Grundlagen-Vertiefung PW10 Ladungstransport und Leitfähigkeit Version 2007-10-11
Inhaltsverzeichnis 1 1.1 Klassische Theorie des Ladungstransports.................. 1 1.2 Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit in Festkörpern... 1
1 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes 1.1 Klassische Theorie des Ladungstransports Die erste klassische Beschreibung des Ladungstransports in Metallen wurde 1900 von Paul Drude vorgestellt (Drude-Theorie oder Drude-Modell). In einen evakuierten Kondensator eingebrachte Elektronen werden kontinuierlich beschleunigt. In einem Metall sind die positiven Ionenrümpfe örtlich xiert. Die Leitungselektronen können sich frei bewegen. Aufgrund ihrer kleinen Masse bewegen sie sich bei Zimmertemperatur sehr schnell (Boltzmann: 1 2 mv2 = 3 kt ). Sie stoÿen statistisch mit den Kationen und equilibrieren dabei die 2 Energie. Bei einem angelegten Feld wird der statistischen Bewegung eine leichte Vorzugsrichtung aufgeprägt. Dadurch entsteht eine gerichtete Driftgeschwindigkeit, die viel kleiner als die durchschnittliche thermische Geschwindigkeit ist. Die Driftgeschwindigkeit hängt linear vom elektrischen Feld, also der angelegten Spannung ab. Damit wird auch der Nettostrom proportional zur Spannung, was nichts anders als das ohmsches Gesetz darstellt. Die Drude-Theorie stöÿt schnell an ihre Grenzen, man kann z.b. überhaupt keine Aussage darüber treen, ob ein Material ein Leiter, Halbleiter oder ein Isolator ist. Die Theorie wurde 1933 von Arnold Sommerfeld und Hans Bethe um die Ergebnisse der Quantentheorie ergänzt. 1.2 Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit in Festkörpern Die Elektronen können aufgrund der positiven Ionenrümpfe, die das Gitter bilden, nicht völlig ungestört durch den Festkörper wandern. Sie werden auf ihrem Weg durch die Gitterschwingungen, auch Phononen genannt, und durch vorhandene Gitterdeekte behindert. Die Dynamik der Gitterschwingungen, die die Beweglichkeit der Elektronen maÿgeblich beeinusst, ist stark temperaturabhängig. Mit wachsender Temperatur schwingen die Atome stärker um ihre Ruhelage, der Widerstand wächst (siehe Abb. 1). Bei tiefen Temperaturen wird aufgrund der sich ändernden Elektron-Phonon-Wechselwirkung eine Widerstandsänderung beobachtet, die proportional der 5. Potenz der Temperatur ist. Bei sehr tiefen Temperaturen sind die Gitterschwingungen eingefroren, die Elektronen werden nur noch am nicht perfekten Gitteraufbau, also an Störstellen gestreut. Der Widerstand wird temperaturunabhängig. Der spezische elektrische Widerstand ergibt sich nach der Matthiesen-Regel aus dem temperaturunabhängigen spezischen Restwiderstand ρ 0 und einem temperaturabhängigen Teil ρ(t ). Man erkennt, dass der spezische Widerstands bei 0 K, der Restwiderstand, ein indirektes Maÿ für die Qualität im Sinne von Defektfreiheit eines Materials ist. Man kann das Verhältnis zum (nicht mehr defektdominierten) Widerstand bei Raumtemperatur bilden. - 1 -
Abbildung 1: Temperaturabhängigkeit des Widerstandes eines Metalls am Beispiel von Kupfer. Dieses Restwiderstandsverhältnis ist alo ein gutes Reinheitsmaÿ und wird als solches auch oft benutzt (vgl. Sie die Abb. 2). Der spezische elektrische Widerstand von Legierungen ist nur gering von der Temperatur abhängig, weil der Beitrag der Störstellen überwiegt. Man nutzt diesen Eekt z.b. bei Konstantan (siehe Abb. 3). Konstantan ist eine Legierung aus Kupfer und Nikel (mit kleinen Mengen von Mangan und Eisen) und zeichnet sich durch einen über weite Temperaturbereiche annähernd konstanten spezischen elektrischen Widerstand aus. Wegen des kleinen Temperaturkoezienten wird Konstantan für Messwiderstände verwendet. - 2 -
Abbildung 2: Der Einuss der Verunreinigungen auf die elektrische Leitfähigkeit von Metallen. Abbildung 3: Spezischer Widerstand und Temperaturänderung des spezischen Widerstandes von Konstantan als Funktion der Legierungszusammensetzung. - 3 -