Technische Zusammenhänge werden meist in Form von Funktionen mathematisch erfasst. Kennt man die Eigenschaften verschiedener Funktionstpen, lässt sich im Anwendungsfall das Arbeiten mit diesen erleichtern. Deshalb werden wir uns in diesem Kapitel genauer mit den Eigenschaften von Funktionen auseinandersetzen.. Wiederholung Es werden zunächst einige Grundbegriffe aus Band wiederholt.. In einer Badewanne befinden sich 0 Liter Wasser. Nachdem das Abflussventil geöffnet wurde, fließen pro Minute Liter Wasser durch den Abfluss ab. ) Gib eine Formel für die Wassermenge W(t) (in Litern) nach der Zeit t (in Minuten) an. ) Wie lang dauert es, bis die Badewanne leer ist? Welche Werte für t kannst du daher in die Funktionsgleichung sinnvollerweise einsetzen? Gib die Definitionsmenge an. ) Erstelle eine Wertetabelle für die Wassermenge in der Badewanne von 0 Minuten bis 7 Minuten in -Minuten-Schritten. ) Welche Werte für die Wassermenge W(t) ergeben sich dadurch? ) Trag die Wertepaare in ein Diagramm ein und zeichne den Graphen. ) Welche besondere Form hat der Funktionsgraph? Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jedem Element der Definitionsmenge D f genau ein Element der Wertemenge W f zuordnet. Einander zugeordnete Werte bilden Wertepaare; sie können in einer Wertetabelle aufgelistet werden. Als Punkte in einem Koordinatensstem veranschaulicht bilden sie einen Funktionsgraphen. Wird die Zuordnung wie in Naturwissenschaften und Technik üblich durch eine Formel angegeben, spricht man von einer Funktionsgleichung. In diesem Band werden verschiedene Funktionstpen mit gemeinsamen Eigenschaften untersucht. Der einfachste Funktionstp ist eine lineare Funktion. Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form = k + d heißen lineare Funktionen. Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
. Merkmale und Eigenschaften von Funktionen Besondere Punkte und wichtige Eigenschaften helfen, das Wesentliche einer Funktion zu erfassen und zu beschreiben. Nullstelle Als Nullstelle einer Funktion bezeichnet man die -Koordinate des Schnittpunkts mit der -Achse. Der zugehörige Funktionswert ist = 0. ZB: Berechnung der Nullstelle von = _ + 0 = _ + Nullstelle = N( 0) - - - N (- 0) N ( 0) N ( 0) - - - 7 8 - - - 7 8 Nichtlineare Funktionen können auch mehrere Nullstellen haben. Falls die beim Nullsetzen der Funktionsgleichung entstehende Gleichung (noch) nicht lösbar ist, lassen sich die Nullstellen (näherungsweise) auch durch Ablesen aus der grafischen Darstellung ermitteln. - N ( 0) Fiwert Als Fiwerte einer Funktion bezeichnet man die -Koordinaten jener Punkte, deren - und -Koordinaten gleich sind. Es handelt sich dabei um die Schnittpunkte der Funktion mit der. Mediane. Das ist jene Gerade, deren Punkte jeweils gleiche - und -Koordinaten haben, zb P( ). Sie verläuft durch den Koordinatenursprung und hat eine Steigung von. Die Funktionsgleichung der. Mediane lautet also =. ZB: Berechnung des Fiwerts von = + = + Fiwert = _ F ( _ _ Monotonie Eine Funktion heißt streng monoton steigend, wenn < f( ) < f( ) bzw. streng monoton fallend, wenn < f( ) > f( ). Die Funktion in Abb.. lässt sich in drei Monotoniebereiche teilen. ➀: ] ; [: streng monoton steigend ➁: ] ; [: streng monoton fallend ➂: ]; [: streng monoton steigend ) - - - - -. Mediane F ( ) - - - Abb.. Periodizität Eine Funktion heißt periodisch mit der Periode p, wenn f( + p) = f(). ZB: Die abgebildete Funktion hat die Periode p =. Das heißt, dass sich die Funktionswerte nach jeder Periode p wiederholen. + p
Minimum, Maimum Ein lokales Minimum einer Funktion ist der tiefste Punkt in seiner Umgebung, dh. die Funktionswerte unmittelbar vor und nach dem Minimum sind größer als an dieser Stelle. Ein lokales Maimum einer Funktion ist der höchste Punkt in seiner Umgebung, dh. die Funktionswerte unmittelbar vor und nach dem Maimum sind kleiner als an dieser Stelle. In jedem Minimum oder Maimum gibt es eine Waagrechte, die die Funktion in diesem Punkt berührt (waagrechte Tangente). Ist ein lokales Minimum nicht nur der tiefste Punkt in seiner Umgebung, sondern der gesamten Funktion, so nennt man es globales Minimum. Ist ein lokales Maimum nicht nur der höchste Punkt in seiner Umgebung, sondern der gesamten Funktion, so nennt man es globales Maimum. 0 9 8 7 0 9 8 7 lokales Maimum lokales und globales Maimum lokales Minimum 0 9 8 7 0 9 8 7 lokales und globales Minimum - - - - 7 8 - - - - 7 8 Smmetrie Gerade Funktion Eine Funktion, die smmetrisch zur -Achse ist, nennt man gerade Funktion. Es gilt: f() = f( ) f(-) = f() = - - - - Ungerade Funktion Eine Funktion, die punktsmmetrisch bzgl. des Ursprungs ist, nennt man ungerade Funktion. Es gilt: f() = f( ) - f(-) = - - - - - - - - f() = 7
Darstellung mit dem Voage 00 Y-Editor: Hier kann man Funktionsgleichungen eingeben, um Funktionen durch eine Wertetabelle oder grafisch darzustellen. Die Art der Darstellung kann mit F verändert werden. WINDOW-Fenster: Hier lässt sich die Größe des Koordinatensstems anpassen. Wertetabelle: Bei tblstart kann man festlegen, mit welchem Wert die Wertetabelle beginnen soll. Bei ¾tbl legt man die Schrittweite fest. Danach wird zwei Mal mit Enter bestätigt. GRAPH-Fenster: Ablesen von Koordinaten: Hier wird die ausgewählte Funktion grafisch dargestellt. Nach Drücken von F kann man zu einer beliebigen -Koordinate die -Koordinate ermitteln. Nullstellen: Minimum, Maimum: 8 Nach Drücken von F kann man die Nullstellen der Funktion ermitteln. Dazu markiert man einen Punkt knapp vor der Nullstelle (LowerBound) und knapp nach der Nullstelle (UpperBound). Nach Drücken von F bzw. kann man Minimum bzw. Maimum ermitteln. Dazu markiert man einen Punkt knapp vor dem Maimum (LowerBound) und knapp nach dem Maimum (UpperBound).
. Zeichne die Funktion =. Berechne und beschrifte Nullstelle und Fiwert.. ) Gib an, ob die Funktion smmetrisch ist und gegebenenfalls die Art der Smmetrie. ) Gib an, ob die Funktion periodisch ist; wenn ja, gib die Periode p an. ) Bestimme Nullstellen, Fiwerte, Minima bzw. Maima durch Ablesen vom Graphen. a) c), - - b) - - - - - - - - - - - - 7 -. ) Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Funktion. ) Bestimme Nullstellen, Fiwerte, Minima bzw. Maima durch Ablesen vom Graphen. ) Gib an, ob die Funktion smmetrisch ist und gegebenenfalls die Art der Smmetrie. a) = + + b) = + c) = d) =. Umkehrfunktionen.. Umkehrung von Zusammenhängen. Ein 0 cm hohes Aquarium wird gleichmäßig mit Wasser bis 0 cm unter den Rand befüllt. Zu Beginn der Füllung steht das Wasser bereits 0 cm hoch. Die jeweilige Wasserstandshöhe h (in cm) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Minuten) nach Beginn der Füllung lässt sich durch die Funktion h(t) = cm t + 0 cm berechnen. min ) Gib an, welche Definitionsmenge sinnvoll ist. Erstelle eine Wertetabelle für die Höhe des Wasserstands in -Minuten-Schritten und zeichne den Graphen. Welche Werte für die Wasserstandshöhe ergeben sich dadurch? ) Forme die Funktionsgleichung nach t um. ) Erstelle eine Wertetabelle für die Fülldauer des Aquariums bei einer Höhe von h = 0 cm bis h = 00 cm in 0-cm-Schritten. ) Gib die Definitionsmenge und die Wertemenge für die neue Funktion an. ) Zeichne den neuen Graphen in ein neues Koordinatensstem ein und vergleiche diese 9
0 Ist der Zusammenhang zwischen zwei Größen als Funktion gegeben, kann man der unabhängigen Variablen immer eindeutig einen Funktionswert zuordnen. In vielen Fällen ist es auch möglich, den umgekehrten Weg zu gehen, also den Funktionswert vorzugeben. ZB lässt sich bei einem fallen gelassenen Stein, wenn die Fallzeit gegeben ist, der zugehörige Fallweg berechnen. Auch umgekehrt lässt sich, wenn der Fallweg bekannt ist, die dazugehörige Fallzeit berechnen. Die so entstandene Funktion heißt Umkehrfunktion. In manchen Fällen ist die Umkehrung nicht eindeutig. ZB lässt sich bei einem nach oben geworfenen Stein, der dann hinunter fällt, aus der Flugzeit die Höhe berechnen. Umgekehrt gibt es, wenn die Höhe bekannt ist, zwei mögliche Flugzeiten.. Bei Rechtecken mit der Seite a = 0 cm lässt sich durch Angabe der Seite b der Flächeninhalt eindeutig ermitteln. ) Gib die Funktionsgleichung an, die der Seite b eines Rechtecks den Flächeninhalt A zuordnet. Erstelle eine Wertetabelle für den Flächeninhalt für b = 0 cm bis b = 0 cm in 0-cm-Schritten und zeichne den Graphen. ) Forme die Funktionsgleichung nach b um und erstelle eine Wertetabelle. ) Zeichne den neuen Graphen in ein neues Koordinatensstem ein und vergleiche diese.7 Ein Radfahrer fährt mit einer mittleren Geschwindigkeit von km. Der zurückgelegte h Weg s (in km) abhängig von der Zeit t (in Stunden) lässt sich durch die Funktion s(t) = km h t berechnen. ) Erstelle eine Wertetabelle für den zurückgelegten Weg für t = 0, h bis t = h in 0,-Stunden-Schritten und zeichne den Graphen. ) Forme die Funktionsgleichung nach t um und erstelle eine Wertetabelle. ) Zeichne den neuen Graphen in ein neues Koordinatensstem ein und vergleiche diese.8 Bei einer Stromquelle beträgt die Spannung 0 V. Der Widerstand R (in ) in Abhängigkeit von der Stromstärke I (in Ampere) lässt sich durch die Funktion R(I) = 0 V I berechnen. ) Gib die Definitionsmenge an. Erstelle eine Wertetabelle in -Ampere-Schritten für R(I) und zeichne den Graphen. Gib die entstehende Wertemenge an. ) Forme die Funktionsgleichung nach l um. ) Gib Definitions- und Wertemenge für die neue Funktion an und erstelle eine Wertetabelle. ) Zeichne den neuen Graphen in ein neues Koordinatensstem ein und vergleiche diese 00 80 0 0 0 80 h(t ) = h(t ) 0 0 h s s(t ) s(t ) t t t t t t
.. Darstellung von Umkehrfunktionen.9 Zeichne auf eine Overheadfolie mithilfe einer Wertetabelle die Funktion = im Bereich [0; ], wähle als Einheit cm. ) Halte die Folie links unten und rechts oben fest. Drehe sie so um, dass die linke obere und die rechte untere Ecke Platz tauschen. ) Welche Funktion wird nun dargestellt? Wir überlegen, ob zur Funktion = + eine Umkehrfunktion eistiert. Durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der. Mediane erhält man die Umkehrrelation. Dem Spiegeln an der. Mediane entspricht das Vertauschen von - und -Werten. Weiters erstellen wir eine Wertetabelle im Bereich [ ; ]. 0 7 9 0 7 9 - - 9 8 7 - - - - An der grafischen Darstellung sieht man, dass die Verbindungsstrecke der beiden Punkte P( 7) und S(7 ) normal auf die. Mediane steht. Wir ermitteln nun die Gleichung der gespiegelten Funktion. = + Vertauschen der beiden Variablen und. = + = Durch eplizites Ausdrücken von erhält man die Umkehrfunktion. Bemerkung: Das Spiegeln einer Funktion an der. Mediane ist nur dann sinnvoll, wenn die beiden Koordinatenachsen keine phsikalische Bedeutung haben. Wir überlegen, ob zur Funktion = eine Umkehrfunktion eistiert. Wir erstellen eine Wertetabelle im Bereich [ ; ]. P ( 7 ) S ( 7 ) 7 8 9 0 0 0 0 - - - - - Der gespiegelte Graph stellt eine Relation dar, die keine Funktion ist, da zu jedem 0 zwei -Werte eistieren. Wenn wir den Definitions bereich von = auf + 0 einschränken, ist die Umkehrrelation eine Funktion, da zu jedem 0 genau ein -Wert eistiert. Die Umkehrrelation ist nur dann eine Funktion, wenn der Definitionsbereich von = so eingeschränkt wird, dass verschiedenen -Werten immer verschiedene -Werte zugeordnet werden.
Wir überlegen, wann die Umkehrrelation einer Funktion wieder eine Funktion ist. f( ) f( ) = f() = f() = Zu = ist der -Wert nicht mehr eindeutig ermittelbar, da es zwei -Werte gibt. Wenn aus f( ) f( ), dann ist die Umkehrrelation einer Funktion wieder eine Funktion. Bemerkung: Wird der Graph einer Funktion von allen Parallelen zur -Achse genau einmal geschnitten, dann ist die Umkehrrelation eine Funktion. Ist der Graph einer Funktion f() im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend, dann ist die Umkehrrelation eine Funktion. Die Funktion = f() mit der Definitionsmenge D und der Wertemenge W ordnet jedem eindeutig ein zu. Kann umgekehrt auch jedem eindeutig ein zugeordnet werden, so entsteht die Umkehrfunktion von f() (oft geschrieben als f )..0 Zeichne die skizzierte Funktion und spiegle sie an der. Mediane. Gib an, ob es sich bei der entstehenden Relation um eine Funktion handelt und begründe deine Antwort. ) ) ) ) Aufgaben..: Zeichne jeweils die Funktion in ein Koordinatensstem und stelle dazu die Umkehrrelation grafisch dar. Gib an, ob die Umkehrrelation eine Funktion ist; wenn ja, gib auch die Funktionsgleichung an.. a) = b) = c) = + d) =. a) = + b) = c) = _ Zusammenfassung - - - - f( ) = f( ) - - - - - - 7 d) = + Eine Funktion = f() ist eine Zuordnung, bei der jedem Element aus einer Definitionsmenge genau ein Element aus einer Wertemenge zugeordnet wird. Berechnung der Nullstelle: f() = 0; Berechnung des Fiwerts: f() = Minimum: tiefster Punkt; Maimum: höchster Punkt Smmetrie: gerade Funktion: f() = f( ), ungerade Funktion: f() = f( ) Monotonie: streng monoton steigend: f( ) f( ) streng monoton fallend: f( ) f( ) Periode p: f( + p) = f() Zu einer Funktion eistiert die Umkehrfunktion, wenn verschiedene -Werte immer verschiedene -Werte haben. Sie entsteht durch Spiegelung an der. Mediane. - - - - - -
Weitere Aufgaben. Gib an, ob die Funktion smmetrisch ist und gegebenenfalls die Art der Smmetrie. Gib an, ob die Funktion periodisch ist. ) ) ) ) - - - - - - - - - - - - -7 - - - - - - 7 - - - - - -. ) Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Funktion. ) Bestimme aus der Zeichnung Nullstellen, Fiwerte, Minima bzw. Maima. ) Gib an, ob die Funktion smmetrisch ist und gegebenenfalls die Art der Smmetrie. a) = 0 b) = c) = + + d) = _. Zeichne die Funktion in ein Koordinatensstem und stelle dazu die Umkehrrelation grafisch dar. Gib an, ob die Umkehrrelation eine Funktion ist; wenn ja, gib auch die Funktionsgleichung an. a) = + b) = _ + c) = + d) =. Ein Öltank enthält 00 Liter Heizöl. Der tägliche Verbrauch beträgt Liter. ) Gib die Funktionsgleichung an, die der Zeit t (in Tagen) die verbleibende Ölmenge V (in Liter) zuordnet. Wähle eine sinnvolle Definitionsmenge, erstelle eine Wertetabelle und zeichne den Graphen. ) Forme die Funktionsgleichung nach t um. ) Gib Definitions- und Wertemenge für die neue Funktion an und erstelle eine Wertetabelle. ) Zeichne den neuen Graphen in ein neues Koordinatensstem ein und vergleiche diese.7 Die kinetische Energie E (in Joule) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v (in m s ) und einer Masse m = kg lässt sich durch die Funktion E(v) = m v berechnen. ) Erstelle eine Wertetabelle für die kinetische Energie von v = 0 m s bis v = 0 m s in - m s -Schritten und zeichne den Graphen. ) Gib die Gleichung der Umkehrfunktion so an, dass die Geschwindigkeit v ausgedrückt wird. Erstelle dafür eine Wertetabelle und zeichne die Umkehrfunktion in ein neues Koordinatensstem. Weitere Aufgaben in den Zusatzbänden