Schnecke auf expandierendem Ballon Kann in einem sich expandierenden Uniersum das Licht einer Galaxie auch die Punkte erreichen, die sich on ihr mit mehr als Lichtgeschwindigkeit entfernen? 1 Als einfaches Modell wird eine Schnecke betrachtet, die auf einem sich ausdehnenden Ballon kriecht Die Schnecke S startet im Punkt A will den Punkt B erreichen Gleichförmige Expansion Während die Schnecke mit der konstanten Geschwindigkeit kriecht, wächst gleichzeitig der Radius des Ballons mit der Geschwindigkeit u: r = r 0 + ut (1) ds S B dϕ r A Abbildung 1: Bewegung der Schnecke im Zeitinterall dt Sowohl der Ballon als auch die Schnecke seien nicht physisch, sondern mathematisch Das heisst, der Ballon sei unbegrenzt dehnbar, die Schnecke sei punktförmig habe eine unbeschränkte Lebensdauer Die Strecke, die die Schnecke zurücklegen will, hat die Länge w = π r (2) Diese Strecke wächst mit der Geschwindigkeit ẇ = π ṙ = π u (3) 1 Diese Frage das Ballon-Modell wurden für ein gleichförmig expandierendes Uniersum in einem Artikel in der Zeitschrift Physikalische Blätter irgendwann zwischen 1957 1970 diskutiert Hier wird zusätzlich der Fall eines (exponentiell) beschleunigt expandierenden Uniersums betrachtet
Schnecke auf expandierendem Ballon 2 Falls u>,istẇ>π, dh der Punkt B entfernt sich om Punkt A mit einer Geschwindigkeit, die mehr als dreimal grösser ist als die Geschwindigkeit, mit der die Schnecke kriecht Trotzdem kann die Schnecke den Punkt P in endlicher Zeit erreichen Die Strecke ds, die die Schnecke im Zeitinterall dt zurücklegt, ist gegeben durch ds = rdϕ =(r 0 + ut) dϕ (4) Ferner gilt = ds dt = ds dϕ dϕ dt, (5) somit =(r 0 + ut) dϕ dt (6) Daraus folgt dϕ = r 0 + ut dt (7) Integration dieser Differentialgleichung liefert ϕ = u ln (r 0 + ut)+c (8) Aus der Anfangsbedingung t =0, ϕ =0ergibt sich c = u ln r 0 (9) damit ϕ = u ln r 0 + ut r 0 (10) Auflösen nach t gibt schliesslich: t = r 0 u ³exp ( u ϕ) 1 (11) Um on A nach B zu kommen, muss die Schnecke den Winkel ϕ = π zurücklegen Damit wird t = r 0 u ³exp (π u 1 ) (12) Für r 0 =10cm, u =10cm/min =10cm/min ergibt sich t =22min Wird erkleinert auf 1 cm/min, so wird t = 837 Millionen Jahre!
Schnecke auf expandierendem Ballon 3 Beschleunigte Expansion Falls die Expansion exponentiell beschleunigt ist, ergibt sich ein Horizont, über den die Schnecke nicht hinaus gelangen kann Mit r = r 0 e α t (13) wird dϕ dt = r 0 e α t (14) Die Integration liefert ϕ = e α t + ϕ 0 (15) Mit der Anfangsbedingung t =0, ϕ =0ergibt sich ϕ 0 = damit (16) ϕ = 1 e α t (17) Für t wird ϕ m = Der Winkel ϕ m kann on der Schnecke nicht überschritten werden Horizont liegt zur Zeit t =0in der Distanz s 0 = r 0 ϕ m = α (18) Der dadurch definierte (19) Da s 0 nur on der Geschwindigkeit om Expansions-Exponenten α abhängt, kann das Resultat direkt om Ballon-Modell auf das exponetiell expandierende Uniersum übertragen werden Exponentiell expandierendes Uniersum Die Friedmann-Lemaître-Gleichung lautet: H 2 =! 2 ÃṘ = 8 π G % m + Λ R 3 3 kc2 R (20)
Schnecke auf expandierendem Ballon 4 Da die Massendichte % m abnimmt der Skalenfaktor R zunimmt, überwiegt schliesslich der Term mit der kosmologischen Konstante, die Gleichung reduziert sich zu! 2 ÃṘ H 2 = = Λ R 3 (21) Als asymptotische Lösung ergibt sich R = R 0 e H t (22) mit H = r Λ 3 (23) Bei der Übertragung des Resultates (19) om Ballon-Modell auf das Uniersum ist die Geschwindigkeit der Schnecke durch die Lichtgeschwindigkeit c zu ersetzen, für den Faktor α in der Exponentialfunktion muss H erwendet werden Aus den Beziehungen % Λ = Λ 8 π G, (24) Ω Λ = % Λ % krit, (25) % krit = 3 H2 0 8 π G (26) ergibt sich Λ =3Ω Λ H 2 0 (27) H = p Ω Λ H 0 (28) Mit den Werten H 0 =70kms 1 /Mpc (29) Ω Λ =073 (30)
Schnecke auf expandierendem Ballon 5 wird Λ =113 10 35 s 2 (31) H =194 10 18 s 1 (32) Für s 0 folgt s 0 = c H = oder, umgerechnet auf Lichtjahre, s 0 = 2998 108 194 10 18 =155 1026, (33) 155 10 26 3600 24 365 2998 10 8 =163 1010 (34) Der kosmologische Ereignishorizont ist also in einer Entfernung on 163 Milliarden Lichtjahren Wikipedia-Artikel Beobachtbares Uniersum : [] Ereignishorizont Im Gegensatz zum Beobachtungshorizont, der angibt, wie weit Objekte aktuell maximal entfernt sein können, deren Licht uns heute erreicht, gibt der Ereignishorizont an, wie weit ein Objekt heute maximal on uns entfernt sein darf, so dass uns sein Licht irgendwann in der Zukunft noch erreichen wird Der Ereignishorizont ist demnach deutlich kleiner als der Beobachtungshorizont liegt etwa in einer Entfernung on 16,2 Mrd Lichtjahren [] 22 April 2012 A Ruh