Symmetrie in Physik und Technik Wolfgang Herfort Wien 21.Mai 2012 Bildung im Resselpark
At the deepest level, all we find are symmetries and responses to symmetries. Steven Weinberg (1933-) Dirac Memorial Lecture (1986)
Salz
Molekülstruktur Salz Chloridionen gelb, Natriumionen rot
Fulleren C60... ist das nicht
Modell eines C60 Moleküls aus Luftballons
C60 Molekül geplättet
Max von Laue
Benard-Problem schematisch
Draufsicht auf Benardzellen
Plattentektonik
Konvektionszellen auf der Sonne NASA
Wo steht die Mathesis? Mathematische Modellierung des Beginns des Prozesses bisher nicht gelungen. Rolle der Gravitation unklar. (Benard Problem): Boussinesque Strömungsgleichungen keine Möglichkeit lokale Zufälligkeiten der Strömung auszudrücken wegen Kontinuumshypothese. Statistische Mechanik nicht einbringbar. Zulässige Funktionen willkürlich an die Natur angepasst doppeltperiodisch! Danach erzeugt Computersimulation spezielle Ornamente (Kristallgitter). Erhöhen der Reinoldszahl unterschiedliche Muster am Ende Chaos. In jedem Fall mathematische Beschreibung von 3D- Ornamenten nötig.
Was ist eine Symmetrie (im Sinne der mathematischen Physik)? (Gruppenwirkung und (dis)kontinuierliche Symmetrien). Erklärung anhand von 9
1-dimensional: Perlenreihe Punktgruppe trivial Graph:... Graph/Translationen Punktgruppe: {1}. Symmetriegruppe Z. Graph/Symmetrien: s.o. Bild :
1-dimensional: Perlenreihe Punktgruppe mit 2 Elementen Graph:... Graph/Translationen: Punktgruppe: C 2 Symmetriegruppe: D Graph/Symmetrien: Bild
Äquivalenz von Symmetriegruppen (Grundidee) φ g φ(g) φ
Äquivalenz von Symmetriegruppen (Formel) Koordinatenraum V := IR n hier n = 1, 2, 3 Affine Transformation v Av + b Affine Gruppe A invertierbar Translationen A die Einheitsmatrix, also v v + b Rotationen v Av mit A orthogonal φ : (G, V ) (H, V ) φ g(v) = φ(g) φ(v), φ : G H Gruppenisomorphismus φ : V V regulär affin φ(g) = φ g φ 1
Kristallographische Bedingung φ = Vielfache von 60 o bzw. 90 o.
Kristallographische Bedingung: Beweis Gitterbasis b i, i = 1, 2 bzw. 1, 2, 3 Z-Linearkombination Matrixform Drehung g gb i = n j=1 b jz ji gb = BZ bzw B 1 gb = Z spur(g) = spur(z) = 2 cos φ (2D), bzw. 2 cos φ + 1 (3D) ganzzahlig Drehwinkel φ Vielfache von 60 o bzw. 90 o.
3-dimensionale Kristallgittergruppen Jede Kristallgittergruppe ist Erweiterung eines Gitters mit einer der 7 Punktgruppen (= Kristallklassen); 230 inäquivalente Gruppen kommen zustande. 48 kubisch 24 hexagonal 16 tetragonal 12 trigonal 8 orthorhombisch 4 monoklin 2 triklin
Symmetrie kann Distanzen und Flächen minimieren Reflexionsgesetz für Licht de Maupertuisches Prinzip Reguläres Vieleck
Symmetrie kann Wirkungsintegral minimieren Eingespannte Saite in Ruhelage minimiert J(u) := 1 0 ( 1 2 u 2 u) dx 0 u 1 x u(x) Durchhang vertikal gemessen 1 2 u 2 infinitesimale Verformungsenergie u geleistete Arbeit durch Belastung. Behauptung: Lösung u ist bezüglich 1 2 spiegelsymmetrisch.
Beweis: Variationsproblem J(u) := 1 0 ( 1 2 u 2 u) dx Min u(0) = u(1) = 0. Eulergleichung 1 (u ) = 0, u(0) = u(1) = 0. Lösung Symmetrie prüfen: u(x) = 1 2x(1 x). u( 1 2 x) = 1 2 ( 1 2 x)( 1 2 + x) u( 1 2 + x) = 1 2 ( 1 2 + x)( 1 2 x).
Symmetrie bei Nachbeulverhalten
Symmetrie bei Nachbeulverhalten U of Bath
Nachbeulverhalten im Experiment U of Bath
3-zählige Symmetrie DGL-Gestalt Phasenbild von ż = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + a 4 z 4 erlaubt Rotation um 120 o. Frage: a i =?
Antwort(findung) falls Lösungen z(t) 0 nahe bei 0 ζ 3.te Einheitswurzel. Mit z auch ζz Lösung: (ζz) = a 0 + a 1 ζz + a 2 ζ 2 z 2 + a 3 z 3 + ζa 4 z 4 Weil (ζz) = ζż und ż = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + a 4 z 4 : ζ(a 0 +a 1 z +a 2 z 2 +a 3 z 3 +a 4 z 4 ) = a 0 +a 1 ζz +a 2 ζ 2 z 2 +a 3 z 3 +ζa 4 z 4, alles auf die linke Seite bringen und Kürzen durch ζ 1: a 0 ζa 2 z 2 + a 3 z 3 = 0. z 0 ergibt a 0 = 0. Deshalb (a 0 = 0 einsetzen, z 2 Kürzen) ζa 2 + a 3 z = 0 Antwort: ż = a 1 z + a 4 z 4.
Satz von Emmy Noether in Dimension 1 Ist (t(s), x(t(s), s), ẋ(t(s), s)) eine 1-Parametergruppe (bezgl. s) und besteht für die Lagrangefunktion L(t, x, ẋ) die Gleichung δl = K, so ist Q := Lẋẋ K eine Invariante der Bewegung.
Erhaltungssätze x(t) Ort zum Zeitpunkt t auf der x-achse L(t, x, ẋ) = 1 2 mẋ 2 V (x) Lagrangefunktion für Teilchen im Potentialfeld x(t(s), s) = x(t + s) x(t(s), s) = x(t) + s δx = ẋ, δl = V (x)ẋ + mẍ = L Q = mẋ 2 L = 1 2 mẋ 2 + V (x) Q = Gesamtenergie Sei V = αx linear. Dann δl = α = K mit K = αt Q = mẋ αt ist Erhaltungsgröße. Ist α = 0, so ist mẋ der Impuls.
Springender Knoten a jumping knot of J. Langer, which exhibits self-contact but which is far
Seifenblase Minimalfläche
Seifenblase Minimalfläche 2
Seifenblase unter dem Mikroskop
Seifenblase und Kugel
Friedmann Minimalfläche
Costas Minimalfläche
Costas Minimalfläche aus Schnee
Raumformenproblem und Kosmologie Beobachtung von Spiegelbildern einzelner Galaxien. Licht kommt auf verschiedenen Bahnen zu uns. Homogenität bezüglich gewisser kontinuierlicher Transformationen im Raum-/Zeitbereich geben Anlaß, sich den Raum als kompakte orientierbare Mannigfaltigkeit vorzustellen, die bezüglich der Raumzeit eine gewisse Dynamik durchmacht (Expansion des Universums). Raumformenproblem: Mannigfaltigkeit mit Metrik, vollständig ohne Löcher, d.i. einfach zusammenhängend. Beispiele sind Symmetrische Räume, also Gruppen modulo einer kokompakten Untergruppe. Allereinfachst: SO(3)/SO(2) = S 2. IR n /G mit G kristallographische Gruppe. Milnor (1973) & Friedmann (1986) haben die Homotopietypen der 4-dimensionalen orientierbaren einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten klassifiziert.
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