Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt : Herleitug der Potezregel Ziel: Zu de Potezfuktioe f() = ; f() = 3 ; f() = 4 usw. soll die Ableitug gefude werde. Aufgabe Bearbeite Sie die Zeile mit f() = 3 ud f() = 4. Fuktio f mit f() =... Differezequotiet a der Stelle Vereiface des Differezequotiete (siee Hilfsmittel biomisce f ( ) f () Formel) f() = f() = 3 ( ) = (mit kürze) = + Für 0 strebt der Differezequotiet gege de Grezwert... Grezwert für 0 ist Ergebis: Die Ableitug f ) ist... f () = f() = 4 Hilfsmittel (biomisce Formel) (a+b) = a + ab + b ; also (+) = + + (a+b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab +b 3 ; also (+) 3 =....................... (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 ; also (+) 4 =....................... Aufgabe a) Trage Sie die Ergebisse aus Aufgabe i die Tabelle ei. Fuktio f() = f() = f() = 3 f() = 4 f() = 5 f() = 6 f() = 7 Ableitug f () = f () = f () = f () = f () = f () = f () = b) Aus der Tabelle ist eie Regel zu erkee, wie ma die Ableitug eier Potezfuktio auc oe Berecug durc Veräderug des Fuktiosterms vo f eralte ka. Ergäze Sie die Regel: Die Hoczal wird vor die -Potez kommt als Faktor. Ergäze Sie auf diese Weise die felede Ableituge i der Tabelle. Aufgabe 3 Ergäze Sie mit dem Ergebis aus Ausgabe 3 de matematisce Satz: Potezregel Eie Potezfuktio der Form f() = ( = ; ; 3;...) at die Ableitug f () =............. Aufgabe 4 Prüfe Sie, ob die Potezregel auc für die Hoczal 0 gilt, also für die Fuktio f() = 0. Bestimme Sie dazu die Ableitug vo f ascaulic mit Hilfe des Grape vo f; vergleice Sie mit der Ableitug, wie sie sic aus der Potezregel ergebe würde. ud Seite vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt : Beweis der Potezregel Ziel: Die Gültigkeit der Potezregel soll für jede Zal atürlice Hoczal ( ) acgewiese werde. Aufgabe Zum Beweis beötigt ma die Screibweise vo Biome wie (+) ; (+) 3 ; (+) 4 usw. als Summe. Dies wird i dieser Aufgabe erläutert. a) Es ist (a+b) = (a+b). (a+b) ; ausmultipliziere ergibt (a+b) =. a +. ab +. b Bestätige Sie durc ausmultipliziere: (a+b) 3 =. a 3 + 3. a. b + 3. a. b +. b 3 b) I der Tabelle ist das Pascal sce Dreieck dargestellt. Jede Zal ergibt sic als Summe der zwei scräg darübersteede Zale. Ergäze Sie die felede Zale i de letzte drei Zeile. 0 (a+b) (a+b) (a+b) 3 3 3 (a+b) 4 4 6 4 (a+b) 5 (a+b) 6 (a+b) 7 c) We ma ei Biom als Summe screibt, köe die Koeffiziete der Summade am Pascal sce Dreieck abgelese werde. Ergäze Sie die felede Koeffiziete: (+) 4 = 4 + 3. +. + 3 + 4 d) Beacte Sie dabei die Hoczale: Sie falle bzw. steige jeweils um. Ergäze Sie die Hoczale: (+) 5 =. + 5. + 0.. + 0.. +5.. +. e) Screibe Sie als Summe: (+) 6 = f) Es soll (+) als Summe gescriebe werde. Ergäze Sie die felede Hoczale.. Drücke Sie die felede Koeffiziete als Zal oder als Term mit der Variable aus. Die restlice Koeffiziete sid mit z, z, usw. bezeicet. (+) =. z 3 z 4 z. Aufgabe Ma ka de Beweis der Potezregel ict für jede Hoczal eizel durcfüre, da es uedlic viele atürlice Hoczale gibt. Desalb argumetiert ma allgemei mit der Hoczal. Beweis für de Satz: Ist f() =, da ist f () =. - ( =,, 3, 4,...) f ( ) f () ( ) () Differezequotiet vo f() a der Stelle : = () Vereiface des Differezequotiete: Ergäze Sie die Hoczale. ud die Koeffiziete. ( ) ( z 3 z 3 Ergäze Sie die felede Poteze vo. =. - + z 3. -. + z 4. -3. +... +.. + z 4 z (3) Für 0 strebt der Differezequotiet gege de Grezwert........ ; also ist: f () =...... Ede des Beweises 4 3 3 ) Seite vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 3: Das Pascalsce Dreieck Ziel: Sie solle ac Bearbeitug dieses Blattes Terme (Biome) der Form (a+b) ( = ; 3; 4;.. ) zügig als Summe screibe köe ud wisse, wie diese Summe aufgebaut ist. Aufgabe Die Potez (a+b) ergibt als Summe gescriebe: (a + b) = (a + b). (a + b) = a +ab + b Die Potez (a + b) 3 ka ma so als Summe screibe: (a+b) 3 = (a + b). (a + b) = (a +ab + b ). (a + b) =......................... Berece Sie diese Summe. Screibe Sie die Summade geordet, begied mit der öcste Potez vo a, ac absteigede Poteze vo a; also: (a+b) 3 = a 3 + a. b + a. b + b 3 (Ergäze Sie die Zale a de Stelle ). Aufgabe a) Wie köte das ute steede Pascalsce Dreieck aufgebaut sei? Fülle Sie die Kästce im Dreieck bis zur 0-te Zeile aus. 0 3 3 3 4 4 6 4 5 6 7 8 9 0 b) Wie ätte Sie die Terme (a+b) ud (a+b) 3 aus Aufgabe mit Hilfe dieser Tabelle scell als Summe iscreibe köe? c) Screibe Sie die folgede Terme mitilfe des Pascal sce Dreiecks direkt als Summe, das eißt oe Scritt für Scritt auszumultipliziere. (a+b) 4 = a 4 + a 3. b + a. b + a b 3 + b 4 (a+b) 5 =.............................. (+) 3 =.............................. (+) 7 =.............................. Aufgabe 3 Beatworte Sie diese Frage oe Recug, ur durc Nacdeke. Der Term ( + ) 00 soll als Summe gescriebe werde. a) Wie viele Summade etalte keie Faktor? Wie laute diese Summade? b) Wie viele Summade etalte geau de Faktor? Wie laute diese Summade? Aufgabe 4 Dieses Recescema fuktioiert oc bei weitere Terme. Screibe Sie als Summe: ( + b) 3 =............... ( y) 3 =............... ( ) 6 =............... ( + ) 4 =............... Seite 3 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 4: Die Ableituge vo f()= ; f() = ; f() = 3 ;... Ziel: Zu de Fuktioe f mit f() = ud f() = soll die Ableitug gefude werde. Aufgabe a) Welce Zale sid gleic? ; 5 - ; 5 ; -5; 5 - ; 5 5 ; -5; b)die Fuktiosterme ; ; 3 ka ma oe Brucstric als Potez screibe. Ergäze Sie jeweils die Hoczal: f() = =. ; f() = =. ; f() = =.. Aufgabe Das Ableite vo f() = mit der Potezregel ist biser ur für die Hoczale 0; ; ; 3;... begrüdet. Falls diese Regel auc für die Hoczale -; -; -3:... gelte würde, da würde für die Ableituge gelte (ergäze Sie): a) f() = = - b) f() = c) f() = = = 3 3 ; Vermutug für die Ableitug f () = = ; Vermutug für die Ableitug f () = = ; Vermutug für die Ableitug f () = = Aufgabe 3 Hier wird utersuct, ob die vermutete Ableitug aus Aufgabe a) rictig sei ka. Dazu werde mit dem GTR zwei Grape erstellt ud auf Übereistimmug utersuct.. 5 Gebe Sie i de GTR die Fuktio Gebe Sie i de GTR direkt die i Aufgabe a) vermutete Ableitugsfuktio f ei. Erstelle Sie de Gra- f() = ei. Erstelle Sie mit dem GTR de Grape der Ableitugsfuktio vo f. pe. Beacte: Vergleice Sie die Fuktioswerte auc mitilfe vo Wertetabelle. Ergebis: Die Vermutug aus Aufgabe a) wird durc de Vergleic der Grape ict bestätigt bestätigt. Aufgabe 4 Füre Sie de Vergleic aus Aufgabe 3 für die Fuktioe f() = ud f() = 3 durc. Ergebis: Die Vermutug aus Aufgabe b) wird ict bestätigt bestätigt. Die Vermutug aus Aufgabe c) wird ict bestätigt bestätigt Aufgabe 5a) Ergäze Sie mit de Ergebisse aus Aufgabe 3 ud 4 de matematisce Satz: Eie Potezfuktio der Form f() = z (z ) at die Ableitug f () =. b) Kreuze Sie a, welce Fuktio ma aufgrud dieses Satzes ableite ka ud leite Sie sie ab. f() = -7. Ableitug:....... f() = 0. Ableitug:......... f() =. -6. Ableitug:....... f() =. Ableitug:.......... Seite 4 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 5: Die Ableituge vo f()= ; f() = ; f() = 3 ;... Ziel: Zu de Fuktioe f mit f() = ud f() = soll die Ableitug gefude werde. Aufgabe a) Welce Zale sid gleic? ; 5 - ; 5 ; -5; 5 - ; 5 5 ; -5; b)die Fuktiosterme ; ; 3 ka ma oe Brucstric als Potez screibe. Ergäze Sie =. =. die Hoczal: f() = =. ; f() = ; f() = Aufgabe Das Ableite vo f() = mit der Potezregel ist biser ur für die Hoczale 0; ; ; 3;... begrüdet. Falls diese Regel auc für die Hoczale -; -; -3:... gelte würde, da würde für die Ableituge gelte (ergäze Sie): a) f() = = - b) f() = = c) f() = = 3 3 ; Vermutug für die Ableitug f () = = ; Vermutug für die Ableitug f () = = ; Vermutug für die Ableitug f () = = Aufgabe 3 Hier wird utersuct, ob die vermutete Ableitug aus Aufgabe a) rictig sei ka. Dazu werde zwei Wertetabelle erstellt ud auf Übereistimmug utersuct. Trage Sie i die Tabelle die grapisc ermittelte Werte der Ableitug vo f () = ei. Beutze Sie dazu Figur auf dem Zusatzblatt. - 0,5 3 f ().. 5 Trage Sie i die Tabelle die Werte der vermutete Ableitug vo f () = ei, so wie sie sic i a) mit der Potezregel ergebe würde. - 0,5 3 Vergleice Sie die Werte i de Wertetabelle. Ergebis: Die Vermutug aus Aufgabe a) wird durc de Vergleic der Grape ict bestätigt bestätigt. Aufgabe 4 Füre Sie de Vergleic aus Aufgabe 3 für die Fuktio f() = durc (Figur Zusatzblatt) Grapisc ermittelte Werte der Ableitug vo f. Vermutete Werte der Ableitug ac Aufg. b. - - 3 - - 3 f () f aus b) Ergebis: Die Vermutug aus Aufgabe b) wird ict bestätigt bestätigt. Aufgabe 5a) Ergäze Sie mit de Ergebisse aus Aufgabe 3 ud 4 de matematisce Satz: Eie Potezfuktio der Form f() = z (z Z) at die Ableitug f () =. b) Kreuze Sie a, welce Fuktio ma aufgrud dieses Satzes ableite ka ud leite Sie sie ab. f() = -7. f () =..... ; f() = 0. f () =..... ; f() =. f () =........ Seite 5 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Zusatzblatt zu AB 5 Figur : f() =. Figur : f() =. Seite 6 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 6: Beweis der Ableitug vo f()= Ziel: Zur Fuktio f mit f() = soll die Ableitug ergeleitet ud bewiese werde.. Differezequotiet a der Stelle : f ( ) f (). Der Fuktiosterm vo f() wird eigesetzt 3. Vereiface dieses Bructermes. a) Die Brüce werde auf de Haupteer (+). gebract, damit sie subtraiert werde köe. ( ) ( ) b) Die Brüce im Zäler werde auf eie Brucstric zusammegefasst ( ( ) ) c) Der Zäler wird vereifact ( ) d) Durc die Zal wird dividiert, idem ma mit der Kerzal multipliziert ( ) e) Es wird mit gekürzt. ( ) 4. Der Grezwert des Differezequotiete für 0 ka jetzt bestimmt werde. Der Grezwert eistiert ud es gilt: f () lim 0 ( ) Ede des Beweises Seite 7 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Ziel: Zu der Fuktio f mit f() = Arbeitsblatt 7: Beweis der Ableitug vo f()= soll die Ableitug ergeleitet werde.. Differezequotiet a der Stelle : f ( ) f (). Der Fuktiosterm vo f() wird eigesetzt 3. Vereiface dieses Bructermes. a) Die Brüce werde auf de Haupteer (+). gebract, damit sie subtraiert werde köe. ( ) ( ) b) Die Brüce im Zäler werde auf eie Brucstric zusammegefasst ud der das Biom ausmultipliziert. ( ( ) ) c) Der Zäler wird vereifact ( ) d) Durc die Zal wird dividiert, idem ma mit der Kerzal multipliziert ( ) e) Es wird mit gekürzt. 4. Der Grezwert des Differezequotiete für 0 ka jetzt bestimmt werde. ( ) Ede des Beweises f () lim 0 ( ) Seite 8 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 8: Herleitug der Faktorregel Ziel: Es soll eie Regel für die Ableitug eier zusammegesetze Fuktio f() = k. g() gefude werde, falls die Ableitug vo g bekat ist. Biser ist als eizige Ableitugsregel die Potezregel bekat, mit der ma jede Fuktio der Form g() = z (z ) ableite ka. Diese Grudfuktioe der Form g() = z ka ma zu eue Fuktioe zusammesetze, z.b. f() =. ; die Grudfuktio g() = wird mit dem Faktor multipliziert. Allgemei ka ma so zu eier beliebige Fuktio g eie eue Fuktio der Form f() = k. g() bilde (k ist eie Zal). Aufgabe Grudfuktio: g() = Grudfuktio: g() = a) Der zweite Grap geört zu eier Fuktio der Form f() = k. g(). Bestimme Sie k. f() =. g() =. f() =. g() =. b) Hier wird utersuct, wie sic der Faktor k auf die Ableitug vo f auswirkt. Die Ableitug vo g ka mit der Potezregel bestimmt werde: g () =.... g () =.... Die Ableitug vo f wird grapisc (Geodreieck) bestimmt. Trage Sie die Ergebisse i die Tabelle ei. (Bei g() = ur Näerugswerte für die Ableituge). - - 0 g () f () Vermutetes Ergebis: Die Ableitug f vo f ist im Vergleic zur Ableitug g vo g: f () =.... g () f () =.... g () Aufgabe a) Formuliere Sie die Faktorregel: g () f () Ist f eie Fuktio der Form f() = k. g() ud ist die Ableitug g vo g bekat, da ist die Ableitug vo f: f () =. b) Orde Sie die Kärtce zu eiem Beweis der Faktorregel. Begie Sie mit *. Der Differezequotiet vo f wird mit g ausgedrückt k. g ( k g( ) g() f ( ) k f () [g( ) strebt für 0 gege g()] k g( ) *Differezequotiet vo f a der Stelle k g() Seite 9 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 9: Herleitug der Summeregel Ziel: Es soll eie Regel für die Ableitug eier zusammegesetze Fuktio f() = g() + () gefude werde, falls die Ableituge vo g ud bekat sid. Grudfuktioe der Form g() = z ka ma mit der Potezregel ableite. Aus diese Grudfuktioe ka ma eue Fuktioe zusammesetze, zum Beispiel f() = + 3 ist die Summe der Fuktioe g() = ud () = 3. Allgemei ka ma so zu beliebige Fuktioe g ud eie eue Fuktio der Form f() = g() + () bilde. Aufgabe Figur Gegebe: g() = 0,5. ud () = 0,5. (siee Figur ). a) Der Fuktiosterm vo f() = g() + () lautet: f() =...... Zeice Sie de Grap vo f i Figur ei (evtl. mit Hilfe des GTR). b) Hier wird utersuct, wie sic das Plus- Zeice im Fuktiosterm g() + () auf die Ableitug vo f auswirkt. Dazu werde zwei versciedee Zugäge verglice: () Bestimme Sie mit der Faktorregel g () =.... ud () =.... Berece Sie die Werte der erste drei Zeile i der Tabelle. () Bestimme Sie die Werte der letzte Tabellezeile grapisc i Fig. 0 4 g () berecet () berecet g () + () berecet f () gemesse (GTR) Vermutetes Ergebis: Sid die Ableituge g vo g ud vo bekat, da ist die Ableitug der Summe f() = g()+() vo g ud : f () =............. Aufgabe Die Vermutug aus Aufgabe rictig ud eißt Summeregel. Orde Sie die Kärtce zu eiem Beweis der Summeregel. Begie Sie mit *. Der Differezequotiet vo f wird auf g ud zurückgefürt g( ) g() ( ) () *Differezequotiet vo f a der Stelle g () + () g( ) ( ) [g( g() ) g()] [( () ) ()] [g( ) f ( ( ) f () )] [g() ()] strebt für 0 gege gege Aufgabe 3 Leite Sie mit Hilfe der Faktorregel ud der Summeregel ab. a) f() = 3 4 + + ; f () =...... b) f() = 3 3 0,6 - ; f () =...... Seite 0 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 0: Ableitug vo f() = si() ud g() = cos() Ziel: Zu f() = si() ud g() = cos() solle die Ableitugsfuktio gefude werde. - 0 0,5π π 4,5π π,5π 3π f () grapisc - 0 0,5π π 4,5π π,5π 3π g () grapisc Aufgabe a) Bestimme Sie i A a de bezeicete Stelle grapisc die Steigug vo f() = si() ud trage Sie die gemessee Werte für f () i die Tabelle ei. b) Übertrage Sie die Werte der Tabelle aus a) als Pukte i das Koordiatesystem vo A ud verbide Sie sie zu eiem Grap der Ableitugsfuktio f. c) Wie lautet die vermutlic die Ableitugsfuktio f vo f() = si()? Vermutug: Die Ableitug vo f() = si() ist f () =......... Aufgabe Bearbeite Sie de Grap vo g() = cos() i B etspreced Aufgabe. Wie lautet die vermutlic die Ableitugsfuktio g vo g() = cos()? Vermutug: Die Ableitug vo g() = cos() ist g () =......... Aufgabe 3 Leite Sie ab. a) f() = si(); f () =..... b) f() = 3cos(); f () =..... c) f() = si() + ; f () =..... d) f() = -3cos() - ²; f () =..... Aufgabe 4 Bilde Sie vo f() = si() die erste Ableitug f, die zweite Ableitug f die dritte Ableitug f, die vierte Ableitug f (IV), die füfte Ableitug f (V) ud die secste Ableitug f (VI). f () =.... f () =.... f () =.... f (IV) () =.... f (V) () =.... f (VI) () =.... Seite vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt : Eifürug der Fuktio f() = e ud irer Ableitug Ziel: Das Auffide vo Ableituge zu Epoetialfuktioe der Form f()= a ; z.b. f()=. (Beacte: Bei stet als Hoczal, ict als Grudzal wie bei.) A g() = 4 B () = Aufgabe I A sid die Grape der Fuktio g() = 4 ud irer Ableitug g abgebildet. a) Erzeuge Sie diese Grape ud die Wertetabelle auf dem GTR. b) Der Grap vo g liegt oberalb des Grape vo g. Ma ka vermute: Es gibt eie Zal k mit g () = k. g () g(), also = k. g() g() g () - 0 Fülle Sie zur Kotrolle dieser Vermutug die Tabelle aus. Nutze Sie dazu de GTR. (Erzeuge Sie mit dem GTR eie Grape ud eie Tabelle zum Fuktiosterm g () g() Vermutug: Die Fuktio g() = 4 at die Ableitug g ()...... 4. g () g() ). Aufgabe I B liegt der Grap vo uteralb des Grape vo () =. Ergäze Sie die Tabelle wie i Aufgabe. Vermutug: Die Fuktio ()= at die Ableitug ()...... - 0 () () () () Aufgabe 3 I A ud B liegt der Grap der Ableitug oberalb bzw. uteralb vom Grape der Fuktio. Suce Sie mit dem GTR eie Fuktio f() = a, dere Grap mit dem Grap der Ableitug f übereistimmt. Variiere Sie dabei die Grudzal a. Ergebis: Die Fuktio f() = a mit a..... ergibt abgeleitet sic selbst. Aufgabe 4 Die i Aufgabe 3 gefudee Zal a et ma die Euler sce Zal e (e.....) Ma ka die Zal e ur äerugsweise agebe. Es gilt ac Aufgabe 3: Die Ableitug der Fuktio f() = e ist f () = e. Leite ab: a) f() =. e b) f() = e + c) f() = 4. e d) f() = -e e) f() = e + e f) f() = e g) f() = -,5. e ) f() = 3. e Seite vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt : Die Verkettug vo Fuktioe Ziel: Keelere eier eue Metode, zwei Fuktioe zu eier eue Fuktio zusamme zu setze. Aufgabe Eie Fuktio ka ma als eie Automate betracte, i de ma eie Zal eiwirft ud der daraufi eie bestimmte Zal auswirft. Ergäze Sie die Tabelle. Eigabe g: Ausgabe 4 00 u 3z 3 z Eigabe : + Ausgabe 5 0, y 3u Aufgabe Ma ka zwei Automate (Fuktioe) itereiader scalte. I der like Tabelle kommt zuerst der Automat g ud da der Automat. Ergäze Sie die Tabelle. Aufgabe 4 I dieser Tabelle ist die Reiefolge der Automate(Fuktioe) vertausct. Hier kommt zuerst ud da g. Ergäze Sie die Tabelle. Eigabe g: : + Ausgabe 9 3 7 00 u 3 - si() Eigabe : + g: Ausgabe 9 00 u 3 si() Aufgabe 3 Diese Hitereiaderscaltug vo zwei Fuktioe eißt Verkettug vo ud g. Je ac Reiefolge ergebe sic die versciedee Fuktioswerte (g()) (lies: vo g vo ) bzw. g(()) (lies: g vo vo ). g zuerst awede zuerst awede g ist die iere, die äußere Fuktio ist die iere, g die äußere Fuktio Es ist () = ud g() = +. Berece Sie oder gebe Sie de Fuktiosterm a. (g()) =..... (g(-)) =..... (g(u)) =.... (g()) =..... g(()) =..... g((-)) =..... g((u)) =.... g(()) =..... Aufgabe 4 Die Verkettug der Fuktioe g ud at je ac Reiefolge die Name g (lies: ac g) bzw. g (lies: g ac ) ( g)() = (g()); bzw. g : g(()) Bestimme Sie zu g() = ud () = 3 die Fuktiosterme vo g ud g. Fuktiosterm vo g :....... Fuktiosterm vo g:........ Seite 3 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 3: Die Ableitug eier Verkettug vo Fuktioe Ziel: Es soll eie Regel für die Ableitug eier Verkettug f() = g(())gefude werde, falls die Ableituge vo g ud bekat sid. Aufgabe I der Tabelle werde ur Verkettuge f() = g(() utersuct, die ma ac Umforme des Fuktiosterms mit de sco bekate Ableitugsregel ableite ka. Beispiel: f() = (3) ist eie Verkettug. Wie lautet die Ableitug? f ka ma oe Verkettug screibe: f() = 9. Die Ableitug ist: f () = 8. a) Ergäze Sie die Tabelle. I der recte Spalte liegt das Problem! Fuktio f() = f () = f als Verkettug Wie ergibt sic f () direkt aus der Verkettug? 9 8 ()=3 ; g()= 8 =? (3) = 6 ist falsc; f() = g(() = (3) Korrekturfaktor? 4 8 ()= ;g()= 8 =?. () = f() = g(() = () 4 +4+ ()= ;g()= f()=g(()=(+) 4 + + ()= ; g()= f()=g(()= ( +) ()= ; g()= f()=g(()=( 3) b) Aus der Tabelle ka ma eie Vermutug zur Ableitug eier Verkettug erscließe. Ergäze Sie die Worte iere() bzw. äußere(). Vermutug: Leite zuäcst die Fuktio ab; beadle dabei die Fuktio als Variable. Multipliziere diese Term mit der Ableitug der Fuktio. c) Beurteile Sie, ob ier rictig abgeleitet wurde. f() = (6 + 4) ; f () =. (6+4). 6 rictig falsc. Korrektur: f () =....... f() = ( - 4) 3 ; f () = 3. ( - 4) rictig falsc. Korrektur: f () =....... f() = ( - 4) 3 ; f () = 3. ( - 4). rictig falsc. Korrektur: f () =....... f() = ( + 7) ; f () =. ( + 7). rictig falsc. Korrektur: f () =....... Aufgabe a) Die i Aufgabe gefudee Ableitugsregel für Verkettuge eißt Ketteregel. Ergäze Sie im Kaste mit Hilfe der Kärtce eie matematisce Formulierug vo f. Ist f() = g(()) eie Verkettug vo g ud, da ka ma die Ableitug folgedermaße eralte: b) Leite Sie mit der Ketteregel ab. (Ergäze Sie) f() = (si()) ; f () =. si()...... f() = (4 + ) - ; f () =.... (4 + ) -3.... = (mit Brucstric)........... f() = 3 5 = (oe Brucstric)........ ; f () =........= (mit Brucstric)........ () f () = (()) g Seite 4 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 4: Die Ableitug eies Produktes vo Fuktioe Ziel: Es soll eie Regel für die Ableitug eies Produktes f() = g(). () gefude werde, falls die Ableituge vo g ud bekat sid. Aufgabe Bei eier Summe f = g + vo Fuktioe gilt: f () = g () + (). Eie etsprecede eiface Ableitugsregel für ei Produkt f = g. gilt ict, das eißt im Allgemeie gilt: f () g (). (). Zum Nacweis dieses Nictgeltes dieser Regel geügt ei Gegebeispiel: f() = g(). () =. 3 = 5. a) Berece Sie die rictige Ableitug vo f() = 5. Ergebis: f () =....... b) Berece Sie die Ableituge vo g ud getret ud multipliziere Sie sie ascließed. Ergebis: g () =.... ; () =.... ; also g (). () =..... Aufgabe Es soll eie Regel zur Ableitug eies Produktes f() = g(). () gefude werde. Dabei wird utersuct, ob sic f als Kombiatio vo g,, g oder screibe lässt. Fülle Sie die Tabelle aus. (I der recte Spalte darf ma ei weig kobel.) g f = g. Rictige Abl. f g Ist f eie Kombiatio vo g,, g,? 3 3 6 3 6 = 6g() oder () oder g() ()+()g () oder ½ g (g+) oder -3gg ² ³ 3² 3 = ² ³ 5 ² 5 7 Vermutug: Die Ableitug vo f() = g(). () ist f () =............ Aufgabe 3 Herleitug ud Nacweis der Vermutug aus Aufgabe. Kurzform eies Beweises zur Ableitug eies Produktes (g. ) vo Fuktioe: Biomisce Formel: (g + )² = g² + g. + ² Beide Seite ableite: () (g+). (g+) = g. g +(g. ) +. () (g + ). (g + ) = g. g +(g. ) +. (3) g. g + g. +. g +. = g. g + (g. ) +. (4) g. +. g = (g. ) Erläuter Sie a) warum i Zeile () auf der like Seite der Term (g+) ud auf der recte Seite die Terme g ud stee. b) warum i Zeile () ur die mit Pfeile gekezeicete Fuktioe abgeleitet werde, aber das Produkt (g. ) ur mit dem Ableitugszeice versee wird. c) welce Umformug vo Zeile ac Zeile durcgefürt wurde. d) ac welcer Receregel vo Zeile () ac Zeile (3) die like Seite umgeformt wurde. e) das Ergebis i Zeile (4) i Worte. Seite 5 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 5: Defiitio der Mootoie Ziel: Die ascaulice Vorstellug vo asteigeder Grap ud absteigeder Grap soll matematisc präzise formuliert werde Die Scaubilder zeige jeweils eie Grape eier Fuktio f auf eiem Itervall. Diese Grape sid vo liks ac rects asteiged. Dieser Grap ist absteiged. Itervall I =[0,5;4] Itervall I =[-;3] Itervall I =[-;3] Aufgabe Welce Aussage begrüdet ei Asteige des Grape vo f? a) Für zwei Zale = 0 ud = aus I gilt f( ) > f( ). b) Für alle Zale ud aus I gilt f( ) f( ). c) We ud zwei Zale aus I sid ud die größere Zal ist, da gilt f( ) < f( ). d) We I ud I ud <, da gilt f( ) < f( ). Aufgabe Eie Fuktio f eißt streg mooto steiged (sms) auf eiem Itervall I, falls gilt: We, I ud <, da gilt f( ) < f( ).) Ergäze: Eie Fuktio f eißt streg mooto falled (smf) auf eiem Itervall I, falls gilt: We........ ud......, da gilt.......... b) Bei der Fuktio f mit f() = 3 (siee Figur) ist ascaulic uklar, ob sie um = 0 erum streg mooto steiged ist. Fülle Sie die Tabelle aus. -0,0-0,00 0 0,00 0,0 0, f() Ist ac de Tabellewerte die Fuktio f mit f() = 3 auf R streg mooto steiged? Aufgabe 3 Es soll utersuct werde, ob die Fuktio f mit f() = 3 - auf I = [0;] streg mooto falled ist. a) Beurteile Sie folgede Argumetatio: Ic wäle =0 ud = 0,5 ud berece f( ) = 0 ud f( ) = - 0,5. Also ist f( ) > f( ) ud daer ist f streg mooto falled. b) Bilde Sie sic mit Hilfe des GTR ei Urteil über die Mootoie vo f. Seite 6 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 6: Der Mootoiesatz Ziel: Die Mootoie eier Fuktio f soll ausscließlic mit Hilfe der Ableitug f beurteilt werde. Aufgabe Die Fuktioe f ud g sid beide auf streg mooto steiged. f() = ³ + g() = ³ a) Leite Sie die Fuktioe ab ud ergäze Sie die Ableituge i der Tabelle. f () =........ g () =........ - 0 0,5-0 0,5 f () g () Zeice Sie jeweils a de Stelle = -; = 0 ud =0,5 die Tagete a de Grape i das Scaubild. b) Welcer Zusammeag wird durc Aufgabe a) bestätigt? Begrüde Sie. () We f () > 0 für alle, da ist f streg mooto steiged. () We f streg mooto steiged ist, da ist f () > 0 für alle. Aufgabe Der Mootoiesatz sagt aus, welce Bedigug ma a die Ableitug eier Fuktio stelle muss, damit ma auf strege Mootoie scließe ka. Formuliere Sie mit de Satzteile de Mootoiesatz für sms ud smf. We f sms auf I da ist f () > 0 für alle I f () < 0 für alle I We da ist f smf auf I Mootoiesatz für sms: Mootoiesatz für smf: Seite 7 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 7: Defiitio lokale Etremstelle Ziel: Die ascaulice Vorstellug vo öcster Pukt eies Grape bzw. iedrigster Pukt eies Grape soll matematisc präzise formuliert werde. Fig. Fuktio f Fig. Fuktio g Fig.3 Fuktio Aufgabe Der Grap vo g i Fig. besitzt keie Pukt, der tiefer als alle adere Pukte des Grape liegt. Der Pukt T(3 -) at jedoc die Eigescaft, i eiem Itervall wie z.b. [;4] der tiefstliegede Pukt zu sei. Ma sagt desalb: g at a der Stelle = 3 das lokale Miimum f( ) = -. a) Ergäze Sie: g at a der Stelle =... das lokale Maimum f( ) =..... b) Formuliere Sie zur Fuktio f i Fig. eie etsprecede Aussage wie i a). f at a der Stelle =............................ c) Gebe Sie zur Fuktio i Fig.3 alle Stelle im Itervall [-0,5;4,4] a, a dee ei lokales Maimum bzw, ei lokales Miimum vorliegt. Aufgabe Es gilt folgede matematisce Präzisierug: Defiitio: Eie Fuktio f at a der Stelle z ei lokales Miimum, we es ei Itervall I mit z I gibt, so dass für alle u I gilt: f(u) f(z). a) Gebe Sie möglice Itervalle I a, sodass die Defiitio für ei lokales Miimum bei der Fuktio g aus Fig. a der Stelle = 3 zutrifft. I = [... ;... ] oder I = [... ;... ]. Gebe Sie ei Itervall J a, für das die Defiitio ict zutrifft. J = [... ;... ]. b) Formuliere Sie eie etsprecede Defiitio für lokales Maimum. Defiitio: Aufgabe 3 Hat die Fuktio a der Stelle = ei lokales Miimum? Lese Sie dazu die Defiitio aus Aufgabe geau. a) b) c) Seite 8 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 8: Erstes Kriterium für lokale Etremstelle Ziel: Es solle lokale Etremstelle eier Fuktio ur mit Hilfe des Fuktiosterms ud oe Ketis des Grape bestimmt werde. f()=0,5 -+ at ei lok. Miimum bei 0 =. g()=-0,5 + at ei lok. Maimum bei 0 =. Aufgabe a) Leite Sie die Fuktioe ab ud ergäze Sie die Ableituge i der Tabelle. f () =........ g () =........ 0 3 4 0 3 4 f () g () b) Färbe Sie jeweils dejeige Teil des Grape rot, für de f ()< 0 gilt ud dejeige Teil blau, für de f () > 0 gilt. Markiere Sie Teile mit f () = 0 mit grüer Farbe. c) Erläuter Sie, wie ma oe Ketis des Grape, ur mit Beützug der Fuktiosterme vo f ud f (bzw. vo g ud g ) die Etremstelle 0 = fide ka. Wie ka ma zusätzlic etsceide, ob es sic um ei Miimum bzw. ei Maimum adelt? Aufgabe a) Ergäze Sie mit Hilfe vo Eigescafte der Ableitug f. () We f ( 0 ) = 0 ud liks vo 0..... ud rects vo 0......, da at f a der Stelle 0 ei lokales Miimum. () We.........................., da at f a der Stelle 0 ei lokales Maimum. b) Verascaulice Sie die Bediguge () ud (), idem Sie i das obere Koordiatesystem jeweils de Grape vo f bzw. vo g skizziere. c) Erläuter Sie, warum ma die Bedigug () auc so bescreibt: f at eie Vorzeicewecsel vo Mius ac Plus. Aufgabe 3 Ist die Beauptug rictig? We f ( 0 ) = 0, da at f bei 0 eie Etremstelle. Beacte Sie de ebesteede Grape vo f mit f() = 3. Seite 9 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 9: Likskurve; Rectskurve; zweite Ableitug Ziel: Die ascaulice Vorstellug vo Likskurve ud Rectskurve soll matematisc präzise mit Hilfe der zweite Ableitug formuliert werde. Aufgabe Stelle Sie sic de Grape als Straße i der,y-ebee vor, die ma mit eiem Auto vo liks ac rects befärt. Ma durcfärt dabei Likskurve ud Rectskurve. a) Färbe Sie die Likskurve blau, die Rectkurve rot. b) Skizziere Sie i das Koordiatesystem de Grape der Ableitug f. c) Screibe Sie zu jedem Grape i b) dazu, ob er streg mooto falled (smf) bzw. streg mooto steiged (sms) ist. Präzisiere Sie die ascaulice Vorstellug vo Likskurve ud Rectskurve mit Hilfe der Mootoie der Ableitug f. Der Grap vo f ist im Itervall I eie Likskurve, we.............. Der Grap vo f ist im Itervall I eie Rectskurve, we.............. Aufgabe Die Begriffe Likskurve ud Rectskurve eies Grape eier Fuktio f sid ac Aufgabe mit Hilfe der Mootoie der Ableitug f festgelegt. Die Mootoie vo f ka ma mit dem Mootoiesatz mit Hilfe der Ableitug f vo f beurteile. a) Gebe Sie für die Fuktioe aus Aufgabe a, ob f im Itervall [0;4] größer Null, gleic Null oder kleier Null ist. Ergäze Sie. Likskurve f ist b) Ergäze Sie eie Eigescaft vo f. We..........., da ist der Grap vo f ist im Itervall I eie Likskurve. We..........., da ist der Grap vo f ist im Itervall I eie Rectskurve. Aufgabe 3 Gegebe ist der Grap vo f() = 4. a) Ergäze Sie: f () =.... ; f () =..... b) Im abgebildete Itervall ist: (streice Sie das Falsce aus) - der Grap vo f eie Likskurve / Rectskurve / weder oc - die Abl. f streg mo.steiged / streg mo.falled / weder oc - die zweite Ableitug f ist größer Null / kleier Null / weder oc c) Gilt auc die Umkerug der Sätze vo Aufgabe b)? Seite 0 vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt 0: Zweites Kriterium für lokale Etremstelle Ziel: Formulierug eies Kriteriums für Etremstelle oe die Bedigug des Vorzeicewecsels, da dieser umstädlic aczuweise ist. Aufgabe Das Scaubild zeigt jeweils de Grape eier Fuktio f ud irer Ableitug f. Bearbeite Sie die Aufgabe a) c) zuäcst gaz für die erste Fuktio usw.. Miimum bei 0 = Maimum bei 0 = 0 = 0 ist keie Etremstelle Miimum bei 0 = 0 f() = f () =...... f() = - + f () =...... f() = 3 f () =...... f() = 4 f () =...... f () =...... f () =...... f () =...... f () =...... a) Ergäze Sie die Ableituge f ud f. b) Stelle Sie fest, ob f a der Stelle 0 eie VZW at ud gebe Sie ggf. die Art des VZW a. VZW vo f bei 0 =: VZW vo f bei 0 =: VZW vo f bei 0 =0: VZW vo f bei 0 =0: Ja Nei Ja Nei Ja Nei Ja Nei VZW vo f VZW vo f VZW vo f VZW vo f vo... ac.. vo... ac.. vo... ac.. vo... ac.. c) Bestätige Sie, dass das Vorzeicewecselkriterium bei alle gezeigte Fuktioe die Eistez eier Etremstelle rictig beurteilt. Aufgabe a) Bestimme Sie zu de Fuktioe aus Aufgabe de Wert vo f ( 0 ) ud ergäze Sie, ob f ( 0 ) größer/kleier/gleic Null ist. f () =.. f () =.. f (0) =.. f (0) =.. f ().. 0 f () =.. 0 f (0).. 0 f (0).. 0 b) Beurteile Sie, iwieweit ma auf Grud des Wertes vo f ( 0 ) auf eie Vorzeicewecsel vo f a der Stelle 0 = bzw. 0 = 0 scließe ka. Aufgabe 3 Im Satz stet das sco bekate Vorzeicewecselkriterium. Ersetze Sie de uterstricee Teil durc eie adere Bedigug mit f, so dass der Satz gültig bleibt. Satz Bedigug mit f : a) We gilt: f ( 0 ) = 0 ud f () at bei 0 eie VWZ vo a) ac +, da at f bei 0 ei lokales Miimum. b) We gilt: f ( 0 ) = 0 ud f () at bei 0 eie VZW vo b) + ac, da at f bei 0 ei lokales Maimum. Aufgabe 4 Welce Folgerug zu Etremstelle ist rictig, we gilt: f ( 0 )= 0 ud f ( 0 )= 0? () f at a der Stelle 0 sicer keie Etremwert. () f at a der Stelle 0 sicer eie Etremwert, ob ei Miimum oder ei Miimum ist ubekat. (3) f ka a der Stelle 0 eie Etremwert abe, muss aber ict. Seite vo
Scülerarbeitsblätter: Defiiere ud Beweise i der Aalysis Arbeitsblatt : Wedestelle Ziel: Die Stelle eies Grape, a dem er vo eier Likskurve i eie Rectskurve überget (ud umgekert) solle oe Ketis des Grape bestimmt werde. Aufgabe a) Färbe Sie i de Grape Likskurve rot, Rectskurve blau. Markiere Sie die Pukte des Übergags vo eier Likskurve i eie Rectskurve (oder umgekert) grü. Diese Übergagspukte et ma Wedepukte des Grape vo f. Beide Grape abe de Wedepukt W( ) a der Wedestelle 0 =... b) Skiziere Sie i das Koordiatesystem jeweils de Grape der Ableitug. Bescreibe Sie de Zusammeag zwisce de Wedestelle vo f ud de Etremstelle der Ableitug f. Aufgabe Beutze Sie das Ergebis aus Aufgabe ud formuliere Sie mit Hilfe der Kriterie () ud () für Etremstelle Kriterie für Wedestelle vo f. Kriterium (): We f ( 0 ) = 0 ist ud f ( 0 ) eie VZW at, da at f a der Stelle 0 ei Etremum. Dieses Kriterium auf Wedestelle übertrage ergibt das. Kriterium für Wedestelle vo f (etsprict Etremstelle vo f ) We............., da at f a der Stelle 0 eie Wedestelle. Kriterium (): We f ( 0 ) = 0 ud f ( 0 ) > 0 oder f ( 0 ) < 0 ist, da at f a der Stelle 0 ei Etremum. Dieses Kriterium auf Wedestelle übertrage ergibt das. Kriterium für Wedestelle vo f (etsprict Etremstelle vo f ) We............., da at f a der Stelle 0 eie Wedestelle. Aufgabe 3 I der Figur ist der Grap vo f() = 5 abgebildet. a) Beurteile Sie: f at a der Stelle 0 = 0 eie Wedepukt ja ei Das erste Kriterium für Wedestelle ist erfüllt ja ei Das zweite Kriterium für Wedestelle ist erfüllt ja ei b) Welce Folgerug ist rictig, we f ( 0 )=0 ud f ( 0 )=0 ist? () f at bei 0 sicer eie Wedestelle () f at bei 0 sicer keie Wedestelle (3) f ka bei 0 eie Wedestelle abe, muss aber ict. Seite vo