M03 Lineare Bewegungsgesetze Die Zusammenhänge zwischen Geschwindigkeit, Beschleunigung, Masse und Kraft werden am Beispiel eindimensionaler Bewegungen experimentell mit Hilfe eines Bewegungsmesswandlers auf einer Luftkissen-Fahrbahn untersucht. Im Rahmen der Auswertung wird eine Abschätzung systematischer Abweichungen vorgenommen ( z.b. Restreibung, Fahrbahnunebenheiten). 1. Theoretische Grundlagen Der Vektor der Momentangeschwindigkeit eines Massepunktes ist dx v = = x, (1) dt wobei man mit x ( t) den Ortsvektor zur Zeit t bezeichnet. Die Beschleunigung a ist die zeitliche Änderung der Momentangeschwindigkeit a = v = x. () Eine Bewegung mit v = const. heißt gleichförmig. Ist a = const. und ungleich 0, so wird die Bewegung als gleichmäßig beschleunigt bezeichnet. Das Experiment zeigt, dass die Beschleunigung a proportional zur beschleunigenden, von außen am Massenpunkt angreifenden Kraft F a und umgekehrt proportional zur Masse m des beschleunigten Körpers ist: Fa a = k (mit k als Proportionalitätskonstante). (3) m 1 Damit ist F a = m a. (4) k Sind die Einheiten der Zeit und des Weges bereits durch Messvorschriften bestimmt, kann man die Krafteinheit durch Definition der Konstanten k festlegen. Mit k = 1 erhält man [F] =1kg m s - =1N (5) und damit die Grundgleichung der Mechanik (. Newtonsches Axiom): = m a. (6) F a Fällt z.b. der Massepunkt frei im Schwerefeld der Erde, dann ist die äußere, antreibende Kraft seine Gewichtskraft: F = F = m g. (7) a g Gleichung (7) in Gleichung (6) bedeutet, dass der Massepunkt mit der Erdbeschleunigung g fällt: a = g. Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung wie beim freien Fall ist: d x = a = const.. (8) dt Durch Integration ergibt sich für die Zeitabhängigkeit von Geschwindigkeit und Ort 015
v ( t) = a t + v0 (9) 1 und s( t) = a t + v0 t + s0. (10) Die Integrationskonstanten s 0 und v 0 sind der Ort bzw. die Geschwindigkeit zur Zeit t = 0. Messprinzip Bei den Versuchen wird ein Gleiter verwendet, der sich nahezu reibungsfrei auf einer Luftkissenfahrbahn bewegt. Die Registrierung des Weges in Abhängigkeit von der Zeit erfolgt durch einen Bewegungsmesswandler, der eine dem Weg proportionale Spannung erzeugt. Diese wird dann über ein PC-Messsystem ausgewertet und dargestellt. Dazu wird der Weg des Gleiters über einen dünnen Faden auf ein leichtes, spitzengelagertes Rad übertragen, auf dessen Umfang in regelmäßigem Abstand Löcher sitzen. Zwei gegeneinander etwas versetzte Lichtschranken registrieren die Anzahl der durchlaufenen Löcher. Die Phasenverschiebung zwischen den beiden Lichtschranken-Signalen liefert die Information über die Bewegungsrichtung. Eine geeignete Elektronik wertet die beiden Signale aus und erzeugt eine Spannung, die zum zurückgelegten Weg des Gleiters proportional ist. Aus der Unterbrechungsfrequenz der Lichtschranke erhält man ein Geschwindigkeitssignal, durch dessen elektronische Differentiation nach der Zeit ergibt sich das Beschleunigungssignal. Bild 1: Skizze der Luftkissenbahn. Versuch.1 Vorbetrachtung Aufgabe 1: Fertigen Sie eine Skizze an, aus der die Kräfte erkennbar sind, die auf einen Körper wirken, der auf einer schiefen Ebene nach oben beschleunigt wird. Aufgabe : Berechnen Sie den Wert für die Fallbeschleunigung in Senftenberg. Für die Fallbeschleunigung g auf Meeresniveau (g 0 = 9,78033 m s - ) bei der geografischen Breite Φ existiert eine Anpassung an die Messwerte der Form g ( Φ) = g (1 + 0,0053 sin ). 0 Φ In Abhängigkeit von der Höhe h über dem Meeresspiegel erhält man - -
h ( ) ( ) g Φ + h = g Φ 1. R 0 Daten für Senftenberg: Φ = 51 31 0 h = 103m über Meeresspiegel. R 0 = Erdradius in Äquatornähe. Versuchsdurchführung..1 Verwendete Geräte Luftkissen-Fahrbahn mit Gleitern und Zusatzmassen, Haltemagnet mit Netzgerät, Bewegungsmesswandler, PC mit Messsystem Cassy und Drucker, Feinwaage, 4 Antriebsmassen, x Zusatzmassen.. Versuchshinweise Aufgabe 1: Überprüfung der Schaltung und Justierung der Fahrbahn Überprüfen Sie zuerst die Schaltanordnung, dann justieren Sie die Fahrbahn horizontal und machen sich mit dem Bewegungsmesswandler sowie mit der Messsoftware vertraut. Die Einstellung der Horizontalen der Fahrbahn (Siehe Bild 1) erfolgt mit den Justierschrauben am Fahrbahngestell. Diese Justage ist dann abgeschlossen, wenn der Gleiter bei eingeschaltetem Gebläse (Stufe ) sich nicht mehr allein von der Mitte weg in Bewegung setzt. (Die erreichbare Messgenauigkeit hängt Bild : Anschlussplan stark von dieser Justierung ab.) Die optimale Luftfördermenge hängt stark von der Masse des verwendeten Gleiters ab. Sie kann am Gebläse variiert werden. Beachten Sie, je größer die Gleitmasse ist, umso größer muss der Volumenstrom des Gebläses gewählt werden. Die zur Bedienung des PC-Messsystems benötigte Anleitung finden Sie am Praktikumsplatz. Um den Gleiter beim Start nicht mit der Hand zu beeinflussen, wird ein Elektromagnet verwendet, der über das PC-Messsystem bei Start des Gleiters abgeschaltet wird. Die Feldstärke des Magneten kann durch einen verstellbaren Eisenkern verändert werden. Bei jeder Messung muss diese so eingestellt werden, dass der Gleiter gerade noch gehalten wird. Aufgabe : Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Zur Messung ist jede der drei Gesamtmassen: Gleiter ohne Zusatzgewicht Gleiter mit zwei Zusatzscheiben (m 1/1, m 1/ ) Gleiter mit vier Zusatzscheiben (m 1/1, m 1/, m /1, m / ) durch das Gewicht von vier (10g, 5g, 3g, g) Massen m Antrieb zu beschleunigen (Bild1). - 3 -
Als Messergebnis erhalten Sie zur Auswertung drei Diagramme s = f(t ) mit jeweils vier Graphen und deren Anstieg (Parameter m Antrieb ). Bestimmen Sie alle Massen (m Antrieb, m Gleiter, m Zusatz ) nach Versuchsdurchführung exakt mit einer Feinwaage. Beachten Sie, dass bei allen Experimenten mit dem Bewegungsmesswandler beide Umlenkrollen mit beschleunigt werden müssen. Dieser Einfluss des Trägheitsmomentes entspricht dem einer zusätzlich zu beschleunigenden Masse von je µ 6g (Rollenersatzmasse). Aufgabe3: Schiefe Ebene Verwenden Sie die Luftkissen-Fahrbahn als schiefe Ebene. Zur Messung wird der Gleiter über den Bewegungsmesswandler nach oben gezogen. Für die Bestimmung des Neigungswinkels α der Luftkissenbahn messen Sie den Abstand l zwischen den Luftkissenbahnständern und die Höhe h der Unterlegklötze. Führen Sie die Messung bei drei Höhen mit jeweils zwei beschleunigenden Massen m Antrieb (5g, 10g) durch. Verwenden Sie den Gleiter mit zwei Zusatzscheiben (m 1/1, m 1/ )..3 Versuchsauswertung Aufgabe 1: Für eine erfolgreiche Versuchsdurchführung ist eine gewissenhafte Justage der Anlage absolut notwendig. Aufgabe : Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Die Messergebnisse werden als Diagramm s = f(t ) ausgegeben und können unter anderem zur Bestimmung der Beschleunigung genutzt werden. Zum Beispiel erhalten Sie für den Fall ohne Zusatzmassen ein Diagramm mit vier Graphen, bei der jeder Graph für eine andere antreibende Masse m Antrieb steht. Erstellen Sie eine Tabelle in der die Messungen sowie die Größen beschleunigte Masse m (m Gleiter +m Zusatz +m Antrieb +μ), beschleunigende Masse m Antrieb und die beschleunigende Kraft F (m Antrieb g) als Spalten aufgelistet werden. Berechnen Sie tabellarisch aus den Massen bzw. der beschleunigenden Kraft die Beschleunigung a. Tragen Sie nun für jeden Parameter m Gleiter +m Zusatz die Messwerte F und a in einem Diagramm der Funktion F = f(a) ein und legen Sie durch die 4 Messwerte je Parameter eine Trendlinie (Regressionsgerade). Sie erhalten demnach 3 Graphen mit drei unterschiedlichen Anstiegen. Bestimmen Sie diese. Zeichnen Sie für jeden Graphen die Fehlerbalken für F und a ein (siehe dazu Abschnitt 4.6 im Skript Einführung in das physikalische Praktikum.) Vergleichen Sie die berechneten Beschleunigungen mit den Anstiegen der gedruckten Diagramme. Beachte Sie, dass es sich bei der Bewegung des Gleiters der Luftkissenbahn um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt. Was sagt dieser Zusammenhang über die Anstiege der ausgegebenen Graphen aus? Diskutieren Sie Ihr Ergebnis entsprechend der Aufgabenstellung (welche physikalische Größe geben die Anstiege wieder?). Ermitteln Sie dazu auch die relativen Messunsicherheiten der Anstiege über die relativen Messunsicherheiten von F und a (Fehlerbalken). - 4 -
Aufgabe 3: Schiefe Ebene Geben Sie für beiden Fälle ein Diagramm s = f(t ) mit jeweils drei Graphen und h als Parameter aus. Zum Beispiel erhalten Sie für den Fall m Antrieb = 10g ein Diagramm mit drei Graphen, bei der jeder Graph für eine andere Höhe h steht. Bestimmen Sie aus den Anstiegen (ausgegebene Graphen) die jeweilige Beschleunigung a und bestimmen Sie mit dieser die Fallbeschleunigung g. Beachten Sie bei den Berechnungen ebenfalls die Hinweise zur Aufgabe (z.b. Erstellen einer Tabelle mit Spalten für Messung, Höhe, sinα, beschleunigte und beschleunigende Masse, Beschleunigung a und Fallbeschleunigung g)! Bilden Sie aus den erhaltenen Werten den Mittelwert für die Fallbeschleunigung g. Zeichne Sie die ermittelten Beschleunigungen zur Höhe in ein Diagramm der Funktion a = f(h) mit den Parametern der antreibenden Masse (5g und 10g) ein. Diskutieren Sie die Abweichungen der Fallbeschleunigung g der berechneten vom Tabellenwert (siehe Abschnitt.1 im Versuchsheft!) unter qualitativer Einschätzung der Messabweichungen. Näheres zur linearen Regression finden Sie im Skript Einführung in das Physikalische Praktikum. - 5 -