HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Mathematik II Mathematik II für Bauingenieure Wiederholungsaufgaben zur Prüfungsklausur im Juli 2007 1 Integralrechnung Aufgabe 1 : Berechnen Sie die folgenden Integrale (a) x ln x dx (b) (x 2 1)e x dx (c) 3 8x 4 dx (d) 1 3 5x 7 dx (e) 4x x 2 +8 (g) (h) 2e 3x e 2x 1 dx Aufgabe 2 : 0 (f) 4 sin x cos 5 x dx 3 x e x2 dx (i) 0 1 x 1 dx Für die folgenden Flächen F der Ebene berechne man den Flächeninhalt: a) F = {(x, y) R 2 0 x 2π, 0 y sin x } b) F = {(x, y) R 2 0 y 1 und y x 2 y}. Aufgabe 3 : Gegeben sei die Kurve r : t I r(t) = x(t) = 3t 2 1, y(t) = 3t 3 t,. x(t) y(t) R 2 mit I = (a) Skizzieren Sie die Spur der Kurve r. (b) Geben Sie den Tangentialvektor r(t) an (c) Für welche t I ist die Tangente parallel zur y-achse? (d) Berechnen Sie die Länge L der Kurve r. [ ] 1 1 3, 3 und Aufgabe 4 : Man skizziere die folgenden Kurven und berechne ihre Bogenlänge (a) x = t6 6, y = 2 t4 4 Kurvenstück zwischen den Koordinatenachsen (b) x = 4 ln(t), y = 2t + 2 t Kurvenstück zwischen P 1 = (0, 4) und P 2 = (8 ln 2, 17 2 ) Aufgabe 5 : Man skizziere die folgenden Kurven und berechne den Inhalt desjenigen von ihnen begrenzten Flächenstückes, das den Punkt P = (x, y) enthält. (a) y = x 2, y = x; P = ( 1 2, 1 2 ) (b) y = 1 x, y = 1 4 x, y = 4x; P = ( 1 2, 1)
Aufgabe 6 : Berechnen Sie den Inhalt der Mantelfläche die entsteht, wenn der Graph der Funktion y = f(x), x I um die x-achse rotiert. (a) y = f(x) = r 2 x 2, x r, (b) y = f(x) = sin x, 0 x π. Tipp für (b): Substitution t = cos x, Integral nachschlagen Aufgabe 7 : Das zwischen den Punkten P 1 = (1, 1) und P 2 = (3, 4) gelegene Stück der Geraden 3x 2y = 1 rotiere (a) um die x-achse und (b) um die y-achse. Die entstehende Rotationsfläche und zwei Kreisflächen begrenzen einen Kegelstumpf. Berechnen Sie dessen Volumen, seine Mantelfläche, sowie die Oberfläche. 2 Differentialrechnung Aufgabe 8 : Gegeben sind die Funktion f und der Punkt P 0. Ermitteln Sie gradf und gradf(p 0 ). (a) f(x, y) = e y x2, P 0 = (1, 2) (c) f(x, y) = x+y x y, P 0 = (2, 1) Aufgabe 9 : (b) f(x, y) = sin(x + 2y), P 0 = (π/9, π/9) Für die durch die Funktion z = f(x, y) = x 2 + xy 2 (x + y) gegebene Fläche F berechne man im Punkt P 0 = (2, 1) die Richtungsableitung, sowie den zugehörigen Anstiegswinkel (a) in positiver Richtung der Koordinatenachsen, (b) in Richtung zum Punkt Q 0 = ( 1, 3), (c) in Richtung der Vektoren v 1 = (3, 4) T, v 2 = (1, 1) T, (d) in Richtung des Gradienten der Funktion. Aufgabe 10 : Gegeben sei die Funktion f aus R 2 in R mit f(x, y) = x ln(xy) + x 2. (a) Geben Sie den gröstmöglichen Definitionsbereich D f und den Rand D f an. Ist D f eine offene oder abgeschlossenen Menge? (b) Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f. (c) Geben Sie den Gradienten grad f(x, y) sowie die Hesse-Matrix H f (x, y) von f an. (d) Für welche Punkte (x, y) R 2 ist die Hesse-Matrix H f (x, y) positiv definit? Skizzieren Sie den entsprechenden Bereich in der Ebene. (e) Für welche Richtung v hat der Anstieg f (a) der Funktion f im Punkt a = (1, 1) den größten bzw. den kleinsten Wert? Geben Sie jeweils den zugehörigen Wert f (a) an. (f) Für die Höhenlinie der Funktion f, die durch den Punkt a = (1, 1) verläuft, gebe man eine Gleichung für die Tangente im Punkt a an. Wie groß ist der Anstieg f (a), falls v ein Richtungsvektor der Tangente ist? (g) Man gebe die Differentiale df(x, dx) und d 2 f(x, dx) an mit x = (x, y) und dx = (dx, dy). (h) Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene der Funktion f im Punkt a = (1, 1) an.
Aufgabe 11 : Für die folgende Funktion f(x, y) berechne man die Gleichung der Tangentialebene sowie das vollständige Differential df(x, dx) im Punkt (x 0, y 0 ). Im Fall (b) und (c) skizziere man für jeweils drei selbstgewählte Konstanten c die zugehörigen Höhenlinen N c (f) (a) f(x, y) = sin(xy + 2x 2 ) + y ln x und (x 0, y 0 ) = (1, 2) (b) f(x, y) = x + y 2 und (x 0, y 0 ) = (3, 7) 2 (c) f(x, y) = und (x 3 x 0, y 0 ) = (1, 1) 2 y 2 Aufgabe 12 : Man bestimme und klassifiziere die lokalen Extremwertstellen der folgenden Funktionen f auf D (a) f(x, y) = x 2 + y 2 + xy + x + 5y, D = R 2 (b) f(x, y) = x 3 3xy 2 + 3y 2, D = R 2 (c) f(x, y) = x4 2 6xy + y2 5 (d) f(x, y) = 8x 3 12xy + 3y 2 + 7 Aufgabe 13 : Ermitteln Sie die lokalen Extrema von z = f(x, y) unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0: (a) f(x, y) = 6x 2 y, g(x, y) = x 2 y 8, (b) f(x, y) = xy 2, g(x, y) = x 2 + y 2 1. Aufgabe 14 : Bestimmen Sie die globalen Extremwertstellen von f : D R 2 R mit f(x, y) = x 3 + 2y 3 27x 6y + 13 und D = {(x, y) x 1, y 1, x + y 2} 3 gewöhnliche Differentialgleichungen Aufgabe 15 : Klassifizieren Sie die folgenden Differenzialgleichungen und geben Sie die allgemeine Lösung an. (a) y = e x y 1 (b) y 2y + 2y = 2t (c) xy + y = x sin x (d) 3x(x + y) 2 dx + ((2x 3 + 3x 2 y)dy = 0 (e) y 7y + 6y = cos x (f) (x 2 + 2)y + xy x(x 2 + 2) = 0 (g) x = e t x (h) y 4y + 13y = e 2x sin 3x (i) y + 9y = cos 3t (j) y 2x sin x 2 + (x + cos y)y = 0 Aufgabe 16 : Man löse folgenden Anfangswertaufgaben: (a) y = xy + 2x, y(0) = 2 (b) xyy + y 2 + 1 = 0, y( 1/2) = 3 (c) x + yy = 0, y(1) = 3 (d) y + 2y + y = 0, y(0) = 3, y (0) = 0 (e) 16y + 8y + y = 80, y(0) = 1, y (0) = 0 (f) y = 9y, y(0) = 0, y (0) = 3 4 Bereichsintegrale, Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale s. Übungsserien 8,9,10
Lösungen 1. (a) x2 2 ln x 1 4 x2 + c, c R, (b) (x 1) 2 e x + c, c R, (c) 1 4 ( 8x 4) 3 + c, c R, 3 (5x 7)2 + c, c R, (e) 4 x 2 + 8 + c, c R, (f) 2 3 cos6 x + c, c R, (d) 3 10 (g) 2e x + ln ex 1 e x +1 2. (a) 4, (b) 5 6 + c, c R, (h) 1 2, (i) infty + ln 2 + = unbestimmt 3. (b) r(t) = (6t, 9t 2 1) T, (c) t = 0, (d) 4 3 3 4. (a) 13 3, (b) 15 2 5. (a) 1/3, (b) 2 ln 2 6. (a) 4πr 2, (b) 2π 2.2956 7. V M O (a) 14π 5π 13 π(17 + 5 13) (b) 13π 4π 13 π(10 + 4 13) 8. (a) grad f(p 0 ) = ( 2e, e) T, (b) grad f(p 0 ) = (1/2, 1) T, (c) grad f(p 0 ) = ( 2, 4) T 9. (a) f x = 4 75, 96 o, f y = 3 71, 56 o, (b) 6 13 58, 99 o 1, (c) 0, 2 5 78, 69 o 35, 26 o, (d) 10. (a) D f = {(x, y) R (x > 0 und y > 0) oder (x < 0 und y < 0)}, D f = {(x, y) R x = 0 oder y = 0}, D ist offen, (b) f x = ln(xy)+1+2x, f y = x/y, f xx = 1/x+2, f xy = f yx = 1/y, f yy = x/y 2, ln(xy) + 1 + 2x) (c) grad f(x, y) =, 1/x + 2 H f (x, y) = 1/y, (d) H f (x, y) x/y 1/y x/y 2 ist positiv definit für alle P = (x, y) mit x < 1/2 und y < 0, (e) steilster Anstieg für v = grad(f)(1, 1) = (3, 1) T, Anstieg 10 72, 45 o, steilster Abstieg für v = gradf(1, 1) = ( 3, 1) T, Abstieg: 10 72, 45 o, (f) y = 3x+4, Anstieg: 0, (g) df(x, dx) = f x (x)dx+ f y (x)dy, d 2 f(x, dx) = f xx (dx) 2 + 2f xy dxdy + f yy (dy) 2, (h) 3x + y z = 3 11. (a) z = y + 2, df(x, dx) = dy = y + 2, (b) x 14y z = 49, df(x, dx) = (x 3) 14(y + 7), (c) 2x + 2y z = 2, df(x, dx) = 2(x 1) + 2(y 1) 12. (a) P = (1, 3) lokales Minimum, (b) P 1 = (0, 0) keine Aussage, P 2 = (1, 1), P 3 = (1, 1) Wendepunkte, (c) P 1 = (0, 0) Wendepunkt, P 2 = (3, 9), P 3 = ( 3, 9) lokale Minima, (d) P 1 = (0, 0) Wendepunkt, P 2 = (1, 2) lokales Minimum 13. (a) lokales Maximum: P 1 = (0, 8, 0), lokale Minima: P 2 = (2, 4, 96), P 3 = ( 2, 4, 96), (b) lokale Minima: P 1 = ( 1/3, 2/3, 4/27), P 2 = ( 1/3, 2/3, 4/27), P 3 = (1, 0, 0); lokale Maxima: P 4 = ( 1/3, 2/3, 4/27), P 5 = ( 1/3, 2/3, 4/27), P 6 = ( 1, 0, 0) 14. globales Maximum: P 1 = (1, 1, 9), globales Minimum: P 2 = (3, 1, 37) 15. (a) y = ± 2e x + c, c R (b) y = 1 + t + e t (c 1 cos t + c 2 sin t), c 1, c 2 R (c) y = cos x + 1 x sin x + c x, c R (d) y = 2 3 x ± 1 3 x2 /2 + c/x 2, c R (e) y = 1 74 (7 cos x + 5 sin x) + c 1e x + c 2 e 6x + c 3, c 1, c 2, c 3 R (f) y = c x 2 + 2 + 1 3 (x2 + 2), c R (g) x = ln(e t + c), c R
(h) y = 1 6 xe2x cos 3x + e 2x (c 1 cos 3x + c 2 sin 3x), c 1, c 2 R (i) y = c 1 cos 3t + c 2 sin 3t + 1 6t sin 3t (j) yx + cos(x 2 ) + sin y = c, c R 16. (a) y = 2 + 4e x2 /2, (b) y = 1 + 1/x 2, (c) y = 4 x 2, (d) y = 3e x (1 + x), (e) y = 80 + (81 + 81x/4)e x/4, (f) y = sin 3x