min v kn = = 17,30 kn 156 min
Beispiel 2: Ein Schiff läuft mit einer Geschwinigkeit von 18 kn vom Abfahrtsort ab. Es ist 10.35 Uhr. Um 12.20 Uhr berechnest Du ie zurückgelegte Distanz! Wieviel Seemeilen wuren zurückgelegt? Vergangene Zeit: 12.20 Uhr 10.35 Uhr = 1h 45min =1,75h 1h = 18 sm = v t kbl = 3 kbl/min 105 min = 315 kbl 18 sm/h 10 18 315kbl sm = = = 3,0 kbl/min 105min = = 31,5sm 60 min 6 10 oer sm = 18 kn 1,75 h = 31,5 sm oer 18 sm sm = 45 min = 13,5sm = 13,5 sm + 18,0 sm = 31,5 sm 60 min Beispiel 3 Ein Schiff läuft vom Abfahrtsort zum Bestimmungsort ein Distanz von 87sm ab. Es ist mit einer Geschwinigkeit von 15 kn unterwegs. Wieviel Zeit benötigt as Schiff für iese Distanz Geschinigkeit: 15 sm/h = 2,5 kbl/min abgelaufene Distanz: 87 sm = 870 kbl t = v 870 kbl t min = 348 min 2,5 kbl/min 87 sm t h = = 5,8 h 5,8 h 60 min = 348 min = 5h 48min 15 kn oer 87sm 60min t min = = 348min 348 min = 5h 48min 15kn 5.) Interpolation Unter Interpolation versteht man ie Abschätzung eines y-werts für einen gegebenen x-wert, wenn zwei oer mehrere benachbarte Punkte P1 un P2 bekannt sin. Dabei verbinet man ie bekannten Punkte mit einer Funktion eines bestimmten Typs un berechnet en unbekannten y-wert für en interessierenen x-wert mit Hilfe ieser Funktion. Im einfachsten (un vielleicht auch häufigsten) Fall wir ie Interpolationsfunktion eine Gerae sein.
Beispiel 1: Interpolierung er Ablenkung lt. Tabelle Rechtweisener Kurs 254 aus er Seekarte Wie groß ist er Wert er δ nach folgener Ablenkungstabelle? rwk δ 250 + 2,6 260 + 1,5 rwk = 260 δ = + 1,5 rwk = 250 rwk = 250 δ = + 2,6 rwk = 254 rwk = 010 δ = 1,1 = 004 Möglichkeiten zur Berechnung 1.Möglichkeit 2. Möglichkeit 3.) Möglichkeit 010 : ( ) 1,1 = x : 004 010 : ( ) 1,1 = 001 : ( ) 0,11 Mittelwert für rwk 250-1,1 4 ( + )1,5 + ( + )1,5 x = ( )0,11 004 ) = 0, 44 δ = 10 2 x = 0,44 2,6 0,44 = 2,16 δ = 2,05 für rwk 250 (+) 2,60 δ = 0,11 für rwk 001 + ( ) 0,44 2,05 = (+) 2,16 + 0,11 = 2,16 für rwk 254 δ = (+) 2,16 δ = (+) 2,16 δ = (+) 2,16
Beispiel 2: Berechnung es Sonnenaufgangs Die geographische Breite es Stanortes beträgt 53 36 N. Es soll er Sonnenaufgang für en 06. August berechnet weren! Aus em Nautischen Jahrbuch weren folgene Werte für en Sonnenaufgang (SA)abgelesen: φ 50 N φ 55 N 04. Aug 04:33 04:13 09. Aug 04:40 04:22 φ 50 N φ 55 N 04. Aug 04h 40min 04. Aug 04h 22min 09. Aug 04h 33min 09. Aug 04h 13min = 05 t = 00h 07min = 05 t = 00h 09min 04. Aug 04. Aug 06. Aug 06. Aug = 02 = 02. 7min : 5 = 2 Tage: x min 7min 2 x = 5 x = 2,8min = 2min 48s 9min : 5 = 2 Tage: x min 9 min 2 x = 5 x = 3,6min = 3min 36s t = 04h 33min 00s t = 04h 13min 00s t = 00h 02min 48s t = 00h 03min 36s SA = 04h 35min 48s SA = 04h 16min 36s 04h 35min 48s (SA für 50 N) φ 55 N φ = 53 36 00 N 04h 16min 36s (SA für 55 N) φ 50 N φ = 50 00 00 N = 00h 19min 12s ( SA) = φ 05 φ = 03 36 00. 00-19-12 : 05 00 00 = 03 36 00 : x 19,2 3,6 x = x = 13,824 min = 00h 13min 49,3s 5,0 04h 35min 48s + 00h 13min 49s = 04h 49min 37s Der Sonnenaufgang finet für φ = 53 36 00 N um 04-49-37 Uhr statt.