Differentialrechnung

6 Differentialrecnung 6.1 Einfürung Newton und Leibniz Ableitung Maxima und Minima Newton sces Verfaren Die Differentialrecnung wurde von Newton (1643-1727) und von Leibniz (1646-1716) unabängig voneinander begründet. Zusammen mit der Integralrecnung wird sie Infinitesimalrecnung oder auf Englisc calculus genannt. Newton benö- tigte diese Art der Matematik zur Bescreibung und Lösung von Problemen aus der Mecanik. Der wictigste Begriff der Differentialrecnung ist nun offensictlic der des Differentials oder, wie man eute sagen würde, der der Ableitung. In der Newtonscen Mecanik aben wir etwa die Gescwindigkeit als (erste) Ableitung der Stre- cke nac der Zeit und die Bescleunigung entsprecend als Ableitung der Gescwindigkeit nac der Zeit (oder als zweite Ableitung der Strecke nac der Zeit) kennen gelernt. In der Scule wird meist ein zumindest oberfläclicer Ableitungsbegriff erarbeitet, und auc die Ableitungsregeln geören zum Standardrepertoire der Absolventen weiterfürender Bildungseinrictungen. Nun ist der Ableitungsbegriff aber keineswegs ein Selbstzweck, sondern er leistet beste Dienste etwa im Auffinden von besonders großen oder kleinen Werten, den so genannten Maxima oder Minima. Eine weitere Anwendung der Ableitung ist z.b. im Newton scen Verfaren gegeben: Mit diesem Verfaren löst man nict lineare Gleicungen und Gleicungssysteme. Nict lineare Gleicungen sind wesentlic komplizierter als lineare, mit denen wir uns ja scon im letzten Abscnitt bescäftigt atten. Solce nictlinearen Gleicungen kann man oft nur näerungsweise lösen, wobei natürlic an einer allzu genauen Lösung (ser viele Stellen nac dem Dezimalkomma) kaum jemand Interesse

6.2 Der Ableitungsbegriff 195 at. Entsprecende Verfaren (Algoritmen) werden auf dem Gebiet der Numeriscen Matematik bereitgestellt. Eine ebenfalls wictige Anwendung, die Ableitungen benötigt, ist der Satz von Taylor, der die Approximation von Funktionen durc Polynome formuliert. Von diesem Satz profitieren letzlic unsere Tascenrecner: Komplizierte Funktionen werden durc einface Polynome angenäert, so dass der damit begangene Feler ser klein ist. Der Tascenrecner wertet dann eben nict die e-funktion, sondern ire Annäerung durc ein Polynom aus und ier bei dem Polynom kommen nur noc Grundrecenarten vor. Im Allgemeinen ist unsere Welt nict monokausal, d.. eine Wirkung ängt nict nur von einer einzigen Ursace ab. Aber genau dies liegt unserem biserigen Funktionsbegriff zugrunde: y = f(x), d.. y ist Funktion (nur) von x. Ganz offensictlic wird dies den Ereignissen unserer Welt, die eben von vielen Parametern abängen, nict gerect. Wir werden uns daer auc mit Funktionen in mereren Veränderlicen, also y = f(x 1, x 2,..., x n ), bescäftigen. Interessant ist dabei, dass wir viele Eigenscaften der uns biser vertrauten Funktionen in einer Veränderlicen nun auc auf merere Veränderlice übertragen können. In diesem Kapitel werden wir uns also mit der Differentialrecnung, dem Ableiten von Funktionen in einer oder mer Veränderlicen und allem, was damit zusammenängt, bescäftigen. Satz von Taylor Funktionen in mereren Veränderlicen 6.2 Der Ableitungsbegriff Um die Steigung einer Funktion y = f(x) berecnen zu können, werden wir im Folgenden die Ableitung y = f (x) dieser Funktion definieren. Man nennt Funktionen, für die diese Definition sinnvoll ist, differenzierbar. Ableitungen stellen eine lokale Approximation von differenzierbaren Funktionen durc Geraden dar. Anwendungen in der Felerrecnung zeigen die praktisce Bedeutung des Ableitungsbegriffes, für den wir untersciedlice Screibweisen kennenlernen werden. Der Zusammenang zwiscen Stetigkeit und Differenzierbarkeit ist wictig: eine differenzierbare Funktion ist immer stetig, die Umkerung gilt aber nict.

196 6 Differentialrecnung 6.2.1 Geometrisce Bedeutung und Definition der Ableitung Steigung im Dreieck Jeder Brummi -Farer muss sic bei Erreicen gewisser Straßensteigungen an vorgescriebene Gescwindigkeiten alten. Dabei wird vom Gesetzgeber die i.allg. olprige Straße als idealisierte Gerade angenommen. Setzt man die überwundene Höe ins Verältnis zur zurückgelegten Strecke, so erält man ein rectwinkliges Dreieck. Die Steigung der Straße ist nun durc den Winkel α des Dreiecks gegeben (siee Abb. 6.1). Aus Ankatete A Steigung : tan = G / A Gegenkatete G Abb. 6.1. Steigung einer Straße Sculgeometrie Sekantensteigung Differenzenquotient der ebenen Trigonometrie (Scule!) ist bekannt, dass sic der Tangens des Winkels α aus dem Verältnis der Gegenkatete zur Ankatete des rectwinkligen Dreiecks ergibt. In vielen praktiscen Anwendungen at man nun aber das Problem, nict Steigungen von Geraden berecnen zu müssen, sondern Steigungen von allgemeineren Funktionen. Gegeben sei daer jetzt eine Funktion y = f(x). In Abb. 6.2 untersucen wir ir Steigungsveralten im Punkt P 0 = (x 0, f(x 0 )). Die Steigung der Sekante (als Sekante bezeicnet man i.allg. eine Gerade, die eine Funktion scneidet) ergibt sic offensictlic aus dem so genannten Differenzenquotienten tan α = f(x 0 + ) f(x 0 ), bei dem im Nenner die Differenz der beiden Argumente und im Zäler die Differenz der zugeörigen Funktionswerte stet. Lässt man gegen Null und damit P gegen P 0 laufen, so get

} 6.2 Der Ableitungsbegriff 197 y f(x +) 0 f(x ) 0 Sekante P 0 0 Tangente x 0 x 0 + y = f(x) P } f(x 0+ )-f(x 0) x Abb. 6.2. Steigung von y = f(x) im Punkt P 0 die Sekante in der Grenzlage in eine Tangente über (so nennt man eine Gerade, die eine Funktion in einem Punkt berürt). Die Steigung der Tangente ergibt sic aus dem so genannten Differentialquotienten f(x 0 + ) f(x 0 ) tan α 0. 0 Da sic die Tangente in P 0 offensictlic an die Funktion anscmiegt, ist es sinnvoll, deren Steigung als Steigung der Funktion in P 0 zu definieren: Falls der folgende Grenzwert (Differentialquotient) existiert, eißt f (x 0 ) : 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) Ableitung von f im Punkt x 0. f eißt dann in x 0 differenzierbar. Differentialquotient Differentialquotient Ableitung einer Funktion Man kann nun jedem Punkt x aus dem Definitionsbereic von f(x) den Wert f (x) (falls existent!) zuordnen. Durc diese Zuordnungsvorscrift erält man wieder eine Funktion: Die durc die Zuordnung x f (x) erklärte Funktion eißt (erste) Ableitungsfunktion bzw. kurz (erste) Ableitung. Ableitungsfunktion

198 6 Differentialrecnung Für die Ableitung f (x 0 ) aben sic die folgenden völlig äquivalenten Screibweisen eingebürgert: Ableitungssymbole y (x 0 ), y dy x=x0, df dx, x=x0 dx. x=x0 Die Größen dy bzw. df und dx in den beiden letzten Screibweisen nennt man auc Differentiale. Dies erklärt den Namen Differentialquotient für f (x 0 ). Benutzt man andere Bezeicner für Variable und Funktion, wie zum Beispiel s = s(t), so screibt man analog s (t 0 ) oder ds/dt t=t0. In der Pysik wird mit s(t) der Weg in Abängigkeit von der Zeit bezeicnet. Solce Ableitungen nac der Zeit werden dann üblicerweise mit einem Punkt symbolisiert: ṡ(t 0 ). Mancmal ist es praktiscer, den Differentialquotienten in einer anderen Form zu benutzten. Hierzu setzt man x = x 0 +. Dann ist = x x 0 und 0 äquivalent zu x x 0 : Zweite Form des Differentialquotienten Die Ableitung lässt sic auc durc folgenden Differentialquotienten berecnen: f (x 0 ) x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Beispiel 6.1 a) Wir wollen die Ableitung des Polynoms y = ax n mit n IN, a 0 für beliebiges x 0 IR ermitteln: f(x) f(x 0 ) a(x n x n 0 ) lim x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 a(x x 0 )(x n 1 + x n 2 x 0 +... + xx0 n 2 + x n 1 x x 0 x x 0 = anx n 1 0. 0 ) Damit ist f (x 0 ) = anx n 1 0 und die (erste) Ableitung(sfunktion) ergibt sic zu f (x) = anx n 1. b) Legt unser Brummi -Farer abängig von der Zeit t 0 die Entfernung s(t) zurück, so errecnet sic seine Durcscnittsgescwindigkeit (in der Pysik: mittlere Gescwindigkeit) im Zeitintervall [t 0, t] (t > t 0 ) aus dem Differenzenquotienten s(t) s(t 0 ) t t 0.

6.2 Der Ableitungsbegriff 199 Lässt man die Länge des Zeitintervalls gegen Null geen (t t 0 ), so erält man die auf dem Tacometer ablesbare Momentangescwindigkeit aus dem Differentialquotienten s(t) s(t 0 ) lim = ṡ(t 0 ). t t 0 t t 0 Momentangescwindigkeit Übung 6.1 a) Berecnen Sie mit Hilfe des Differentialquotienten die Ableitung f (x 0 ) der Funktion f(x) = 1/x. [Tipp: Differenzen auf Hauptnenner bringen!] b) Ist beim freien Fall eines scweren Massenpunktes (im Vakuum) seit Beginn des Falles eine Zeit von t Sekunden vergangen, so gilt für den in dieser Zeit zurückgelegten Weg s(t) die aus der Sculpysik bekannte Formel s(t) = g 2 t2 mit g = 9, 81 m s 2 (Fallbescleunigung). Welce Momentangescwindigkeit at der Punkt zu einem beliebigen Zeitpunkt t 0 > 0? Lösung 6.1 a) Benutzt man die erste Form des Differentialquotienten, so erält man f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) 0 0 1 x 0 + 1 x 0 Der Zäler des großen Bruces wird nun auf den Hauptnenner gebract:. f (x 0 ) 0 x 0 x 0 x 0 (x 0 + ) 0 1 x 0 (x 0 + ) = 1 x 2. 0 Benutzt man die zweite Form des Differentialquotienten, so erält man f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) x x 0 x x 0 x x 0 x 0 x xx 0 x x 0 x x 0 1 x 1 x 0 x x 0 1 = 1 x x 0 xx 0 x 2. 0

200 6 Differentialrecnung b) Wie in Teil b) von Beispiel 6.1 ergibt sic die Momentangescwindigkeit zu s(t) s(t 0 ) 1/2 g(t 2 t 2 0 ṡ(t 0 ) ). t t0 t t 0 t t0 t t 0 Unter Beactung von t 2 t 2 0 = (t t 0)(t + t 0 ) erält man daraus ṡ(t 0 ) 1/2 g(t + t 0 ) = gt 0. t t0 6.2.2 Tangente und Differential Aus der Definition der Ableitung ergibt sic folgende wictige geometrisce Eigenscaft: geometrisce Deutung f (x 0 ) ist der Tangens des Steigungswinkels α der Tangente an die Funktion f(x) im Punkt x 0 : f (x 0 ) = tan α. y y = f(x) y y = f(x) P 0 P 0 x x 0 x 0 tan > 0, 0< < /2 tan < 0, - /2< <0 x Abb. 6.3. Tangente an steigende und fallende Funktion Abb. 6.3 veranscaulict nocmals die geometrisce Eigenscaft der Ableitung: Eine steigende Funktion at eine positive Ableitung, eine fallende Funktion besitzt eine negative Ableitung. Es ist daer möglic, mit der Ableitung das Monotonieveralten differenzierbarer Funktionen zu bescreiben: Monotonieveralten Gilt für alle x aus einem Intervall I f (x) > 0 bzw. f (x) < 0, so ist f(x) in I streng monoton wacsend bzw. fallend. Es stellt sic nun die Frage, wie man die Gleicung der Tangente t(x) erält: Die Tangente get durc den Punkt P 0 = (x 0, f(x 0 )) und at dort definitionsgemäß die Steigung f (x 0 ). Damit lautet die Tangentengleicung offensictlic:

254 6 Differentialrecnung 6.9 Kurzer Verständnistest (1) Für die Steigung α von f(x) in x 0 gilt f (x 0 ) = α f (x 0 ) = cot α f (x 0 ) = tan α f (x 0 ) = 0 (2) Für das Differential dy einer Funktion y = f(x) in x 0 gilt mit y 0 = f(x 0 ): dy = 0 dy = y y 0 dy = f (x 0 ) dx dy y := y y 0 (3) Die Ableitung von y(x) = 5x 8 + 45 ist gleic 40x 7 40x 9 5x 7 5x 9 (4) Wie lautet die Ableitung von cos(ωt)? sin(ωt) sin(ωt) ω sin(ωt) ωt sin(ωt) ( (5) Welcen Grenzwert at lim sin x ) x 0 x? 0 1 (6) Was muss gelten, damit x 0 ein Maximum von f(x) ist? f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) < 0 f (x 0 ) > 0 (7) Gilt f (x 0 ) = f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0, dann ist x 0 ein Minimum ein Wendepunkt ein Sattelpunkt weder/noc (8) Welce Aussagen sind für das Newton-Verfaren rictig? global konvergent quadratisc konvergent benötigt Ableitungen langsamer als Bisektion (9) Die partiellen Ableitungen von z = f(x, y) = e y2 +xy lauten f x = y e y2 +xy f x = x e y2 +xy f y = (2x + y) e y2 +xy f y = (2y + x) e y2 +xy (10) Für das Taylorpolynom p n (x) von f(x) um x 0 gilt p n (x) näert f(x) an p n (x) = f(x) p n (x) = n f (k) (x 0) k=0 k! (x x 0 ) k p n (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) x k (11) Für eine Funktion f(x, y) sei an der Stelle (x 0, y 0 ) erfüllt: f x = 0, f y = 0, f xx > 0 und f xx f yy fxy 2 > 0. Was folgt daraus? (x 0, y 0 ) ist rel. Minimum (x 0, y 0 ) ist rel. Maximum (x 0, y 0 ) ist Sattelpunkt weder/noc Lösung: (x rictig, o falsc) 1.) ooxo, 2.) ooxx, 3.) xooo, 4.) ooxo, 5.) ooxo, 6.) xoxo, 7.) oxxo, 8.) oxxo, 9.) xoox, 10.) xxoo, 11.) xooo

260 6 Differentialrecnung untersceiden sic öcstens in Rictung und Länge. D.. aber, dass in M = (x, y) mit einem λ IR gelten muss: f(x, y) = λ g(x, y). Dies und die zu fordernde Gültigkeit der Nebenbedingung im Optimalpunkt fürt aber gerade auf die oben vorgestellten Kun-Tucker-Gleicungen. Löst man die Kun-Tucker-Gleicungen mit f( x) = (R P ( x) R F )/σ P ( x), g( x) = N i=1 x i und c = 1, so at man das in ( ) gesucte Maximum gefunden. Wegen einer speziellen Eigenscaften der Funktion f( x) ist das Erfülltsein des Gleicungssystems sogar inreicend und es gibt nur eine eindeutige Lösung, nämlic das gesucte Marktportfolio P. Falls Sie dieses Verfaren für den eigenen Vermögensaufbau benutzen wollen, sollten Sie bedenken, dass das berecnete Marktportfolio selbstverständlic von der gescätzten Rendite-Risiko-Struktur der betracteten Aktien abängt. Nur wenn diese Strukturprognose inreicend gut ist, werden Sie Erfolg aben. Es sei auc nict die Scwäce des CAPM verscwiegen, die darin bestet, dass es von rationalen Märkten mit fairen Kursen ausget. Dass dies nict immer so sein muss, zeigte in der Vergangeneit der Neue Markt. Fraglic ist zudem, ob die äufig benutzte Volatilität stets das adäquate Risikomaß ist. Man denke ier nur an die geringe Volatilität japaniscer Aktien in den Actzigerjaren. Der bekannte Kurssturz und die lang analtende Baisse des japaniscen Aktienmarktes zeigten aber, dass eine geringe Volatilität nict unbedingt auc geringes Risiko bedeutet. 6.11 Zusammenfassung Differentialquotient in x 0 : f f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) : 0 x x 0 x x 0 Tangentengleicung in x 0 : t(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), Steigung in x 0 : tan α = f (x 0 ). Bsp.: f(x) = e x (x 2 + 1), x 0 = 0; f (x) = e x (x 2 + 2x + 1), f (0) = 1, t(x) = 1 + 1 (x 0) = x, α = arctan f (0) = arctan 1 = π 4. Näerungsformel: f(x) f(x 0 ) + f (x 0 ) dx, Absoluter Feler: y dy = f (x 0 ) dx, Relativer Feler: y y dy y = f (x 0 )x 0 f(x 0 ) dx x 0, Differentiale: dx = x x 0, dy = f (x 0 ) dx.

6.11 Zusammenfassung 261 Bsp.: f(x) = e x (x 2 + 1), x 0 = 1, x = 1.1, dx = 0.1, f(1.1) f(1) + f (1) dx = 2e + 4e 0.1 = 6.5239, y f (1) dx = 4e 0.1 = 1.0873, y y f (1)x 0 f(1) dx x 0 = 4e 1 2e 0.1 1 = 0.2. f (x) > 0: f(x) streng monoton wacsend, f (x) < 0: f(x) streng monoton fallend, f(x) differenzierbar in x 0 = f(x) stetig in x 0. Anscaulic: keine Sprünge im Grap von f(x) = f(x) stetig, keine Knickstellen im Grap von f(x) = f(x) differenzierbar. Ableitungen elementarer Funktionen: (x α ) = αx α 1 (e x ) = e x (ln x) = 1 x, (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tan x) = 1 (cot x) = 1 (arcsin x) = sin 2 1 x 1 x (arccos x) = 1 2 (arctan x) = 1 1+x (arccot x) = 1 2 1+x. 2 cos 2 x, 1 x 2, Bsp.: ( 1 x 2 ) = (x 2 ) = 2x 3 = 2 x 3, ( 1 x 3 ) = (x 3 ) = 3x 4 = 3 x 4. Elementare Ableitungsregeln: y(x) = cf(x) = y (x) = cf (x), c = const, y(x) = f(x) ± g(x) = y (x) = f (x) ± g (x), y(x) = f(x) g(x) = y (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x), y(x) = f(x) = y (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g 2, (x) g(x) 0, y(x) = f(g(x)) = y (x) = f (g(x)) g (x). Bsp.: (5 ln x) = 5(ln x) = 5 1 x, (ln x + sin x) = (ln x) + (sin x) = 1 x + cos x, (e x (x 2 + 1)) = (e x ) (x 2 + 1) + e x (x 2 + 1) = e x (x 2 + 2x + 1), (tan x) = (sin x) cos x sin x (cos x) cos x cos x sin x ( sin x) cos 2 x = cos 2 x = 1 cos 2 x, (e cos x ) = e cos x (cos x) = e cos x sin x. Ableitung der Umkerfunktion: (f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x)), f (f 1 (x)) 0.

266 6 Differentialrecnung Hinreicendes Extremwert-Kriterium: Sei D := f xx (x 0, y 0 )f yy (x 0, y 0 ) f 2 xy(x 0, y 0 ) - f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = 0, f xx (x 0, y 0 ) > 0, D > 0 = (x 0, y 0 ) ist relatives Minimum, - f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = 0, f xx (x 0, y 0 ) < 0, D > 0 = (x 0, y 0 ) ist relatives Maximum, - f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = 0, D < 0 = (x 0, y 0 ) ist Sattelpunkt. Bsp.: f(x, y) = x 2 y + x 2 + y 2, f x (x, y) = 2x(y + 1)=! 0, f y (x, y) = x 2 + 2y=! 0, Kandidaten: (0, 0), (± 2, 1), f xx (x, y) = 2y + 2, f yy (x, y) = 2, f xy (x, y) = 2x, (0, 0) : f xx (0, 0) = 2 > 0, f xy (0, 0) = 0, D = 2 2 0 2 = 4 > 0 = (0, 0) ist Minimum, (± 2, 1) : f xx (± 2, 1) = 0, f xy (± 2, 1) = ±2 2, D = 0 2 (±2 2) 2 = 8 < 0 = (± 2, 1) Sattelpunkte. 6.12 Übungsaufgaben Differentialquotient, Tangentengleicung und Feleranalyse 1.) Gegeben sei f(x) = 3+x 3 x, x 3. Berecnen Sie f (2) a) mit Hilfe des Differentialquotienten und b) mittels Quotientenregel. 2.) Wie lautet die Gleicung der Tangente an die Funktion f(x) = 2x 3 im Punkt x 0 = 2? 3.) Der Durcmesser q einer Kugel wird mit einem relativem Feler von max. 2% gemessen. Approximieren Sie den max. relativen Feler des mittels V (q) = π 6 q3 berecneten Kugelvolumens. Ableitungstecniken, L Hospital und Kurvendiskussion 1.) Bestimmen Sie Definitionsbereic und 1.Ableitung für die Funktionen: a) f(x) = x3 x x 2, b) f(x) = x 3 ln[(e x x) 2 ]. 2.) Wie lautet die n-te Ableitung folgender Funktionen: a) y(x) = (cx d) m, m > n, b) f(x) = e x cos x für n = 4. 3.) Ermitteln Sie die Ableitung von y(x) = arcsin x mittels Umkerfunktion! 4.) Berecnen Sie die folgenden Grenzwerte: a) lim x 0 e x e x 2x x sin x, b) lim x x m a x, m IN, a > 1.

6.13 Lösungen 267 5.) Füren Sie eine elementare Kurvendiskussion für die Funktion f(x) = e 2x2 durc. Newtonverfaren und Taylorentwicklung 1.) Mit Hilfe des Newtonverfarens bestimme man ausgeend von x 0 = 1 die Nullstelle der Gleicung 3 cos x x = 0 mit einer Genauigkeit von 5 Nackommastellen. 2.) Ermitteln Sie die Taylorentwicklung von p(x) = 2x 3 + 3x 2 + 5 in a) x 0 = 0 und b) x 0 = 1 bis zum Grad 3. Wie lautet das Lagrange sce Restglied? 3.) Berecnen Sie die Taylorentwicklung von f(x) = sin x um x 0 = 0 vom Grad 8. Es ist eine möglicst genaue Abscätzung für den Approximationsfeler im Intervall [ π 6, π 6 ] anzugeben. Funktionen mererer Veränderlicer 1.) Bestimmen Sie die Steigungen der Kurven, die im Scnitt der Fläce z = 3x 2 + 4y 2 6 mit den Ebenen durc den Punkt (1, 1, 1) parallel zur xz-ebene bzw. yz-ebene entsteen. 2.) Berecnen Sie die partiellen Ableitungen 1. ( Ordnung der Funktionen: a) f(x, y) = x2 y + y2 x, b) f(x, y) = ln tan( x y ), ) c) f(x, y) = x y. 3.) Berecnen Sie im Punkt (1, 3, 2) die Gleicung der Tangentialebene an die Funktion f(x, y) = x y. 4.) Die Leistung P, die in einem elektriscen Widerstand R bei Anliegen einer Spannung U verbrauct wird, ist durc P (U, R) = U 2 /R Watt gegeben. Es gelte U = 220 V und R = 10 Ω. Wie stark ändert sic die Leistung, wenn U um 10 V und R um 0.5 Ω abnemen (im Sinne einer differentiellen Feleranalyse)? 5.) Bestimmen Sie den Gradienten von f(x, y) = ye x im Punkt (0,5). Wie lautet dort die Rictungsableitung von f in Rictung v = (1/ 2, 1/ 2) (d.. 45 )? 6.) Man bestimme Minima, Maxima und Sattelpunkte von a) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1), b) f(x, y) = x 5 y + xy 5 + xy. 6.13 Lösungen Differentialquotient, Tangentengleicung und Feleranalyse 1.) a) Es gilt f (2) 0 f(2+) f(2) 0 1 ( 5+ 1 5 ). Auf den Hauptnenner bringen und kürzen liefert f 6 (2) 0 1 = 6. Alternative Lösung mittels: f f(x) f(2) (2) x 2 x 2 = (3+x)/(3 x) 5 x 2 = lim x 2 3+x 5(3 x) (3 x)(x 2) = 6x 12 (3 x)(x 2) x 2 6 3 x = 6.

268 6 Differentialrecnung b) Quotientenregel: f (x) = (3 x) 1 (3+x) ( 1) (3 x) 2 = 6 (3 x) 2, also f (2) = 6. 2.) Es ist f (x) = 6x 2 und f (2) = 24. Für die Tangentengleicung gilt damit y = f(2) + f (2)(x 2) = 16 + 24(x 2), also y = 24x 32. 3.) Für den relativen Eingangsfeler gilt dq/q 2%. Es ist V (q) = π 2 q2. Somit gilt für den relativen Ausgangsfeler: V V dv V = V (q) dq V = π 2 q2 q π dq 6 q3 q = 3 dq q 3 2 % = 6 %. Ableitungstecniken, L Hospital und Kurvendiskussion 1.) a) Es gilt D = {x IR x > 0 und x 1}. Quotientenregel: f (x) = 3x2 ( x x 2 ) x 3 ( 1 2 2x) x ( = 6x3 6x 4 x x 3 +4x 4 x x x 2 ) 2 2 x( = 5x2 x 2x 4 x x 2 ) 2 2(. x x 2 ) 2 b) Wegen e x > x ergibt sic D = IR. Es ist f(x) = 2x 3 ln(e x x). Produktregel: f(x) = 6x 2 ln(e x x) + 2x 3 ex 1 e x x. 2.) a) Es ist y (x) = cm(cx d) m 1, y (x) = c 2 m(m 1)(cx d) m 2 und allgemein y (n) (x) = c n m(m 1)... (m n + 1)(cx d) m n = m! (m n)! cn (cx d) m n. b) f (x) = e x cos x e x sin x = e x (cos x + sin x), f (x) = e x (cos x + sin x) e x ( sin x + cos x) = 2e x (sin x), f (x) = 2e x sin x + 2e x cos x = 2e x (sin x cos x), f (4) (x) = 2e x (sin x cos x) 2e x (cos x + sin x) = 4e x cos x. 3.) Mit f 1 (x) = arcsin x ist f(y) = sin y die Umkerfunktion. Also folgt (arcsin x) 1 = f (arcsin x) = 1 cos(arcsin x). Aus sin2 x + cos 2 x = 1, d.. cos x = 1 sin 2 x (da cos y 0 für den Hauptzweig [ π/2, π/2] der arcsin-funktion) ergibt sic jetzt (arcsin x) 1 = = 1. 1 sin 2 (arcsin x) 1 x 2 4.) a) Da der Ausdruck die Form 0/0 at, wird die Regel von L Hospital (e angewandt: lim x e x 2x) e x 0 (x sin x) x +e x 2 x 0 1 cos x. Auc dieser Ausdruck at die Form 0/0. Nocmalige Anwendung der Regel liefert: (e lim x +e x 2) x 0 (1 cos x) Eine weitere Anwendung der Regel fürt jetzt zum Ziel: x 0 e x e x sin x. Wieder ergibt sic die Form 0/0. (e lim x e x ) e x 0 (sin x) x +e x x 0 cos x = 2 1 = 2. a b) Der Grenzwert lim x x x at die Form /. Wir setzen f(x) = a x m und g(x) = x m. Dann gilt für deren m-te Ableitungen f (m) (x) = a x (ln a) m und g (m) (x) = m!. Die m-malige Anwendung der Regel von L Hospital f fürt daer zu lim (m) (x) x g (m) (x) x ax (ln a) m m! =. 5.) Es gilt D = IR. Wegen f( x) = f(x) ist die Funktion symmetrisc zur y- Acse. Die Funktion at keine Nullstellen. Zur Bestimmung möglicer Extrema und Wendepunkte werden folgende Ableitungen berecnet: f (x) = 4xe 2x2,