Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 12 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 7. Juli http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la2 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Hier ein Überblick über die verschiedenen Algebren, die mittels Tensoren definiert wurden. Es sei V ein K-Vektoraum. Die Tensor-Algebra Die Tensor-Algebra von V ist definiert als T V = V k = K V (V V) (V V V) Die Elemente in dieser Algebra sind (endliche) Summen von Tensoren beliebiger Länge: etc. v +u w 1+u v w y z +u v w +x 1 x 2 x 20 Multipliziert wird in dieser Algebra mittels Distributivgesetz und durch das Tensorprodukt: V k V l V (k+l) (α,β) α β Das Produkt von elementaren Tensoren ist also Man hat z. B. (v 1 v k ) (w 1 w l ) = v 1 v k w 1 w l (v+u w) (1+x y z) = v +u w +v x y z +u w x y z Beispiel: dimv = 1. Ist V = ek so ist hat V k die Basis e k. In diesem Fall ist T V = e k K
2 einfach der Polynomring in einer Variablen: T V = K[e] Beispiel: dimv = 2. Ist V = ek fk so ist hat V k die Dimension 2 k und eine Basis ist g 1 g k, g i {e,f} Die Tensoralgebra wird hier erzeugt von den zwei Variablen e und f die nicht kommutieren. Man nennt sie auch den nicht-kommutativen Polynomring in e und f. Allgemeiner nennt man im Fall V = K n mit üblicher Basis e i die Tensoralgebra den nicht-kommutativen Polynomring in den e i. Tatächlich werden nicht-kommutative Polynomringe genauso definiert. Die Tensoralgebra kommt in der Algebra häufig vor. Ich habe sie hier eingeführt, weil die symmetrische Algebra und die äußere Algebra durch Quotienten-Bildung aus ihr hervorgehen. Die symmetrische Algebra Das k-fache symmetrische Tensorprodukt von V ist der Quotient S k V = V k /R wobei R erzeugt wird von allen Elementen der Form v 1 v k v σ(1) v σ(k), σ S k (S k = symmetrische Gruppe.) In S k V kommt es bei einem elementaren Tensor v 1 v k nicht auf die Reihenfolge an. Das Tensorprodukt v w von Vektoren wird also mit Gewalt kommutativ gemacht. Man schreibt für das Produkt dann auch das übliche Produktzeichen (das man wie üblich auch ganz weglassen kann): v 1 v k = v 1 v k mod R Die symmetrische Algebra von V ist definiert als S V = S k V = K V S 2 V S 3 V Man rechnet in ihr wie in T V, nur ist das Produkt eben kommutativ. Wählt man in V eine Basis e 1,..., e n so wird S V einfach zum üblichen Polynomring in den Basisvektoren: S (K n ) = K[e 1,...,e n ] Die symmetrische Algebra ist also kein wesentlich neuer Begriff. Allerdings haben wir nun den üblichen (kommutativen) Polynomring eingeführt, ohne daß die
Variablen explizit genannt werden. S V wird eben erst nach einer Basiswahl von V zum Polynomring mit expliziten Variablen. 3 Die äußere Algebra Das k-fache äußere Produkt von V ist der Quotient Λ k V = V k /R wobei R erzeugt wird von allen Elementen der Form v 1 v k mit 1 i < j k : v i = v j (d.h. an mindestens zwei Stellen steht der gleiche Vektor). Also ist etwa Λ 2 V der Quotient von V V modulo den Elementen v v und Λ 3 V ist der Quotient von V V V modulo den Elementen v v w, v w v, w v v In Λ k V schreibt man anstelle des Tensorproduktes das Dachprodukt oder auch Wedgeprodukt : v 1 v k = v 1 v k mod R Die äußere Algebra von V ist definiert als Λ V = Λ k V = K V Λ 2 V Λ 3 V Man rechnet in ihr wie in T V, nur hat das Produkt nun die zusätzliche Regel Wegen folgt bzw. v v = 0 (v +w) (v +w) v v w w = v w +w v v w+w v = 0 v w = w v Das Produkt ist also anti-kommutativ: Beim Vertauschen ändert sich das Vorzeichen. Für w = v bekommt daraus 2v v = 0 und (für chark 2) bekommt so aus der Anti-Kommutativität die ursprüngliche Regel v v = 0 zurück.
4 Man kann also auch sagen: Die äußere Algebra von V entsteht aus der Tensoralgebra in dem man das Produkt mit Gewalt anti-kommutativ macht. Die Anti-Kommutativität hat drastische Auswirkungen. Ist etwa dim V = 1 und V = ek, so verschwindet Λ k V für k 2 wegen e e = 0 und die äußere Algebra ist einfach Λ V = K V Allgemeiner gilt folgender Satz. Es sei n = dimv. Dann gilt dimλ k V = ( ) n k Ist e 1,..., e n eine Basis von V, so bilden die Elemente eine Basis von Λ k V. e i1 e ik 1 i 1 < < i k n Der Satz wurde teilweise schon gezeigt. Der Beweis wird in der Vorlesung vervollständigt. Für endlichdimensionales V mit n = dimv endet die Folge der Λ k V also bei Λ n V und die äußere Algebra ist n Λ V = Λ k V = K V Λ n V Ihre Dimension ist dimλ V = n ( ) n = 2 n k Man nennt Λ n V auch die höchste äußere Potenz von V. Sie ist immer 1-dimensional: ( ) n dimλ n V = = 1 n Ist e 1,..., e n eine Basis von V, so hat Λ n V die Basis e 1 e n (Neu-)Definition der Determinante Es sei n = dimv und f: V V ein Endomorphimus. In LA 1 hatten wir die Determinante det(f) von f definiert als die Determinante einer darstellenden Matrix nach Basiswahl. Dabei war die Determinante einer Matrix durch eine komplizierte Formel definiert. Es gibt nun folgenden wichtigen Zusammenhang mit der höchsten äußeren Potenz:
Lemma. Es sei n = dimv, f: V V ein Endomorphimus und es sei e 1,..., e n eine Basis von V. Dann gilt in Λ n V: f(e 1 ) f(e n ) = det(f)e 1 e n Der Beweis wird noch in der Vorlesung besprochen. Man kann damit die Determinante nun auch definieren! Ist nämlich f: V W ein Homorphismus von Vektorräumen, so erhält man lineare Abbildungen mit Ist nun W = V und n = dimv, so ist Λ k (f): Λ k V Λ k W Λ k (f)(v 1 v k ) = f(v 1 ) f(v k ) Λ n (f): Λ n V Λ n V ein Endomorphismus eines 1-dimensionalen Vektorraumes, also die Multiplikation mit einem Skalar. Nach dem Lemma ist dieses Skalar gerade det(f). Damit wurde det(f) hergeleitet ohne explizite Determinantenformel. 5
6 Aufgabe 1. Man zeige in Λ k V: für σ S k. v σ(1) v σ(k) = sgn(σ)v 1 v k Aufgabe 2. Es sei f: K 2 K 2 eine lineare Abbildung. Man verifiziere Λ 2 (f)(e 1 e 2 ) = det(f)e 1 e 2 Hinweis. Dies ist eine Wiederholung aus der Vorlesung! Aufgabe 3. Es sei f: K 3 K 3 gegeben durch die Matrix A f = a 1 0 0 1 0 0 0 1 Man beschreibe die lineare Abbildung Λ 2 (f): Λ 2 (K 3 ) Λ 2 (K 3 ) Λ 2 (f)(x y) = f(x) f(y) in der Basis e 2 e 3, e 3 e 1, e 1 e 2 von Λ 2 (K 3 ). Aufgabe 4. Es sei dimv = n = 2m. Wir betrachten die Abbildung h: Λ m V Λ m V Λ n V (α,β) α β Es sei m gerade. (a) Man zeige, daß h eine symmetrische Bilinearform auf Λ m V ist. (b) Es sei V = K 4. Dann ist e 1 e 2, e 1 e 3, e 1 e 4, e 2 e 3, e 2 e 4, e 3 e 4 eine Basis von Λ 2 V. Man beschreibe h in dieser Basis. (c) Man zeige, daß h regulär ist (als symmetrische Bilinearform, d.h. zu zeigen ist (Λ m V) h = {0}).