Bonusmaterial ElementareZahlentheorie Jonglieren mit Zahlen

Bonusmaterial ElementareZahlentheorie Jonglieren mit Zahlen Wieso sin ie Primzahlen ie Bausteine er ganzen Zahlen? Wie viele Teiler hat ie Zahl 73626273893493625252? Wie berechnet man effizient en ggt ganzer Zahlen? Die elementare Zahlentheorie, also ie Untersuchungen er Eigenschaften er ganzen Zahlen, gehört zu en ältesten Wissenschaften er Mathematik. Euklis Elemente, ein Buch, in em sich Eukli vor allem mit Fragen zum Aufbau es Zahlensystems beschäftigt, ist eines er meistverkauften Bücher er Welt. Die Problemstellungen er Zahlentheorie sin oftmals einfach zu formulieren un aher auch mathematischen Laien verstänlich. Umso verwunerlicher ist es, ass eine erart alte un vielen zugängliche Wissenschaft so viele ungelöste Probleme aufwirft. So ist etwa nicht bekannt, wie viele Mersenne sche Primzahlen existieren. Wir beschreiben en Aufbau es allen von Kinesbeinen an vertrauten Zahlensystems un begrünen Rechenregeln, etwa für en größten gemeinsamen Teiler, ie jeem aus er Schule vertraut sin, jeoch ort meist nicht bewiesen wuren. Weiter erläutern wir einige offene Probleme er Zahlentheorie. Der angeornete Ring er ganzen Zahlen Wir schilern vorab einige grunlegene un vertraute algebraische Eigenschaften er ganzen Zahlen Z. (Z, +) ist eine kommutative Gruppe: (a + b) + c = a + (b + c) für alle a, b, c Z, a + b = b + a für alle a, b Z, Es gibt ein Element 0 mit 0 + a = a für alle a Z. Zu jeem a Z existiert ein Element a Z mit a + ( a) = 0. (Z, ) ist eine kommutative Halbgruppe mit 1: (a b) c = a (b c) für alle a, b, c Z, a b = b a für alle a, b Z. Es gibt ein Element 1 mit 1 a = a für jees a Z. a (b + c) = a b + a c für alle a, b, c Z. Diese Regeln sin aus em täglichen Umgang mit en ganzen Zahlen vertraut, ebenso ie folgenen einfachen Regeln: Die Gleichung a + X = b besitzt für beliebige a, b Z genau eine Lösung, nämlich X = b a. Für beliebige a, b Z gilt a 0 = 0 un a ( x) = (a x). Gilt 0 = a, b Z, so folgt a b = 0. Für a, b, c Z gilt a b = a c, a = 0 b = c. Im Ring Z kann man also kürzen. Die ganzen Zahlen bilen einen kommutativen Ring mit einem Einselement In er elementaren Zahlentheorie untersucht man ie Teilbarkeitseigenschaften er ganzen Zahlen. Wir beschreiben vorab ie algebraische Struktur er ganzen Zahlen; wir weren später in iesem Kapitel, in en sogenannten Restklassenringen, wieer auf iese Struktur zurückfinen: Der Ring er ganzen Zahlen Es ist Z = (Z, +, ) (mit en bekannten Verknüpfungen + un ) ein kommutativer Ring mit Einselement 1,. h., es gilt: Wir verweisen auf einige übliche Begriffe un Schreibweisen: Statt a b wir oftmals kürzer abgeschrieben. Für a + ( b) schreibt man kürzer a b. Man nennt as Element a auch as negative oer entgegengesetzte Element zu a. Man nennt (Z, +) ie aitive Gruppe un (Z, ) ie multiplikative Halbgruppe von Z. Die ganzen Zahlen sin angeornet Die Menge Z ist urch ie Relation a<b b a N

2 Elementare Zahlentheorie Jonglieren mit Zahlen angeornet,. h., es gilt für a, b, c, Z: entweer a<boer a = b oer b<a, a<b,b<c a<c, a<b a + <b+, a<b,0 <(. h. N) a <b. Die folgenen Bezeichnungen sin suggestiv un vertraut: a b a = b oer a<b, a>b b<a, a b b a, { a, falls a 0 a := a, falls a<0. Man nennt a en Betrag von a Z, er ist eine natürliche Zahl oer null. Für en Betrag gelten zwei wichtige Rechenregeln: Für alle a, b Z gilt a + b a + b, ab = a b. Als für ie Zahlentheorie ganz funamtental erweisen sich ie folgenen Beweisprinzipien (siehe auch Buchkapitel 3): Das Wohlornungsprinzip un ie vollstänige Inuktion Das Wohlorungsprinzip besagt: Jee nichtleere Teilmenge von N 0 besitzt ein kleinstes Element. Das Inuktionsprinzip besagt: Ist M eine Teilmenge von N mit en Eigenschaften (i) 1 M, (ii) x M x + 1 M Beweis: Wir betrachten ie Menge M := {a bm N 0 m Z} N 0 un begrünen, ass iese Menge nicht leer ist, um as Wohlornungsprinzip anwenen zu können. Ist a 0, so folgt a M für m = 0, soass in iesem Fall M = gilt. Nun gelte a<0. Da b N gilt, ist 1 b 0. Somit ist a(1 b) 0. Also folgt wegen a(1 b) = a ab für m = a a ab M, soass auch in iesem Fall M nicht leer ist. Nach em Wohlornungsprinzip enthält M ein kleinstes Element r, es gilt r = a pb 0 mit einem q Z. Es ist nur noch zu begrünen, ass r<bgilt. Wäre r b, so gälte a (q + 1)b = a qb b = r b N 0. Es folgte ein Wierspruch zur Minimalität von r. Mit er Division mit Rest ist nun ie Grunlage für ie elementare Zahlentheorie gelegt. Teilbarkeit Bleibt bei er Division mit Rest er Rest 0, so spricht man von Teilbarkeit genauer: Man sagt, a Z teilt b Z oer a ist ein Teiler von b oer b ein Vielfaches von a, wenn ein c Z mit a = bc existiert, un kürzt ies mit a b ab. Man schreibt a b, wenn a kein Teiler von b ist. so gilt M = N. Beispiel Es sin 1, 2, 3 un 6 Teiler von 6; es gilt nämlich Tatsächlich sin iese beien Prinzipien äquivalent, auf en Nachweis ieser Tatsache verzichten wir. Die Division mit Rest ist grunlegen für alles Weitere Wir begrünen mit em Wohlornungsprinzip, ass ie vertraute Division mit Rest tatsächlich funktioniert. Division mit Rest Zu beliebigen Zahlen a Z un b N gibt es Zahlen q, r Z mit a = bq+ r un 0 r<b. 6 = 1 6, 6 = 2 3, 6 = 3 2, 6 = 6 1. Aber auch 1, 2, 3 un 6 sin Teiler von 6, a 6 = 1 ( 6), 6 = 2 ( 3), 6 = 3 ( 2), 6 = 6 ( 1). Weitere ganzzahlige Teiler hat ie Zahl 6 nicht, so gilt etwa 4 6, a es keine ganze Zahl c mit 6 = 4 c gibt. Kommentar: Bei en rationalen Zahlen ist er Begriff er Teilbarkeit eher unnütz, weil jee rationale Zahl q = a b jee anere von Null verschieene rationale Zahl p = c als Teiler hat: q = p (p 1 q) ; }{{} =:c Q in Z ist iese Situation ganz aners.

Teilbarkeit 3 Wir notieren einige einfache, aber wichtige Regeln zur Teilbarkeit: Teilbarkeitsregeln Für a, b, c, x, y Z gilt: 1. 1 a, a 0, a a. 2. 0 b b = 0. 3. a b, b = 0 a b. 4. a b a b un a b. 5. a b, b c a c. 6. a b, b a a = b oer a = b. 7. a b ac bc. 8. a b, a c a xb+ yc. 9. ac bc, c = 0 a b. Beweis: 1. Aus a = 1 a folgt 1 a un a a; un 0 = 0 a impliziert a 0. 2. Aus 0 b folgt b = r 0 = 0 (für ein r Z). 3. Aus a b un b = 0 folgt b = arfür ein 0 = r Z,.h. r 1. Also gilt b = a r a. 4. Aus a b folgt b = ar für ein r Z; somit gilt b = ( a)( r), soass a b un b = a( r), soass a b. 5. Wegen a b un b c gibt es r, s Z mit b = ar un c = bs. Es folgt: c = a(rs), soass also a c gilt. 6. folgt aus 3. 7. Aus a b folgt: Es gibt ein r Z mit b = ar. Also gilt bc= (a c) r, folglich ac bc. 8. Wegen a b un a c existieren r, s Z mit b = ar un c = as. Somit gilt für beliebige x, y Z: xb+ yc= (a r) x + (a s) y = a(rx+ sy); es folgt a xb+ yc. 9. Aus ac bcfolgt bc = acr für ein r Z. Wegen c = 0 gilt b = ar, also a b. Gilt a = bc für a, b, c Z, so heißt c er zu b komplementäre Teiler von a. Gilt a b un 1 = a < b, so wir a ein echter Teiler von b genannt. Nach en Teilbarkeitsregeln 1 un 4 sin 1, 1, a, a stets Teiler einer Zahl a Z. Diese Teiler heißen ie trivialen Teiler von a. Jee natürliche Zahl ist ein Proukt von Primzahlen Eine natürliche Zahl p = 1 heißt Primzahl, wenn sie nur triviale Teiler besitzt,. h., wenn 1 un p ihre einzigen positiven Teiler sin. Wir bezeichnen ie Menge er Primzahlen mit P. Wir überlegen, ass jee natürliche Zahl ungleich 1 einen Primteiler besitzt,. h. einen Teiler, er eine Primzahl ist: Ist n = 1 eine natürliche Zahl, so wählen wir in er nichtleeren Menge (n liegt in ieser Menge) aller von 1 verschieenen positiven Teiler von n as kleinste Element p man beachte as Wohlornungsprinzip. Dieses kleinste Element p ist eine Primzahl, a jeer Teiler von p nach er Teilbarkeitsregel 5 auch ein Teiler von n ist. Damit ist begrünet: Ist n eine natürliche Zahl = 1, so ist er kleinste positive Teiler p = 1vonn eine Primzahl. Jee natürliche Zahl n = 1 besitzt Primteiler. Aus iesem Ergebnis erhalten wir nun eine wichtige Folgerung, ie jeem aus er Schule vertraut ist, aber ort nur selten begrünet wir: Jee natürliche Zahl n = 1 ist ein Proukt von Primzahlen. Beweis: Wir nehmen an, ass ie Behauptung falsch ist. Dann ist ie Menge M aller natürlichen Zahlen = 1, ie nicht Proukte von Primzahlen sin, nicht leer un besitzt nach em Wohlornungsprinzip ein kleinstes Element n> 1. Wegen es obigen Ergebnisses hat n einen Primteiler p, soass n = pa für ein a N; un a<n(aus a n un p>1folgte pa pn>n). Es folgt a M, soass a = 1 oer a = p 1 p r Proukt von Primzahlen p i ist. Dann ist aber auch a = p oer n = pa = pp 1 p r Proukt von Primzahlen, im Wierspruch zu n M. Die Primzahlen sin amit ie Bausteine er natürlichen Zahlen. Dieses Ergebnis lässt sich noch verschärfen. Wir weren nämlich bal begrünen, ass ie Darstellung jeer natürlichen Zahl = 1 als Proukt von Primzahlen von er Reihenfolge er Faktoren abgesehen eineutig ist. Natürliche Zahlen n = 1, ie keine Primzahlen sin, nennt man auch zusammengesetzt. Sie haben eine Darstellung n = abmit a, b N un a = 1 = b. Kommentar: Im Allgemeinen ist es gar nicht einfach, Primteiler einer natürlichen Zahl zu bestimmen. Es gibt verschieene ausgeklügelte Primzahltests, as sin Tests, ie eine natürliche Zahl auf Primalität untersuchen un manchmal auch Primteiler bestimmen. Solche Tests sin meistens sehr anspruchsvoll, wir können im Rahmen ieses kurzen Kapitels leier nicht arauf eingehen. Bei er naiven Suche nach Primteilern einer natürlichen Zahl kann man sich aber auf relativ kleine Zahlen beschränken, a gilt:

4 Elementare Zahlentheorie Jonglieren mit Zahlen Für en kleinsten Primteiler p einer zusammengesetzten natürlichen Zahl n gilt p n. Das ist einfach zu sehen, a für en kleinsten Primteiler p mit er Zerlegung n = paoffenbar p a gilt, soass Weil eine Zahl nur enlich viele Teiler hat, existieren nur enlich viele solche gemeinsame Teiler ieser enlich vielen Zahlen, sagen wir t 1,..., t r mit r N. Also existiert auch ein größter ieser gemeinsamer Teiler. folgt. p 2 pa = n,. h. p n Dieser wir naheliegenerweise größter gemeinsamer Teiler von a 1,..., a n genannt un ggt(a 1,..., a n ) geschrieben. Wegen er Teilbarkeitsregel 4 liegt er in N. Es gibt unenlich viele Primzahlen Der folgenen Satz stammt von Eukli. Für seinen Beweis gibt es heute zahlreiche Varianten. Wir ziehen en Originalbeweis von Eukli vor: Der Satz von Eukli Es gibt unenlich viele Primzahlen. Beweis: Wir nehmen an, ass ie Menge P er Primzahlen enlich ist. Es gelte also P = {p 1,..., p n }. Die Zahl a := p 1 p n + 1 N ist ungleich 1 un hat aher einen Primteiler p. Aus p = p i für ein i = 1,..., n folgt p a p 1 p n = 1 nach er Teilbarkeitsregel 8 un im Wierspruch zur Teilbarkeitsregel 3. Daher kann P nicht enlich sein. Der Funamentalsatz er Arithmetik Wir begrünen in iesem Abschnitt einen er grunlegensten Sätze er Mathematik. Zum Beweis ieses Satzes benutzen wir en sogenannten eukliischen Algorithmus, er auf sukzessiver Division mit Rest beruht. Er ermöglicht ie Bestimmung eines größten gemeinsamen Teilers ganzer Zahlen ohne ie Primfaktorisierung, ie im Allgemeinen sehr schwer zu bestimmen ist, zu benutzen. Der größte gemeinsame Teiler ganzer Zahlen ist ie größte natürliche Zahl, ie alle iese ganzen Zahlen teilt Wir erklären en größten gemeinsamen Teiler sogleich für n ganze Zahlen. Dazu betrachten wir n Zahlen a 1,..., a n Z, ie nicht alle zugleich 0 sin, also a i = 0 für ein i {1,..., n}. Gilt x a i für jees i = 1,..., nun x Z, so nennt man x einen gemeinsamen Teiler von a 1,..., a n. Man nennt Zahlen a 1,..., a n teilerfrem oer relativ prim, wenn ggt(a 1,..., a n ) = 1. Dies beeutet, ass 1 un 1 ie einzigen gemeinsamen Teiler von a 1,..., a n sin. Im Fall a 1 = = a n = 0 setzen wir ggt(a 1,..., a n ) := 0. Beispiel ggt(0, 1) = 1. ggt( 21, 35) = 7. ggt(18, 90, 30) = 6. In en angeführten Beispielen war es möglich, en größten gemeinsamen Teiler urch Probieren zu bestimmen. Im Allgemeinen aber, also etwa, wenn ie Zahlen, eren größter gemeinsamer Teiler zu bestimmen ist, sehr groß sin, ist iese naive Prüfmethoe nicht effektiv. Auch ie Methoe urch Zerlegung in Primzahlen, wie man sie aus er Schule kennt (un ie wir auch noch behaneln weren), ist grunsätzlich nicht empfehlenswert, a ie Zerlegung von natürlichen Zahlen in ihre Primfaktoren ein im Allgemeinen sehr schwieriges Problem ist. Eine effiziente Art, en größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen un amit ann auch mehrerer Zahlen zu bestimmen, bietet ein bereits von Eukli geschilerter Algorithmus. Der eukliische Algorithmus bestimmt en ggt zweier Zahlen Der eukliische Algorithmus besteht in einer wieerholten Anwenung er Division mit Rest: Der eukliische Algorithmus Gegeben sin zwei natürliche Zahlen a, b mit b a.wir setzen r 0 := a, r 1 := b un efinieren Reste r 2,..., r n N urch ie folgenen Gleichungen, ie urch Division mit Rest entstehen:

Der Funamentalsatz er Arithmetik 5 Dann gilt r 0 = r 1 q 1 + r 2 mit 0 <r 2 <r 1, r 1 = r 2 q 2 + r 3 mit 0 <r 3 <r 2,. r n 2 = r n 1 q n 1 + r n mit 0 <r n <r n 1, r n 1 = r n q n. r n = ggt(a, b) ; un es gibt eine Darstellung r n = xa+ yb mit ganzen Zahlen x, y Z. Man beachte: Wegen r 1 >r 2 >r 3 > tritt notwenig ein Schritt er Form r n 1 = r n q n + 0 auf, er en Prozess beenet. Es bleibt zu begrünen, ass r n er größte gemeinsame Teiler von a un b ist un eine Darstellung er angegebenen Art besitzt. Beweis: 1. Wir begrünen, ass r n er größte gemeinsame Teiler von a un b ist. Die letzte Gleichung r n 1 = r n q n zeigt r n r n 1. Aus er vorletzten Gleichung folgt amit r n r n 2. So fortfahren, erhält man schließlich r n r 1 = b un r n r 0 = a, also ist r n ein gemeinsamer Teiler von a un b, un es gilt ( ) r n := ggt(a,b). Nun gehen wir mit = ggt(a, b) ie Gleichungen es Algorithmus von oben nach unten urch: Es ist ein gemeinsamer Teiler von r 0 un r 1. Nach er ersten Gleichung es Algorithmus ist amit auch ein Teiler von r 2. Aus er zweiten Gleichung erhalten wir, ass auch Teiler von r 3 ist. So fortfahren, können wir schließen: ist ein Teiler von r n. Damit gilt r n, mit ( ) folgt: = r n. 2. Wir begrünen, ass er ggt r n von a un b eine Darstellung er Art r n = xa+ yb mit ganzen Zahlen x, y Z besitzt. Aus er vorletzten Gleichung erhalten wir ie folgene Darstellung für r n : r n = r n 2 r n 1 q n 1. Hierin kann r n 1 mit er vorhergehenen Gleichung r n 1 = r n 3 r n 2 q n 2 es Algorithmus ersetzt weren. So fortfahren, ersetzt man sukzessive r k urch r k 2 r k 1 q k 1, schließlich r 2 urch r 0 r 1 q 1 un erhält einen Ausruck er Form r n = xa+ ybmit x, y Z. (Wegen a un b folgt erneut r n.) Kommentar: Eine Darstellung := ggt(a, b) = xa+ ybist keineswegs eineutig. Für jees k Z gilt vielmehr: = ( x + k b ) ( a + y k a ) b mit Koeffizienten aus Z (enn b Z, a Z). Es ist jee Darstellung = ra+ sbvon ieser Form. Wegen er Teilbarkeitsregel 4 liefert er eukliische Algorithmus auch en ggt ganzer Zahlen. Beispiel Wir bestimmen := ggt(4081, 2584) sowie Zahlen x, y Z mit = 4081 x + 2585 y. 4081 = 1 2585 + 1496 2585 = 1 1496 + 1089 1496 = 1 1089 + 407 1089 = 2 407 + 275 407 = 1 275 + 132 275 = 2 132 + 11 132 = 12 11. Damit haben wir = 11 als größten gemeinsamen Teiler von 4081 un 2584 ermittelt. Von er vorletzten Gleichung 275 = 2 132 + 11 ausgehen, ermitteln wir nun rückwärts eine gesuchte Darstellung von = 11: Also gilt 11 = 1 275 2 132 = ( 2) 407 + 3 275 = 3 1089 + ( 8) 407 = ( 8) 1496 + 11 1089 = 11 2585 19 1496 = ( 19) 4081 + 30 2585. ggt(4081, 2585) = 11 = ( 19) 4081 + 30 2585. Die weiteren Darstellungen 11 = 4081 r+2585 s haben nach obigem Kommentar ie Gestalt ( 11 = 19 + k 2585 ) ( 4081 + 30 k 4081 ) 2585 11 11 = ( 19 + 235 k) 4081 + (30 371 k) 2585.

6 Elementare Zahlentheorie Jonglieren mit Zahlen Mit em eukliischen Algorithmus können wir lineare iophantische Gleichungen lösen Wir wenen ie erzielten Ergebnisse auf Gleichungen er Form ( ) ax + by = c mit a, b, c Z an, wobei wir nach ganzzahligen Lösungen für X, Y,. h. Paare (r, s) Z Z mit ar+ bs = c suchen. Eine Gleichung er Form ( ) nennt man lineare iophantische Gleichung. Es gilt: Lösbarkeit linearer iophantischer Gleichungen Die lineare iophantische Gleichung ( ) ax + by = c mit a, b, c Z hat genau ann Lösungen in Z Z, wenn ggt(a, b) c. Beweis: Wir setzen := ggt(a, b). Wenn (x, y) Z Z eine Lösung von ( ) ist, gilt ax+ by = c nach er Teilbarkeitsregel 8 von Seite 3. Nun setzen wir voraus, ass ein Teiler von c ist. Nach em eukliischen Algorithmus hat eine Darstellung er Form mit r, s Z. Aus c folgt = ra+ sb c = c = a rc + b sc mit rc, sc rc Z. Also ist (, sc ) Z Z eine Lösung von ( ). Weil ggt(122, 74) = 2 112 gilt, ist ie gegebene lineare iophantische Gleichung lösbar. Wir ermitteln nun ie Lösungen. Dazu stellen wir 2 = ggt(122, 74) von er vorletzten Gleichung 22 = 5 4 + 2 ausgehen als Linearkombination von 122 un 74 ar: 2 = 22 5 4 = ( 5) 26 + 6 22 = 6 48 + ( 11) 26 = ( 11) 74 + 17 48 = 17 122 + ( 28) 74. Es gilt also 2 = 17 122 + ( 28) 74. Multiplikation ieser Gleichung mit 112 2 = 56 liefert: 112 = (56 17) 122 + (56 ( 28)) 74 = 952 122 1568 74. Nach obigem Kommentar führt jees k Z zur Lösung 112 = (952 + k 74 122 ) 122 + ( 1568 k 2 2 ) 74. Die Wahl k = 25 bzw. k = 26 liefert 112 = 27 122+( 43) 74 bzw. 112 = ( 10) 122+18 74. Der eukliische Algorithmus führt also keineswegs immer zu einer Lösung mit möglichst kleinen Beträgen. Der Funamentalsatz er Arithmetik Die folgene Aussage war bereits Eukli bekannt: Für teilerfreme a, b Z, a = 0 un jees c Z gilt a bc a c. Beispiel Wir prüfen, ob ie iophantische Gleichung 122 X + 74 Y = 112 Beweis: Wegen er Teilerfremheit von a un b,.h. ggt(a, b) = 1, können wir mit em eukliischen Algorithmus ganze Zahlen r un s mit in Z Z lösbar ist un bestimmen gegebenfalls ihre Lösungen. Mit em eukliischen Algoritmus ermitteln wir en ggt von 122 un 74: 122 = 1 74 + 48 74 = 1 48 + 26 48 = 1 26 + 22 26 = 1 22 + 4 22 = 5 4 + 2 4 = 2 2. ra+ sb= 1 bestimmen. Diese Gleichung multiplizieren wir mit c Z un erhalten rac+ sbc= c. Weil a beie Summanen teilt, also a racun a sbc, teilt a nach er Teilbarkeitsregel 8 von Seite 3 auch c. Achtung: Die Voraussetzung er Teilerfremheit ist notwenig, enn es gilt etwa für a = 2, b = 6 un c = 1 a bcaber a c.

Der Funamentalsatz er Arithmetik 7 Wir können aus iesem Ergebnis eine wichtige Folgerung ziehen, mit er es letztlich gelingt, einen zentralen Satz er elementaren Zahlentheorie, eigentlich sogar er ganzen Mathematik, zu begrünen: Für a, b Z un jee Primzahl p P gilt p ab p a oer p b. Teilt eine Primzahl ein Proukt, so teilt sie bereits einen er Faktoren. Diese Aussage folgt sofort aus obigem Satz, wenn wir annehmen, ass p kein Teiler von b ist. Es sin ann nämlich p un b wegen er Primeigenschaft von p teilerfrem. Also ist p ann ein Teiler von a. Kommentar: Das oer ist nicht ausschließen, es kann eine Primzahl natürlich auch Teiler beier Faktoren sein: 3 6 15 un 3 6 un 3 15. Weil p 1 n gilt, gibt es ein j mit p 1 q j, also p 1 = q j. Nach eventueller Umnummerierung können wir nun j = 1 voraussetzen. Es folgt m := p 2 p r = q 2 q s un 1 <m<n Wir argumentieren mit vollstäniger Inuktion un können voraussetzen, ass ie Behauptung für m zutrifft. Nach eventueller Umnummerierung er q j gilt r = s un p i = q j für i = 2,..., r. Wegen p 1 = q 1 sin p 1 p r = q 1 q s aher bis auf ie Reihenfolge er Faktoren ieselben Zerlegungen von n.? Die Existenz ieser Zerlegung konnten wir bereits auf Seite 3 zeigen. Wieso nicht auch ie Eineutigkeit? Beispiel Es hat n = 63882 bis auf ie Reihenfolge er Faktoren ie eineutig bestimmte Zerlegung 63882 = 2 3 3 3 7 13 13. Achtung: Die Tatsache ieser letzten Aussage gilt nicht für zusammengesetzte Zahlen: Ist a = bcmit 1 <b,1<c zusammengesetzt, so folgt a bc, a b, a c. Wir können as letzte Ergebnis mehrfach anwenen un erhalten allgemeiner: Für a 1,..., a n Z un jee Primzahl p gilt p a 1 a n p a i für minestens ein i {1,..., n}. Jetzt können wir ie folgene grunlegene Aussage begrünen: Funamentalsatz er Arithmetik Jee natürliche Zahl n = 1 lässt sich auf genau eine Weise als Proukt n = p 1 p r mit Primzahlen p 1 p 2 p r schreiben. Beweis: Dass eine erartige Zerlegung existiert, haben wir bereits auf Seite 3 bewiesen. Es bleibt nur noch ie Eineutigkeit einer solchen Darstellung zu begrünen. Wir nehmen an, es gilt für eine natürliche Zahl n Die kanonische Primfaktorzerlegung Wir können gleiche Faktoren unter Potenzen zusammenfassen. Vereinbaren wir, stets ie Reihenfolge er Primfaktoren einer Zerlegung er Größe er Primfaktoren einzuhalten, so erhalten wir ie kanonische Primfaktorzerlegung: Jee natürliche Zahl n = 1 kann auf genau eine Weise in er Form n = p ν 1 1 pν t t mit Primzahlen p 1 < < p t un ν i N geschrieben weren. Man nennt iese Darstellung ie kanonische Primfaktorzerlegung von n. Oft wir iese Darstellung formal als unenliches Proukt n = p α n(p) p P geschrieben, inem ie Faktoren p 0 = 1 für alle weiteren Primzahlen p eingefügt weren. Es gilt ann { 0, wenn p = p1,..., p α n (p) = t. ν i, wenn p = p i für ein i = 1,..., t Beispiel Es gilt 60 = p α60(p) mit p P α 60 (2) = 2, α 60 (3) = 1, α 60 (5) = 1, α 60 (p) = 0 für alle p = 2, 3, 5. n = p 1 p r = q 1 q s mit Primzahlen p i,q j, ie nicht notwenig er Größe nach geornet sin. Wenn n eine Primzahl ist, gilt n = p 1 = q 1. Daher setzen wir r 2, s 2 voraus. Außerem wir gesetzt. 1 = p α 1(p) p P

8 Elementare Zahlentheorie Jonglieren mit Zahlen Die folgenen Eigenschaften vereutlichen ie Zweckmäßigkeit ieser Darstellung: Für a, b, a 1,..., a n N gilt α ab (p) = α a (p) + α b (p) für alle p P, a b α a (p) α b (p) für alle p P. Beweis: Die erste Aussage folgt aus er Potenzregel ab= p α a(p) p α b(p) = p α a(p)+α b (p), p P p P p P un er Eineutigkeitsaussage im Funamentalsatz er Arithmetik. Wir begrünen ie zweite Aussage: Es gilt: a b b = acfür ein c N α b (p) = α a (p) + α c (p) für alle p un ein c N α a (p) α b (p) für alle p. (Für ie Richtung efiniere man c = p α b(p) α a (p) p P un beachte ie erste Aussage es Satzes.) Mit iesen Formeln können wir nun ie Anzahl aller (positiven) Teiler einer natürlichen Zahl a bestimmen, a ie Teiler von a genau ie Zahlen p ν p mit 0 ν p α a (p) sin: p P Die Anzahl aller positiven Teiler von a N ist τ(a) = p P(1 + α a (p)). Man beachte, ass 1+α a (p) = 1 nur für enlich viele p P gilt. Beispiel Es ist 46200 = 2 3 3 1 5 2 7 1 11 1, soass 46200 genau τ(46200) = 4 2 3 2 2 = 96 positive Teiler besitzt. Für jee natürliche Zahl a bezeichnen wir mit σ(a)ie Summe aller positiven Teiler von a, also σ(a) :=. a, N Wir leiten eine Formel für σ(a)her. Dazu betrachten wir zuerst en Fall, bei em a eine Primzahlpotenz ist. Es gelte also a = p n mit einer Primzahl p un einer natürlichen Zahl n. Die Teiler von a lassen sich leicht angeben, es sin ies: 1 = p 0,p= p 1,p 2,..., p n 1,p n, ihre Summe σ(a)ist amit σ(a) = n i=0 p i = pn+1 1 p 1 Dies lässt sich aber leicht auf Proukte von Primzahlpotenzen, wegen es Funamentalsatzes er Arithmetik also auf alle Zahlen a N, verallgemeinern: Die Summe er Teiler Ist a = p ν 1 1 pν r r ie kanonische Primfaktorzerlegung von a N, so gilt σ(a) = r i=1 p ν i+1 i 1 p i 1. Für ie kanonische Primfaktorzerlegung von a gilt also insbesonere ie Formel: ( r ) r σ p ν i = σ(p ν i i ). i=1 i=1 Kommentar: Zahlen a, b: Allgemeiner gilt für teilerfreme natürliche σ(ab) = σ(a)σ(b). Man nennt Funktionen mit ieser Homomorphieeigenschaft bzgl. teilerfremer Zahlen zahlentheoretische Funktionen. In er analytischen un algebraischen Zahlentheorie untersucht man mit tieferliegenen Methoen ie Gesamtheit aller zahlentheoretischen Funktionen. Achtung: Es ist wichtig, ass hier ie Primfaktorisierung kanonisch ist, also p i = p j für i = j gilt. So ist etwa 3 = σ(2 2) = σ(2) σ(2) = 2. Das größte gemeinsame Vielfache Rechenregeln In er Schule bestimmt man en ggt zweier Zahlen im Allgemeinen nicht mit em eukliischen Algorithmus. Meistens benutzt man as folgene Ergebnis, wenngleich ies ie Kenntnis er Primfaktorzerlegung er Zahlen voraussetzt. Tatsächlich ist iese aber bei großen Zahlen generell eutlich aufweniger zu bestimmen als er ggt mittels es eukliischen Algorithmus..

Der Funamentalsatz er Arithmetik 9 Vertiefung: Vollkommene Zahlen Eine Zahl a N heißt vollkommen, wenn ie Summe aller Teiler von a as Doppelte von a ergibt, also σ(a) = 2 a gilt. Es sin zum Beispiel ie Zahlen 6 un 28 vollkommen, a 1 + 2 + 3 + 6 = 2 6 un 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 2 28 gilt. Die geraen vollkommenen Zahlen kann man charakterisieren. Wir begrünen: Eine gerae natürliche Zahl a = 2 n 1 b, wobei n 2 un b ungerae ist, ist genau ann vollkommen, wenn b eine Primzahl er Form 2 n 1,. h. eine Fermat sche Primzahl, ist. Wir setzen zuerst voraus, ass a = 2 n 1 b mit n 2 un ungeraem b vollkommen ist. Es gilt also 2 n b = 2 a = σ(a) = σ(2 n 1 ) σ (b) = (2 n 1)σ(b). Es folgt ( ) σ (b) = 2n 2 n 1 b = b + c mit c = b 2 n 1. Wir begrünen nun b ist eine Primzahl un c = 1, es ist ann begrünet, ass b eine Primzahl er Form b = 2 n 1 ist. Die Zahl c ist als Quotient positiver Zahlen positiv. Da σ(b)un b natürliche Zahlen sin, ist also c als Differenz ieser Zahlen letztlich auch eine natürliche Zahl. Wir multiplizieren nun ( ) mit 2 n 1 un erhalten b = (2 n 1)c, also ist c ein (positiver) Teiler von b. Wegen σ(a) = b + c folgt nun, ass b un c ie einzigen positiven Teiler von b sin. Dies impliziert zweierlei: c = 1 un b ist eine Primzahl. Schließlich folgt b = 2 n 1. Nun betrachten wir erneut ie Zahl a = 2 n 1 b mit n 2 voraus un setzen voraus, ass b = 2 n 1 eine Primzahl ist. Es ist σ(a) = 2 a zu begrünen. Weil b eine Primzahl ist, liegt mit a = 2 n 1 b ie kanonische Primzahlzerlegung vor. Es folgt σ(a) = σ(2 n 1 ) σ (b) = (2 n 1)(1 + b) = (2 n 1) 2 n = 2 2 n 1 (2 n 1) = 2 a. Das war zu zeigen. Wir prüfen einige gerae Zahlen auf Vollkommenheit: n = 2, b= 3 P a = 6 ist vollkommen, n = 3, b= 7 P a = 28 ist vollkommen, n = 4, b= 15 P a ist nicht vollkommen, n = 5, b= 31 P a = 496 ist vollkommen, n = 6, b= 63 P a ist nicht vollkommen, n = 7, b= 127 P a = 8128 ist vollkommen. Kommentar: Es ist bisher nicht bekannt, ob es unenlich viele vollkommene Zahlen gibt. Es ist bisher auch keine ungerae vollkommene Zahl bekannt. Die positiven Teiler natürlicher Zahlen a 1,..., a n sin alle von er Form p ν p mit ν p min{α a1 (p),..., α an (p)}. p P Daraus folgt mit en obigen Funktionen α n : P N 0 : Für natürliche Zahlen a 1..., a n un := ggt(a 1,..., a n ) sowie jees p P gilt α (p) = min{α a1 (p),..., α an (p)}. ist urch jeen gemeinsamen Teiler von a 1,..., a n teilbar. Die gemeinsamen Teiler von a 1,..., a n sin also genau ie Teiler von ggt(a 1,..., a n ). Beispiel Wegen 441000 = 2 3 3 2 5 3 7 3, 102900 = 2 2 3 5 2 7 3, 11760 = 2 4 3 5 7 2 ist ggt(441000, 102900, 11760) = 2 2 3 5 7 2 = 2940. Wir folgern Rechenregeln für en ggt: Für a, b, a 1,..., a n Z, := ggt(a 1,..., a n ) un t Z gilt ggt(t a 1,..., ta n ) = t. a 1,..., a n sin teilerfrem. = ggt(ggt(a 1,..., a n 1 ), a n ). a, b teilerfrem ggt(a, b t) = ggt(a, t). Die Begrünungen sin elementar un einfach. Wir überlassen iese als Übungsaufgabe. Das kleinste gemeinsame Vielfache Rechenregeln Gegeben sin von null verschieene Zahlen a 1,..., a n Z. Gilt a i x für i = 1,..., nun ein x Z, so nennt man x ein gemeinsames Vielfaches von a 1,..., a n

10 Elementare Zahlentheorie Jonglieren mit Zahlen Vertiefung: Mersenne sche un Fermat sche Primzahlen In er Vertiefung auf Seite 9 spielen Primzahlen er Art 2 n 1 eine wichtige Rolle: Eine gerae Zahl kann nur ann vollkommen sein, wenn sie einen Primfaktor er Form 2 n 1 hat. Nicht für jee natürliche Zahl n ist 2 n 1 eine Primzahl, ist sie es jeoch, so nennt man iese Zahl Mersenne sche Primzahl. Ähnlich verhält es sich mit en sogenannten Fermat schen Zahlen, as sin Zahlen er Form 2 n + 1: Eine Fermat sche Zahl ist nicht für jees n N eine Primzahl, ist sie es jeoch, so nennt man sie Fermat sche Primzahl. Fermat sche un Mersenne sche Primzahlen spielen in er Algebra eine wichtige Rolle. Es sin bisher nur sehr wenige solcher Primzahlen bekannt. Die ersten Zahlen er Art m n := 2 n 1 lauten: m 1 = 1, m 2 = 3, m 3 = 7, m 4 = 15, m 5 = 31, m 6 = 63, m 7 = 127, m 8 = 255. Wir stellen fest: Es ist m n nur ann eine Primzahl,. h. eine Mersenne sche Primzahl, wenn n eine Primzahl ist. Das gilt allgemeiner: Eine natürliche Zahl er Art m n = 2 n 1 kann nur ann eine Primzahl sein, wenn n bereits eine Primzahl ist. Begrünung: Ist n zusammengesetzt, gilt also etwa n = abmit a, b N un a>1, b>1, so folgt 2 n 1 = (2 a ) b 1 = (2 a 1)((2 a ) b 1 + +2 a + 1). Also ist auch m n = 2 n 1 zusammengesetzt, insbesonere keine Primzahl. Aber ie Umkehrung ieser Aussage gilt nicht: Die Zahl m n muss keine Primzahl sein, wenn n eine solche ist. Das kleinste Beispiel liefert n = 11: m 11 = 2 11 1 = 2047 = 23 89. Mithilfe von Computern hat man mittlerweile große Mersenne sche Primzahlen gefunen, so ist etwa m 32582657 = 2 32582657 1 eine Mersenne sche Primzahl mit fast zehn Millionen Dezimalstellen. Sie ist ie 44. bekannte Mersenne sche Primzahl un wure 2006 enteckt. Es ist nicht bekannt, ob es unenlich viele Mersenne sche Primzahlen gibt. Wir betrachten nun Fermat sche Zahlen, also Zahlen er Form f n = 2 n + 1. Die ersten Fermat schen Zahlen sin f 1 = 3, f 2 = 5, f 3 = 9, f 4 = 17, f 5 = 33, f 6 = 65, f 7 = 129, f 8 = 257. Es fällt auf, ass f n nur ann eine Primzahl,. h. eine Fermat sche Primzahl, ist, wenn n eine Potenz von 2 ist. Das gilt allgemeiner: Eine natürliche Zahl er Art f n = 2 n + 1 kann nur ann eine Primzahl sein, wenn n eine Potenz von 2 ist, also von er Form 2 r mit r N 0 ist. Begrünung: Wir zerlegen n in ie Form n = 2 r s mit ungeraem s N un r N 0. Es gilt wegen ( 1) s = 1: 1 + 2 n = (1 + 2 2r )(1 2 2r + 2 2 2r +2 (s 1) 2r ). Im Fall s > 1 ist also f n = 2 n + 1 zusammengesetzt, insbesonere keine Primzahl. Die Umkehrung ieser Aussage gilt nicht: Die Zahl f n muss keine Primzahl sein, wenn n eine Zweierpotenz ist. Das kleinste Beispiel liefert r = 5,. h. n = 32: f 32 = 2 32 + 1 = 4294967297 = 641 6700417. Wir begrünen, ass 641 ein Teiler von f 32 ist: Wegen 641 = 5 2 7 + 1 gilt 5 2 7 1 mo641. Potenzieren mit 4 liefert: 5 4 2 28 1 mo641. Wegen 641 = 5 4 + 2 4 gilt aber auch 5 4 2 4 mo641. Wir erhalten also insgesamt: 2 32 = 2 4 2 28 5 4 2 28 1 mo641, also 641 2 32 + 1. Damit ist gezeigt, ass im Fall r = 5 ie Fermat sche Zahl f 32 = 2 25 + 1 keine Primzahl ist. Die Fälle r = 0, 1, 2, 3, 4 liefern ie Fermat schen Primzahlen f 2 0 = 3, f 2 1 = 5, f 2 2 = 17, f 2 3 = 257, f 2 4 = 65537. Bisher sin keine weiteren Fermat schen Primzahlen bekannt. Von vielen Fermat schen Zahlen weiß man, ass sie zusammengesetzt sin, etwa von f 2145451, kennt aber nicht einmal ie Primfaktorisierung. Die Ursache afür, ass man weniger Fermat sche Primzahlen kennt als Mersenne sche, liegt im eutlich schnelleren Wachstum er Folge (2 r ) r N0 gegenüber er Folge (n) n P.

Der Funamentalsatz er Arithmetik 11? Wieso müssen ie Zahlen a 1,...,a n von null verschieen sein? Zwei gemeinsame Vielfache kennt man stets, nämlich a 1 a n un a 1 a n. α v (p) = α (p) + α v (p) = min{α a (p), α b (p)}+max{α a (p), α b (p)} = α a (p) + α b (p) = α a b (p). Daraus folgt ie Behauptung. Die Menge aller positiven gemeinsamen Vielfachen ist also nicht leer. Diese nichtleere Teilmenge er natürlichen Zahlen hat nach em Wohlornungsprinzip ein kleinstes Element v. Dieses kleinste Element v wir as kleinste gemeinsame Vielfache von a 1,..., a n genannt un kurz v = kgv(a 1,..., a n ) geschrieben. Wir können auch as kleinste gemeinsame Vielfache mit Hilfe er Funktionen α n : P N 0 bestimmen. Denn ie gemeinsamen positiven Vielfachen von a 1,..., a n sin genau ie Zahlen p P pν p mit ν p max{α a1 (p),..., α an (p)}. Für natürliche Zahlen a 1,...,a n un v = kgv(a 1,..., a n ) gilt: α v (p) = max{α a1 (p),..., α an (p)}. v teilt jees gemeinsame Vielfache von a 1,..., a n. Die zweite Behauptung folgt aus er ersten. Die gemeinsamen Vielfachen von a 1,..., a n sin also genau ie Vielfachen von kgv(a 1,..., a n ). Beispiel Für 441000 = 2 3 3 2 5 3 7 3, 102900 = 2 2 3 5 2 7 3, 11760 = 2 4 3 5 7 2 ist kgv(441000, 102900, 11760) = 2 4 3 2 5 3 7 3 = 2940. Wir ziehen wieer Rechenregeln als Folgerungen, ie Begrünungen stellen wir wieer als Übungsaufgabe. Rechenregeln für as kgv Für ganze Zahlen a 1,..., a n,tungleich null un v = kgv(a 1,..., a n ) gilt: kgv(t a 1,..., t a n ) = t v. v = kgv(kgv(a 1,..., a n 1 ), a n ). Wir heben eine weitere nützliche Regel explizit hervor: Für ganze Zahlen a, b = 0 gilt ggt(a, b) kgv(a, b) = a b. Beweis: Wir können a, b > 0 voraussetzen. Für := ggt(a, b), v := kgv(a, b) un alle p P gilt: Die Rechenregeln für en ggt un as kgv liefern: Die Bestimmung es ggt un kgv von je enlich vielen Elementen ist auf ie sukzessive Berechnung es ggt un kgv von je zwei Elementen zurückführbar. Beim ggt kann abei jees Mal er eukliische Algorithmus benutzt weren. Damit erhalten wir für en ggt von enlich vielen Zahlen a 1,..., a n Z: Zu je enlich vielen Zahlen a 1,..., a n Z, ie nicht alle null sin, gibt es ganze Zahlen x 1,..., x n mit := ggt(a 1,..., a n ) = x 1 a 1 + +x n a n. Lineare iophantische Gleichungen Wir können nun allgemeinere lineare iophantische Gleichungen lösen: Die lineare iophantische Gleichung ( ) a 1 X 1 + +a n X n = c mit a i,c Z hat genau ann Lösungen in Z n, wenn ggt(a 1,..., a n ) c. Beweis: Es bezeichne en ggt von a 1,..., a n. Wenn (x 1,..., x n ) Z n eine Lösung von ( ) ist, gilt a 1 x 1 + +a n x n = c. Wir setzen nun c voraus. Es hat eine Darstellung er Form ( ) = r 1 a 1 + r n a n mit a i,r i Z. Multiplikation mit c Z liefert r 1 c c = a 1 + +a r m c n mit x i := r i c Z. Beispiel ( ) Für welche c Z besitzt ie Gleichung 1729 X 1 + 2639 X 2 + 3211 X 3 = c eine Lösung (x 1,x 2,x 3 ) Z 3? Un was sin ann ie Lösungen?

12 Elementare Zahlentheorie Jonglieren mit Zahlen Beispiel: Bestimmung von ggt un kgv von mehr als zwei Zahlen Gegeben sin ie Zahlen a := 1729, b := 2639, c := 3211. Man bestimme := ggt(a,b,c), v := kgv(a,b,c) sowie ganze Zahlen x, y, z mit = ax+ by+ cz. Problemanalyse un Strategie: Wir wenen ie erzielten Ergebnisse, insbesonere en eukliischen Algorithmus, an. Lösung: 1. Bestimmung von 0 := ggt(a, b) un ganzer Zahlen r, s mit 0 = ar+ bs sowie v 0 := kgv(a, b) = ab 0 : Wir wenen en eukliischen Algorithmus an: 2639 = 1 1729 + 910 1729 = 1 910 + 819 910 = 1 819 + 91 819 = 8 91. Also ist = 91 er ggt von a un b. Von er vorletzten Gleichung ausgehen, erhalten wir rückwärts eingesetzt: 91 = 910 819 = 1729 + 2 910 = 2 2639 3 1729. Also gilt mit r := 3 un s := 2: 0 = 91 = a r + b s, un v 0 = kgv(a, b) = 2639 1729 91 = 29 1729 = 50141. 2. Bestimmung von = ggt( 0,c) un ganzer Zahlen u, w mit = 0 u + cw. Dies liefert ann ie gewünschte Darstellung für : = (a r + bs)u+ cw= a(ru)+ b(su)+ cw (man setze x = ru, x = suun z = w). Wir wenen en eukliischen Algorithmus an: 3211 = 35 91 + 26 91 = 3 26 + 13 26 = 2 13. Also ist = 13 er ggt von a, b un c. Von er vorletzten Gleichung ausgehen erhalten wir rückwärts eingesetzt: 13 = 91 3 26 = 3 3211 + 106 91. Also gilt mit u := 106 un w := 3: = 13 = 0 u + cw, also mit x = 318, y = 212 un z = 3 eine gewünschte Darstellung: = 13 = ax+ by+ cz. 3. Bestimmung von = ggt(v 0,c) un amit von v = kgv(a,b,c)= kgv(v 0,c)= v 0 c. Wir wenen en eukliischen Algorithmus an: 50141 = 15 3211 + 1976 3211 = 1 1976 + 1235 1976 = 1 1235 + 741 1235 = 1 741 + 494 741 = 1 494 + 247 494 = 2 247. Also ist = ggt(v 0,c)= 247, es folgt Kommentar: v = kgv(v 0,c)= v 0 c 50141 3211 = 247 = 50141 13 = 651833. Es sin a = 7 13 19, b= 7 13 29, c= 13 2 19 ie kanonischen Primfaktorzerlegungen von a, b, c. Aus iesen Zerlegungen erhält man ebenfalls = 13 un v = 7 13 2 19 29. Das klingt einfacher, setzt aber ie Kenntnis er Primfaktorzerlegung voraus, ie man bei großen Zahlen nur schwer bestimmen kann. Nach obigem Beispiel gilt ggt(1729, 2639, 3211) = 13 un 13 = 318 1729 + 212 2639 3 3211. Nach em eben bewiesenen Ergebnis ist ( ) genau ann lösbar, wenn c = 13 k für ein k Z un c = ( 318 k) 1729 + (212 k) 2639 + ( 3 k) 3211. Eine Lösung ist somit ( 318 k, 212 k, 3 k). Nützlich sin ie folgenen Aussagen.

Kongruenzen 13 Sin a 1,..., a n = 0 paarweise teilerfreme ganze Zahlen, ann gilt: kgv(a 1,..., a n ) = a 1 a n. a 1 a n c a 1 c,..., a n c für c Z. Beweis: Wir begrünen ie erste Aussage nach vollstäniger Inuktion nach n. Für n = 2 ist ie Behauptung bereits begrünet. Nun setzen wir voraus, ass ie Aussage für n 1 richtig ist. Wegen er Rechenregeln für as kgv folgt v := kgv(a 1,..., a n ) = kgv( a 1 a n 1,a n ). Mehrfaches Anwenen er Rechenregeln für en ggt zeigt ggt( a 1 a n 1,a n ) = 1, soass schließlich kgv( a 1 a n 1,a n ) = a 1 a n folgt. Die Richtung er zweiten Aussage ist klar. Un umgekehrt folgt aus a 1 c,..., a n c mit em ersten Teil a 1 a n = kgv(a 1,..., a n ) c. hat wegen x a(mo m) m x a x a m Z := {mz z Z} ie Form [a] m = a + m Z := {a + mz z Z}. Man nennt [a] m eine Restklasse moulo m, un es gilt [a] m =[b] m a b(mo m). Die Menge {[a] m a Z} er Restklassen moulo m wir mit Z/mZ (Sprechweise: Z moulo m Z) oer kurz mit Z m bezeichnet. Bekanntlich ist Z m eine Partition von Z,. h.: Z = [a] m. a Z [a] m = [b] m [a] m [b] m =. Diviiert man eine Zahl a Z urch ie gegebene natürliche Zahl m mit Rest a = qm+ r mit 0 r m 1, Kongruenzen Kongruenzen un Restklassen In iesem Abschnitt ist eine natürliche Zahl m gegeben. Zwei ganze Zahlen a, b heißen kongurent moulo m, wenn m a b. Bezeichnung: a b(mo m). a b(mo m) m a b. Die Kongruenz moulo m ist eine Äquivalenzrelation. Beweis: Es sin Reflexivität, Symmetrie un Transitivität er Relation nachzuweisen. Gegeben sin ganze Zahlen a, b, c. Reflexivität: m 0 = a a a a(mo m). Symmetrie: a b(mo m) m (a b) m (a b) = b a b a(mo m). Transitivität: a b(mo m), b c(mo m) m a b, m b c m (a b) + (b c) = a c a c(mo m). Also ist eine Äquivalenzrelation. Die zu a Z gehörige Äquivalenzklasse [a] m ={x Z x a(mo m)} so folgt a r(mo m), also [a] m =[r] m. Folglich gilt Wir erhalten also: Z m ={[0] m, [1] m,...,[m 1] m }. Für jees r {0, 1,..., m 1} ist [r] m = r + m Z ie Menge aller x Z, ie bei er Division urch m en Rest r haben. Es gilt also [r] m = [s] m für verschieene r, s {0, 1..., m 1}, folglich hat Z m genau m Elemente. Die Schreibweise a b(mo m) anstelle von m a b ist auf en ersten Blick nicht bequemer oer kürzer. Aber tatsächlich hat iese Schreibweise, ie Gauß einführte, och einen erheblichen Nutzen. Durch iese Schreibweise ist ie Ähnlichkeit zu Gleichungen un amit auch zu Gleichungssystemen hergestellt. Wir zeigen nun, welche Regeln für iese zu üblichen Gleichungen ähnlichen Kongruenzgleichungen gelten: Für a, b, c,, z Z gilt: Aus a b(mo m) un c (mo m) folgt a ± c b ± (mo m) un ac b(mo m). a b(mo m) az bz(mo mz), falls z 1. a b(mo m) a k b k (mo m) für alle k N.

14 Elementare Zahlentheorie Jonglieren mit Zahlen Beweis: un amit Aus m a b un m c folgt m (a b) ± (c ) = (a ± c) (b ± ), a ± c b ± (mo m). Weiter implizieren m a b un m c un amit m a(c ) + (a b) = ac b, ac b(mo m). Wir begrünen ie zweite Aussage: m a b liefert un somit mz (a b) z = az bz az bz(mo mz). Die ritte Aussage folgt urch wieerholtes Anwenen er ersten Aussage. Wir heben weitere wichtige Regeln hervor: Man kann also nicht beliebig kürzen, es gibt aber eine Regel, ie besagt, wann ies erlaubt ist: Kürzregel Für a, b z Z mit ggt(m, z) = 1 gilt: az bz(mo m) a b(mo m). Beweis: Aus m az bz = (a b) z folgt wegen er Teilerfremheit von m un z m a b. Ist anererseits m a b vorausgesetzt, so schließt man m(a b) z = az bz. Beispiel In 30 90(mo 12) ürfen wir wegen ggt(12, 5) ie Zahl 5 kürzen: 6 18(mo 12). Für a, b Z un m 1,..., m t N sowie v := kgv(m 1,..., m t ) gilt: a b(mo v) a b(mo m i ) für i = 1,..., t un, wenn m 1,..., m t paarweise teilerfrem sin, a b(mo(m 1 m t )) a b(mo m i ) für i = 1,..., t. Beweis: Die Richtung in er ersten Aussage ist klar, weil aus m i v un v a b auch m i a b folgt. Für beachte man: m i a b für alle i impliziert v a b. Die zweite Aussage folgt aus er ersten. Weil für jees c Z ie Kongruenzgleichung c c(mo m) gilt, arf man nach obigen Rechenregeln Kongurenzgleichungen stets urchmultiplizieren: Für jees c Z gilt a b(mo m) ac bcmo m Aber Kürzen, so wie as von en ganzen Zahlen her vertraut ist, arf man nicht: Beispiel Es gilt etwa 12 30 6,. h. 30 6(mo 12), ie Zahl 6 kann man aber nicht kürzen, es gilt nämlich 5 1(mo 12). Die Restklassen bilen einen Ring Wir efinieren nun in Z m = {[0] m,..., [m 1] m } eine Aition + un eine Multiplikation : Für a, b Z setzen wir [a] m +[b] m := [a + b] m, [a] m [b] m := [ab] m. Wir führen also ie Aition von Restklassen auf ie Aition von ganzen Zahlen zurück: Wir aieren ie Vertreter er Restklassen un bilen ann ie Restklasse. Analog mit er Multiplikation. Diese Verknüpfungen sin wohlefiniert,. h., ie rechten Seiten sin unabhängig von er Wahl er Vertreter a, b: Aus. h. folgt: un somit [a] m =[a ] m, [b] m =[b ] m, a a (mo m), b b (mo m), a + b a + b (mo m), a b a b (mo m) [a + b] m =[a + b ] m, [ab] m =[a b ] m. In anerer Symbolik besagt ies: (a + m Z) + (b + m Z) = (a + b) + m Z, (a + m Z) (b + m Z) = (a b) + m Z. Der Fall m = 1 wir wegen Z 1 ={[0] m } im Folgenen nicht betrachtet.

Kongruenzen 15 Der Restklassenring moulo m Im Fall m 2 ist Z m = (Z m, +, ) ein kommutativer Ring mit Nullelement [0] m un Einselement [1] m. Man nennt Z m = (Z m, +, ) en Restklassenring moulo m. Beweis: Wir begrünen beispielhaft ie Kommutativität von Aition un Multiplikation, ie Existenz eines Einselements un ie Assoziativität er Aition, alle aneren Nachweise gehen analog. Vereinfachen schreiben wir [x] statt [x] m. Gegeben sin Zahlen a, b, c Z. In Z m gilt ie Kommutativität er Aition: [a]+[b] =[a + b] =[b + a] =[b]+[a], ie Kommutativität er Multiplikation: [a] [b] =[ab]=[ba]=[b] [a], ie Assoziativität er Aition: ([a]+[b]) +[c] =[a + b]+[c] =[a + b + c] =[a]+[b + c] =[a]+([b]+[c]), un es existiert ein Einelement: [1] [a] =[1 a] =[a]. Achtung: Wenn m zusammengesetzt ist, etwa m = ab mit 1 <a,b<m, ist Z m nicht nullteilerfrei: Es gilt [a] m = [0] m, [b] m = [0] m, aber [a] m [b] m =[m] m =[0] m. Also kann as Proukt von Nichtnullelementen urchaus as Nullelement ergeben. Das ist in Z, Q, R, C nicht möglich. Beispiel n = 2: Z 2 ={[0] 2, [1] 2 } mit [0] 2 = 0 + 2 Z (Menge er geraen Zahlen), [1] 2 = 1 + 2 Z (Menge er ungeraen Zahlen) n = 7: Es gilt 5 0 = 1 1(mo 7), 5 1 5(mo 7), 5 2 4(mo 7), 5 3 5 4 6(mo 7), 5 4 5 6 2(mo 7), 5 5 5 2 3(mo 7), 5 6 5 3 1(mo 7),... Somit gilt Z 7 ={[0] 7, [1] 7, [5] 7, [5] 2 7, [5]3 7, [5]4 7, [5]5 7 }. Aber natürlich gilt auch Z 7 ={[0] 7, [1] 7, [ 1] 7, [2] 7, [ 2] 7, [3] 7, [ 3] 7 } ={[0] 7, [1] 7, [2] 7, [3] 7, [4] 7, [5] 7, [6] 7 }. Aition un Multiplikation in Restklassenringen lassen sich urch Tafeln arstellen Weil jeer Restklassenring Z m nur enlich viele, nämlich m Elemente hat, können wir ie Multiplikation wie auch ie Aition urch eine Verknüpfungstafel ausführlich arstellen. Beispiel Wir schreiben vorübergehen übersichtlicher a anstelle von [a] m. So erhalten wir für m = 5: Z 5 ={0, 1, 2, 3, 4}, un amit als Verknüpfungstafeln: + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 un Lineare Kongruenzen lassen sich mit Restklassen formulieren Die lineare Kongruenz ( ) ax b(mo m) 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 2 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 mit gegebenen a, b Z un m N, m 2 hat genau ann eine Lösung in Z (. h. ie Gleichung ( ) [a] m X =[b] m ist genau ann in Z m lösbar), wenn := ggt(a, m) b. Wenn v eine Lösung von ( ) ist, ist [v] m = v + m Z ie Menge aller Lösungen von ( ). Es hat ( ) in Z m genau ie verschieenen Lösungen [v] m, [v + m ] m, [v +1 m ] m,..., [v +( 1) m ] m.

16 Elementare Zahlentheorie Jonglieren mit Zahlen Beweis: : Wenn ( ) eine Lösung v hat, existiert ein t Z mit av b = tm. Es folgt av tm= b. : Es gelte b. Nach em eukliischen Algorithmus existieren r, s Z mit = ra+ sm. Multiplikation mit b Z liefert b = rb a + sb m, soass m rb a b,.h. für v := rb. Für beliebige i Z folgt a(v+ i m m. h. v + i löst ( ). av b(mo m) ) av+ ia }{{} Z Ist anererseits w Lösung von, so folgt: m b(mo m), av aw(mo m) m a(v w) m a (v w) m v w w = v + i m [v] m. Der Lösungsweg ist im Beweis beschrieben es wir er eukliische Algorithmus benutzt. Beispiel Wir prüfen ie Lösbarkeit von ( ) 122 X 6(mo 74) un bestimmen gegebenenfalls ie Lösungen. Wie wir bereits nachgewiesen haben, gilt ggt(122, 74) = 2, un 2 = 17 122 + ( 28) 74. Wegen 2 6 ist ( ) also lösbar un (Multiplikation mit 3 = 6 2 ) liefert: 6 = 51 122 84 74, soass 51 122 6(mo 74). Die Lösungen von ( ) sin ie Zahlen 51 + 37 i mit i Z. Die kleinste positive Lösung ist 14. Der chinesische Restsatz Chinesischer Restsatz (Sun Tsu, 1. Jh. nach Chr.) Gegeben sin t paarweise teilerfreme natürliche Zahlen m 1,..., m t 2 sowie beliebige ganze Zahlen a 1,..., a t. Dann besitzt as Kongruenzensystem X a 1 (mo m 1 ) X a 2 (mo m 2 ). X a t (mo m t ) eine Lösung v Z; un v + (m 1 m t ) Z ist ie Menge aller Lösungen von ( ). Beweis: Für jees i = 1,..., t ist N i := m 1 m t m i zu m i teilerfrem. Daher existieren mit em eukliischen Algorithmus x i,y i Z mit Es folgt un ( ) x i N i + y i m i = 1. ( ) x i N i 1(mo m i )(i= 1,..., t) x j N j 0(mo m i ) falls i = j. Für jees i {1,..., t} multipliziere man ( ) mit a i un ie Kongruenzen ( ) für jees j = i mit a j. Man erhält: für i = 1,..., t. a i x i N i a i (mo m i ) a j x j N j 0(mo m i ), falls j = i Für ie Zahl v := a 1 x 1 N 1 + +a t x t N t un jees i erhält man urch Aition ieser letzten Kongruenzen für i = 1,..., t. Für jees k Z folgt für i = 1,..., t. v a i (mo m i ) v + km 1 m t a i (mo m i ) Gilt anererseits auch w a i (mo m i ) für alle i, so folgt w v(mo m i ) für alle i un aher wegen er Teilerfremheit er m 1,..., m t w v(mo m 1 m t ), So wie wir zuerst Gleichungen un ann Gleichungssysteme lösten, so wenen wir uns nun nach en Kongruenzgleichungen en Kongruenzsystemen zu. soass w v = km 1 m t

Der chinesische Restsatz 17 für ein k Z, soass w v + m 1 m t ) Z. Wir bestimmen zuerst ie N i : Es gilt N 1 = 3 5 7 3 = 35, N 2 = 3 5 7 3 = 21, N 3 = 3 5 7 7 = 15. Nun bestimmen wir ie x i aus en Kongruenzen: Im Beweis ist er Lösungsweg beschrieben. Beispiel Sun Tsu stellte ie Aufgabe: Wir haben eine gewisse Anzahl von Dingen, wissen aber nicht genau, wie viele. Wenn wir sie zu je rei zählen, bleiben zwei übrig. Wenn wir sie zu je fünf zählen, bleiben rei übrig. Wenn wir sie zu sieben zählen, bleiben zwei übrig. Wie viele Dinge sin es? Offenbar läuft iese Aufgabenstellung auf as Kongruenzensystem X 2(mo 3) X 3(mo 5) X 2(mo 7) hinaus. Wir lösen ieses System. 35 x 1 1(mo 3) 21 x 2 1(mo 5) 15 x 3 1(mo 7) Wir können hier offenbar x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1 wählen. (Sollten ie Lösungen ieser Kongruenzen nicht so offensichtlich sein, so kann man jee solche Kongruenz mit em auf Seite 4 beschriebenen Verfahren lösen.) Die a i sin aus er Aufgabenstellung bekannt: a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 2. Damit erhalten wir ie Lösung v = 2 35 + 3 21 + 2 15 = 23. Aber ie Lösung ist nicht eineutig bestimmt. Die Lösungsmenge ist 23 + 3 5 7 Z. Antworten er Selbstfragen S. 7 S. 11 Weil ie Null nicht als Teiler infrage kommt.