Finite Elemente I 2. 1 Variationstheorie

Finite Elemente I 2 1 Variationstheorie 1 Variationstheorie TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 3 1.1 Bilinearformen Definition 1.1 Sei V ein reeller normierter Vektorraum. Eine Bilinearform ist eine Abbildung a : V V R, welche linear in beiden Argumenten ist. Die Bilinearform a heißt stetig, falls es eine Konstante C gibt mit a(u, v) C u v u, v V. Die Bilinearform a heißt symmetrisch, falls a(u, v) = a(v, u) u, v V. Die Bilinearform a heißt koerziv, falls es eine Konstante α > 0 gibt mit a(u, u) α u 2 u V. 1.1 Bilinearformen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 4 Bemerkungen 1.2 (a) Im Falle eines komplexen Vektorraumes fordert man Antilinearität im zweiten Argument und spricht dann von einer Sesquilinearform. Anstelle der Symmetrie fordert man hier a(u, v) = a(v, u) und spricht von einer Hermiteschen Sesquilinearform. (b) Eine koerzive symmetrische (Hermitesche) Bilinearform (Sesquilinearform) definiert ein Innenprodukt auf dem reellen (komplexen) Vektorraum V. Oft wird es das zur Bilinearform a(, ) gehörende Energie- Innenprodukt genannt. (c) Die Eigenschaft der Stetigkeit zieht die Stetigkeit in beiden Argumenten nach sich. 1.1 Bilinearformen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 5 Satz 1.3 Sei a : H H R eine stetige, symmetrische und koerzive Bilinearform auf dem Hilbert-Raum H sowie l : H R eine stetige Linearform. Dann gilt (a) Die Minimierungsaufgabe Minimiere J(u) := 1 2a(u, u) l(u) unter allen u H (1.1) besitzt eine eindeutige Lösung. (b) Die Minimierungsaufgabe (1.1) ist äquivalent zur Variationsaufgabe Bestimme u H sodass a(u, v) = l(v) v H. (1.2) 1.1 Bilinearformen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 6 1.2 Die Dirichletsche Randwertaufgabe für die Poisson- Gleichung 1.2.1 Die Poissongleichung Viele physikalische Größen erfüllen eine elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form (k u) = f, u : R (1.3) wobei k : R eine positive Koeffizientenfunktion, f : R einen sog. Quellterm darstellt und das Definitionsgebiet R d, d = 2, 3, als beschränkt, offen und zusammenhängend angenommen wird. Der Koeffizient k kann skalar oder auch ein positiv-definiter Tensor (d d Matrix) sein und beschreibt meist Materialeigenschaften. Die typische Problemstellung besteht darin, u zu gegebenen f und k zu bestimmen. (Hinzu kommen noch Randbedingungen auf.) 1.2 Die Dirichletsche Randwertaufgabe für die Poisson-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 7 Folgende Tabelle stellt einige physikalische Größen zusammen, welche der Gleichung (1.3) genügen: Anwendung u k f Elektrostatik elektr. Potential Permittivität Ladungsdichte Magnetostatik magn. Potential Permeablilität Ladungsdichte Wärmetransport Temperatur Leitfähigkeit Wärmequelle Grundwasserströmung Spiegelhöhe hydraul. Leitf. GW-Neubildung elastische Membran Auslenkung M.-spannung Last ideales Fluid Geschw.-Potential Dichte Zu/Abfluss Gravitation Grav.-Potential 1/Grav.-Konst. Massendichte Bemerkung 1.4 Oft ist u nur eine Hilfsgröße und der Flussvektor u die wirklich interessierende Größe. Letzterer wird oft durch (numerische) Differentiation der (numerisch berechneten) Lösung u gewonnen, ein instabiler Vorgang. Sog. gemischte FE-Formlierungen gestatten die direkte numerische Berechnung des Flusses. 1.2 Die Dirichletsche Randwertaufgabe für die Poisson-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 8 Ist k konstant in (1.3), so kann dies in f zusammengefasst werden und es ergibt sich die Poissongleichung u(x) = f(x), x. (1.4a) Den Gebietsrand Γ := zerlegen wir in Γ D und Γ N, Γ = Γ D Γ N, Γ D Γ N = und stellen die Randbedingungen u(x) = g(x) x Γ D, kurz: u ΓD = g, (1.4b) u n (x) = h(x) x Γ N, kurz: n u ΓN = h (1.4c) mit zwei gegebenen, auf Γ D bzw. Γ N definierten Funktionen g und h. Das Randwertproblem (1.4) besitzt unter geeigneten Voraussetzungen an das Gebiet und die Daten f, g, h eine eindeutig bestimmte klassische (d.h. in zweimal stetig differenzierbare) Lösung. 1.2 Die Dirichletsche Randwertaufgabe für die Poisson-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 9 Im einfachsten Fall Γ = Γ D erhalten wir die sog. Dirichletsche Randwertaufgabe (RWA) für die Poisson-Gleichung u = f auf, (1.5a) u = g auf Γ =. (1.5b) Neben (1.5) betrachten wir die sog. verallgemeinerte Randwertaufgabe Bestimme u C 2 () mit u = g längs Γ und u v dx = fv dx v C 0 (). (1.6) Schließlich betrachten wir noch die Minimierungsaufgabe Minimiere unter allen Funktionen u C 2 () mit u = g längs Γ, das Funktional J(u) := 1 2 u 2 dx fu dx. (1.7) 1.2 Die Dirichletsche Randwertaufgabe für die Poisson-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 10 Satz 1.5 Seien g C(Γ) sowie f C() gegebene Funktionen. Sei ferner u C 2 (). Dann gilt (a) Löst u die Minimierungsaufgabe (1.7), so löst u auch die Randwertaufgabe (1.5). (b) Die Funktion u ist genau dann Lösung der RWA (1.5), wenn u Lösung der verallgemeinerten RWA (1.6) ist. Bemerkung 1.6 Nach Satz 1.5 löst jede hinreichend glatte Lösung der Variationsaufgaben (1.6) oder (1.7) auch die RWA (1.5). Entscheidend: in vielen Anwendungen tritt der Fall auf, dass keine derart glatte Lösung existiert. 1.2 Die Dirichletsche Randwertaufgabe für die Poisson-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 11 Beispiel: Die Situation entspricht der bei den Minimierungsaufgaben f(x) min x [a, b] (1.8a) und f(x) min x [a, b] Q, (1.8b) wobei < a < b <. Aufgabe (1.8a) besitzt stets Lösungen. Sind diese jedoch allesamt irrationale Zahlen, so besitzt Aufgabe (1.8b) keine Lösung. Auf analoge Weise muss im Fall der Variationsaufgaben i.a. der Funktionenraum geeignet vervollständigt werden. Dies führt hier auf die sog. Sobolev-Räume. Weiteres Programm: (i) Einführung verallgemeinerter Ableitungen, (ii) Definition der Sobolev-Räume, (iii) Beweis der Poincaré-Friedrichs-Ungleichung, (iv) Anwendung von Satz 1.3 mit geeignetem Sobolev-Raum. 1.2 Die Dirichletsche Randwertaufgabe für die Poisson-Gleichung TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 12 1.3 Verallgemeinerte Ableitungen Sei wieder R d, d N offen und nicht leer. Für u C 1 (G) und eine Testfunktion φ C 0 () gilt die partielle Integrationsformel u j φ dx = ( j u)φ dx, 1 j d. Mit anderen Worten: für v := j u gilt die Beziehung u j φ dx = vφ dx φ C0 (). (1.9) Idee: definiere durch (1.9) die partielle Ableitung auch für den Fall, dass u nicht (im klassischen Sinn) nach x j differenzierbar. 1.3 Verallgemeinerte Ableitungen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 13 Definition 1.7 Sei R d, d N, offen und nicht leer. Gilt für zwei Funktionen u, v L 2 () die Beziehung (1.9), so nennen wir v die verallgemeinerte Ableitung von u nach x j und schreiben, wie beim klassischen Ableitungsbegriff, v = j u. Satz 1.8 Besitzt u L 2 () die verallgemeinerte Ableitung v = j u, so ist diese bis auf Funktionswerte auf einer Menge vom Maß Null definiert. Beispiel: Sei u(x) := x, x ( 1, 1). Dann ist 1 falls 1 < x < 0, v(x) := α falls x = 0, 1 falls 0 < x < 1 für beliebige reelle Werte von α die verallgemeinerte Ableitung von u. 1.3 Verallgemeinerte Ableitungen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 14 1.4 Die Sobolev-Räume H 1 () und H 1 0() Definition 1.9 Sei R d, d N, offen und nicht leer. Der Sobolev-Raum H 1 () ist die Menge aller Funktionen u L 2 () mit verallgemeinerten partiellen Ableitungen j u L 2 () j = 1,..., d. Für u, v H 1 () definieren wir sowie u 1 := (u, u) 1/2 1. (u, v) 1 := (uv + u v) dx (1.10) Satz 1.10 Durch (1.10) wird auf dem Sobolev-Raum H 1 () ein Innenprodukt definiert. Mit diesem versehen ist H 1 () ein Hilbert-Raum, sofern man wie bei L 2 () Funktionen identifiziert, welche fast überall übereinstimmen. 1.4 Die Sobolev-Räume H 1 () und H 0 1 () TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 15 Definition 1.11 Sei R d, d N, offen und nicht leer. Mit H 1 0 () bezeichnen wir den Abschluss der Menge C 0 () bezüglich 1. Satz 1.12 H 1 0 ()ist ein reeller Hilbert-Raum. Beispiel 1: Sei < a < b <. Ist u H 1 0 (a, b), so existiert eine eindeutig bestimmte Funktion v C[a, b] mit u(x) = v(x) fast überall in (a, b) sowie v(a) = v(b) = 0. Ferner gilt die Abschätzung v := max a x b (b a)1/2 ( 1/2 b (u (x) dx) 2 (b a) 1/2 u 1. a 1.4 Die Sobolev-Räume H 1 () und H 0 1 () TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 16 Beispiel 2: Sei < a < b < und die Funktion u C[a, b] stückweise stetig differenzierbar. Es bezeichne K die Menge der Punkte, in denen u (im klassischen Sinne) differenzierbar ist sowie w : [a, b] R mit w(x) = { u (x) falls x K, beliebig sonst. Genauer gesagt: wir nehmen an, dass (i) u C[a, b] (ii) Es existieren endlich viele Punkte x j, a = x 0 < x 1 < < x n = b sodass u auf allen Intervallen (x j, x j+1 ) stetig differenzierbar ist und u stetig auf jeweils [x j, x j+1 ] fortgesetzt werden kann. Dann gilt: (a) w ist die verallgemeinerte Ableitung von u. (b) u H 1 (a, b). (c) u H 1 0 (a, b) u(a) = u(b) = 0. 1.4 Die Sobolev-Räume H 1 () und H 0 1 () TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 17 Verallgemeinerte Randwerte Definition 1.13 Sei R d, d N, offen, nicht leer und beschränkt. Bei Funktionen u H 1 0 () sagen wir, sie erfüllen die Randbedingung im verallgemeinerten Sinne. Bemerkungen 1.14 (a) Beachte: C 0 () liegt dicht in H 1 0 (). u = 0 längs (1.11) (b) Für d = 1 gilt (1.11) sogar im klassischen Sinne (vgl. Beispiel 1 nach Satz 1.12). (c) Für d > 1 gilt bei hinreichend glattem Rand Γ = u L2 (Γ) C u 1 u H 1 (). (1.12) 1.4 Die Sobolev-Räume H 1 () und H 0 1 () TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 18 1.5 Die Poincaré-Friedrichs-Ungleichung Satz 1.15 Sei R d, d N, offen, nicht leer und beschränkt. Dann existiert eine Konstante C > 0, sodass die Poincaré-Friedrichs-Ungleichung u(x) 2 dx C u(x) 2 dx u H0 1 () (1.13) erfüllt ist. 1.5 Die Poincaré-Friedrichs-Ungleichung TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 19 1.6 Ein Existenzsatz für das Dirichlet-Problem Wir betrachten nach den vorangehenden Überlegungen die oben bereits formulierten Variationsprobleme (vgl. (1.6) und (1.7)) in ihrer vollen Allgemeinheit: Bestimme u H 1 () mit u g H0 1 () sodass u v dx = fv dx v H 1 0 (). (1.14) Minimiere unter allen Funktionen u H 1 () mit u g H0 1 (), das Funktional J(u) := 1 2 u 2 dx fu dx. (1.15) Dabei betrachten wir nur solche Randfunktionen g, welche ins Innere von zu einer H 1 -Funktion fortgesetzt werden können. 1.6 Ein Existenzsatz für das Dirichlet-Problem TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 20 Satz 1.16 (Dirichlet-Prinzip) Sei R d, d N, offen, nicht leer sowie beschränkt. Seien ferner f L 2 () sowie g H 1 () gegebene Funktionen. Dann gelten (a) Die verallgemeinerte Minimierungsaufgabe (1.15) besitzt eine eindeutige Lösung u H 1 (). (b) Diese ist auch die eindeutige Lösung der verallgemeinerten Randwertaufgabe (1.14). 1.6 Ein Existenzsatz für das Dirichlet-Problem TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 21 1.7 Weitere Existenzsätze Folgender Satz sichert Existenz und Eindeutigkeit der Lösung linearer Variationsaufgaben unter der entscheidenden Annahme der Koerzivität. Satz 1.17 (Lax-Milgram Lemma, 1954) Sei H ein Hilbert-Raum mit Norm H, a : H H R eine Bilinearform auf H sowie l : H R ein lineares Funktional auf H für die es Konstanten C, α > 0 und L gibt mit a(u, v) C u H v H u, v H, ( a ist stetig ) a(v, v) α v 2 H v H, ( a ist koerziv ) l(v) L v H v H, ( l ist stetig ). Dann besitzt das Variationsproblem genau eine Lösung. Bestimme u H sodass a(u, v) = l(v) v H 1.7 Weitere Existenzsätze TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 22 Satz 1.18 (Nečas, 1968; Babuška, 1972) Seien X, Y Banach-Räume und a : X Y R eine Bilinearform mit den drei Eigenschaften (a) a(, ) ist stetig, d.h. es existiert eine Konstante C > 0 sodass (b) Es existiert eine Konstante γ > 0 sodass (c) Es gilt inf 0 x X sup x X a(x, y) C x X y Y (1.16) sup 0 y Y a(x, y) x X y Y γ > 0. (1.17) a(x, y) > 0 0 y Y. (1.18) Dann existiert für jedes l Y eine eindeutige Lösung der Variationsaufgabe Bestimme u X mit a(u, v) = l(v) v Y. (1.19) Die Lösung hängt stetig von l ab, es gilt u X 1 γ l Y. (1.20) 1.7 Weitere Existenzsätze TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007

Finite Elemente I 23 Bemerkung 1.19 Das Lax-Milgram Lemma ist ein Korollar von Satz 1.18 Folgender Zusatz zu Satz 1.18 ist manchmal nützlich: Satz 1.20 Werden in Satz 1.18 lediglich (1.16) und (1.17) vorausgesetzt, so ist die Abbildung A : X {y Y : a(x, y) = 0 x X } Y ein Isomorphismus. Ferner ist (1.16) äquivalent zu Ax Y γ x X x X. 1.7 Weitere Existenzsätze TU Bergakademie Freiberg, SoS 2007