WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF. DR. ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Seiar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesugsprogra 14.05.2013 Streuugsaße 1. Norierte Etropie 2. Spaweite, Quartilsabstad, Boxplot 3. Stadardabweichug, Variatioskoeffiziet Literatur: Dege, Horst / Lorscheid, Peter: Statistik-Lehrbuch, 2. Aufl., Müche-Wie 2002, S. 37-50. Mosler, Karl ud Schid, Friedrich: Beschreibede Statistik ud Wirtschaftsstatistik, 4. Aufl., Berli-Heidelberg-New York 2009, S. 79-109. vo der Lippe, Peter: Deskriptive Statistik, Stuttgart 1993, Olie Ausgabe S. 83-119. Übugsaufgabe: SS 00, A1 b); WS 00/01, A2; SS 01, A3; SS05, A1 b); WS 08/09, A2; WS 10/11, A1; WS 11/12, A1 c), A4.
Streuugsaße Begriff Streuugsaß = Kezahl zur Beschreibug der Variabilität eies Merkals bzw. der Hoogeität eier statistische Masse Ziel: Das Streuugsaß soll darüber Aufschluss gebe, iwieweit der Mittelwert tatsächlich die zetrale Tedez eier statistische Masse repräsetiert. Streuugsaße sid wichtige Ergäzuge zu Mittelwerte ud köe als Gütekriteriu für de Mittelwert iterpretiert werde. Bei geriger Streuug ist der Mittelwert eher ei typischer Wert eier Verteilug als bei eier starke Variabilität der Date. 2
Streuugsaße Begriff Beispiel i Alehug a v. d. Lippe 1993, S. 84f: Vier Häufigkeitsverteiluge it idetische Modus, Media ud arithetische Mittel: Mod = Med = AM = 3. Verteilug A Verteilug B Verteilug C Verteilug D x i h i f i x i h i f i x i h i f i x i h i f i 1 1 0,1 1 2 0,2 2 2 0,2 2 2 0,2 2 2 0,2 3 10 1 3 6 0,6 3 4 0,4 3 2 0,2 4 2 0,2 4 2 0,2 4 2 0,2 5 1 0,1 5 2 0,2 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 Die Streuug it vo liks ach rechts zu. Bei Verteilug A (sogeate Eipuktverteilug) ist sie Null, der Mittelwert repräsetiert die Verteilug vollstädig. Verteilug D ist eie sogeate Gleichverteilug (Rechteckverteilug), alle verschiedee Merkalsauspräguge sid gleich häufig f i = 1/ i ud es gibt keie Modalwert. 3
Streuugsaße Begriff I Abhägigkeit vo Skaleiveau sid folgede Paare vo Mittelwert ud Streuugsaß zulässig: Ab Noialskala: Modus orierte Etropie Ab Itervallskala: Media ittlerer Quartilsabstad, ittlere Spaweite Ab Itervallskala: Arithetisches Mittel Stadardabweichug Ab Verhältisskala: Arithetisches Mittel Variatioskoeffiziet 4
Streuugsaße Etropie Die Etropie E eiget sich als Streuugsaß bereits für oialskalierte Merkale, weil sie ur vo de (relative) Häufigkeite, icht aber vo de Merkalswerte abhägig ist. E = f i ld 1 E = f i f i ld f i = Azahl der voeiader verschiedee Merkalsauspräguge f i = relative Häufigkeit der Merkalsausprägug x i i = 1,, ld = log 2 = Logarithus zur Basis 2 logarithus dualis 0 ld 0 0 5
Streuugsaße Etropie Wege f i ld f i = hi ld h i = hi ld h i ld = 1 [h i ld h i ld h i ] = 1 ld [h i ld h i ] gilt auch: E = ld 1 h i ld h i h i = absolute Häufigkeit der Merkalsausprägug x i = h i = Azahl der Beobachtugswerte 6
Streuugsaße orierte Etropie Bei eier Eipuktverteilug (keie Streuug!) ist E = 0. Bei eier Gleichverteilug h i = f i = 1 i = 1,, it die Etropie ihre axiale Wert E = ld() a. Also gilt für de Wertebereich der Etropie: Es ist üblich, die Etropie zu oriere: 0 E ld() E or = E ld() Die orierte Etropie ka da ur och Werte zwische Null ud Eis aehe: 0 E or 1 Für die Berechug der orierte Etropie uss icht der duale Logarithus, soder es ka jeder beliebige Logarithus, also z.b. der atürliche oder der dekadische, verwedet werde. Die Berechug ittels Tascherecher ist also hadlicher. Die Forel lautet: E or = log hi log(h i ) log() = f i log log() 1 f i 7
Streuugsaße Etropie Zahlebeispiel I afags ageführte Beispiel erhält a: Nicht orierte Etropie: Verteilug A: E = 1 ld 1 = 0 Verteilug B: E = 0,2 ld 1 0,2 + 0,6 ld 1 0,6 + 0,2 ld 1 0,2 = 1,3710 Verteilug C: E = 0,1 ld 1 0,1 + 0,2 ld 1 0,2 + 0,4 ld 1 0,4 + 0,2 ld 1 0,2 + 0,1 ld 1 0,1 = 2,1219 Verteilug D: E = 5 0,2 ld 1 0,2 = ld 5 = 2,3219 Norierte Etropie: Verteilug A: E or = Verteilug B: E or = Verteilug C: E or = Verteilug D: E or = 0 ld 1 = 0 1,3710 ld 3 = 1,3710 1,5850 = 0,8650 2,1219 ld 5 = 2,1219 2,3219 = 0,9139 2,3219 2,3219 = 1 Hiweis: I der Iforatiostheorie wird die Etropie als Maß für de Iforatiosgehalt eier Nachricht verwedet. I der Physik isst sie de Ateil gebudeer, d.h. icht ehr zur Abgabe vo Arbeit verwedbarer Eergie (2. Hauptsatz der Therodyaik). 8
Streuugsaße Norierte Etropie Zahlebeispiel Nochals: Berechug der orierte Etropie Verteilug B x i h i f i 2 2 0,2 3 6 0,6 4 2 0,2 E or = f i log 1 f i log E or = 0,2 log 1 0,2 + 0,6 log 1 0,6 + 0,2 log 1 0,2 log(3) = 0,8650 9
Streuugsaße Norierte Etropie Zahlebeispiel Nochals: Berechug der orierte Etropie Verteilug C x i h i f i 1 1 0,1 2 2 0,2 3 4 0,4 4 2 0,2 5 1 0,1 E or = f i log 1 f i log E or = 0,1 log 1 0,1 + 0,2 log 1 0,2 + 0,4 log 1 0,4 + 0,2 log 1 0,2 + 0,1 log 1 0,1 log(5) = 0,9139 Daueregel: Ist E or > 0,7, da gilt die Streuug als groß ud der Modus gilt als schlechter Repräsetat der Verteilug. 10
Streuugsaße Spaweite Spaweite (rage) R = Differez zwische de größte ud de kleiste Beobachtugswert. Berechug der Spaweite: Datelage A ( Eizelwerte): R = x () x (1) Geordete Urliste x (1) x (2) x () Datelage B (Häufigkeitsverteilug, Merkalsauspräguge): R = x x 1 Differez zwische größter ud kleister Merkalsausprägug. Kau gebräuchlich bei Datelage C (gruppierte Date, k Klasse): R = a k a 0 Differez zwische Obergreze der letzte ud Utergreze der erste Klasse. Eigeschafte der Spaweite: Sehr eifache Berechug Beschreibt de gesate Streubereich der Beobachtugswerte. Nur die beide extree, uter Ustäde atypische, Beobachtugswerte gehe i die Berechug ei. außerordetlich epfidlich gegeüber Ausreißer. Awedug bei Ausreißertests ud i der statistische Qualitätskotrolle. wird wege der geate Eiwäde aber kau verwedet. 11
Streuugsaße Quartilsabstad Quartilsabstad = Q 3 Q 1 Der Quartilsabstad isst die Differez zwische de obere ud utere Quartil. beschreibt de Bereich, i de die ittlere 50% der geordete Beobachtugswerte liege. ist uepfidlich gegeüber Ausreißer. I Zahlebeispiel aus der Absolveteufrage, Merkal Lebesalter bei Exae gilt: (Mi ; Q 1 ; Q 2 ; Q 3 ; Max) = (23 ; 26 ; 27 ; 29 ; 34) Spaweite = 34 23 = 11 Jahre Quartilsabstad = 29 26 = 3 Jahre 12
Streuugsaße Boxplot Boxplot = Graphische Darstellug eleetarer Iforatioe eier Häufigkeitsverteilug (Media, Quartilsabstad, Spaweite) Mi Q 1 ½ Quartilsabstad Q 1 Q 2 Q 3 Max Q 3 + ½ Quartilsabstad Referezskala Aus de Box-Plot lässt sich sofort ablese, ob die Verteilug likssteil, rechtssteil oder syetrisch ist. Beobachtugswerte außerhalb der Greze Q 3 + 1 2 Q 3 Q 1 bzw. Q 1 1 2 Q 3 Q 1 gelte als Ausreißerverdächtig. 13
Streuugsaße Boxplot Beispiel 14
Streuugsaße Boxplot Zahlebeispiel Nr. Merkalsausprägug eifache Häufigkeit kuulierte Häufigkeit absolut relativ absolut relativ Zahlebeispiel Absolveteufrage, Merkal Alter i x i h i f i H i F i 1 23 1 0,0256 1 0,0256 2 24 1 0,0256 2 0,0513 3 25 6 0,1538 8 0,2051 4 26 10 0,2564 18 0,4615 5 27 4 0,1026 22 0,5641 6 28 5 0,1282 27 0,6923 7 29 4 0,1026 31 0,7949 8 30 4 0,1026 35 0,8974 9 31 2 0,0513 37 0,9487 10 32 1 0,0256 38 0,9744 11 33 0 0,0000 38 0,9744 12 34 1 0,0256 39 1 Sue 39 1 Miiu = 23 Jahre Maxiu = 34 Jahre Q 1 = 26 Jahre Q 2 = 27 Jahre Q 3 = 29 Jahre Spaweite = 34 23 = 11 Jahre Quartilsabstad = 29 26 = 3 Jahre 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Lebesalter bei Exae 15
Streuugsaße Mittlere Spaweite Mittlere Spaweite (MSP) = Wertepaar i Prozet, das darüber iforiert, u wie viel Prozet der größte bzw. kleiste Wert vo Media abweicht. MSP = Q 2 Mi Q 2 100 ; Max Q 2 Q 2 100 MSP ist ei relatives Streuugsaß. Das Merkal uss idestes verhältisskaliert sei. MSP iforiert über die Streuug isgesat. Die Verteilug ist likssteil, we Q 2 Mi < Max Q 2. syetrisch, we Q 2 Mi Max Q 2. rechtssteil, we Q 2 Mi > Max Q 2. Da die MSP sich auf de Media bezieht, ka sie als Gütekriteriu für de Media heragezoge werde. Üblich ist folgede Daueregel: Die Streuug gilt als gerig, we die Sue der Absolutbeträge der beide Prozetzahle der MSP kleier als 200% ist. I Zahlebeispiel aus der Absolveteufrage, Merkal Lebesalter bei Exae it (Mi; Q 1 ; Q 2 ; Q 3 ; Max) = (23; 26; 27; 29; 34) ist 27 23 MSP = 100 ; 27 = ( 14,8% ; +25,9%) 34 27 27 100 likssteile Verteilug, da 14,8% < 25,9% Da 14,8 + 25,9 = 40,7 < 200, ist der Media ei recht guter Repräsetat der Verteilug. 16
Streuugsaße Mittlerer Quartilsabstad Mittlerer Quartilsabstad (MQA) = prozetuale Abweichug des obere bzw. utere Quartils vo Media. MQA = Q 2 Q 1 Q 2 100 ; Q 3 Q 2 Q 2 100 MQA ist ei relatives Streuugsaß. Das Merkal uss idestes verhältisskaliert sei. MQA iforiert über die Streuug ud de Verteilugstyp i der Mitte der Verteilug, also über die ittlere 50% aller Beobachtugswerte. Die Verteilug ist i der Mitte likssteil, we Q 2 Q 1 < Q 3 Q 2. syetrisch, we Q 2 Q 1 Q 3 Q 2. rechtssteil, we Q 2 Q 1 > Q 3 Q 2. Daueregel: Die Streuug gilt i der Mitte als gerig, we die Sue der Absolutbeträge der beide Prozetzahle der MQA kleier als 100% ist. I Zahlebeispiel aus der Absolveteufrage, Merkal Lebesalter bei Exae it (Mi; Q 1 ; Q 2 ; Q 3 ; Max) = (23; 26; 27; 29; 34) ist 27 26 MQA = 100 ; 27 = ( 3,7% ; +7,4%) 29 27 27 I der Mitte likssteil, da 3,7% < 7,4% 100 Da 3,7 + +7,4 = 11,1 < 100, ist der Media ei recht guter Repräsetat der ittlere 50% der Verteilug. 17
Streuugsaße Variaz ud Stadardabweichug Mittlere quadratische Abweichug s 2 (Variaz) = durchschittliche quadratische Abweichug der Beobachtugswerte vo ihre arithetische Mittel x Die Berechug hägt vo der Datelage ab: Datelage A: s 2 = 1 x i x 2 Datelage B: s 2 = 1 h i x i x 2 = f i x i x 2 Datelage C: k s 2 = 1 h i x i x 2 = k f i x i x 2 18
Streuugsaße Variaz ud Stadardabweichug Stadardabweichug s = positive Quadratwurzel aus der Variaz s = + s 2 s besitzt dieselbe Diesio wie das Utersuchugserkal. Iforatioe über die Größeordug der Werte gehe bei der Berechug vo s bzw. s 2 verlore. Beispiel: (200-400)² = (2200 2400)² = 40.000. Kostruktiosprizip: durchschittliche Abweichug der Merkalswerte vo arithetische Mittel x. Da die Sue der eifache Abweichuge vo x gleich Null ist (Schwerpukteigeschaft), it a die quadratische Abweichuge. Da das arithetische Mittel die Sue der quadratische Abweichuge iiiert (Miialeigeschaft vo x), passe s bzw. s 2 besoders gut zu arithetische Mittel. Noralverteilug: Lage der Wedepukte. Ferer gilt: I Bereich x ± s liege ca. 68% der Beobachtugswerte. I Bereich x ± 2s liege ca. 95% der Beobachtugswerte. I Bereich x ± 3s liege ca. 99% der Beobachtugswerte, also praktisch alle. 19
Streuugsaße Variatioskoeffiziet Variatioskoeffiziet v v = s x 100 v = Stadardabweichug i Prozet des arithetische Mittels. v setzt die Streuug i Beziehug zur Größeordug der Merkalsauspräguge. v ist ei relatives Streuugsaß ud erst ab Verhältisskaleiveau sivoll zu bereche. x uss vo Null verschiede ud positiv sei, dait v sivoll iterpretiert werde ka. v ist diesioslos ud dait aßstabsuabhägig. v ka daher zu Vergleich der Streuug uterschiedlicher statistischer Masse heragezoge werde. Daueregel: Die Streuug gilt als gerig, we v < 100% ist. Das arithetische Mittel gilt i diese Fall als guter Repräsetat der Verteilug. 20
Streuugsaße Stadardabweichug, Variatioskoeffiziet Zahlebeispiel Zahlebeispiel Absolveteufrage, Merkal Alter Nr. Merkalsausprägug kuulierte eifache Häufigkeit Häufigkeit absolut relativ absolut relativ Es liegt Datelage B vor. Passede Forel: i x i h i f i H i F i 1 23 1 0,0256 1 0,0256 2 24 1 0,0256 2 0,0513 3 25 6 0,1538 8 0,2051 4 26 10 0,2564 18 0,4615 5 27 4 0,1026 22 0,5641 6 28 5 0,1282 27 0,6923 7 29 4 0,1026 31 0,7949 8 30 4 0,1026 35 0,8974 9 31 2 0,0513 37 0,9487 10 32 1 0,0256 38 0,9744 11 33 0 0,0000 38 0,9744 12 34 1 0,0256 39 1 Sue 39 1 bzw. s 2 = 1 h i x i x 2 s 2 = f i x i x 2 Zur Berechug der Stadardabweichug ud des Variatioskoeffiziete stellt a zweckäßigerweise eie Arbeitstabelle auf, die die otwedige Spalte ethält. 21
Streuugsaße Stadardabweichug, Variatioskoeffiziet Zahlebeispiel Arbeitstabelle zu Zahlebeispiel Absolveteufrage i x i h i h i x i x i x x i x 2 h i x i x 2 1 23 1 23-4,4103 19,4504 19,4504 2 24 1 24-3,4103 11,6298 11,6298 3 25 6 150-2,4103 5,8093 34,8560 4 26 10 260-1,4103 1,9888 19,8882 5 27 4 108-0,4103 0,1683 0,6732 6 28 5 140 0,5897 0,3478 1,7390 7 29 4 116 1,5897 2,5273 10,1091 8 30 4 120 2,5897 6,7068 26,8271 9 31 2 62 3,5897 12,8863 25,7725 10 32 1 32 4,5897 21,0657 21,0657 11 33 0 0 5,5897 31,2452 0,0000 12 34 1 34 6,5897 43,4247 43,4247 Sue 39 1 069 215,4359 Forel: s 2 = 1 h i x i x 2 x = 1069 39 = 27,41 s2 = 215,4359 = 5,52 s = 5,52 = 2,35 v = 2,35 100 = 8,57% 39 27,41 22
Streuugsaße Stadardabweichug Verschiebugssatz Zur Berechug der Stadardabweichug Liege Eizelwerte vor (Datelage A), ka die Variaz s 2 wege s 2 = 1 x i x 2 = 1 x i 2 2 x i x + x 2 = 1 x i 2 2 x x2 x i + = 1 x i 2 2 x 2 + x 2 auch it der Forel s 2 = 1 x i 2 x 2 berechet werde. Liege die Date als Häufigkeitstabelle vor (Datelage B ud C), gilt etspreched: s 2 = 1 h i x 2 i x 2 bzw. s 2 = f i x i 2 x 2 it i = 1,, verschiedee Merkalsauspräguge x i (Datelage B) bzw. i = 1,, Klasse it de Mittelpukte x i (Datelage C). Für die Berechug der Stadardabweichug i der Praxis habe diese Forel de Vorteil, dass a die Abweichuge der Beobachtugswerte vo arithetische Mittel icht kee uss. Die letzte Forel (it relative Häufigkeite) hat darüber hiaus de Vorteil, dass i Zuge der Berechug icht so große Zahle etstehe. 23
Streuugsaße Stadardabweichug, Variatioskoeffiziet Zahlebeispiel Arbeitstabelle zu Zahlebeispiel Absolveteufrage i x i h i h i x i x i 2 h i x i 2 1 23 1 23 529 529 2 24 1 24 576 576 3 25 6 150 625 3 750 4 26 10 260 676 6 760 5 27 4 108 729 2 916 6 28 5 140 784 3 920 7 29 4 116 841 3 364 8 30 4 120 900 3 600 9 31 2 62 961 1 922 10 32 1 32 1 024 1 024 11 33 0 0 1 089 0 12 34 1 34 1 156 1 156 Sue 39 1 069 29 517 Forel: s 2 = 1 h i x i 2 x 2 x = 1069 39 = 27,41 s 2 = 29517 39 27,412 = 5,52 s = 5,52 = 2,35 v = 2,35 100 = 8,57% 27,41 24
Streuugsaße Stadardabweichug, Variatioskoeffiziet Zahlebeispiel Arbeitstabelle zu Zahlebeispiel Absolveteufrage i x i f i f i x i x i 2 f i x i 2 1 23 0,0256 0,5897 529 13,5641 2 24 0,0256 0,6154 576 14,7692 3 25 0,1538 3,8462 625 96,1538 4 26 0,2564 6,6667 676 173,3333 5 27 0,1026 2,7692 729 74,7692 6 28 0,1282 3,5897 784 100,5128 7 29 0,1026 2,9744 841 86,2564 8 30 0,1026 3,0769 900 92,3077 9 31 0,0513 1,5897 961 49,2821 10 32 0,0256 0,8205 1 024 26,2564 11 33 0,0000 0,0000 1 089 0,0000 12 34 0,0256 0,8718 1 156 29,6410 Sue 1,0000 27,4103 756,8462 Forel: s 2 = f i x i 2 x 2 x = 27,41 s 2 = 756,8462 27,41 2 = 5,52 s = 5,52 = 2,35 v = 2,35 100 = 8,57% 27,41 Klausuraufgabe 25