Aufgabe 1 Der Waschmaschinenhersteller Dreckschleuder hat sich auf die Produktion der Waschmaschine M74650 spezialisiert. Diese wird an den drei Standorten West, Mitte und Ost gefertigt. Dreckschleuder hat zwei Großkunden, die Großhändler Nord und Süd, die pro Quartal 200 (Nord), bzw. 300 (Süd) Maschinen benötigen. Die Waschmaschinen werden jedoch nicht direkt an die Großkunden geliefert, sondern werden zunächst in die Zwischenlager Nord-Ost und Süd-West eingelagert, von denen aus dann pro Quartal eine Lieferung zu den Großhändler erfolgt. Dabei ist zu beachten, dass das Zwischenlager Nord-Ost Platz für maximal 100 Maschinen hat, in Süd-West jedoch 400 Maschinen eingelagert werden können. Auch die Produktionsmengen in den einzelnen Produktionsstätten sind unterschiedlich. So können in West nur 100 und in den anderen beiden Standorten jeweils 200 Waschmaschinen pro Quartal gefertigt werden. Erfahrungswerte haben folgende Transportkosten zwischen den Produktionsstätten und den Zwischenlagern (c ij ), bzw. zwischen den Zwischenlagern und den Großhändlern (d ij ) ergeben. c ij Nord-Ost Süd-West West 2 5 Mitte 1 10 Ost 4 4 d ij Nord Süd Nord-Ost 3 20 Süd-West 20 3 Dreckschleuder hat Sie nun beauftragt ein transportkostenminimales Distributionsprogramm für die Waschmaschine M74650 aufzustellen. Da Sie gelernt haben, dass man ein großes Projekt am besten in viele kleine zerlegt, wollen Sie für dieses Problem nun Schritt für Schritt eine Lösung finden. Dazu arbeiten Sie folgende Punkte ab: a) Auf welches Standard problem aus dem Operations Research lässt sich Ihre Aufgabe zurückführen? Wie lauten die Entscheidungsvariablen bei diesem allgemeinen Standardproblem? b) Wie lassen sich dabei die Quellen und die Senken modellieren? Wie sehen dann die Kapazitätsvektoren der Quellen und Senken aus? (4 Punkte) c) Wie können Sie bei der Modellierung gewährleisten, dass nicht direkt von den Produktionsstätten zu den Kunden geliefert wird und auch keine Transporte zwischen den Zwischenlagern stattfinden? d) Wie könnte also eine passende Zielfunktion aussehen? e) Da Sie heute erfahren haben, dass im nächsten Quartal die Produktionsstätte Mitte ihre Kapazität durch den Zukauf einer neuen, sehr leistungsstarken Produktionsmaschine um 300 Waschmaschinen auf 500 Waschmaschinen erhöhen wird, wollen Sie sich direkt auch schon für diesen Fall eine Lösung überlegen. Wie müsste Ihr Modell für nun angepasst werden, um weiterhin ein Standardproblem abzubilden? (kurze Beschreibung) Operations Research 2
Als spezielles Transportproblem ist Ihnen das Travelling-Salesman-Problem (TSP) bekannt. Da Sie demnächst ein anderes Projekt zugewiesen bekommen, bei dem sich als Lösungsansatz das TSP anbietet, wollen Sie sich bereits jetzt schon einmal die Rundreise-Nebenbedingungen zurück ins Gedächtnis rufen. Sie erinnern sich, dass die Nebenbedingungen von Miller Tucker und Zemlin u 1 = 1 2 u i n, i = 2,..., n u i u j + 1 (n 1) (1 x ij ), i, j = 2,... n aufgrund ihrer geringeren Anzahl anderen Rundreise-Nebenbedingungen vorzuziehen sind. f) Aus wievielen Nebenbedingungen bestehen in dieser Formulierung die Rundreisebedingungen? Warum zählt das Rundreiseproblem trotz dieser Formulierung zu der Klasse der NP-schweren Probleme? g) Wie können in dieser Formulierung die künstlich eingeführten Variablen u i interpretiert werden? (kurze Beschreibung) Und wie kann über diese Art der Rundreisebedingungen ein Ort Nr. 5 als Ausgangsort angegeben werden? (1 Punkt) Operations Research 3
Aufgabe 2 Um sich ein kleines Zubrot zu verdienen, beschließen Mario und Luigi, günstigen Wein für jedermann anzubieten. Aus dem Weinkeller ihres Onkels stibitzen sie dafür 800 Liter Wein, den sie nun weiterverkaufen wollen. Da sie jedoch große Geschäftsmänner sind, begnügen sie sich nicht mit dem Weiterverkauf, sondern planen außerdem, den Wein ein wenig zu strecken. Die 150 Liter Frostschutzmittel, die sie auf Luigis Dachboden entdeckt haben, kommen ihnen da gerade recht. Zudem stehen ihnen 300 Liter besten Quellwassers zur Verfügung. Sie planen, aus diesen Zutaten zwei völlig neue Weinsorten zu kreieren: Eine Flasche des vollmundigen Schaddoné besteht aus 0.7 Litern Wein, 0.2 Litern Wasser und 0.1 Litern Frostschutzmittel und soll im Verkauf 8 EUR Erlös bringen. Eine Flasche des süffigen Mährlo hingegen soll nur 7 EUR Kosten, dafür aber auch nur aus 0.5 Litern Wein, 0.3 Litern Wasser und 0.2 Litern Frostschutzmittel bestehen. Mit diesen beiden Sorten planen sie ihren Markteinstieg, um dem Traum von einem eigenen roten Kleinwagen näherzukommen. Dabei versuchen sie natürlich große Geschäftsmänner, wie sie nunmal sind möglichst viel Profit zu machen, um sich eventuell sogar Extras wie ein Plasmadisplay statt eines Beifahrersitzes leisten zu können. a) Identifizieren Sie bitte für dieses Problem geeignete Entscheidungsvariablen, die Nebenbedingungen und die Zielfunktion. (3 Punkte) b) Formulieren Sie bitte das zugehörige Optimierungsmodell in der charakteristischen Form. Diese Form heisst im folgenden LP. (1 Punkt) c) Bestimmen Sie bitte graphisch den zulässigen Bereich für LP (nehmen Sie bitte dabei eine geeignete Skalierung der Koordinatenachsen vor). (2,5 Punkte) d) Bestimmen Sie bitte graphisch eine optimale Lösung für LP. (0,5 Punkte) e) Könnte man aus dem Punkt (500, 500) eine zulässige Basislösung identifizieren? Begründen Sie Ihre Antwort bitte formal mit der Definition einer Basislösung. (2,5 Punkte) f) Da Mario und Luigi fürchten, dass ihre Oma ihnen auf die Schliche kommt, wenn sie zuviel ihres guten Quellwassers verbrauchen, möchten sie nur 300 Flaschen Schaddoné und 200 Flaschen Mährlo abfüllen. (i) Wieviel des Quellwassers verbrauchen sie so? (0,5 Punkte) (ii) Ist die Produktion von 300 Flaschen Schaddoné und 200 Flaschen Mährlo sinnvoll oder könnten sie mit der entsprechenden Menge Quellwasser größeren Gewinn erzielen? Klären sie diese Frage bitte, indem sie eine bestehende Nebenbedingung geeignet anpassen, einzeichnen und die Lösung des geänderten Problems graphisch bestimmen. g) Wenn Sie nun dieses Problem in Standardform mit Hilfe eines Simplexverfahrens lösen wollen, so ist es notwendig eine erste zulässige Basislösung (Startlösung) zu bestimmen. Müssen Sie in Ihrem Fall dazu ein Hilfsproblem lösen, oder können Sie direkt aus dem ursprünglichen Problem eine zulässige Basislösung ablesen? Begründen Sie bitte Ihre Antwort. (1 Punkt) Operations Research 4
h) Gibt es eine Nebenbedingung im ursprünglichen Modell LP (siehe oben), die in der optimalen Lösung x nicht bindend ist. Was bedeutet diese Tatsache für den zugehörigen optimalen Schattenpreis? Interpretieren Sie diese Aussagen bitte aus ökonomischer Sicht. Operations Research 5
Aufgabe 3 Die Mensa der TU Dortmund benötigt für die Zubereitung und die Ausgabe der verschiedenen Mittagessen eine nicht unerhebliche Anzahl an Fach- und Aushilfskräften. Das Studentenwerk verfügt dazu über ein Reservoir an Hilfskräften, auf die es gegebenebnfalls zurückgreifen kann und aus dem die fest angestellten Mitarbeiter bei ihrer Arbeit unterstützt werden können. Momentan besteht dieses Reservoir aus 10 Vollzeitkräften und 30 Teilzeitkräften. Abhängig von der zu erwartenden Essensnachfrage wird für jeden Tag zunächst eine Personalbedarfsplanung an Hilfskräften vorgenommen um daraus anschließend einen entsprechenden Personaleinsatzplan zu ermitteln. Eine Vollzeitkraft arbeitet von 08.00 Uhr bis 16.00 Uhr, und hat genau eine Stunde Mittagspause (Arbeitszeit = 7 Stunden). Die Hälfte der arbeitenden Vollzeitkräfte macht von 11.00 Uhr bis 12.00 Uhr diese Pause, die andere von 12.00 Uhr bis 13.00 Uhr (es sollte also immer eine gerade Anzahl an Vollzeitkräften arbeiten). Eine Teilzeitkraft arbeitet genau 4 Stunden pro Tag am Stück, kann irgendwann zu jeder vollen Stunde zwischen 08.00 Uhr und 12.00 Uhr mit ihrer Arbeit beginnen, hat allerdings keinerlei Pause. Diese Arbeitszeit wird durch das Studentenwerk festgelegt. Natürlich sind die Lohnkosten der Teilzeitkräfte geringer als die der Vollzeitkräfte. Eine Teilzeitkraft kostet das Studentenwerk 12,- EUR pro Arbeitsstunde, wohingegen für die Vollzeitkraft 23, EUR pro Stunde zu vergüten ist. Es ist allerdings Politik des Studentenwerkes, nicht alle Arbeiten von Teilzeitkräften erledigen zu lassen, sondern höchstens für 50% der benötigten Arbeitszeit eines Tages diesen Typ von Aushilfskraft einzusetzen. Aus der folgenden Tabelle können die Zeitperioden und der Mindestbedarf an Hilfskräften entnommen werden, die am morgigen Dienstag, 13.10.2009, während der angegebenen Zeitperioden in der Mensa unbedingt benötigt werden. Zeitperiode Mindestpersonalanzahl 08.00 Uhr bis 09.00 Uhr 10 09.00 Uhr bis 10.00 Uhr 12 10.00 Uhr bis 11.00 Uhr 14 11.00 Uhr bis 12.00 Uhr 18 12.00 Uhr bis 13.00 Uhr 20 13.00 Uhr bis 14.00 Uhr 19 14.00 Uhr bis 15.00 Uhr 11 15.00 Uhr bis 16.00 Uhr 9 a) Helfen Sie dem Studentenwerk bitte, für den morgigen Tag den Personalbedarf zu planen, indem Sie für dieses Entscheidungsproblem ein geeignetes Entscheidungsmodell (geeignete Entscheidungsfragen/Entscheidungsvariablen, geeignete Entscheidungsschranken/Nebenbedingungen, geeignete(s) Entscheidungsziel/Zielfunktion) erstellen. (4 Punkte) b) Der Chef des Studentenwerkes macht eines Tages den Vorschlag, die Mittagspausen für die Vollzeitaushilfen flexibler zu gestalten. Dazu wird den Vollzeitkräften die Möglichkeit gegeben, ihre einstündige Mittagspause alternativ um 11.00 Uhr, 12.00 Uhr oder 13.00 Uhr zu beginnen, dies aber vorher mitzuteilen. Wie wirkt sich dieser Vorschlag auf das Operations Research 6
ursprünglichen Modell aus, wenn dabei berücksichtigt werden muss, dass der Mindestbedarf an Personal in den einzelnen Perioden sichergestellt werden muss? (4 Punkte) c) Eines Tages bieten 8 der 10 Vollzeitkräfte, die gewerkschaftlich nicht gebunden sind, an, nur noch eine halbe Stunde Mittagspause zu machen, und die andere halbe Stunde zusätzlich zu arbeiten, natürlich auf Grundlage des vereinbarten Stundenlohns. Das Studentenwerk geht auf den Vorschlag ein, fordert aber, dass die halbstündigen Mittagspausen dann entweder von 12.00 Uhr bis 12.30 Uhr oder von 12.30 Uhr bis 13.00 Uhr genommen werden (die Anzahl der Mitarbeiter, die zu diesen beiden verschiedenen Zeitintervallen pausieren, soll sich um höchstens 1 unterscheiden). Die beiden Gewerkschaftsmitglieder pochen auf ihren Arbeitsvertrag und machen von 11.00 Uhr bis 12.00 Uhr Pause. Wie verändert dieser Vorschlag das ursprüngliche Modell? (4 Punkte) d) Nun zu etwas ganz anderem. Ermitteln Sie bitte für den folgenden Graphen Schritt für Schritt einen spannenden Baum mit maximalem Gesamt-Kantengewicht. Begründen Sie bitte, wieso Sie hierzu prinzipiell das Verfahren von Kruskal bzw. von Prim verwenden können. An welchen Stellen müssen Sie geeeignete Veränderungen vornehmen? (3 Punkte) Operations Research 7