Hans Marthaler, Benno Jakob, Reto Reuter ALGEBRA + DATENANALYSE Operationen, Gleichungen, Funktionen y x
VORWORT Mathematik ist ein wichtiges Hilfsmittel und Werkzeug, um naturwissenschaftliche und technische Fragestellungen zu verstehen. Mit den beiden Bänden Algebra und Geometrie lassen sich jene fachlichen Kompetenzen erwerben, die für verschiedene berufliche Tätigkeiten, insbesondere im technischen und naturwissenschaftlichen Bereich, gefordert werden. Im vorliegenden Band wird das Grundwissen der Algebra anschaulich und praxisnah vermittelt. Das Lehrmittel eignet sich als Lehr- und Arbeitsbuch im Unterricht oder für das Selbststudium. Mit zahlreichen Abbildungen und vielen gelösten Beispielen werden mathematische Zusammenhänge verdeutlicht und vertieft. Dieser theoretische Lehrinhalt kann anhand der Übungen gefestigt und auf unterschiedliche Fragestellungen angewendet werden. Die Lösungen der Übungsaufgaben stehen kostenlos zur Verfügung unter www.hep-verlag.ch/algebra. Neben den Grundlagen der Algebra behandelt das Buch auch die Datenanalyse. Das Buch macht die Lernenden mit spezifischen Methoden der Mathematik vertraut. Die heutigen technischen Hilfsmittel ermöglichen die Veranschaulichung der Mathematik und unterstützen die Erforschung von mathematischen Sachverhalten. Für viele Aufgaben ist der Einsatz von Taschenrechner und Computer sinnvoll, andere können problemlos ohne Hilfsmittel gelöst werden. Juli 2016 Hans Marthaler, Benno Jakob, Reto Reuter Dr. Hans Marthaler unterrichtete Mathematik an verschiedenen Berufsmaturitätsschulen in den Kantonen Bern, Luzern und Aargau. Heute ist er Rektor am Berufsbildungszentrum Fricktal in Rheinfelden. Benno Jakob, Reto Reuter und Matthias Burkhardt sind langjährige Mathematiklehrer an der Berufsmaturitätsschule der GIBB in Bern und haben grosse Erfahrung in unterschiedlichen Berufsmaturitätsausrichtungen. 5
INHALTSVERZEICHNIS Grundlagen und Grundoperationen........................................... 13 1 Zahlenmengen und Terme... 13 1.1 Zahlenmengen.... 13 1.2 Zahlenstrahl... 15 1.3 Terme... 17 1.4 Polynome.... 18 1.5 Zahlenfolgen.... 19 1.6 Übungen... 21 2 Grundoperationen... 28 2.1 Addition und Subtraktion... 28 2.2 Multiplikation... 29 2.2.1 Rechengesetze... 29 2.2.2 Das Pascalsche Dreieck... 30 2.2.3 Faktorisieren... 32 2.3 Übungen... 34 3 Dividieren... 41 3.1 Schreibweise von Brüchen... 41 3.2 Brüche erweitern und kürzen.... 42 3.3 Brüche addieren und subtrahieren.... 43 3.4 Brüche multiplizieren und dividieren... 44 3.5 Polynomdivision... 46 3.6 Übungen... 48 6
Rechnen mit Potenzen... 57 4 Potenzieren... 57 4.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten... 57 4.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten... 58 4.3 Potenzen addieren und subtrahieren... 59 4.4 Potenzgesetze... 59 4.5 Stellenwertsysteme... 61 4.5.1 Das Zehnersystem... 61 4.5.2 Exponentenschreibweise im Zehnersystem... 62 4.5.3 Andere Stellenwertsysteme... 63 4.6 Übungen... 65 5 Radizieren... 78 5.1 Quadratwurzel... 78 5.2 Allgemeine Wurzeln... 80 5.3 Potenz- und Wurzelgesetze... 81 5.4 Weiterführende Aufgaben... 84 5.5 Übungen... 84 6 Logarithmieren... 97 6.1 Einführung.... 97 6.2 Logarithmengesetze.... 99 6.3 Basiswechsel... 101 6.4 Anwendungsaufgaben... 102 6.5 Übungen... 102 7
INHALTSVERZEICHNIS Gleichungen.... 109 7 Allgemeine Einführung... 109 7.1 Aussagen und Aussageformen... 109 7.2 Gleichungen... 110 7.3 Ungleichungen.... 112 7.4 Übungen... 113 8 Lineare Gleichungen... 115 8.1 Lineare Gleichungen ohne Parameter.... 115 8.2 Lineare Gleichungen mit Parameter... 116 8.3 Bruchgleichungen.... 118 8.4 Bruchungleichungen... 121 8.5 Textaufgaben... 124 8.6 Übungen... 127 9 Gleichungssysteme... 135 9.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten... 136 9.1.1 Grundform eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten... 136 9.1.2 Herkömmliche Lösungsverfahren... 137 9.1.3 Substitution von nicht linearen Gleichungssystemen... 139 9.1.4 Cramersche Regel... 140 9.1.5 Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems... 144 9.2 Lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten... 146 9.2.1 Einsetzmethode... 146 9.2.2 Additionsmethode... 147 9.3 Textaufgaben... 148 9.4 Übungen... 150 10 Quadratische Gleichungen... 165 10.1 der quadratischen Gleichung.... 165 10.2 Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen... 166 10.2.1 Reinquadratische Gleichungen... 166 10.2.2 Quadratische Ergänzung... 167 8
10.3 Lösungsformel für quadratische Gleichungen... 170 10.4 Aufgaben mit Parametern.... 172 10.5 Satz von Vieta... 174 10.6 Substitutionsaufgaben... 175 10.7 Quadratische Ungleichungen... 177 10.8 Textaufgaben... 179 10.9 Übungen... 181 11 Wurzelgleichungen... 191 11.1 Einführung.... 191 11.2 Lösungsverfahren... 192 11.3 Übungen... 196 12 Exponential- und logarithmische Gleichungen.... 199 12.1 Exponentialgleichungen... 199 12.1.1 Lösungsverfahren... 199 12.1.2 Weiterführende Beispiele... 201 12.2 Logarithmische Gleichungen.... 203 12.3 Übungen... 206 Funktionen... 211 13 Grundlagen... 211 13.1 Das kartesische Koordinatensystem... 211 13.2 Relationen und ihre Graphen.... 214 13.3 Funktionen... 217 13.3.1 Einführung... 217 13.3.2 Darstellungsarten von Funktionen... 219 13.3.3 Funktionen erkennen... 221 13.3.4 Eigenschaften von Funktionen... 223 13.4 Übungen... 228 9
INHALTSVERZEICHNIS 14 Lineare Funktionen... 237 14.1 Einführung.... 237 14.2 Steigung und Ordinatenabschnitt... 239 14.3 Schnittprobleme... 242 14.3.1 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen... 242 14.3.2 Schnittpunkte zweier Geraden... 243 14.4 Spezielle Lagen zweier Geraden... 245 14.5 Verzweigte Funktionsvorschriften... 247 14.6 Übungen... 249 15 Quadratische Funktionen................................................................ 260 15.1 Grundform der quadratischen Funktion... 260 15.2 Normalparabel... 262 15.3 Scheitelform der quadratischen Funktion... 263 15.4 Beziehung zwischen Scheitelform und Grundform.... 264 15.5 Schnittpunkte... 266 15.5.1 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen... 266 15.5.2 Schnittpunkte zweier Graphen... 269 15.6 Extremalaufgaben.... 271 15.7 Übungen... 272 16 Umkehrfunktionen... 284 16.1 Umkehrbarkeit von Funktionen... 284 16.2 Bestimmen der Umkehrfunktion... 287 16.3 Übungen... 290 17 Potenz- und Wurzelfunktionen... 295 17.1 Potenzfunktionen... 295 17.1.1 Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten... 295 17.1.2 Potenzfunktionen mit negativen Exponenten... 297 17.2 Wurzelfunktionen... 300 17.2.1 Wurzelfunktionen und Potenzfunktionen... 300 17.2.2 Eigenschaften von Wurzelfunktionen... 301 17.2.3 Grafische Lösung von Wurzelgleichungen... 302 17.3 Übungen... 303 10
18 Polynomfunktionen... 315 18.1 Einführung.... 315 18.2 Extremalstellen und Nullstellen... 317 18.3 Übungen... 318 19 Exponential- und Logarithmusfunktionen... 322 19.1 Exponentialfunktionen... 322 19.1.1 Einführung... 322 19.1.2 Eigenschaften von Exponentialfunktionen... 323 19.1.3 Schieben und Strecken von Exponentialfunktionen... 325 19.1.4 Die natürliche Exponentialfunktion... 327 19.2 Logarithmusfunktionen... 329 19.2.1 Einführung... 329 19.2.2 Eigenschaften von Logarithmusfunktionen... 330 19.2.3 Schieben und Strecken von Logarithmusfunktionen... 331 19.2.4 Die natürliche Logarithmusfunktion... 332 19.3 Übungen... 333 20 Wachstum und Zerfall.... 342 20.1 Exponentielle Prozesse... 342 20.2 Wachstumsmodelle... 345 20.3 Übungen... 352 Datenanalyse... 363 21 Einführende Beispiele... 363 21.1 Smartphone... 363 21.2 Kniearthrose... 363 21.3 Warenhaus... 364 21.4 Kaffee... 364 21.5 Weitsprung... 365 21.6 Übergewicht und Bluthochdruck... 365 21.7 Freiwurf-Contest... 367 21.8 Blut... 367 21.9 Schwertlilien... 368 21.10 E-Bike... 369 11
INHALTSVERZEICHNIS 21.11 1- -Münze.... 369 21.12 Bierfest.... 370 21.13 Lohn.... 370 22 Datengewinnung... 371 22.1 Methoden der Datengewinnung... 371 22.2 Fehler bei der Datengewinnung... 372 23 Grundbegriffe... 373 23.1 Grundgesamtheit und Stichprobe... 373 23.2 Datensatz... 374 23.3 Variablentypen.... 375 23.4 Geordnete Stichprobe und Rang... 376 24 Grafische Darstellungen... 379 24.1 Säulen- und Balkendiagramm... 380 24.2 Kreisdiagramm... 381 24.3 Streifenplot... 382 24.4 Histogramm... 382 24.5 Boxplot... 385 24.6 Streudiagramm... 386 25 Kennzahlen... 389 25.1 Lagekennzahlen... 390 25.1.1 Kennzahlen für die zentrale Lage... 390 25.1.2 Extremwerte und Quantile... 393 25.2 Streuungskennzahlen... 396 26 Übungen... 398 Register... 412 12
Zahlenmengen und Terme 1 Grundlagen und Grundoperationen 1 Zahlenmengen und Terme Im Zentrum dieses Kapitels stehen die elementaren Zahlenmengen N, Z, Q und R. Weiter werden die Grundlagen für den Umgang mit Termen gelegt. 1.1 Zahlenmengen Um Gegenstände wie Steine, Computer oder Flugzeuge zu zählen, braucht man die natürlichen Zahlen. Menge der natürlichen Zahlen N = {0; 1; 2; 3; } (1) = bedeutet «definierte Gleichheit» und wird ausschliesslich für en verwendet. Zur Beschreibung von Zahlenmengen werden geschweifte Klammern verwendet. Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null sind: N * = N\{0} = {1; 2; 3; } (2) Eine Primzahl p P N ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern: P = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; } (3) Das Ergebnis einer Addition von zwei natürlichen Zahlen ist stets wieder eine natürliche Zahl. Die Operation ist somit innerhalb von N uneingeschränkt durchführbar. Dies ist bei der Subtraktion, der Umkehroperation der Addition, nicht immer der Fall: 12 20 = 8 Damit uneingeschränkt subtrahiert werden kann, muss der Zahlenraum erweitert werden. Menge der ganzen Zahlen Z = { ; 3; 2; 1; 0; + 1; + 2; + 3; } (4) Während die Addition, die Subtraktion und die Multiplikation in Z uneingeschränkt durchführbar sind, ist dies bei der Division, der Umkehroperation der Multiplikation, nicht immer der Fall: 8 : 20 = 8 20 = 0.4 Damit uneingeschränkt dividiert werden kann, muss der Zahlenraum erweitert werden. Menge der rationalen Zahlen Q = { x x = a b mit a P Z und b P N * } (5) 13
I GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN Jede Zahl der Menge Q lässt sich als Bruch (Quotient) aus zwei ganzen Zahlen darstellen und ist als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch darstellbar. In Q sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division uneingeschränkt durchführbar. Damit weitere Operationen wie das Radizieren (Wurzelziehen) uneingeschränkt durchführbar sind, müssen die rationalen um die irrationalen Zahlen erweitert werden. Diese können als unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche dargestellt werden: 2 = 1.414213562 Weitere Beispiele für irrationale Zahlen sind 5, ln 4, π, e, sin 7. Menge der reellen Zahlen Die Menge R der reellen Zahlen enthält alle endlichen und alle unendlichen Dezimalbrüche. Menge der irrationalen Zahlen Die Menge R \ Q der irrationalen Zahlen enthält alle Zahlen, die sich als unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche darstellen lassen. Zwischen den oben definierten Mengen bestehen diverse Teilmengenbeziehungen. So gilt zum Beispiel für die natürlichen Zahlen: N, Z, Q, R und somit auch N, Q, N, R und Z, R. Weiter sind die folgenden Teilmengen gebräuchlich: Teilmengen Z + Menge der positiven ganzen Zahlen (= N*). Z 0 + Menge der positiven ganzen Zahlen, inklusive Null (= N). Z Menge der negativen ganzen Zahlen. Z 0 Menge der negativen ganzen Zahlen, inklusive Null. Analog können Teilmengen von Q und R gebildet werden. So ist zum Beispiel Q + die Menge der positiven rationalen Zahlen, R die Menge der negativen reellen Zahlen. 14
Zahlenmengen und Terme 1 Beispiele (1) 19 = 2.375 endlicher Dezimalbruch: rational. 8 (2) 4 33 = 0. 12 = 0.121212 unendlicher, periodischer Dezimalbruch: rational. (3) 5 = 2.2360679775. unendlicher, nicht periodischer Dezimalbruch: irrational (4) Drücken Sie 0.24 68 als Bruch aus. Lösung: Durch zweimaliges Multiplizieren und anschliessendes Subtrahieren fällt die Periode weg: 10000x = 2468. 68 x = 0.24 68 100x = 24. 68 x = 2444 9900 = 611 2475 9900x = 2444 Übungen 1 S. 21 1.2 Zahlenstrahl Die anschauliche Darstellung einer Zahl erfolgt durch einen Punkt auf dem Zahlenstrahl. Positive Zahlen werden rechts vom Nullpunkt, negative Zahlen links davon abgetragen. 3 2 2 π 2 1 0 1 2 3 4 Die Zahlen 2 und + 2 haben dabei den gleichen Abstand vom Nullpunkt, nämlich zwei Einheiten. Allgemein lässt sich der Abstand vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl als Betrag der Zahl notieren, denn 2 = + 2 = 2. a = a +a = a a 0 1 +a Betrag einer Zahl Der Betrag a einer Zahl a ist der Abstand des Punktes vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl: a für a > 0 a = 0 für a = 0 { a für a < 0 Es gilt: a 0 (6) Der Zahlenstrahl ist durch die Positionen null und eins eindeutig festgelegt. Auf dem Zahlenstrahl können alle Zahlen der Mengen N, Z, Q und R dargestellt werden. 15
I GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN Beispiele (1) 7 3 = 4 = 4 und 3 7 = 4 = 4 (2) Welche Zahlen x P Z erfüllen die Gleichung x 1 = 3? Lösung: Aus der von Gleichung (5) müssen zwei Fälle unterschieden werden: x 1 = 3 x = 4 oder x 1 = 3 x = 2 Die Zahlen 2 und 4 erfüllen die Gleichung x 1 = 3. Auf dem Zahlenstrahl gelten die folgenden Ordnungsbeziehungen: a b a < b a kleiner b a, b a = b a gleich b b a a > b a grösser b Ebenfalls gebräuchlich sind: a b a kleiner oder gleich b a b a ungleich b a b a grösser oder gleich b Die kleinere von zwei Zahlen liegt auf dem Zahlenstrahl immer links von der grösseren. Die Zeichen <, >, und lassen sich vorwärts und rückwärts lesen. So bedeutet a < b rückwärts gelesen «b grösser a». Mit den Zeichen <, >, und können Intervalle auf dem Zahlenstrahl bezeichnet werden. a < x < b a b x a x b a b x Das Intervall a < x < b, beziehungsweise x P ]a; b[ enthält die Randwerte a und b nicht. Das Intervall a x b, beziehungsweise x P [a; b] enthält die Randwerte a und b. Mischformen wie a < x b, beziehungsweise x P ]a; b] sind auch möglich. Das Intervall x > a, beziehungsweise x P ]a; [ ist nur linksseitig begrenzt. Das Intervall x a, beziehungsweise x P ] ; a] ist nur rechtsseitig begrenzt. 16
Zahlenmengen und Terme 1 Beispiel Notieren Sie die Zahlen a P R, die die Ungleichung a 3 erfüllen. Lösung: a 3 a P [ 3; 3] oder 3 a 3 oder L = {a P R 3 a 3}. Übungen 2 S. 22 1.3 Terme Werden Zahlen oder Variablen anhand von Operatoren und Klammern sinnvoll verknüpft, entsteht ein algebraischer Term oder ein algebraischer Ausdruck. Term Eine Zahl ist ein Term und eine Variable ist ein Term. Jede sinnvolle Zusammensetzung von Zahlen und Variablen (= Terme) mit Operationszeichen und Klammern ergibt einen Term. Enthält ein algebraischer Term T die Variable a, schreibt man: 3a + 4 T (a) = 3a + 4 Wertet man den Term für a = 5 aus, so notiert man: T (5) = 3 5 + 4 = 19 Alle Zahlen, die man auf diese Weise im Term T einsetzen kann und die zu einem sinnvollen Ergebnis führen, bilden die smenge D des Terms. Terme werden immer nach der zuletzt ausgeführten Operation benannt. Dabei gilt: Hoch vor Punkt vor Strich. Mit Klammern kann diese Reihenfolge durchbrochen werden. Beispiele (1) Die folgenden Terme unterscheiden sich nur durch die Klammern: (a) 5 2 + 3 4 = 2 + 3 1024 = 2 + 3072 = 3074 (b) 5 (2 + 3) 4 = 5 1024 = 5120 (c) 5 (2 + 3 4) = (2 + 12) 5 = 14 5 = 537824 (d) 2 + (3 ( 4 5 )) = 2 + (3 1024) = 2 + 3072 = 3074 (e) 5 ((2 + 3) 4) = (5 4) 5 = 20 5 = 3200000 (2) Gegeben sei der Term T (a) = a 2 3a + 2. Bestimmen Sie T ( 5) und T (0). Lösung: Wir setzen für die Variable a die vorgegebenen Werte ein: a = 5 : T ( 5) = ( 5) 2 3 ( 5) + 2 = 42 T ( 5) = 42 a = 0 : 2 T (0) = 0 3 0 + 2 = 2 T (0) = 2 (3) 3 a Bestimmen Sie T (3; 2), T ( 1; 1) und T (2; 1), wenn T (a; b) = b 1. 17
I GRUNDLAGEN UND GRUNDOPERATIONEN Lösung: T (3; 2) 3 3 = 2 1 = 3 3 1 = 9 = 9 1 T (3; 2) = 9 3 1 T ( 1; 1) = 1 1 = 3 1 2 = 3 2 = 3 2 T ( 1; 1) = 3 2 T (2; 1) 3 2 = 1 1 = 3 2 0 = 6 0 Der Ausdruck ist nicht definiert. (4) Der Ausdruck (a) 2 + 5 (x 1) ist eine Summe, denn zuletzt wird addiert. (b) x + y x y ist ein Quotient, denn zuletzt wird dividiert. 3 (c) 2 x ist ein Produkt, denn zuletzt wird multipliziert. (d) 2 (3x y) ist eine Potenz, denn zuletzt wird potenziert. (e) 2x y 3 x ist eine Differenz, denn zuletzt wird subtrahiert. Übungen 3 S. 23 1.4 Polynome In der Mathematik tauchen oft Ausdrücke auf wie 4 2 2 3x 1 ; 5 x x + 7x + 2 ; x + 4x + 4 ; (7) Diese Ausdrücke lassen sich in eine allgemeine Form bringen: Polynom Ein Ausdruck der Form P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n 1 x n 1 + a n x n n = a k x k (8) mit der Variablen x heisst Grundform eines Polynoms. n P N : Grad des Polynoms k = 0 a k P R : Koeffizienten, mit k = 0; 1; 2; ; n und a n 0 Polynome n-ten Grades werden oft mit dem Summenzeichen Σ geschrieben. Der Parameter k durchläuft die ganzzahligen Werte von 0 bis n und kommt als Index beim Koeffizienten a k und im Exponenten der Potenz x k vor. Jeder Wert des Parameters k ergibt einen der n + 1 Summanden. 18
Zahlenmengen und Terme 1 Beispiele (1) 3x 1 ist ein Polynom ersten Grades oder ein lineares Polynom: n = 1. Die Koeffizienten sind a 1 = 3 und a 0 = 1. 2 (2) x + 4x + 4 ist ein Polynom zweiten Grades oder ein quadratisches Polynom: n = 2. Die Koeffizienten sind a 2 = 1, a 1 = 4 und a 0 = 4. 3 (3) 5 x 7 x + π ist ein Polynom dritten Grades oder ein kubisches Polynom: n = 3. Die Koeffizienten sind a 3 = 5, a 2 = 0, a 1 = 7 und a 0 = π. 4 2 (4) 5 x x + 7x + 2 ist ein Polynom vierten Grades: n = 4. Die Koeffizienten sind a 4 = 5, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 7 und a 0 = 2. (5) Der Ausdruck x 5 x 2 ist kein Polynom, da er sich nicht in die Grundform (8) verwandeln lässt. Steht die Variable x im Nenner eines Bruchs oder unter einer Wurzel, kann es sich nicht um ein Polynom handeln. (6) 2x (3 x) ist ein quadratisches Polynom. Durch Ausmultiplizieren erhält man die Grundform 2x (3 x) = 6x 2 x 2 = 2 x 2 + 6x. 4 (7) Berechnen Sie die Summe s = (2k 1). k = 1 Lösung: Wir schreiben die Summe aus und erhalten: 4 s = (2k 1) = (2 1 1) + (2 2 1) + (2 3 1) + (2 4 1) k = 1 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Übungen 4 S. 25 1.5 Zahlenfolgen Bei den Zahlenmengen aus Kapitel 1.1 spielte die Reihenfolge der Elemente keine Rolle. Spezielle Mengen, bei denen die Anordnung wesentlich ist, heissen Zahlenfolgen. Zahlenfolge Eine reelle Zahlenfolge { a n } ist eine Menge reeller Zahlen, deren Elemente in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind: { a n } = a 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a n ; n P N*, a k P R (9) Die Elemente a 1 ; a 2 ; a 3 ; heissen Glieder und das n-te Glied a n steht für ein beliebiges Glied der Zahlenfolge. Eine Zahlenfolge kann aus endlich oder unendlich vielen Gliedern bestehen. 19