Inhaltsverzeichnis: 1. Übungsaufgaben zu Kapitel 2 und 3... 2 Aufgabe 1... 2 Aufgabe 2... 2 Aufgabe 3... 2 Aufgabe 4... 2 Aufgabe 5... 3 Aufgabe 6... 3 Aufgabe 7... 4 Aufgabe 8... 4 Aufgabe 9... 4 Aufgabe 10... 5 Aufgabe 11... 5 Aufgabe 12... 6 Aufgabe 13... 6 Aufgabe 14... 6 Aufgabe 15... 6 Aufgabe 16... 6 Aufgabe 17... 7 Aufgabe 18... 7 Aufgabe 19... 7 Aufgabe 20... 7 Aufgabe 21... 8 Aufgabe 22... 8 Aufgabe 23... 9 Aufgabe 24... 9 Aufgabe 25... 9 Aufgabe 26... 10 Aufgabe 27... 10 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 1 von 10
1. Übungsaufgaben zu Kapitel 2 und 3 Aufgabe 1 Wann ist eine Teilerhebung sinnvoller als eine Vollerhebung? Aufgabe 2 Welches Verfahren soll angewendet werden, um eine Teilerhebung durchzuführen? a) Ein Computerhersteller erhält eine Lieferung von 25 000 elektrischen Speicherchips, von denen 500 herausgegriffen werden und auf Funktionsfähigkeit untersucht werden sollen. b) Der aktuelle Wert eines Lagers soll durch eine Stichprobeninventur überprüft werden. Das Lager enthält sehr viele Kleinteile von geringem Wert, eine mittlere Anzahl von Teilen mit mittlerem Wert und relativ wenige Teile von sehr großem Wert. c) Mit der PISA-Studie wollen sich die teilnehmenden Staaten ein Bild davon machen, wie gut es ihren Schulen gelingt, Schüler auf die Herausforderungen der Zukunft vorzubereiten. Zuerst sollen deshalb innerhalb eines Bundeslandes (z.b. Baden-Württemberg, ) für jede Schulform (z.b. Hauptschule, Realschule, Gymnasium, ) Tests durchgeführt werden. d) Die Nürnberger Gesellschaft für Konsumforschung ermittelt die Fernseh- Einschaltquoten. Sie führt dazu Teilerhebungen mit 20 000 Menschen in ganz Deutschland durch. Aufgabe 3 Im Rahmen der PISA-Studie werden Aussagen über alle Schüler in Deutschland getroffen (nicht nur Schüler in Baden-Württemberg). Aus diesem Grund findet zuerst eine Aufteilung aller Schüller in - Bundesländer und - Schulformen statt. Anschließend werden pro Bundesland und Schulform durch Zufall konkrete Schulen ausgewählt. In jeder der ausgewählten Schulen werden alle Schüler getestet. Es handelt sich also bei der PISA-Studie um ein mehrstufiges Stichprobenverfahren. Welche Arten von Stichprobenverfahren werden in den jeweiligen Stufen angewandt? Aufgabe 4 Gegeben eine Messreihe bei der 10 Messungen durchgeführt wurden. Auf dem Erfassungsbogen stehen folgende Werte: Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 2 von 10
14,8 15,2 15,1 14,9 18,4 15,1 15,2 14,9 15,0 unleserlich a) Welcher Messwert ist ein Ausreißer? b) Wie soll mit dem Ausreißer umgegangen werden? c) Wie soll mit dem fehlenden Messwert umgegangen werden? Aufgabe 5 In einem Filialunternehmen soll der Zusammenhang zwischen Ladenverkaufsfläche und Jahresumsatz untersucht werden. In einem bestimmten Jahr ergaben sich in den 10 Filialen folgende Werte: Filiale Nr. Verkaufsfläche (in 1.000 qm) Umsatz (in Mio. EUR) 1 1,21 7,55 2 1,42 7,92 3 0,87 5,28 4 0,49 3,03 5 1,22 3,58 6 0,84 4,53 7 0,42 3,36 8 0,55 2,98 9 0,61 3,40 10 0,89 5,94 a) Untersuchen Sie, welcher der Datensätze unplausibel ist. Zeichnen Sie die Daten dazu in ein x-y-koordinatensystem ein. b) Wie sollte man mit dem in a) gefundenen Datensatz umgehen? Aufgabe 6 Beim Test von Druckern in einer Computerzeitschrift werden die folgenden Merkmale getestet: Merkmal Merkmalsausprägung Merkmalstyp Herstellername HP, IBM, Lexmark, Preis 0-10 000 EUR Gewicht 0-10 kg Seitenzahl pro 0-100 Seiten Minute Gesamturteil Sehr gut, gut, mittel, schlecht, sehr schlecht Geben Sie an, welchen Typ das jeweilige Merkmal hat. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 3 von 10
Aufgabe 7 Ergänzen Sie die untenstehende Tabelle. Merkmalsträger Merkmal Merkmalsausprägungen Merkmalstyp Einzelne Funktionsfähigkeit Glühbirne Einzelne Lebensdauer Glühbirne Lieferung mit 100 Glühbirnen Anzahl der Defektstücke Glühbirnentyp eines Herstellers Qualität bei einem Warentest Aufgabe 8 Eine Maschine schneidet Drahtstücke mit der Solllänge 500 mm zu. Beim Nachmessen von 30 Drahtstücken ergab sich folgende Messreihe: 501; 502; 490; 497; 506; 498; 503; 496; 507; 503; 501; 496; 498; 489; 497; 505; 496; 488; 498; 492; 504; 504; 492; 502; 509; 500; 503; 500; 490; 493 Fassen Sie die Daten wie folgt in Klassen zusammen und zeichnen Sie anschließend ein Histogramm. Klasse Nr. Länge des Drahtstücks in mm Anzahl 1 [487.5, 491.5) 2 [491.5, 495.5) 3 [495.5, 499.5) 4 [499.5, 503.5) 5 [503.5, 507.5) 6 [507.5, 511.5) Aufgabe 9 (i) Berechnen Sie für die Stichprobe 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4 a) das arithmetische Mittel, b) den Median, (ii) Bei einem Abfüllprozess werden folgende Abfüllmengen (in g) in einer Stichprobe vom Umfang n = 20 gemessen: Abfüllmenge (in g) absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 4 von 10
Abfüllmenge (in g) absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 397 1 1/20 398 3 3/20 399 7 7/20 400 5 1/4 401 2 1/10 402 2 1/10 Berechnen Sie a) das arithmetische Mittel, b) den Median, (iii) Bei einer Radarkontrolle von Fahrzeugen werden diejenigen Fahrzeuge registriert, die eine Geschwindigkeit von 50 km/h überschritten haben. Dabei wird die folgende Häufigkeitstabelle angelegt: Klasse Geschwindigkeit in km/h (Merkmalsausprägung) Anzahl der Fahrzeuge (absolute Häufigkeit) Anzahl der Fahrzeuge in % (relative Häufigkeit) 1 50-60 (inkl.) 20 31,25 2 60-70 (inkl.) 12 18,75 3 70-80 (inkl.) 10 15,625 4 80-90 (inkl.) 8 12,5 5 90-100 (inkl.) 6 9,375 6 100-110 (inkl.) 4 6,25 7 110-120 (inkl.) 2 3,125 8 120-130 (inkl.) 2 3,125 Summe 64 100 Berechnen Sie a) das arithmetische Mittel, b) den Median, Aufgabe 10 In einer Firma gibt es sieben Frauen und neun Männer. Die jährlichen Bruttoeinkommen (in Tausend EUR) der Frauen betragen 70,70,70, 80, 80,80, 180, die der Männer 50, 60, 70, 80, 90, 90, 90, 90, 100. Bestimmen Sie für beide Gruppen Median und arithmetisches Mittel. Aufgabe 11 Berechnen Sie die Mittelwerte der folgenden Stichproben: a) 120; 300; 200; 1000; 350. b) Werte 1 4 9 16 25 absolute Häufigkeiten 10 12 17 15 16 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 5 von 10
Aufgabe 12 Berechnen Sie Median und arithmetisches Mittel der Stichproben a) 2000 1000 2500 1500 20000 b) 3000 2000 4000 1000 12000 20000 Aufgabe 13 Berechnen Sie den Median der Daten in der klassierten Häufigkeitstabelle. Klasse Absolute Klassenhäufigkeit (0;20] 8 (20;40] 10 (40;60] 11 (60;80] 8 (80;100] 13 Aufgabe 14 Gegeben ist Messreihe 9, 13, 7, 5, 11. Berechnen Sie c) den arithmetischen Mittelwert; d) empirische Varianz, e) empirische Standardabweichung. Aufgabe 15 Untersucht werden Nageltüten mit der Aufschrift 100 Stück. Zur Kontrolle werden aus der Lieferung zweier verschiedener Firmen jeweils 20 Packungen ausgewählt. Dabei ergaben sich folgende absolute Häufigkeitsverteilungen. Firma A: Inhalt 98 99 100 101 102 Häufigkeit 1 4 8 4 3 Firma B: Inhalt 96 97 98 99 100 101 102 103 104 Häufigkeit 1 2 2 2 4 3 3 1 2 Berechnen Sie das arithmetische Mittel, empirische Varianz und empirische Standardabweichung. Aufgabe 16 Betrachten Sie die beiden Messreihen Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 6 von 10
a) 9, 13, 7, 5, 8 b) 9, 13, 7, 5, 8, 20 Berechnen Sie jeweils den Median und die Spannweite. Aufgabe 17 Bei einem chemischen Prozess füllt eine Dosiermaschine eine Substanz ab. Folgende Messreihe wurde ermittelt: 105 g 103 g 103 g 107 g 108 g 106 g Berechnen Sie a) den arithmetischen Mittelwert; b) empirische Varianz und empirische Standardabweichung; c) Median und Spannweite. Aufgabe 18 Gegeben ist die 30 Werte umfassende Messreihe aus Aufgabe 8. Berechnen Sie a) den arithmetischen Mittelwert (genügt näherungsweise), b) empirische Varianz und empirische Standardabweichung (genügt näherungsweise), c) Median, d) Spannweite. Aufgabe 19 Im Rahmen der Qualitätskontrolle bei der Fertigung eines Bauteils ergaben sich folgende Messwerte: 2-mal 17,0 mm 33-mal 17,1 mm 270-mal 17,2 mm 423-mal 17,3 mm 234-mal 17,4 mm 34-mal 17,5 mm 4-mal 17,6 mm Berechnen Sie a) den arithmetischen Mittelwert; b) die empirische Varianz. Aufgabe 20 Zwei Maschinen füllen Wasser in 0,7-l-Flaschen ab. Aus der laufenden Produktion wurden je 20 Flaschen entnommen und die Füllmengen gemessen. Nach Klassenbildung ergaben sich unten stehende Häufigkeitstabellen. Berechnen Sie jeweils arithmetischen Mittelwert, empirische Varianz und empirische Standardabweichung. Maschine A: Klasse i Füllmenge in ml Anzahl h i 1 [699,5; 700,5) 6 2 [700,5; 701,5) 8 3 [701,5; 702,5) 5 4 [702,5; 703,5) 1 Maschine B: Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 7 von 10
Klasse i Füllmenge in ml Anzahl h i 1 [697,5; 698,5) 2 2 [698,5; 699,5) 3 3 [699,5; 700,5) 3 4 [700,5; 701,5) 4 5 [701,5; 702,5) 4 6 [702,5; 703,5) 3 7 [703,5; 704,5) 1 Aufgabe 21 Die Lebensdauern (in Jahren) von 25 Kühlaggregaten wurden vom Hersteller gemessen. Es ergab sich folgende geordnete Messreihe: 0,05; 0,15; 0,18; 0,24; 0,25; 0,30; 0,52; 0,64; 1,27; 1,38; 2,78; 3,05; 3,79; 4,03; 4,10; 4,28; 4,67; 5,44; 5,68; 6,16; 6,96; 7,33; 7,74; 8,18; 11,82 a) Zeichnen Sie ein Histogramm. Verwenden Sie dabei eine Klassenbreite von 2,5 [Jahren], beginnend mit der Klasse [0; 2,5). Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert und den empirischen Median der Messreihe. Berechnen Sie Spannweite, empirische Varianz und empirische Standardabweichung der Messreihe. b) Nehmen Sie an, Sie hätten nicht die oben angegebene ursprüngliche Messreihe vorliegen, sondern nur die in a) bestimmte Häufigkeitstabelle nach Klasseneinteilung. Berechnen Sie aus dieser Häufigkeitstabelle arithmetischen Mittelwert, empirische Varianz und empirische Standardabweichung Aufgabe 22 a) Von 15 zufällig ausgewählten erwachsenen Personen werden Körpergröße x und Gewicht y gemessen. Es ergeben sich folgende Wertepaare x ) in cm bzw. kg: ( i, yi (163, 59), (165, 62), (166, 65), (169, 69), (170, 65), (171, 69), (171, 76), (173, 73), (174, 75), (175, 73), (177, 80), (177, 71), (179, 82), (180, 84), (185, 81) Stellen Sie diese Daten graphisch durch ein Streudiagramm dar und berechnen Sie empirische Kovarianz und den empirischen Korrelationskoeffizienten. b) Von 15 zufällig ausgewählten erwachsenen Personen wird deren Körpergröße x und ihr monatliches Einkommen y ermittelt. Es ergeben sich folgende Wertepaare x ) in cm bzw. EUR. ( i, yi (163, 2900), (165, 1100), (166, 3600), (169, 2300), (170, 4000), (171, 5600), Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 8 von 10
(171, 2100), (173, 5100), (174, 3400), (175, 1800), (177, 2100), (177, 2600), (179, 4600), (180, 3600), (185, 2300). Stellen Sie diese Daten durch ein Streudiagramm dar und berechnen Sie empirische Kovarianz und den empirischen Korrelationskoeffizienten. Aufgabe 23 Bei 10 PKWs wurden Gewicht und Benzinverbrauch pro 100 km gemessen. Es ergaben sich folgende Daten (Tonnen, Liter): (1,5; 7,7), (1,8; 9,1), (1,4; 8,3), (2,2; 10,0), (1,3; 7,7), (1,7; 8,3), (1,5; 9,1), (1,7; 8,3), (1,4; 8,3), (1,2; 7,1). Bestimmen Sie den empirischen Korrelationskoeffizienten und die Regressionsgerade. Mit welchem Benzinverbrauch muss man bei einem Gewicht von 2,5 t rechnen? Aufgabe 24 a) Zeichnen Sie für den Datensatz aus Aufgabe 5 (alle 10 Filialen) ein Streudiagramm. b) Berechnen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden, die die Abhängigkeit des Umsatzes von der Verkaufsfläche beschreibt. c) Zeichnen Sie die Regressionsgerade in Ihr Streudiagramm ein. d) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Wie beurteilen Sie die Stärke des linearen Zusammenhangs? e) Streichen Sie den Datensatz der Filiale 5. Wiederholen Sie die Aufgabenteile b) bis d) für die verbleibenden 9 Filialen. Aufgabe 25 Welcher Korrelationskoeffizient kommt für das Streudiagramm in Frage? 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 a) r=0,8682, b) r=-0,9153 c) r=0,0128 d) r=1,3702 Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 9 von 10
Aufgabe 26 Versuchsergebnisse: Härte von Stahl bei Kaltverformung (K. Schimz, Industr. Organisation 26, 1957, 107) Versuch Einsenktiefe Brinellhärte i x i [mm] y i [kg/mm 2 ] 1 6 68 2 9 67 3 11 65 4 13 53 5 22 44 6 26 40 7 28 37 8 33 34 9 35 32 a) Berechnen Sie die Gleichung der empirischen Regressionsgeraden. b) Mit welcher Stahlhärte muss man bei Einsenktiefe 16 mm rechnen? c) Berechnen Sie den empirischen Korrelationskoeffizienten und das Bestimmtheitsmaß 2 R d) Interpretieren Sie den Zahlenwert aus c). Aufgabe 27 Bei Studierenden des gleichen Studiengangs wurde das Alter beim Beginn des Studiums (Merkmal X) und die Anzahl der benötigten Semester (Merkmal Y) festgestellt. In der nachfolgenden Tabelle (Kontingenztabelle) sind die gemeinsamen absoluten Häufigkeiten zusammengestellt. Y (Studiendauer) X 8 9 10 11 12 20 11 13 11 3 2 21 21 37 32 21 13 22 29 39 32 25 10 23 27 31 24 10 5 24 14 13 12 6 2 a) Bestimmen Sie von den beiden Stichproben x (Alter beim Studienbeginn) und y (Studiendauer) den Median, den Mittelwert sowie die Varianz. b) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten zwischen x und y Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 10 von 10