Eingangstest Mathematik DHBW Mannheim Fachbereich Technik e-mail: Adresse: Gesamtzeit: 20 Minuten Gesamtpunktzahl: 20 Beachten Sie bitte folgende Punkte:. Der folgende Test umfasst neun Aufgabenblöcke. 2. Bei der Bearbeitung der Aufgaben sind Taschenrechner, Formelsammlungen und andere Hilfsmittel nicht zugelassen. 3. Bitte schreiben Sie leserlich. Unlesbare Antworten können nicht bewertet werden. 4. Der Test ist umfangreich! Beachten Sie daher folgende Richtzeiten für die einzelnen Abschnitte: Abschnitt : 9 min Abschnitt 2: 2 min Abschnitt 3: 0 min Abschnitt 4: 0 min Abschnitt 5: 0 min Abschnitt 6: 2 min Abschnitt 7: 20 min Abschnitt 8: 8 min Abschnitt 9: 5 min Viel Erfolg!
. Arithmetik.. (4 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren und Kürzen so weit wie möglich: 480 5 = 4 + 5 = 2 3 2( ) 2 = 2+4 2 +2 =.2. (5 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren und Kürzen so weit wie möglich: A = ab+2a2 ac a c a 3 ab a b3 b 2 b 2c B = 6a 2 +4ab 8a 3 +24a 2 b+8ab 2
2. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 2.. (4 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke so weit wie möglich: 4+2 = (4 2) 2 4 24 (2 2 ) 3 = e 2 e 2 = (3) 3 3 = 2.2. (3 Punkte) Vereinfachen Sie den Ausdruck 2 2 2 9 9 3 + 2.3. (5 Punkte) Für welchen ganzzahligen Eponenten n gilt: 0 n = 000 Für welche ganzzahligen Eponenten n gilt: 3 n 0 Was ist der Logarithmus von 6 zur Basis 2 Berechnen Sie log 5 (0, 2) Berechnen Sie ln (2e 2 ) + ln ( ) e 2 2.4. (2 Punkte) Bei einem Zellteilungsprozess teilt sich eine Zelle einmal pro Stunde. Wieviele Zellen haben Sie nach 5 Stunden, wenn Sie mit einer Zellpopulation von 6 Zellen starten?
3. Prozentrechnung 3.. (2 Punkte) Sie legen 500 C an. Sie erhalten jeweils am Jahresende zuerst 2 % Zinsen und zahlen danach 0 C Kontoführungsgebühr pro Jahr. Wie groß ist Ihr Guthaben nach 5 Jahren? 3.2. (2 Punkte) Wie groß ist Ihr Guthaben nach zwei Jahren, wenn Sie bei gleichen Gebühren und Anfangsbetrag wie in Aufgabe 3. einen Zinssatz von 0 % pro Jahr erhalten? 3.3. (2 Punkte) Eine Zahl a ist 20 % kleiner als die Zahl b. Um wieviel % ist b größer als a? 3.4. (4 Punkte) In einem Unternehmen arbeiten 88 Personen in der Produktion. 20% der Beschäftigten sind in der Verwaltung tätig und ein Viertel im Vertrieb. Weitere Personen sind in dem Unternehmen nicht beschäftigt. Wieviele Personen arbeiten insgesamt in dem Unternehmen?
4. Grenzwerte 4.. (4 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte lim t = lim ln ( t t+ t 0 t +t) = 3 lim t e t n = lim = n n+ 4.2. (2 Punkte) Wir betrachten die Funktion f() = 2 4 mit maimalem Definitionsbereich D f = R \ {2}. Wie muss f(2) definiert werden, damit daraus eine auf 2 ganz R stetige Funktion wird? f(2) = 4.3. (3 Punkte) Für eine Zahl a bezeichnen wir mit a den ganzzahligen Anteil von a (also 4, 87 = 4 oder π = 3). Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstellen der Funktion [ f() = mit Definitionsbereich D f = 0, 9 ]. 2 4.4. (4 Punkte) Wir betrachten die Funktion = f(), die abschnittsweise definiert ist durch { f() = 2 + für + c für < Wie ist c zu wählen, damit diese Funktion stetig im Punkt ist? c =
5.. (4 Punkte) 5. Lineare Gleichungen Welche Lösung hat die lineare Gleichung a = 2b mit a 0? Welche Lösung hat das Gleichungssstem 4 = 2 und 2 = 4? Ein Kilo Birnen kostet doppelt so viel wie ein Kilo Äpfel. Zwei Kilo Äpfel kosten 4 C. Wieviel kosten 5 Kilo Birnen? 5.2. (4 Punkte) Ein Bauer besitzt dreimal soviele Schweine wie Kühe. Die Anzahl seiner Hühner ist um 5 größer als das Fünffache der Anzahl der Schweine und Kühe zusammen. Insgesamt hat der Bauer 25 Tiere. Wieviele Tiere jeder Art befinden sich auf dem Bauernhof? Kühe : Schweine : Hühner : 5.3. (3 Punkte) Für einen Mietwagenvertrag liegen Ihnen zwei Angebote vor: Angebot besteht aus einem Grundpreis von 200 C pro Woche und einer Kilometerpauschaule von,00 C pro gefahrenem Kilometer. Angebot 2 sieht einen Pauschalpreis von 50 C pro Tag vor (mit unbegrenzten Freikilometern). Wieviele Kilometer müssen Sie pro Woche mindestens fahren, damit sich Angebot 2 lohnt?
6. Quadratische Gleichungen 6.. (2 Punkte) Bestimmen Sie die Lösungen der quadratischen Gleichung 2 4 + 3 = 0 6.2. (2 Punkte) Was ist das Ergebnis der Polnomdivision ( 3 2 3 + 2 ) : ( 2) 6.3. (2 Punkte) Ein rechteckiges Grundstück ist doppelt so lang wie breit. Seine Fläche beträgt 800 m 2. Wie lang und wie breit ist das Grundstück? Länge = Breite = 6.4. (3 Punkte) Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist um 25 größer als die kleinere der beiden Zahlen. Um welche Zahlen handelt es sich? 6.5. (4 Punkte) Die Summe der Quadrate zweier positiver Zahlen, von denen die eine um 2 größer ist als die andere, ist 290. Bestimmen Sie die kleinere der beiden Zahlen.
7. Trigonometrie und Geometrie 7.. (2 Punkte) Die Werte trigonometrischer Funktionen lassen sich im Einheitskreis als Abschnitte bestimmter Geraden konstruieren. Zeichnen Sie die Abschnitte für sin(60 ) und cos(60 ) ein. 60 7.2. (4 Punkte) Bestimmen Sie für die folgenden Ausdrücke, ob sie positiv (+) oder negativ (-) sind oder ob sie verschwinden (0): sin(40 ) cos(05 ) cos(225 ) sin(300 ) 7.3. ( Punkte) Mit welcher Gleichung berechnet man den Winkel α in diesem Dreieck c a α b tan α = b c. sin α = b c. cosα = b c. cot α = b c. 7.4. ( Punkte) Welcher der Ausdrücke sin(0 ), cos(0 ), sin(0 ) 2, cos(0 ) 2 lierfert den größten Wert? 7.5. (3 Punkte) Bestimmen Sie alle Zahlen [0, 5] für die sin ( π 4) = gilt
7.6. (4 Punkte) Bei einem Sonnenstand von 30 zum Horizont wirft ein Kirchturm einen Schatten von 52 m. Wie hoch ist der Kirchturm (gerundet auf ganze Meter)? 7.7. (4 Punkte) Bestimmen Sie Mittelpunkt m und Radius r des Kreises, der durch die Gleichung 2 + 2 4 + 2 = 4 beschreiben wird. m = r = 7.8. (2 Punkte) Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, das einen spitzen Winkel von 45 enthält. Die Ankathete an diesen Winkel ist 6 cm lang. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. 7.9. (2 Punkte) Ein, 00 m hoher, vertikal eingeschlagener Stab wirft einen Schatten von, 40 m. Wie hoch ist ein Baum, dessen Schatten zur selben Zeit, 20 m hoch ist?
8. Elementare Funktionen 8.. (2 Punkte) Lesen Sie aus dem nachfolgenden Graphen die Funktionsgleichung () in Abhängigkeit von den eingezeichneten Werten ab, wenn sich die Koordinatenachsen im Punkt (0, 0) schneiden. 4-5 8.2. (2 Punkte) Der Graph einer Funktion = f() hat die folgenden Gestalt: Um welche Funktion handelt es sich? = 2 + 2 + 3. = 2. = 2 + 2. = e. = 2 2 + 2. 8.3. (2 Punkte) Die Funktion = 2 +a+b beschreibt einen nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel im Punkt (, ). Bestimmen Sie a und b. a = b =
8.4. (3 Punkte) Gegeben ist die Funktion f() = 2 2+. a) Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich der Funktion D f = b) Wie verhält sich der Graph von f(), wenn gegen + geht? lim f() = 8.5. (4 Punkte) Eine Kugel wird senkrecht nach oben geworfen. Ihre Höhe h in Metern zum Zeitpunkt t (in Sekunden) berechnet sich nach der Formel h = 28t 2t 2 a) In welcher Höhe befindet sich die Kugel nach 3 Sekunden? b) Was ist die höchste Höhe, die erreicht wird, und nach wieviel Sekunden wird sie erreicht? h = h ma = t ma =
8.6. (2 Punkte) Welches der folgenden Bilder beschreibt den Graphen der Funktion = ln( 2 + ) Abbildung 8.: Abbildung 8.2: Abbildung 8.3: Abbildung 8.4:
9. Logik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit 9.. ( Punkte) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine 6 zu würfeln? 9.2. (2 Punkte) Wie oft muss eine Münze (mit Wappen und Zahl) geworfen werden, damit mit mindestens 80% iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal eine Zahl vorkommt? 9.3. (2 Punkte) Zwei eineiige Zwillinge besitzen zusammen sieben Hemden. Wieviele Tage hintereinander können die beiden mit jeweils verschiedenen Hemdkombinationen aus dem Haus gehen? 9.4. (2 Punkte) Für alle Elemente einer Menge M R gilt 2 > 30. Muss dann schon > 5 für alle M gelten? Begründen Sie Ihre Antwort. ja. nein. 9.5. (3 Punkte) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: + 2 + + n = n(n + ) 2 für alle n. 9.6. ( Punkte) Anton sagt: Bertram lügt, Bertram sagt Claus lügt und Claus sagt Anton und Bertram lügen. Wer von den dreien sagt die Wahrheit?