Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014
Organisatorisches
0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang ungewiss ist. (2) Das (Versuchs-)Ergebnis ist das Resultat bzw. der Ausgang eines Zufallsexperimentes. (3) Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ergebnisraum Ω bezeichnet.
0. Begriffe in der Stochastik (4) Jedem Ergebnis wird eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die als Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird, wobei alle Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben. Symbolisch: P(E) = a, 0 a 1 (5) Ein (Versuchs-)Ereignis ist eine Zusammenfassung von (mehreren) möglichen Ergebnisse zu einem Ganzen. Damit sind Ereignisse also auch ein Teil des Ergebnisraumes.
0. Begriffe in der Stochastik (6) Bernoulli-Experiment Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man ein Zufallsexperiment, bei dem sich genau zwei Elemente in der Ergebnismenge befinden. (7) Bernoulli-Kette Wiederholte Durchführung eines Bernoulli-Experimentes, die Wahrscheinlichkeiten bleiben unverändert. Benannt nach Jakob Bernoulli (1654-1705), schweizer Mathematiker.
(1) Eine Funktion X, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuches eine reelle Zahl zuordnet, heißt Zufallsgröße. Eine Zufallsgröße heißt: stetig, wenn sie alle möglichen reellen Zahlen als Wert annehmen kann (z.b. auf ein Intervall abbildet). diskret, wenn sie nur endlich viele (meist runde ) Werte annehmen kann.
(2) (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung Die Verteilung ist eine Funktion, die jedem Wert einer Zufallsgröße ihre Wahrscheinlichkeit zuordnet. Die Summe aller dieser Wahrscheinlichkeiten ist 1. Sie heißt: Symbolisch: P(X = k) = a, 0 a 1 - Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten Zufallsgrößen - Dichtefunktion bei stetigen Zufallsgrößen
Abitur M-V 2010
Zum Beispiel: Augensumme beim zweimaligen Würfeln W2 W1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
Zum Beispiel: Augensumme beim zweimaligen Würfeln k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=k) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Wertetabelle (oben) Histogramm (links) Balkendiagramm (rechts) Beides sind Wahrscheinlichkeitsfunktionen
(3) Erwartungswert einer Zufallsgröße Eine Zufallsgröße X nehme die Werte k 1, k 2,, k n mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = k 1 ),, P(X = k n ) an. Dann wird der zu erwartende Mittelwert der Verteilung als Erwartungswert der Zufallsgröße bezeichnet. Symbolisch: E(X), μ (lies: mü ), x n Es gilt: μ = E X = ki P(X = ki) i=1 Bemerkungen: i. Der Erwartungswert wird fast genauso berechnet, wie das arithmetische Mittel (der Durchschnitt). ii. Ein Spiel (um Geld) wird als fair bezeichnet, wenn der Erwartungswert des Gewinns 0 ist.
D. h. beim zweimaligen Würfeln: E X 1 = 2 36 + 3 2 36 + 4 3 36 + 5 4 36 + 6 5 36 + 7 6 36 + 8 5 36 4 + 9 36 + 10 3 36 + 11 2 36 + 12 1 36 = 7
(4) Varianz einer Zufallsgröße Die Varianz misst, wie sehr die Zufallsgröße von ihrem Erwartungswert abweicht. Symbolisch: V(X), Var(X), σ² x oder σ² n i=1 Es gilt: Var X = σ² x = (ki μ)² P(X = ki) D.h. beim Würfeln: V X = 2 7 2 1 36 + 3 7 2 + 8 7 ² 2 36 + 4 7 2 3 36 + 5 7 2 4 36 + 6 7 2 5 36 + 7 7 2 5 36 + (9 7)² 4 36 + (10 7)² 3 36 + (11 7)² 2 36 + (12 7)² 1 36 6 36
V X = 35 = 8, 3 Die Zufallsgrößen liegen im 6 Bereich 7 ± 8,3
(5) Standardabweichung einer Zufallsgröße Die Standardabweichung gibt den Bereich der häufigsten Werte um den Erwartungswert an. Symbolisch: σ x oder σ Es gilt: σ = Var(X)
D.h. beim Würfeln: σ = 35 6 Werte ist 7±2,42 = 2,42 Der Bereich der häufigsten
(6) Normalverteilung von Zufallsgrößen Eine Normalverteilung (Gauss-Verteilung) einer stetigen Zufallsgröße X liegt vor, wenn für deren Dichtefunktion f(x) gilt: f x = 1 2πσ² e 1 2 x μ σ ² Für μ = 0 und σ = 1 heißt sie Standardnormalverteilung. Benannt nach dem Mathematiker, Geodät, Physiker und Astronom Carl Friedrich Gauß (1777-1855), der sie im Zusammenhang mit der Fehlerrechnung entdeckte.
http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/binomialnormalverteilung/grenzwertsatz.html, zuletzt abgerufen am 20.02.14 um 19:24.
Eigenschaften der Dichtefunktion/Normalverteilung: Maximum bei x = μ Symmetrieachse bei x = μ f x dx = 1 0 f x 1, für alle x R
Aus: Vorlesung Wahrscheinlichkeitslehre und Statistik von Prof. Dr. Thomas Adamek, Universität Stuttgart
http://commons.wikimedia.org/wiki/file:standard_deviation_diagram.svg, zuletzt abgerufen am 20.02.14 um 18:51
2. Binomialverteilung (1) Eine Zufallsgröße X mit der Wertemenge {k k = 1,2,, n} heißt binomialverteilt genau dann, wenn für die Wahrscheinlichkeit gilt: P X = k = n k pk 1 p n k Wobei p die Wahrscheinlichkeit eines Treffers ist. Symbolisch: B n;p (k) oder P(X=k)