Spieltheorie Sommersemester 007 Verfeinerungen des Bayesianischen Nash Gleichgewichts Das Bayesianische Nash Gleichgewicht für Spiele mit unvollständiger Information ist das Analogon zum Nash Gleichgewicht für Spiele mit vollständiger Information. Bei letzteren konnten Gleichgewichte mit unglaubwürdigen Drohungen durch das Konzept der Teilspielperfektheit ausgeschlossen werden. In Spielen, in denen alle Spielerinnen unvollständig informiert sind, schließt die Anforderung der Teilspielperfektheit aber keine Nash Gleichgewichte aus, da das einzige Teilspiel das gesamte Spiel selbst ist. Dies liegt daran, dass auch wenn die Aktionen aller Spielerinnen beobachtbar sind die Informationsmengen, die die Unkenntnis über die Typen der anderen Spielerinnen repräsentieren, dazu führen, dass kein Knoten des Spiels nach der Wurzel eine einelementige Informationsmenge bildet, so dass dort kein Teilspiel beginnt.
Spieltheorie Sommersemester 007 Das Markteintrittsspiel mit unvollständiger Information, das wir bereits analysiert haben, illustriert dies. Unternehmen ist nicht über den Typ des Unternehmens informiert. Daher liegen die beiden Knoten, an denen Unternehmen entscheidet in einer Informationsmenge, so dass in ihnen kein Teilspiel beginnt. Anders ist dies für das vollständig informierte Unternehmen. An den beiden Knoten, in denen es eine Entscheidung zu treffen hat, beginnt jeweils ein Teilspiel.
Spieltheorie Sommersemester 007 3 Natur 0.7 0.3 Firma Firma E N E N Firma Firma K Z 0 K Z 0 3 3
Spieltheorie Sommersemester 007 4 Beispiel: Dieses Beispiel geht zurück auf Selten (975). In diesem Spiel gibt es zwei Spielerinnen, d.h., I = {, }. L M R A B A B 0 0 0 0 3
Spieltheorie Sommersemester 007 5 A B L,, M 0, 0 0, R, 0 3, Das Spiel besitzt zwei Nash Gleichgewichte in reinen Strategien, nämlich (L, A) und (R, B). Da es keine echten Teilspiele gibt, d.h. das einzige Teilspiel aus dem gesamten Spiel besteht, sind beide Nash Gleichgewichte teilspielperfekt. Allerdings beruht das Nash Gleichgewicht (L, A) auf einer unglaubwürdigen Drohung: Wenn Spielerin am Zug ist, dominiert die Aktion B die Aktion A strikt. Daher sollte Spielerin diese Drohung nicht ernst nehmen.
Spieltheorie Sommersemester 007 6 Ein ähnliches Phänomen hatten wir bereits in dem Spiel gesehen, das wir als Beipiel für das Problem der Teilspielperfektheit in Spielen mit unvollkommener Information betrachtet hatten. Zwar gibt es hier kein echtes Teilspiel, aber in ihrer Informationsmenge besitzt Spielerin eine dominante Strategie, nämlich Z. Insofern können wir uns konzeptionell durchaus so etwas wie Rückwärtsinduktion vorstellen. Wir könnten annehmen, dass Spielerin ihre dominante Strategie wählt und jeden Knoten in ihrer Informationsmenge durch die entsprechende Auszahlung ersetzen.
Spieltheorie Sommersemester 007 7 3 R A N E E N 0 K Z K Z 0.5.5.5 0.9 3
Spieltheorie Sommersemester 007 8 3 R A N E E N 0.5 0.9 0
Spieltheorie Sommersemester 007 9 Beide Beispiele zeigen, dass es mit der formalen Definition der Teilspielperfektheit noch nicht gelungen ist, Nash Gleichgewichte zu eliminieren, die durch unglaubwürdige Drohungen gestützt werden und daher unplausibel erscheinen. In den Konzepten, die wir in diesem Anschnitt diskutieren, geht es darum, genau dies zu erreichen.
Spieltheorie Sommersemester 007 0 Trembling Hand Perfektheit Das erste dieser Konzepte, das perfekte Nash Gleichgewicht stammt von Selten (975). Zur besseren Unterscheidung vom teilspielperfekten Nash Gleichgewicht wird diese Verfeinerung oft auch als trembling hand perfektes Nash Gleichgewicht bezeichnet. Eine Nash Gleichgewichtsstrategie ist eine beste Antwort auf die Nash Gleichgewichtsstrategien der anderen Spielerinnen. Im perfekten Gleichgewicht wird die Frage gestellt, ob sie dies auch dann noch ist, wenn die Möglichkeit in Betracht gezogen wird, dass die Mitspielerinnen kleine Fehler begehen, indem sie mit zittriger Hand aus Versehen andere als ihre Gleichgewichtsstrategien spielen.
Spieltheorie Sommersemester 007 Im Beispiel ist die Strategie A zwar eine beste Antwort von Spielerin auf die reine Strategie L von Spielerin, Spielerin würde aber nicht mehr A spielen, sobald die geringste Wahrscheinlichkeit dafür besteht dass Spielerin eine ihrer anderen reinen Strategien spielt. L M R A B A B 0 0 0 0 3
Spieltheorie Sommersemester 007 Formal wird die Idee der Trembles in folgende Definition gefasst. Definition: Sei Γ ein Spiel in Normalform. Eine Strategiekombination σ Σ ist ein perfektes Nash Gleichgewicht des Spiels Γ genau dann, wenn es eine Folge σ n σ vollständig gemischter Strategiekombinationen gibt derart, dass für alle Spielerinnen i I und alle n N ( π i σ i, σ i) n ( πi si, σ i n ) für alle s i S i. Um eine sinnvolle Definition perfekter Nash Gleichgewichte für Extensivformspielen zu erhalten, die insbesondere sicher stellt, dass jedes perfekte Nash Gleichgewicht teilspielperfekt ist, reicht es nicht aus, Perfektion in der zugehörigen (reduzierten) Normalform des Extensivformspiels zu fordern.
Spieltheorie Sommersemester 007 3 Der richtige Ansatz besteht darin, Perfektheit des Nash Gleichgewichts in der Agentennormalform zu verlangen. In der Agentennormalform wird jeder Informationsmenge eine künstliche Spielerin zugeordnet, die als Agentin der dieser Informationsmenge zugeordneten Spielerin agiert. Die Strategiemenge einer solchen Agentin sind die in der Informationsmenge verfügbaren Aktionen, ihre Auszahlungen entsprechen denen der ursprünglichen Spielerin.
Spieltheorie Sommersemester 007 4 Perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht Das perfekte Bayesianisches Nash Gleichgewicht wie auch das sequentielle Gleichgewicht (Kreps und Wilson, 98) betonen die Bedeutung der Vermutungen einer Spielerin. Beide postulieren die folgenden beiden Anforderungen an rationales Verhalten der Spielerinnen. Anforderung In jeder Informationsmenge muss die Spielerin, die dort am Zug ist, eine Vermutung darüber haben, welcher Knoten in dieser Informationsmenge erreicht wurde. Eine Vermutung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die in der Informationsmenge enthaltenen Knoten. Für einelementige Informationsmengen erhält der entsprechende Knoten die Wahrscheinlichkeit.
Spieltheorie Sommersemester 007 5 Anforderung Gegeben die Vermutungen, müssen die Strategien der Spielerinnen sequentiell rational sein; d.h., in jeder Informationsmenge muss die Fortsetzungsstrategie die die Spielerin wählt, die am Zug ist, optimal sein, gegeben die Vermutung der Spielerin in dieser Informationsmenge und gegeben die Fortsetzungsstrategien der anderen Spielerinnen. Eine Fortsetzungsstrategie ist eine Strategie für alle nach dem Erreichen der Informationsmenge verbleibenden Eventualitäten. Gemeinsam wirken diese beiden Anforderungen in gewissem Sinne, als beginne in jeder Informationsmenge ein neues Teilspiel.
Spieltheorie Sommersemester 007 6 Wir machen uns dies an dem Spiel aus obigem Beispiel klar. In diesem Spiel gibt es nur eine Informationsmenge, nämlich diejenige der Spielerin. Anforderung besagt, dass Spielerin, dort eine Vermutung haben muss, in welchem Knoten sie sich befindet, falls die Informationsmenge erreicht wird, m. a. W., welche der beiden Aktionen M und R Spielerin gewählt hat. Bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit, die Spielerin darauf legt, dass M gewählt hat mit p. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, die sie auf die Aktion R legt p. Gegeben die Vermutung der Spielerin, ist ihre erwartete Auszahlung bei Wahl der Strategie A und bei Wahl der Strategie B p 0 + ( p) 0 = 0 p + ( p) =.
Spieltheorie Sommersemester 007 7 Unabhängig von p führt also die Strategie B zu einer höheren Auszahlung nach erreichen der Informationsmenge als die Strategie A. Damit schließt Anforderung aus, dass Spielerin die Strategie A wählt. Schon durch diese beiden Anforderungen ist also das unplausible Nash Gleichgewicht (L, A) des Spiels ausgeschlossen. In unserem Beispiel gewinnen die beiden Anforderungen deshalb an Aussagekraft, weil Spielerin bedingt auf das Erreichen ihrer Informationsmenge über eine strikt dominante Strategie verfügt, so dass für jede Vermutung klar ist, was sie tun wird.
Spieltheorie Sommersemester 007 8 Generell hängt die optimale Strategie in einer Informationsmenge sehr wohl von den Vermutungen dort ab. Im allgemeinen reichen diese beiden Anforderungen allein noch nicht aus, um unplausible Nash Gleichgewicht zu eliminieren. Sie verlangen zwar, dass die Spielerinnen Vermutungen haben und, gegeben diese Vermutungen, rational handeln. Allerdings werden keine Annahmen darüber getroffen, ob diese Vermutungen vernünftig oder sinnvoll sind.
Spieltheorie Sommersemester 007 9 Auch was damit gemeint ist, dass eine Vermutung plausibel ist, kann man sich an obigem Beispiel überlegen: Angenommen, Spielerin erfährt, dass sie am Zug ist. Spielerin hat also vorher entweder M oder R gespielt. Gegeben, dass sie weiß, dass Spielerin rational ist, kann Spielerin sich überlegen, welche dieser beiden Aktionen eher wählen würde. Spielt die Strategie M, so erhält sie die Auszahlung 0, egal ob Spielerin die Strategie A oder B wählt. Spielt hingegen R, so erhält sie bei A eine Auszahlung von, bei B eine Auszahlung von 3. Somit ist also M durch R strikt dominiert (dies erkennt man auch direkt in der Normalform) und Spielerin sollte in der Informationsmenge vermuten, dass die Aktion R gewählt hat. Auch hier ist diese Idee in unserem Beispiel einfacher zu fassen als allgemein, da eine der beiden Strategien, die in die Informationsmenge führen strikt dominiert ist.
Spieltheorie Sommersemester 007 0 In den Anforderungen, die daran gestellt werden, wie die Spielerinnen ihre Vermutungen bilden, liegen die Unterschiede zwischen dem perfekten Bayesianisches Nash Gleichgewicht und dem sequentiellen Gleichgewicht. Im perfekten Bayesianisches Nash Gleichgewicht werden Einschränkungen nur für Informationsmengen auf dem Gleichgewichtspfad getroffen, während im sequentiellen Gleichgewicht die zulässigen Vermutungen auch in Informationsmengen außerhalb des Gleichgewichtspfades eingeschränkt werden. Dabei liegt für ein gegebenes Gleichgewicht im Extensivformspiel eine Informationsmenge auf dem Gleichgewichtspfad, wenn sie mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht wird, wenn das Spiel entsprechend der Gleichgewichtsstrategien gespielt wird. Andernfalls liegt sie außerhalb des Gleichgewichtspfades.
Spieltheorie Sommersemester 007 Die grundlegende Idee entspricht genau dem, was wir bereits in Abschnitt über das Bayesianisches Nash Gleichgewicht über die Vermutungen gesagt haben, die eine Spielerin in mediis ausgehend von der a priori Verteilung durch Bayesianisches Aktualisieren unter Berücksichtigung ihrer Informatonen bildet. In diesem Fall benutzt sie nur das, was sie über den Anfangszug der Natur weiß. In den beiden hier diskutierten Gleichgewichtskonzepten, geht es darum, zu untersuchen, ob die Vermutungen einer Spielerin in einer Informationsmenge mit den Strategien aller Spielerinnen (einschließlich der Natur, wenn diese im Spiel auftaucht) konsistent sind in dem Sinne, dass sie sich durch Bayesianisches Lernen erklären lassen.
Spieltheorie Sommersemester 007 Im perfekten Bayesianisches Nash Gleichgewicht wird dies wie erwähnt zunächst nur auf dem Gleichgewichtspfad gefordert. Anforderung 3 In sämtlichen Informationsmengen auf dem Gleichgewichtspfad werden die Vermutungen durch Bayesianisches Updating abhängig von den Gleichgewichtsstrategien gebildet. Durch die Anforderungen 3 wird die Idee des perfekten Bayesianisches Nash Gleichgewichts erfasst. Der zentrale Unterschied zum Bayesianisches Nash Gleichgewicht besteht darin, dass wir durch die Existenz der Vermutungen bei einem Spiel in Extensivform mit unvollkommener Information auch in mehrelementigen Informationsmengen wissen, was sequentielle Rationalität bedeutet. Dadurch, dass die Vermutungen auf dem Gleichgewichtspfad zudem mit den Gleichgewichtsstrategien konsistent sind, werden Widersprüche vermieden.
Spieltheorie Sommersemester 007 3 Allerdings können nach Anforderung 3 alle Vermutungen außerhalb des Gleichgewichtspfades beliebig sein. Für viele Anwendungen reicht dies zwar aus, um aber ein Bayesianisches Nash Gleichgewicht vollständig zu charakterisieren stellen wir noch eine weitere Anforderung. Anforderung 4 In allen Informationsmengen (auch denen außerhalb des Gleichgewichtspfades) werden die Vermutungen durch Bayesianisches Updating abhängig von den Gleichgewichtsstrategien gebildet, so weit dies möglich ist.
Spieltheorie Sommersemester 007 4 Zwar wird eine Informationsmenge außerhalb des Gleichgewichtspfades gemäß der Gleichgewichtsstrategien nicht erreicht, aber durch die Gleichgewichtsstrategien können sich dennoch Einschränkungen für die Vermutungen ergeben. Definition: Ein perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht besteht aus Strategien und Vermutungen, die die Anforderungen 4 erfüllen. Im obigen Beispiel gibt es ein eindeutiges perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht, das aus der Strategiekombination (R, B) und der Vermutung der Spielerin von p = 0
Spieltheorie Sommersemester 007 5 Beispiel: D 3 L L 3 3 3 R 3 R 0 L 0 R 0 0 A
Spieltheorie Sommersemester 007 6 Dieses Spiel hat nur ein echtes Teilspiel, das bei der Informationsmenge von Spielerin beginnt. Das einzige Nash Gleichgewicht dieses Teilspiels mit den Spielerinnen und 3 ist (L, R ). Daher ist das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht in diesem Spiel (D, L, R ). Diese Strategien, zusammen mit der Vermutung p = (wenn p die Wahrscheinlichkeit für den Knoten ist, der auf die Aktion L der Spielerin folgt) Spielerin 3, erfüllen die Anforderungen 3. Anforderung 4 ist trivialerweise erfüllt, denn es gibt keine Informationsmenge außerhalb des Gleichgewichtspfades. Das Gleichgewicht ist also ein perfektes Bayesianisches Nash Gleichgewicht.
Spieltheorie Sommersemester 007 7 Betrachten wir nun die Strategien (A, L, L ) mit der Vermutung p = 0. Diese Strategien bilden ein Nash Gleichgewicht. Die Strategien und die Vermutung erfüllen auch die Anforderungen 3. Allerdings ist dieses Gleichgewicht nicht teilspielperfekt, denn das einzige Nash Gleichgewicht in diesem Teilspiel ist (L, R ). Die Anforderungen 3 garantieren also nicht, dass das Gleichgewicht teilspielperfekt ist. Das Problem ist, dass die Vermutung von Spielerin 3 (p = 0) inkonsistent mit der Strategie L von Spielerin ist. Die Anforderung 4 jedoch sorgt dafür, dass die Vermutung von Spielerin 3 durch die Strategie von Spielerin bestimmt ist: Wenn Spielerin die Strategie L spielt, dann muss die Vermutung von Spielerin 3 p = sein. Wenn aber 3 die Vermutung p = hat, zwingt Anforderung dazu, dass sie die Strategie R verwendet. Die Strategien (A, L, L ) erfüllen daher nicht die Anforderung 4.
Spieltheorie Sommersemester 007 8 Sequentielles Gleichgewicht Kreps und Wilson (98) führen mit dem sequentiellen Gleichgewicht ein Gleichgewichtskonzept ein, das sich vom perfekten Bayesianisches Nash Gleichgewicht dadurch unterscheidet, welche Anforderungen an die Vermutungen außerhalb des Gleichgewichtspfades gestellt werden. Um das Problem zu lösen, dass häufig für viele Informationsmengen außerhalb des Gleichgewichtspfades keine Einschränkungen durch Bayesianisches Lernen aus Kenntnis der Gleichgewichtsstrategien gewonnen werden können, gehen sie ähnlich vor, wie Selten bei der Definition des perfekten Gleichgewichts: Spielen alle Spielerinnen vollständig gemischte Strategien, werden sämtliche Informationsmengen mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit erreicht und es können Vermutungen durch Bayesianisches Lernen gebildet werden.
Spieltheorie Sommersemester 007 9 Die Idee ist nun, für eine gegebene Strategiekombination b und Vermutungen µ eine Folge vollständig gemischter Strategiekombinationen b n zu betrachten, die gegen b konvergiert. Durch b n wird eine Folge µ n von Vermutungen induziert (die durch Bayesianisches Updating gewonnen werden). Das ursprüngliche Paar (b, µ) aus Strategien und Vermutungen ist dann konsistent, wenn µ n gegen µ konvergiert. Kreps und Wilson (98) zeigen, dass für jedes endliche Spiel ein sequentielles Gleichgewicht existiert. Dies impliziert auch die Existenz eines perfekten Bayesianisches Nash Gleichgewichts für endliche Spiele.