Einführung in die Volkswirtschaftslehre Übung 1: Mathematische Analyseinstrumente Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese Bachelor Modul Volkswirtschaftliche Analyse (WS-14-V-03) HT 2009 Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 1 / 15
Gliederung I 1. Wiederholung von Ableitungsregeln 2. Die Lagrange-Methode 3. Das totale Differential ipl.-volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 2 / 15
1. Wiederholung von Ableitungsregeln Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 3 / 15
1. Wiederholung von Ableitungsregeln Bilden Sie von nachstehenden Funktionen die ersten Ableitungen nach x! 1 y = f (x) = 3 x 2 125 2 y = f (x) = 2 x 2 3 z = f (x, y) = 4 x 3 15 + 4 y 4 y = f (x) = x 2 (2 x) 3 Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 4 / 15
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Die Lagrange-Methode kommt bei der Optimierung unter Nebenbedingungen zur Anwendung und ist ein wichtiges analytisches Instrument. Sie kann zur Lösung diverser ökonomischer Problemstellungen angewendet werden und sollte dshalb von jedem guten Ökonomen perfekt beherrscht werden. Die Lagrange-Methode wird uns bei der Herleitung der individuellen Nachfrage eines Haushaltes in der Vorlesung begegnen. Um zu verstehen, wie diese ermittelt wird, müssen wir deshalb zunächst das Lagrange-Verfahren verstehen. Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 6 / 15
Theorem Jedes Maximierungsproblem der Form max f (x 1, x 2 ) unter der Nebenbedingung h(x 1, x 2 ) = c kann gelöst werden durch die Maximierung der Lagrange-Funktion max L(x 1, x 2, λ) = f (x 1, x 2 ) + λ [h(x 1, x 2 ) c] Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 7 / 15
Vorgehensweise 1.Schritt: Maximierungsproblem richtig darstellen Die zu maximierende Funktion sei weiterhin f (x 1, x 2) Die Nebenbedingung wird so umgeformt, dass auf der einen Seite eine Null steht: h(x 1, x 2) c = 0 Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 8 / 15
Vorgehensweise 2.Schritt: Die Lagrange-Funktion aufstellen Die Lagrange-Funktion wird wie folgt gebildet: 1 Im ersten Teil der Funktion steht die zu maximierende Zielfunktion f (x 1, x 2 ). 2 Der zweite Teil besteht aus dem Produkt aus Langrange-Multiplikator λ und der Nebenbedingung in Gleich-Null-Form. max L(x 1, x 2, λ) = f (x 1, x 2 ) + λ [h(x 1, x 2 ) c] Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 9 / 15
Vorgehensweise 3.Schritt: Bedingungen erster Ordnung herleiten Die Bedingungen erster Ordnung werden hergeleitet, indem man die partiellen Ableitungen nach allen Variablen bildet und gleich Null setzt: 1 L(x 1,x 2,λ) x 1 = f (x 1,x 2 ) x 1 λ h(x 1,x 2 ) x 1 = 0 2 L(x 1,x 2,λ) x 2 = f (x 1,x 2 ) x 2 λ h(x 1,x 2 ) x 2 = 0 3 L(x 1,x 2,λ) λ = h(x 1, x 2 ) c = 0 Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 10 / 15
Vorgehensweise 4. Schritt: Auflösen nach x 1 und x 2 Allgemein bietet es sich an, die ersten beiden partiellen Ableitungen nach derselben Variablen aufzulösen und die erhaltenen Terme gleichzusetzen. So erhält man eine Gleichung mit einer Variablen. Da das Problem hier sehr allgemein formuliert ist, kann man die Lösungen für x 1 und x 2 natürlich hier nicht explizit hinschreiben. Bei konkreten Zielfunktionen und Nebenbedingungen sieht das anders aus (s. nachfolgendes Beispiel). Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 11 / 15
Beispiel Ein häufiger Anwendungsfall der Lagrange-Methode ist die Maximierung des Nutzens eines Haushalts unter Berücksichtigung seines Budgets (s. Vorlesung 2.4 zur Herleitung der Marshallschen Nachfrage). Hier geht es nur um das Verstehen und die Anwendung des Lösungsverfahrens. Den tieferen Sinn der verwendeten Zielfunktion und Nebenbedingung werden erst später in der Vorlesung behandelt. Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 12 / 15
Beispiel Die Präferenzen eines Haushalts seien beschrieben durch die Nutzenfunktion: u = u(x 1, x 2 ) = x 0,25 1 x 0,5 2 Für die Nebenbedingung (Budgetgerade) gilt: m = p 1 x 1 + p 2 x 2 x 1, x 2 sind die Güter und p 1, p 2 die zugehörigen Preise. Stellen Sie die zugehörige Lagrange-Funktion auf und lösen Sie das Optimierungsproblem des Konsumenten analytisch! Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 13 / 15
3. Das totale Differential Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 14 / 15
3. Das totale Differential Die Menge an Champagner (X ), die ein Individuum konsumiert, sei abhängig vom Einkommen (M) und vom Alter (A) und durch folgenden funktionalen Zusammenhang charakterisiert: Aufgaben: X = f (M, A) = 0, 0001 M 2 + 2 A 1 Erklären Sie anhand dieser Funktion verbal und formal die Konzepte (partielle Ableitung), partielles Differential und total Differential! 2 Wie hoch ist der Champagnerkonsum einer 45-jährigen Frau, die ein Einkommen von 2.000 hat? WIe hoch ist die tatsächliche Änderung des Konsums, wenn das Einkommen (bei gleich bleibendem Alter) auf (i) 3000, (ii) 2500 und (iii) 2050 steigt? Dipl.-Volksw. J.-E.Wesselhöft/ Dipl.-Volksw. J.Freese (HSU) Einführung in die Volkswirtschaftslehre HT 2009 15 / 15