Klausur 2003 Physik I (Mechanik)

Institut für Experientelle Kernphysik WS 2003/04 Klausur 2003 Physik I (Mechanik) 29.01.2004 Prof. W. de Boer, Dr. G. Barker, Dr. W. Wagner Benötigte Konstanten: g = 10/s 2 G = 7 10 11 3 kg 1 s 2 Sie dürfen die Näherung π 2 10 verwenden. Nr. ögl. erreicht 1 8 2 6 3 6 4 8 5 8 6 8 7 8 8 6 9 6 10 10 Gesat 74

2 1. Wagen zwischen zwei Pufferfedern (8 Punkte) d d M x x=0 Ein Wagen bewege sich reibungsfrei auf Gleisen zwischen zwei Pufferfedern hin und her. Beide Federn haben eine Federkonstante D = 72 N 1. M sei der Schwerpunkt des Wagens. Zu Zeitpunkt t = 0 s durchlaufe M die Position x = 0 nach rechts it der Geschwindigkeit v 0 = 0.36 s 1 und treffe nach der Strecke d = 18 c auf die rechte Feder. Die Masse des Wagens betrage 2 kg. Die Massen der Federn werden vernachlässigt. (a) Wie lange berührt der Wagen die rechte Feder? (3 Punkte) (b) U welche Strecke s wird die Feder zusaengedrückt? () (c) An welchen Stellen x hat die Beschleunigung den größten Betrag? Geben Sie den Betrag der axialen Beschleunigung an! (3 Punkte) Lösung zu Aufgabe 1 Ist eine Abituraufgabe zur Einstiung. (a) Eine halbe Schwingungsperiode: t = T/2 Bewegungsgleichung: ẍ + Dx = 0 ω 2 = D/ ω = 2π T T = 2π D 2kg T = 2π = 2π 1 kg N 1 6 kgs 2 1 t = π 6 s = 0.52s (b) Lösungsweg 1: über die Energie Berechne die axiale Aplitude i Ukehrpunkt, wenn W kin = 0. W Feder = 1 2 D s2 W kin = 1 2 v2 0 (kinetische Energie zu Zeitpunkt des Auftreffens auf die Feder) W Feder = W kin D s 2 = v0 2 s = v 0 D = 0.36s 1 1 6 s s = 0.06 = 6c Lösungsweg 2: über die Lösung der Bewegungsgleichung x(t) = d + s sin (ωt + φ) (für die Teilbewegung an der rechten Feder) ẋ(t) = ω s cos (ωt + φ) für t = t d : v 0 = ω s s = v 0 T 2π = v 0 D

Nae: 3 (c) ẍ 0 nur während Schwingung an den Federn. Grösste Beschleuningung (betragsässig) in den zwei Ukehrpunkten. x(t) = d + s sin (ωt + φ) x 1 = d + s x 2 = d s ẍ(t) = s ω 2 sin (ωt + φ) ẍ ax = s ω 2 = v 0 D ẍ ax = 0.36 s 1 72 N 1 Alternativ: ẍ ax = a ax = Fax D = v D 0 2 kg = 0.36 s 1 6 s 1 = 2.16 s 2 = D s... 2. Rotor auf de Jahrarkt (6 Punkte) ω Mit welcher Frequenz f uss sich ein zylinderföriger Rotor von d = 4.5 Durchesser indestens drehen, dait Menschen an seiner Innenwand haften bleiben, wenn der Boden unter ihren Füßen weggezogen wird? Die Reibungszahl zwischen der Wand des Rotors und de Rücken eines Menschen betrage µ = 0.1. Lösung zu Aufgabe 2 Die Zentrifugalkraft drückt den Menschen gegen die Wand. F z wirkt als Noralkraft. Die Reibungkraft kopensiert die Gewichtskraft des Menschen. F g = g F R = F N µ r = µ r F z = µ r ω 2 r F g = F R g = µ r ω 2 d ( ) 2 r = d 2 it ω = 2 π f: f 2 = 10 s f = 2 0.1 2 10 4.5 = g µ r 2 π 2 d 1 0.9 Hz = 1.05 Hz

4 3. Gravitation Marsission (6 Punkte) Wir schreiben das Jahr 2020. Die erste beannte Marssonde befindet sich i Landeanflug. Aufgrund eines Missverständnisses landet die Besatzung nicht auf de Mars selbst, sondern auf de Marsond Deios. Die Gravitation auf Deios ist zielich schwach, denn die Masse beträgt nur 2 10 14 kg bei eine Durchesser von d = 13 k. Mit den Worten Dies ist ein großer Schritt für die Menschheit... springt der erste Astronaut aus de Rauschiff. Zu seiner großen Überraschung landet er nicht auf de Boden, sondern beginnt eine Urundung des Marsondes. (a) Wie lange dauert es, bis der Astronaut den Mond Deios urundet hat und zu Rauschiff zurückkehrt? Nehen Sie an, dass sich der Astronaut auf einer Kreisbahn wenige Meter über der Mondoberfläche bewegt und Deios kugelförig ist. Bei Absprung habe er lediglich eine Horizontalgeschwindigkeit (4 Punkte). (b) Welche Horizontalgeschwindigkeit hatte der Astronaut? Geben Sie das Ergebnis in k/h an! () Lösung zu Aufgabe 3 (a) Kreisbahn: ω 2 R = G M R 2 it R = d 2 ω = 2 π T : 4 π 2 R 3 = G M T 2 R T = 2 π 3 G M (6.5 10 T = 2 π 3 ) 3 3 7 10 11 2 1014 3 kg 1 s 2 kg = 2 π 103 T = 7.73 h 6.5 3 14 s = 27.8 103 s (b) v = ω R = 2 π R T = π d T = π 13 k 7.7 h = 5.3 k h

Nae: 5 4. Gravitation Potential einer Kreisplatte (8 Punkte) Betrachten Sie eine Kreisplatte it Masse und Radius R. Die Dicke der Platte sei vernachlässigbar (d << R), siehe Skizze. (a) Leiten Sie her, dass das Gravitationspotential Φ(a) für einen Ort P auf der zur Platte senkrecht stehenden Mittelpunktsachse i Abstand a von der Platte Φ(a) = G 2 R 2 [ ] R 2 + a 2 a beträgt. Integrieren Sie dazu über den Beitrag dφ eines Flächeneleentes df der Platte (6 Punkte). (b) Skizzieren Sie das Potential (). Lösung zu Aufgabe 4 π R 2 (a) Flächenassendichte: σ = Uschreiben des Differentials: dφ = G d s = G σ s da = G 1 π R 2 2 π r dr r 2 +a R [ 2 Φ(a) = G 2 r r ] R R 2 dr = G 2 r 0 2 +a 2 R 2 + a 2 2 0 [ R ] Φ(a) = G 2 R 2 + a 2 a 2 (b) Negativer Wert bei a = 0 und Φ(a ) 0 3 Punkte 3 Punkte

6 Potential Φ (a) Φ 0 0 - G 2 R -6 0 1000 a 5. Drehipuls Saloontür (8 Punkte) Ein überütiger Cowboy öchte sich eine Saloontür it eine Revolverschuß öffnen. Die Schwingtür (Masse M, Breite b) werde ganz a Rand, d.h. i Abstand b vo Scharnier, getroffen und die Kugel (Masse, Geschwindigkeit v) bleibe stecken. (a) Leiten Sie einen Ausdruck für das Trägheitsoent der Tür bezüglich der Drehachse her (3 Punkte). (b) Leiten Sie einen Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit ω her, it der die Tür unittelbar nach de Einschlag aufschwingt (3 Punkte). (c) U wieviel Grad öffnet sich die Tür axial bei einer Winkelrichtgröße D der Scharnierfeder? () Zahlenwerte: M = 10 kg, b = 0.6, = 10 g, v = 500 /s, D = 1.2 N Lösung zur Aufgabe 5: (a) Trägheitsoent der Saloontür (Dicke << Höhe, Breite) 3 Punkte

Nae: 7 θ T = r 2 d = b 0 r 2 h d ρdr = dhρb3 3 = Mb2 3 (b) Drehipuls der Revolverkugel u das Scharnier, L K = r p, L K = v b Nach de Einschlag der Kugel schwingt die Tür it der Winkelgeschwindigkeit ω auf. Das Trägheitsoent der Kugel u das Scharnier θ K = b 2 kann gegenüber de Trägeheitsoent der Saloontür vernachlässigt werden. Es gilt also für das Gesatsyste Drehtür-Kugel nach de Einschlag θ T +K θ T. Das Drehoent des Systes ist daher in guter Näherung L T +K = θ T ω. Drehipulserhaltung: L T +K = θ T ω = L K = v b ω = L K = v b 3 θ T Mb 2 = 3v Mb (c) Maxiale Öffnung: Energieerhaltung 1 2 θ T ω 2 = 1 2 D φ 2 θt φ ax = ω D = 3v Mb Mb 2 3 3 D = v MD Der axiale Auslenkungswinkel ist unabhängig von b. φ ax = 5kg s 1 3 10 kg1.2 N = 2.5 6. Rollende Zylinder (8 Punkte) 2.5 rad = 2.5 180 π = 143 Ein Hohlzylinder und ein Vollzylinder it jeweils gleicher Masse und gleiche Radius R = 0.1 rollen it gleicher Anfangswinkelgeschwindigkeit ω 0 = 15 s 1 auf einer horizontalen Ebene und danach eine schiefe Ebene hinauf. Die Wandstärke des Hohlzyliners sei vernachlässigbar gegenüber des Radius. (a) Berechnen Sie die Forel für das Trägheitsoent des Hohlzylinders und des Vollzylinders (4 Punkte). (b) Bei welchen Höhen (auch Zahlenwerte berechnen) kehren die Zylinder jeweils u? Reibungsverluste werden vernachlässigt (4 Punkte). Lösungen zu Aufgabe 6 (a) Hohlzylinder: dθ = R 2 d Jedes Masseeleent hat das gleiche Trägheitsoent. Θ = R 2 d = R 2

8 Vollzylinder: dθ = r 2 d = σ r 2 da = r 2 r dφ dr π R 2 2π R Θ = r 3 dφ dr = [ 1 π R 2 π R 2 4 r4] R 0 = R2 2 0 0 (b) Energieansatz: W kin = 1 2 v2 0 + 1 2 Θ ω2 0 = g h Θ = k R 2 k = 1 für Hohlzylinder k = 1 2 für Vollzylinder 1 2 ω2 0 R2 + 1 2 k ω2 0 R2 = g h h = 1 2 g ω2 0 R2 (1 + k) Hohlzylinder: h H = R2 ω 2 0 g = (1.5 s 1 ) 2 10 s 2 = 22.5 c Vollzylinder: h V = 3 R2 ω 2 0 4 g = 0.75 22.5 c = 16.9 c 7. Schwerpunkt und Trägheitsoent eines Kreissektors (8 Punkte) (a) (5 Punkte) Abbildung 1 zeigt eine Scheibe (die Dicke der Scheibe werde vernachässigt) in For eines Kreissektors it Radius R, Masse M und Öffnungswinkel 2α. Zeigen Sie, dass der Massenschwerpunkt (Punkt C in Abb. 1) auf der Mittelachse liegt und den Abstand d = 2R sin α 3α vo Kreisittelpunkt (Punkt O in Abb. 1) hat. R o 2α d c Abbildung 1: (b) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass das Trägheitsoent des Kreissektors aus Aufgabe (a) bezüglich der Achse durch O senkrecht zur Kreisebene gegeben ist durch: I = MR2 2. Lösung: (a) (5 Punkte) Dichte ρ = M αr 2 Masse eines Eleentes = ρ Fläche = ρ 1 2 rdθr = M αr 2 1 2 r2 dθ = Mdθ 2α Das Eleent ist ein Dreieck und hat soit einen Schwerpunkt, der 2 3r vo Ursprung O

Nae: 9 R o α θ c x dθ entfernt ist. x-koordinaten des Schwerpunktes x = 2 3r cos θ. Wende nun C = 1 M x-achse liegen. i M i r i an (aus Syetriegründen uss C entlang der +α +α C = 1 M M α 2α dθ 2 3 r cos θ = r 3α C = r 2r sin α [sin θ]+α α = 3α 3α α cos θdθ (b) (3 Punkte) Dichte ρ = M πa 2 Fläche eines Eleentes = 2πRdR ( ) M Masse eines Eleentes = πa 2 2πRdR Das Trägheitsoent eines Eleentes = 2MRdR R 2 a 2 I = [ ] a 2M 0 R 3 dr = 2M R 4 a a 2 a 2 4 = Ma2 0 2.

10 8. Schrei des Mauerseglers (6 Punkte) Ein Biologe, ein Musiker und ein Physiker gehen in der Nähe der Falkensteinfelsen bei Bad Herrenalb spazieren. Dicht über ihren Köpfen fliegt ein Mauersegler vorbei. Der Musiker stellt fest, dass das Intervall des Tones bei Annäherung und Entfernung eine kleine Terz war (kleine Terz: Frequenzverhältnis f A /f E = 6/5). Der Biologe beerkt, dass Mauersegler it einer Geschwindigkeit von ehr als 100 k/h fliegen können. Kann der Physiker dies aufgrund der soeben geachten Beobachtung bestätigen? Die Schallgeschwindigkeit in Luft betrage 340 s 1. Lösung zu Aufgabe 8: Der Mauersegler sende einen Ton der Frequenz ( f 0 aus. ) Doppler-Effekt bei Annäherung: f A = f 0 1 v 1 c ( ) Doppler-Effekt bei Entfernung: f E = f 0 1 + v 1 c it: c: Schallgeschwindigkeit in Luft v: Geschwindigkeit des Vogels f A : f E = 6 : 5 f A f E = 1+ v c 1 v = 6 5 5 + 5 v c = 6 6 v c v c = 1 11 c v = c 11 = 30.9 s 1 = 111 k/h 9. Spezielle Relativitätstheorie Myonspeicherring (6 Punkte) Es wurde vorgeschlagen, Kollisionen von Myonen ( µ = 105 MeV) zu untersuchen, inde diese in eine Speicherring it Radius r = 2 k auf eine kinetische Energie von 2 TeV beschleunigt werden. Ein Student führt aus, dass Myonen eine Lebensdauer von τ µ = 2 10 6 s hätten und sie daher nur eine axiale Entfernung von nur cτ µ = 3 10 8 /s 2 10 6 s = 600 zurücklegen könnten, d.h. sie könnten nicht einal eine einzige Udrehung i Speicherring vollenden! Hat der Student recht? Berechnen Sie die Anzahl der Udrehungen, die die Myonen i Speicherring tatsächlich vollführen, inde Sie die Zeitdilation berücksichtigen, bevor Sie die zurückgelegte Wegstrecke der Myonen berechnen. Lösung zu Aufgabe 9: γ = E kin + 0 c 2 0 c 2 E = γ 0 c 2 = E kin + 0 c 2 = 2000.105 GeV 0.105 GeV = 19048.6 Der Ufang des Speicherrings ist C = 2πr. Die Anzahl der Udrehungen n bei Berücksichtigung der Zeitdilation ist: n = cγτ µ 2πr = 3γ 20π = 909.5 Soit hat sich der Student zielich getäuscht!

Nae: 11 10. Anlanden eines Segelschiffs (10 Punkte) Nach eine anstregenden Seester erholen sich zwei Karlsruher Studierende in der Karibik. Mit ihrer Jolle wollen sie sanft a Strand einer einsaen Insel landen. Zu diese Zwecke holen die beiden zu Zeitpunkt t = 0 ihre Segel ein. Die Jolle wird danach durch die Reibungskraft F R des Wassers abgebrest. F R ist proportional zur Geschwindigkeit: F R = b ẋ. Die Anfangsgeschwindigkeit der Jolle sei ẋ(t = 0) = v 0. Zu Zeitpunkt t 1 der Landung a Strand betrage die Geschwindigkeit nur noch ẋ(t = t 1 ) = v 1, v 1 < v 0. Die Masse der Jolle sei. In welcher Entfernung d = x(t = 0) x(t 1 ) vo Strand üssen die beiden Studierenden ihr Segel einholen? Arbeiten Sie zur Beantwortung dieser Frage die folgenden Punkte ab: (a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Jolle auf, welche als Massepunkt betrachtet wird, und berechnen Sie die allgeeine Lösung x(t) der Bewegungsgleichung (4 Punkte). (b) Bestien Sie it Hilfe der Anfangs- bzw. Nebenbedingungen x(t) in Abhängigkeit der Paraeter v 0, v 1, und b (3 Punkte). (c) Berechnen Sie d für folgende Wahl der Paraeter: v 0 = 12.5 s 1, v 1 = 0.5 s 1, = 200 kg und b = 8 kgs 1 (3 Punkte). Lösung zu Aufgabe 10 (a) ẍ = b ẋ ẍ = b ẋ = 0 Ist eine hoogene Dgl. it konstanten Koeffizienten, also Ansatz: x(t) = e λ t λ 2 + b λ = 0 λ = b Allgeeine Lösung it zwei Integrationskonstanten: x(t) = C 1 e b t + C 0

12 (b) Wir wählen den Nullpunkt des Koordinatensystes bei x(t = 0), also x(t = 0) = 0. Ausserde: ẋ(t = 0) = v 0 x(t = 0) = C 1 + C 0 C 0 = C 1 ( ẋ(t = 0) = C 1 b x(t) = v 0 b e b t + v 0 b ) = v0 C 1 = v 0 b (c) x(t 1 ) = v 0 b e b t 1 + v 0 b ẋ(t 1 ) = v 0 e b t 1 = v 1 e b t 1 = v 1 v 0 x(t 1 ) = v 1 b + v 0 b = (v 0 + v 1 ) b d = x(t 1 ) = ( 12.5 0.5 )s 1 200 kg 8 = 300 8 kgs 1 = 2400