9 Scwistabilität. Teoretisce Grundlagen.. Scwiende Körper Die Scwistabilität ist ein Sonderfall der Hydrostatik und Hydrodynaik zugleic, denn bei ir andelt es sic sowol u einen statiscen als auc bedingt dynaiscen Prozess. n der tecniscen Mecanik wird zwiscen folgenden Gleicgewictslagen unterscieden: stabil, indifferent, instabil (labil). Die Kraft, die einen Körper zu Scwien anregt, ist dabei die uftriebskraft eines teils oder voll getaucten oluenkörpers... uftriebs- und Gewictskraft uf in luide getaucte Körper wirken Druckkräfte. Die resultierende orizontale Druckkoponente ist dabei null (gilt näerungsweise für Grundwasserströung und für Gewässer one Eigenströung), diese Koponenten sind stets entgegengesetzt gerictet und eben sic desalb gegenseitig auf. Der sic dabei ebenfalls auswirkende vertikale nteil des Drucks wird als uftriebskraft bezeicnet und nac de rciedisce Prinzip berecnet. Der uftrieb wirkt i Scwerpunkt S des verdrängten Wasservoluens und entsprict der Gewictskraft der Masse des verdrängten Wasser W und ist stets nac oben gerictet. g (.) W W Ein Körper ist also nur dann scwifäig, wenn ein Gleicgewict zwiscen Gewictskraft des Körpers G und der Gewictskraft des verdrängten Wasservoluens errsct, es gilt: G (.) Das Gewict K wirkt i Massenscwerpunkt S K des Körpers (ndex K) und ist nac unten gerictet. Wenn Gleicung (.) erfüllt ist, bedeutet dieses, dass die ittlere Wicte des Körpers K kleiner sein uss als die der in ugebenden lüssigkeit W... Scwistabilität U eine ussage zur Stabilität des Scwiveraltens acen zu können, uss ein Körper in gekrängter Lage (Scräglage) betractet werden. Durc die uslenkung versciebt sic it de uftriebsvoluen auc der Scwerpunkt S des verdrängten Wassers, wärend der Massenscwerpunkt S K stets unverändert bleibt. Bei eine breiten Körper it tief liegende Scwerpunkt ergäbe sic nun ein aufrictendes (wiedererstellendes) Moent, also eine stabile Scwilage, wärend bei eine eer scalen Körper it relativ oc liegende Scwerpunkt sic ein vergrößerndes (kippendes) Moent, also eine instabile Scwilage. Preser, Klausurtrainer Hydroecanik für Bauingenieure, DO 0.007/97---97-_, Springer acedien Wiesbaden 0
0 Scwistabilität einstellen würde. Lediglic bei zylindriscen Körpern (Rören), die it irer Längsacse ins Wasser eintaucen, ergibt sic ungeactet der Lage des Körperscwerpunktes eine indifferente Scwilage. Die Scwilage ist: stabil, wenn 0 indifferent, wenn 0 (.) instabil (labil), wenn 0 Die Berecnung der etazentriscen Höe erfolgt für i Bauwesen allgeein zutreffende kleine Krängungswinkel näerungsweise it der orel (.): y sg s (.) Dabei ist y das läcenträgeitsoent der Wasserlinienfläce, und ist das oluen des verdrängten Wassers.. Einface Scwistabilitätsuntersucung Beispiel 6 oogener Quader Gegeben: ein oogener rectwinkliger Körper (geäß Zeicnung), der auf Scwistabilität geprüft werden soll. Das spezifisce Gewict des Wassers beträgt W = 0 [/³]. Gesuct: Wicte des Scwikörpers sowie it Scwistabilitätsnacweis. RWS t =, [] f = 0,7 [] l = 5,5 [] b =,90 [] Lösung 6 vereinfacter Nacweis für kleine Krängungswinkel W l bt W 5,5,90, 0,65,65 G K 6,075 l b 5,5,90, 0,7 Das Metazentru eines scwienden Körpers ist der Scnittpunkt der uftriebsvektoren zweier benacbarter Winkellagen, die Strecke vo Massenscwerpunkt zu Metazentru eißt etazentrisce Höe.
. Einface Scwistabilitätsuntersucung Die Scwerpunkte von Körper~ und uftriebsvoluen liegen, wegen der Syetrie der Konstruktion in einer cse. Es treten keine usittigkeiten auf! bstand Massenscwerpunkt bezogen auf die Unterkante der Konstruktion: f t, 0,7,6 sg 0,9 bstand uftriebsscwerpunkt bezogen auf die Unterkante der Konstruktion: t s 0,565 Der bstand beider Scwerpunkte voneinander: s s s 0,565 0,90 0,65 G uftriebsvoluen (= verdrängtes Wasservoluen): l b t 5,5,90,,6 läcenträgeitsoent u die Kippacse -: l b 5,5,90 y,05 läcenträgeitsoent u die die Kippacse -: b l,90 5,5 y,6 Metazentrisce Höe für die Kippacse -: y,05 s 0,65 0,099 0,6 Metazentrisce Höe für die Kippacse -: y,6 s 0,65,76 0,6 Scwistabilität: Da die Konstruktion bereits in der Kippacse - instabil ist, ist die Scwilage des Körpers insgesat als instabil bzw. labil zu bezeicnen. Beispiel 7 oogener Zylinder (liegend) Gegeben: ein oogener zylindriscer Körper (geäß Zeicnung), der auf Scwistabilität geprüft werden soll. Das spezifisce Gewict des Wassers beträgt W = 0 [/³]. Gesuct: Wicte des Scwikörpers sowie it Scwistabilitätsnacweis.
Scwistabilität d =,0 [] RWS t =, [] l =,5 [] Lösung 7 vereinfacter Nacweis für kleine Krängungswinkel Berecnung des getaucten Querscnitts (Kreissegent/Kreisabscnitt, vergl. nang): t d sin asin t d asin,,0 0,0 0,0,56 Bogenaß 0 d,0 Seg ( sin),56 sin0,0,60 uftriebskraft und Gewictskraft W Seg l W,60,5 0 05,0 Seg 05,0 G K 6,0 l Zyl,0,5 Die Scwerpunkte von Körper~ und uftriebsvoluen liegen, wegen der Syetrie der Konstruktion in einer cse. Es treten keine usittigkeiten auf! Weil t > d/ gilt für den bstand Massenscwerpunkt bezogen auf die Wasserspiegellinie: d,0 s G t, 0,0 Berecnung der Wasserspiegelbreite: 0,0 b Sp d sin,0 sin( ),60 bstand uftriebsscwerpunkt bezogen auf die Wasserspiegellinie: b Sp d,60,0 s t, 0,566 Seg,60 Der bstand beider Scwerpunkte voneinander: s s sg 0,566 0,0 0,56
. Einface Scwistabilitätsuntersucung uftriebsvoluen (= verdrängtes Wasservoluen): Seg l,60,5 0,50 läcenträgeitsoent u die Kippacse - y Sp l b,5,60,75 läcenträgeitsoent u die die Kippacse - y bsp l,60,5 Metazentrisce Höe für die Kippacse - y,75 s 0,50 Metazentrisce Höe für die Kippacse - Scwistabilität: y 5,5 s 0,50 5,5 0,56 0,000 0,56,5 0 Die Konstruktion ist in der Kippacse - stabil sowie in der cse - (erwartungsgeäß) indifferent. Beispiel oogener Zylinder (steend) Gegeben: ein oogener zylindriscer Körper (geäß Zeicnung), der auf Scwistabilität geprüft werden soll. - Das spezifisce Gewict des Wassers beträgt W = 0 [/³]. S f =,75 [] RWS S t =,5 [] d =,5 [] Gesuct: Wicte des Scwikörpers sowie it Scwistabilitätsnacweis.
Scwistabilität Lösung vereinfacter Nacweis für kleine Krängungswinkel G d W t W K d,5,5,5 0,, 5,65 t f,5,75 Die Scwerpunkte von Körper~ und uftriebsvoluen liegen, wegen der Syetrie der Konstruktion, in einer cse. Es treten keine usittigkeiten auf! bstand Massenscwerpunkt bezogen auf die Unterkante der Konstruktion: f t,75,5,00 sg,00 bstand uftriebsscwerpunkt bezogen auf die Unterkante der Konstruktion: t s,5 Der bstand beider Scwerpunkte voneinander: s s s,5,00 0,75 G uftriebsvoluen (= verdrängtes Wasservoluen): d,5 t,5,5, läcenträgeitsoent u die Kippacse S-S: d,5 y,90 S S 6 6 Metazentrisce Höe für die Kippacse -: ys S,90 s 0,75 0,699 0 S S, Scwistabilität: Die Konstruktion besitzt nur eine Kippacse S-S, da die Wasserfläce einen Kreis darstellt. Die Scwilage ist instabil. Wenn dieser Scwikörper kentert, würde sic eine indifferente Scwilage (analog zu Beispiel 7) einstellen. Beispiel 9 Senkkasten Gegeben: ein inoogener rectwinkliger Körper (geäß Zeicnung), der auf Scwistabilität geprüft werden soll. Die spezifiscen Gewicte von Wasser und Konstruktion betragen W = 0 [/³] respektive K = 7 [/³]. Gesuct: Tauctiefe des Scwikörpers sowie Scwistabilitätsnacweis.
. Einface Scwistabilitätsuntersucung 5 RWS =,6 [] l =, [] b =,50 [] d Details Scnitt - d Draufsict d = 5 [c] d Lösung 9 vereinfacter Nacweis für kleine Krängungswinkel Berecnung der oluina: voll lb,,50,6,69 ol ldbdd ol, 0,5,50 0,5,6 0,56,90,69 6,90,7 K voll ol Kräftegleicgewict: G K K,7 7 5, t 5, G l b W,,50 0 uftriebsvoluen: l b t,,50,06 5,,06 Die Scwerpunkte von Körper- und uftriebsvoluen liegen, wegen der Syetrie der Konstruktion, in einer cse. Es treten keine usittigkeiten auf!
6 Scwistabilität Der bstand des Massenscwerpunktes bezogen auf die Unterkante der Konstruktion beträgt: sg s G d voll d ol k,6,69,6 0,5 0,5 6,90,7,5 Der bstand des uftriebsscwerpunktes bezogen auf die Unterkante der Konstruktion beträgt: s t,06,0 Der bstand beider Scwerpunkte voneinander ist: s s s G,0,5 0,07 läcenträgeitsoent u die Kippacse - y l b,,50 6,76 läcenträgeitsoent u die die Kippacse - y b l,50, Metazentrisce Höe für die Kippacse - y 6,76 s 5, Metazentrisce Höe für die Kippacse - Scwistabilität: y,9 s 5,,9 0,07 0,7 0 0,07 0,56 0 Da die Konstruktion bereits bei de kleineren läcenträgeitsoent u die Kippacse - über Scwistabilität verfügt, ist der Nacweis für das größere läcenträgeitsoent u die cse - entberlic. Merke: Grundsätzlic gilt diese eststellung für alle Scwistabilitätsnacweise an getaucten Körpern it zwei Kippacsen! Beispiel 0 Syetriscer Ponton (Scwikonstruktion) Gegeben: eine Scwikonstruktion (geäß Zeicnung), die auf Scwistabilität geprüft werden soll. uf de Ponton befindet sic ittig platziert eine Röre it einer Gewictskraft von 7 []. Das spezifisce Gewict des Wassers beträgt W = 0 [/³].
. Einface Scwistabilitätsuntersucung 7 Gesuct: Tauctiefe des Scwikörpers sowie Scwistabilitätsnacweis. b = 5,00 [] je Zylinder: läcengewict,0 [/²] GRor = 7 [] Ror d =,00 [] Platte: läcengewict 0,50 [/²] s = 0,0 [] RWS b Sp b Sp d =,50 [] Bezug x =,75 [] x = 5,50 [] l = 7,00 [] d =,50 [] Lösung 0 vereinfacter Nacweis für kleine Krängungswinkel Berecnung der Gewictskräfte (bei den in der Zeicnung angegebenen Werten andelt es sic u läcengewicte, d.. für die beiden Scwizylinder sind je Zylinder -fac die Stirnund -fac die Mantelfläce anzusetzen): lb 7,005,00 5,00 Platte d,50 Zylinder d b,505,00 7,096 GRor 7 G 0,50 5,00 0,50 7,50 Platte Platte G,0 7,096, 0 Zylinder Zylinder 65,00 7,00 7,50 65,00 99,50 G GRor GPlatte GZylinder Kräftegleicgewict: G uftriebsfläce eines teilgetaucten Zylinders (Kreissegent/Kreisabscnitt) (vergl. nang): r uftriebskraft beider Zylinder: d,50 sin sin sin 0, sin
Scwistabilität b W,59 sin b 0, W Zur Lösung von bedient an sic der Potenzreienentwicklung der Sinus-unktion, es gilt nac [], (vergl. auc nang): 5 sin n n reell n!! 5! n0 Soit ergibt sic für die unbekannte Größe und die zu lösende Gleicung it n = (inreicend genau): 5 7 5 7 a a,59! 5! 7! 6 0 500 ls Ergebnis erält als an:, 9, 9 Die uftriebsfläce eines Scwikörpers beträgt denac: d,50 sin, sin9,9 0,995 Dait lässt sic auc die Tauctiefe der zylindriscen Scwikörper angeben: t d sin 9,9,50 sin 0,5 Zur Berecnung der Scwistabilität ist nun in bängigkeit vo Mittelpunktswinkel die Wasserspiegelbreite (Senenlänge) an den Stirnfläcen der zylindriscen uftriebskörper zu berecnen (vergl. nang): b Sp s Seg 9,9 d sin,50sin,9 Die Scwerpunkte von Körper~ und uftriebsvoluen liegen, wegen der Syetrie der Konstruktion, in einer cse. Es treten keine usittigkeiten auf! Berecnung der ertikalscnitte und der Gesatscnittfläce der Konstruktion: S S SRor SPlatte Zylinder d,00 SRor, SPlatte l s 7,000,0,00 d,50 SZylinder,767 S,,00,767,076 Berecnung des Massenscwerpunkts, Bezug Unterkante der uftriebskörper:
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