Zentrale schritliche Abiturprüungen im Fach Mathematik Augabe : Schibau Au einer Hamburger Wert wird eine Hochgeschwindigkeitsähre als Doppelrumpschi (Katamaran) geplant. Der mittlere Teil des Schisrumpes wird au einer Länge von m im Querschnitt nach der 4 Funktion mit ( ) = 0,,8 hergestellt. Die waagerechte Decklinie liegt in einer Höhe von Einheit über dem Hochpunkt H. a) - Zeigen Sie, dass die Funktion achsensymmetrisch ist. - Ermitteln Sie den senkrechten Abstand der Tiepunkte von der Decklinie. - Berechnen Sie die Länge der Decklinie. - Zeichnen Sie den Graphen von zusammen mit der Decklinie in ein geeignetes Koordinatensystem mit 5 Einheiten in jede -Richtung ein. b) Im Hochpunkt H von soll ür Unterwasserbeobachtungen eine Kamera angebracht werden. Man möchte wissen, wie groß der Blickwinkel der Kamera in Richtung Meeresgrund ist. Hierzu muss man zwei Tangenten durch den Punkt H an den Schisrump legen. Bestimmen Sie die Gleichung einer dieser Tangenten an und den Blickwinkel. Tangente Decklinie H Schisrump grobe Skizze c) Damit das Schi unsinkbar ist, soll der Doppelrump des Schies mit Styropor bis zur Höhe des Punktes H ausgeüllt werden. Berechnen Sie das Volumen an Styropor in den mittleren m des Schies. d) Die Wert plant, einen größeren Katamaran herzustellen. Die Decklinie soll dabei um Einheiten verlängert werden. Die Abstände zwischen der Decklinie und dem Hochpunkt bzw. zwischen der Decklinie und den Tiepunkten soll erhalten bleiben. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung einer der neuen Schisbreite angepassten Funktion g und skizzieren Sie den zugehörigen Graphen in dem bereits erstellte Koordinatensystem. 64
Zentrale schritliche Abiturprüungen im Fach Mathematik Analysis Grundkurs Erwartungshorizont a) Achsensymmetrie bedeutet, dass () = ( ) gilt. Bei geraden Eponenten ist diese Bedingung immer erüllt. Ermittlung der Tiepunkte: Es sind die Lösungen von '( ) = 0 zu suchen. Mit Hile des Ableitungsterms ( ) = 0,8, 6 ergibt sich: 0,8, 6= 0,8 ( ) = 0. 9 Also hat der Graph an den Stellen = 0 und =, und =, waagerechte Tangenten. Da diese ganzrationale Funktionen 4. Grades einen positivem Leitkoeizienten hat und demnach nach oben geönet ist, liegt bei = 0 ein Maimum und jeweils bei und ein Minimum. Der Hochpunkt H hat die Koordinaten (0 0) 8 und die Tiepunkte die Koordinaten ( ) (, 4, 05 ) sowie 0 8 0 ( ) (, 4, 05 ). Da die Decklinie laut Augabenstellung Einheit über dem Hochpunkt liegt, beträgt der Abstand zwischen Decklinie und Tiepunkt 5,05 Einheiten. Länge der Decklinie: Zu lösen ist olgende biquadratische Gleichung: 4 0,,8 =. Es sei = z, und man erhält die quadratische Gleichung in z: 0, z 8, z = mit den Lösungen z 9,5 und z 0,5. Zurückgerechnet au die Variable ergeben sich die beiden Lösungen,09 und,09. Da z negativ ist, gibt es keine weiteren Lösungen. Die Länge der Decklinie beträgt also 6,8 Einheiten. D e c k l i n i e - - 0 5 65
Zentrale schritliche Abiturprüungen im Fach Mathematik b) Die gesuchte Gerade t verläut durch den Koordinatenursprung, der mit H identisch ist, sie hat also die Gleichung t( ) = m. Gesucht ist die Gerade mit maimaler Steigung durch H und durch einen au dem Graphen von liegenden Punkt S( s 0, s 4,8s ). Die Gerade durch H und S hat als Term ms ( ), wobei m(s) die von s abhängige Steigung der Geraden ist. Da S au dem Graphen 4 liegt, gilt ms () s= 0,s,8s. Nach Division durch s 0 ergibt sich =. Die Ableitung der Steigung der Geraden m ( s ) = 0, 6s, 8 ms () 0,s,8s () = 0,6s,8= 0, um die maimale Steigung zu bestim- wird Null gesetzt: m s men: 0,6s,8 = 0 : 0,6 s = 0 Damit sind s = und s =+ Lösungen der Gleichung und diejenigen Stellen, an denen die Steigung etremal sind. Die Steigung der Geraden erhält man durch die Steigung der Funktion an den Stellen s und s : eingesetzt ergibt sich ( ) = 0,8,6,08 Eine der gesuchten Geraden hat somit die Gleichung t ( ) =,08. Hinweis: Eine Lösungsalternative ührt über die Tangentengleichung t ( ) = ( s ) ( s ) + ( s ) zur Lösung. Der Winkel zwischen der Tangenten und der -Achse berechnet sich aus tan α = ( ) bzw. α = tan ( ( ) 64,. Der Winkel α y zwischen der y-achse und der Tangente ist somit etwa 90 6,4 = 6,6 groß. Der Blickwinkel hat nun die doppelte Größe wie α y, er ist also etwas 5, groß. 5 0 c) Zu berechnen ist zuerst die Querschnittsläche. Dazu müssen die Nullstellen von ausgerechnet werden. 4 0,,8 = 0 0, ( 9) = 0 Die Nullstellen ergeben sich zu N = 0 und N = 9 = und N = 9 = Unter Ausnutzung der Symmetrie ergibt sich die Querschnittsläche A aus: 0 4 ( ) A= 0,,8 d =,96. Da V = A l und l = m, ergibt sich ein Volumen von ca. 56 m. 5 0 d) Hier werden zwei Lösungsvarianten vorgestellt..lösungsvorschlag: So wie die Augabe gestellt ist, besteht eine einache Lösungsvariante darin, den Schisrump in der Mitte auzuschneiden und einen quaderörmigen Rumpteil einzuschweißen (im Schisbau durchaus üblich). Dann müsste man die gesuchte neue Querschnittsunktion stückweise deinieren, also: 66
Zentrale schritliche Abiturprüungen im Fach Mathematik Analysis Grundkurs ( + ), alls g( ) = 0, alls < ( ), alls < Diese Lösungsvariante wird vermutlich selten von den Schülern gewählt, sie sollte aber voll anerkannt werden, obwohl sie im Gegensatz zu den olgenden Varianten keinen Rechenauwand erordert, da sie von inhaltlichem und nicht von ormalem Denken bestimmt ist. y - 4 -. Lösungsvorschlag: Da sich die Etremwerte der gesuchten neuen Funktion g ür den Querschnitt des verbreiterten Schirumpes nicht verändern sollen, bietet es sich an, die Originalunktion in -Richtung zu strecken also mit olgendem Ansatz zu arbeiten: g ( ) ( ) = a. Wenn die Breite des Schies in Höhe der Decklinie um Einheiten größer werden soll, so rücken die entsprechenden -Werte jeweils um eine Einheit von der y-achse weg, also z.b. von,08 au 4,08 Einheiten. 09, Dies erreicht man, indem man a = 0756, wählt. 409, 4 4 Also:. g ( ) = 0, (0, 756 ),8(0, 756 ) g ( ) = 0, 065, 09. 5 0 0 67
Zentrale schritliche Abiturprüungen im Fach Mathematik y g - 4 - Insgesamt 00 BWE 0 60 0 68