3 Das Oeratormodell in Tafelbildern von Frank Schumann Das Oeratormodell, auch Pfeilrechnung genannt, ist vielen Lehrern aus der Einführung in die Bruchrechnung bekannt. Es ist auf Grund seiner Grundstruktur: _1 Startgröße Oerator Zwischengröße _1 Oerator Zwischengröße _... Oerator n Zielgröße mit * n N auf viele Bereiche der Schulmathematik anwendbar. Start- und Zielgröße können auch Zahlen sein. Oeratoren bestehen aus einem Funktionssymbol und einer Zahl oder Größe. Beisiel 1: Übliche zweistellige Funktionsnotation Pfeilrechnung 3 + 4 = 7 + 4 3 7 ( 6) + + 6 ( ) 4 Es gibt auch Pfeile in umgekehrter Richtung. Beisiel : Übliche zweistellige Funktionsnotation 5 + 10 = 10 + 5 Summanden dürfen vertauscht werden. 5 1 3 + = 3 oder 5 1 = 3 3 Umkehroerationen Pfeilrechnung + 10 + 5 5 10 Austausch von Startzahl und Oerator 1 5 + 3 1 3 Umkehrfeil mit Umkehroerator Wesentliche Vorteile des Oeratormodells gegenüber anderen Rechenmodellen sind: - die Vereinfachung einer Vielzahl an Rechenregeln durch die Rückführung einer zweistelligen Funktion in eine einstellige; 0/05 Schumann`s Verlagshaus 13
- die Verbindung von Oeration und Umkehroeration mittels Oerator und Gegenoerator; - die einfache Beschreibung eines Tascherechnerablauflanes (kurz: TRAP), anstelle einer unübersichtlichen und zeitintensiven Notation mit Tastendarstellungen; - die Darstellung einer Iteration, beisielsweise zur Berechnung einzelner Glieder einer rekursiv definierten Zahlenfolge (auch bei einfachen Wachstumsfunktionen); - die korrekte Darstellung des Gleichheitszeichens als Ergebnisoerator innerhalb einer Rechenkette. Ich habe einen Ausschnitt an Tafel- bzw. Foliebildern aus meinem Untericht zusammengestellt, die sich schon mehrfach im Unterricht der Klassenstufen 5 bis 7 bewährt haben. Vergleichen von rationalen Zahlen in Bruchschreibweise Zwei ositive Zahlen: 1 3 < 4 1 erweitern mit kürzen mit <. und 3 4 Zwei negative Zahlen: 1 3 > 4 1 1 liegt weiter links als 3 4 1 siegeln an 0 1 3 siegeln an 0 3 ; 4 4 3 1 liegt weiter rechts als 3. 4 Also dreht sich auch das Relationszeichen um. 14 Schumann`s Verlagshaus 0/05
Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche 3 5 + = KG+ 3 5 + = + 3 5 Addition ist Umkehrung der Subtraktion + 3 5 3 5 3 = 5 3 = Regel: Man addiert (bzw. subtrahiert) gleichnamige Brüche, indem man die die Zähler addiert (bzw. subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält. Addition und Subtraktion ganzer Zahlen in 3 Regeln 1 Ist der Oerator ositiv negativ so lege Pfeil nach rechts links. 1 + = 4 1 + 1 = 0 50 4 = 34 19 19 = 0 + ; + 1 1 4 1 0 4 34 50 ; 19 0 19 Das Vorzeichen ändert sich nur dann, wenn die Null überschritten wird. 3 Treten Vor- und Rechenzeichen auf, so löse zuerst die Klammer auf: 3 + ( ) = 3 Steht ein + vor einer Klammer, so setze das 3 ( ) = 3+ Setze dann bei Regel 1 fort. Vorzeichen als neues Rechenzeichen Steht ein vor einer Klammer, so setze das entgegengesetzte Vorzeichen als neues Rechenzeichen 0/05 Schumann`s Verlagshaus 15
Der richtige Gebrauch des Gleichheitszeichens Aufgabe: Ich denke mir eine Zahl x. Ich addiere dann 10. Ich verdole das Zwischenergebnis. Ich vermindere das Zwischenergebnis um. Ich erhalte 1. Wie heißt meine Zahl x? Hinfeile führen zur Gleichung: x + 10 x + 10 x + 10 x + 10 = 1 Es gilt die Gleichung: ( x ) + 10 = 1 Rückfeile führen zur Lösung: 0 10 10 0 + 1 Die gedachte Zahl ist die 0. ( ) ( ) Prozentrechnung (Besimmen des Prozentwertes) Aufgabe 1: Wie viel sind 14% von 50 kg? Gesucht: Grundwert W in (1) Umwandlung der Prozentschreibweise: 14 14% = = 0.14 () Pfeilrechnung/GTR: 0.14 50 119 (3) Antwortsatz: 14% von 50 kg sind 119kg. 16 Schumann`s Verlagshaus 0/05
Neue Begriffe zur Prozentrechnung Beisiel (siehe Aufgabe 1) Grundwert, G Prozentwert, W Prozentsatz, G = 50 kg % 50 50 W = 119 kg 14% 50 119 = 14 ( ohne Prozentzeichen! ) % 50 14 119 Merke: Der Grundwert G ist eine sezieller Prozentsatz W. Dem Grundwert G ist stets % = 1 zugeordnet. Prozentrechnung (Besimmen des Grundwertes) Aufgabe : 56% entsrechen 70. Wie viel entsricht dann %? Gesucht: Grundwert G in (1) Umwandlung der Prozentschreibweise: 56% = 0.56 () Pfeilrechnung/GTR mit Rückfeil: 0.56 G 70 1553.57 70 0.56 (3) Antwortsatz: % entsricht 1553.57. 0/05 Schumann`s Verlagshaus 17
Prozentrechnung (Besimmen des Prozentsatzes) Aufgabe 3: 56 Kinder gehören einem Sortverein mit insgesamt 1 Mitgliedern an. Welchen Anteil bildet die Zahl der Kinder zu der Zahl aller Mitglider des Sortvereins? Gesucht: Grundwert 1 Umwandlung der Prozentschreibweise: % = Pfeilrechnung/GTR: 1 56 1 = 1 = 56 Faktoren vertauschen Nach dem Kommutativgesetz der Multilikation kann man dann auch schreiben: Rückfeil: 1 56 45.9 1 56 0.459 = 45.9 3 Antwortsatz: 45.9% aller Mitglieder des Sortvereins sind Kinder. 1 Schumann`s Verlagshaus 0/05
Grundaufgaben der Prozentrechnung Präge Dir die 4 Pfeilrechnungen gut ein: G G W oder W G Merke: (1) G und % gehören stets zusammen. () G und W haben stets die gleiche Einheit. (3) ist eine Zahl ohne Einheit. FlächeninhaltA eines Kreises Kleiner Kreis mit r 1 : ( ) 4 3.14 1.56 Großer Kreis mit r : Je größer der Radius r ist, desto größer ist auch der Flächeninhalt A. Radiusr in cm 3 Flächeninhalt A in cm 1.56.6 A r 3.14 π ( ) 3 9 3.14.6 Es gilt: =. Die Zahl π ( Pi ) ist eine mathematische Konstante. π 3.1415965.... 0/05 Schumann`s Verlagshaus 19
Umfang U eines Kreises Kleiner Kreis mit r 1 : 6. 1.56 6. Großer Kreis mit r : 3 6. 6. 1.4 Je größer der Radius r ist, desto größer ist auch der Umfang U. Radiusr in cm 3 Umfang U in cm 1.56 1.4 Es gilt: U r = 6. π. Die Zahl π ( Pi ) entsricht dem Umfang eines Halbkreises mit der Radiuslänge 1. Wenn die Äquivalenzumformungen den Schülern noch nicht bekannt sind: Lösen einfacher Gleichungen Aufgabe: Löse die Gleichung ( x) Gleichung: 9 x = 1 ( ) Probe für x = 15: ( ) 9 15 = 1 ( 6) = 1 w. A. Lösung: x = 15 9 = 1. Übersetzung in Pfeilrechnung: Aufbau der Gegenfeilrechnung: x Start ( ) x x + 1 + 9 Ziel 9 1 ( 1) 9 15 15 6 1 Ziel Start 0 Schumann`s Verlagshaus 0/05
Literaturquellen: [1] Das Einmaleins des Voyage TM 00, Frank Schumann, Math-College, erschienen 004 im Schumann`s Verlagshaus, Sangerhausen,. berichtigte Auflage. Imressum und Rechte: Herausgeber: Jens Carl, Wertheim am Main Schumann`s Verlagshaus, Am Wartberg 6, 9777 Wertheim am Main Telefon: 0 93 4 / 5 963 5 Fax: 0 93 4 / 5 963 7 E-Mail: mathe-innovativ@math-college.de Web: www.schumanns-verlagshaus.de Redaktion: mathe-innovativ - In Mathe einfach besser: Jens Carl (verantwortlicher Redakteur), Satz und Druck: Schumann`s Verlagshaus Wertheim am Main Anzeigenverwaltung: Jens Carl Zur Zeit gilt die Anzeigenreisliste Nr. 1 vom 01.04.005. Redaktionsschluss der Ausgabe 0/05: 15.0.005 Auslieferung der Ausgabe 0/05: 6. 09. 005 Redaktionsschluss der nächsten Ausgabe 03/05: 15.09.005 Erscheinungsweise: monatlich, außer Juli und August Koierrechte liegen ausschließlich bei Schumann`s Verlagshaus, Wertheim am Main. Ein kommerzieller Vertrieb für Koiervorlagen aus dem Schumann`s Verlagshaus ist nur math-collegesho.de gestattet. Bei Zuwiderhandlungen behält sich der Verlag alle juristischen Mittel vor. 0/05 Schumann`s Verlagshaus 1