Die magische Welt der Zahlen Teil 3 Irina Dück MAGISCHE ZAHLEN UND IHRE BEDEUTUNG Lehrerinformationen und Arbeitsblätter
Lehrerinformation 1 LEHRERINFORMATION Der griechische Buchstabe π (Pi) zur Bezeichnung der Verhältniszahl des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser wurde erst im 18. Jh. gebräuchlich, er steht für den griechischen Begriff des Kreisumfangs: περιφέρεια (periphereia). Die Zahl selbst beschäftigt die Welt der Mathematik schon sehr viel länger. Bereits die Ägypter gaben mit π = 19 3,16 6 eine Näherung für die Kreiszahl an. Vor allem aber die Griechen beschäftigten sich gerne mit π: Sie versuchten sich an der Quadratur des Kreises, der Überführung eines Kreises in ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt. Die Idee war, in einen Kreis ein Vieleck mit immer höherer Eckenzahl einzubeschreiben bzw. einen Kreis mit Vielecken von immer kleinerem Flächeninhalt zu füllen, sodass der Kreis schließlich komplett ausgefüllt wäre. Dass man jedes Vieleck in ein Quadrat verwandeln konnte, war bereits bekannt und man ging davon aus, dass man schlussendlich ein Quadrat mit der Seitenlänge π erhalten müsste. Auf Archimedes von Syrakus (287 212 v. Chr.) geht die folgende Näherung von π zurück, die er aus der Berechnung eines in einen Kreis einbeschriebenen 96-Ecks gewann: 3 10 < π > 3 1. 71 7 Verfeinert wurde diese Näherung durch den griechischen Astronomen Claudius Ptolemäus (85 165 n. Chr.), der die Arbeit des Archimedes bis zum 720-Eck fortsetzte. In der neueren Zeit berechnete u. a. der niederländische Mathematiker Ludolf von Ceulen (1539 1610) im Prinzip nach der gleichen Methode die ersten 35 Nachkommastellen von π. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716) und andere Mathematiker entwickelten schließlich Reihen zur Bestimmung von π. Im 18. Jahrhundert dann gelang es Johann Heinrich Lambert (1728 1777), einem deutschen Mathematiker, Physiker, Astronomen und Philosophen, die Irrationalität von π zu beweisen. Dass π eine trans zendente Zahl ist, konnte schließlich der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann (1852 1939) zeigen. Die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises war dadurch bewiesen. Unterrichtsfach: Mathematik Voraussetzungen: Voraussetzung für die Bearbeitung der Aufgaben ist die Beherrschung der Bruchrechnung, insbesondere der Umrechnung von Brüchen in die Dezimalschreibweise. Neben abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen benötigen die Schülerinnen und Schüler (SuS) darüber hinaus Kenntnis über nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahlen. Diese lernen sie mit der Behandlung von Wurzeln (je nach Bundesland in Klasse 8 oder 9) kennen. Die Arbeitsmaterialien machen die SuS mit der Zahl π an sich vertraut, führen jedoch nicht in Berechnungen am Kreis ein. Hinweise zum Stundenablauf: Obwohl die meisten SuS schon von dieser merkwürdigen Zahl mit dem Namen Pi gehört haben dürften, könnte es sinnvoll sein, zuerst die Arbeitsblätter zu bearbeiten, bevor das Video angeschaut wird. Erst bei einer Kenntnis über die Bedeutung
Lehrerinformation 2 der Zahl lassen sich die vorgestellten Forschungsergebnisse einordnen und beurteilen. Das Video verweist auf eine ganze Reihe weiterer besonderer Zahlen. In einem kleinen Projekt können diese von den Schülerinnen und Schülern selbst untersucht und vorgestellt werden. Dazu sollen sich Teams jeweils eine Zahl oder Zahlenfolge wählen, ihre Bedeutung recherchieren und der Lerngruppe präsentieren. Es eigenen sich sowohl Zahlen von mathematischer Relevanz, beispielsweise Primzahlen, vollkommene Zahlen und Fibonacci- Zahlen als auch solche mit historisch-mythischer Bedeutung. Aufgabe 1: Für diese Aufgabe bitte einige runde / zylinderförmige Gegenstände mitbringen, ebenso Maßbänder und Schnüre. Die Gegenstände sollten einen möglichst großen Durchmesser haben (z. B. Eimer, große Blumentöpfe), damit man beim Abmessen sieht, dass der Umfang etwas mehr als dreimal so groß ist wie der Durchmesser. Diese Tatsache würde man bei kleinen Durchmessern leicht übersehen können. Es ist aus praktischen Gründen hilfreich, wenn diese Aufgabe in Gruppen bearbeitet wird. Aufgabe 2 a: Die Schülerinnen und Schüler sollten hier nicht den Taschenrechner benutzen, sondern die Brüche durch schriftliches Dividieren in Dezimalbrüche umwandeln, damit ihnen erneut klar wird, dass das Auftreten von gleichen Resten bei der schriftlichen Division dafür verantwortlich ist, dass Dezimalzahlen periodisch werden. Hilfe dafür finden sie gegebenenfalls in Mathematikbüchern der Klasse 6. Aufgabe 3: Für die Bearbeitung dieser Aufgabe benötigt die Lerngruppe einen Internetzugang. Herausgegeben von der Deutschen Telekom Stiftung, Graurheindorfer Straße 153, 53117 Bonn. Tel.: 0228 181 92031, Fax: 0228 181 92403, stiftung@telekom.de Bildnachweis und Quellen: S. 3: shutterstock.com (Evgeny Karadaev, Reinhold Leitner, Olivier Le Moal, style-photography.de, Diana Taliun; S. 4: auf Basis Lambacher Schweizer 8, Nordrhein-Westfalen, 2011, S. 36 f. Haftungshinweis: Auf verschiedenen Seiten dieses Moduls befinden sich Verweise auf Internet-Adressen. Trotz sorgfältiger inhaltlicher Kontrolle wird die Haftung für die Inhalte der externen Seiten ausgeschlossen. Für den Inhalt dieser externen Seiten sind ausschließlich die Betreiber verantwortlich. LINK- TIPPS www.pimath.de/quadratur de.wikipedia.org/wiki/liste_besonderer_zahlen de.wikipedia.org/wiki/zahlensymbolik
Schülerarbeitsblatt 3 WAS HAT π MIT DEM KREIS ZU TUN? Der griechische Buchstabe π zur Bezeichnung des Verhältnisses von Kreisumfang zum Kreisdurchmesser leitet sich ab von dem griechischen Wort periphereia = Kreisumfang. Schon die Ägypter, die Babylonier und die Griechen beschäftigten sich damit, diese Zahl näher zu bestimmen. Die Griechen versuchten, den Flächeninhalt eines Kreises zu bestimmen, indem sie ganz viele immer kleiner werdende Vielecke hineinlegten, deren Flächeninhalte sich einfach berechnen ließen. Erst 1882 bewies der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann (1852 1939), dass π eine transzendente Zahl ist. Das heißt unter anderem: π ist unendlich und unperiodisch. Eine Konstruktion der Zahl π durch Zirkel und Lineal, die geometrische Quadratur des Kreises, ist also nicht möglich. π = 3.14159265358979323846 2643383279502884197169399375 105820974944592307816406286208998 6280348253421170679821480865132823066 470938446095505822317253594081284811174 50284102701938521105559644622948954930381 964428810975665933446128475648233786783165 271201909145648566923460348610454326648213 39360726024914127372458700660631558817488 1520920962829254091715364367892590360011 33053054882046652138414695194151160943 3057270365759591953092186117381932 611793105118548074462379962749 567351885752724891227938 1830119491 1. a) Ermittle möglichst genau den Durchmesser eines runden (besser: zylinderförmigen) Gegenstands. Umspanne mit einer Schnur den Kreisumfang und schneide sie in der passenden Länge ab. Miss den Durchmesser des Gegenstands mithilfe der zugeschnittenen Schnur möglichst genau aus und trage beide Werte in die folgende Tabelle ein. Verfahre mit anderen zylinderförmigen Gegenständen ebenso. Gegenstand Durchmesser [cm] Umfang [cm] b) Welchen Zusammenhang von Durchmesser und Umfang eines Kreises kannst du feststellen?
Schülerarbeitsblatt 4 WAS VERBIRGT SICH HINTER π? 2. a) Stelle die folgenden Brüche als Dezimalzahlen dar, ohne den Taschenrechner zu benutzen. 5 = 5 = 5 = 5 8 7 9 12 = b) Was fällt dir auf? Vergleiche mit π! 3. Man kann jede beliebige Zahlenkombination in den Nachkommastellen von π finden. Teste dies auf: www.angio.net/pi. An welcher Stelle erscheint dein Geburtsdatum? 4. Wie kann man sich solche Zahlen vorstellen? a) Wir können versuchen, nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahlen zu konstruieren. Finde bei folgenden Dezimalzahlen das zugrunde liegende Muster heraus und schreibe die nächsten 20 Ziffern: 0,10111213141516171819110111112113... 0,1011011101111011111011111101... 0,12113111411115111116111111171... b) In welcher dieser drei Zahlen könntest du auch nach deinem Geburtsdatum suchen? Begründe! c) Was unterscheidet diese drei Dezimalzahlen von π? Vergleiche sie mit den ersten 500 Nachkommastellen von π, die auf dem ersten Arbeitsblatt abgedruckt sind.
Lösungen 5 LÖSUNGEN 1. a) Individuelle Lösungen b) Der Umfang eines Kreises ist immer etwas mehr als das Dreifache seines Durchmessers. 2. a) 5 : 8 = 0,625 5 : 9 = 0,5555 = 0,5 5 : 7 = 0,714285714285 = 0,714285 5 : 12 = 0,416666 = 0,416 b) Die Brüche aus Aufgabenteil a) haben entweder eine abbrechende oder eine periodische Darstellung in Dezimalschreibweise. π dagegen ist weder eine abbrechende, noch eine periodische Dezimalzahl. Daher ist π nicht als Bruch darstellbar und somit keine rationale Zahl. 3. Individuelle Lösung 4. a) 1. Zahl: immer abwechselnd eine 1 und aufsteigend die natürlichen Zahlen: 0,10111213141516171819110111112113114 115116117118119120 2. Zahl: eine Eins, eine Null, zwei Einsen, eine Null, drei Eisen, eine Null usw.: 0,10110111011110111110111111011111110 1111111101111 3. Zahl: immer abwechselnd eine steigende Zahl an Einsen und aufsteigend eine natürliche Zahl: 0,12113111411115111116111111711111118 1111111191111 b) Nach seinem Geburtsdatum kann man in der ersten und dritten Zahl suchen, da hier durch die aufsteigenden natürlichen Zahlen irgendwann jede Zahlenkombination in den Nachkommastellen vorkommen wird. In der zweiten Zahl kommen nur Nullen und Einsen vor, sodass hier nicht jede beliebige Zahlenkombination gefunden werden kann, wenngleich auch diese Zahl nicht periodisch und nicht abbrechend ist. c) Für diese drei Zahlen kann man jeweils ein Muster angeben, nach dem sie konstruiert werden können. Für π ist ein solches Muster nicht erkennbar. Gemeinsam haben diese Zahlen mit π, dass alle nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalzahlen sind.