ahemaik: ag. Schmid WolfgangLehrerInneneam ARBEITSBLATT - ERITTELN DER KREISGLEICUNG Wir wollen un nun bemühen, die Gleichung pezieller Kreie zu ermieln. Beipiel: Ermile die Gleichung jene Kreie mi dem ielpunk (-), der () die x-ache berühr () die y-ache berühr, () durch den Urprung geh. Löung: ()Ermieln wir alo jenen Krei, der bei gegebenem ielpunk die x- Ache berühr. Dazu müen wir un zunäch einmal klar werden, wa e bedeue, da ein Krei eine Gerade berühr: T Sie ehen an der Zeichnung, da da Wor berühren alo bedeue, da ich Krei und Gerade nur in einem Punk chneiden. Die wichige Sache dabei i, da die berührende Gerade und die Srecke vom Berührpunk T zum Kreimielpunk immer im rechen Winkel aufeinander ehen. Die berührende Gerade nenn man eine Tangene. Saz: Eine Tangene i e im rechen Winkel auf die Srecke vom Berührpunk zum ielpunk de Kreie. Nun können wir un in unerem Beipiel überlegen, wa die bedeue, wenn wir den ielpunk kennen und der Krei die x-ache berühren oll. Ferigen wir dazu eine Skizze an: ( x y) Sie erkennen hoffenlich an der Skizze, da die y-koordinae (Ohne Vorzeichen) in dieem Fall genau der Radiu r ein mu. Nachdem bei un der ielpunk die Koordinaen (-) ha, mu alo r ein.
ahemaik: ag. Schmid WolfgangLehrerInneneam Dami können wir aber die Kreigleichung de geuchen Kreie angeben. k : x y ( ) ( ) ()Nachdem der Krei jez die y-ache berühren oll, mu der Berag der x-koordinae de ielpunke genau der Radiu ein, bei un i r alo gleich. Dami laue dieer Krei: k : x y ( ) ( ) () Da der Krei durch den Punk O(00) gehen oll, mu r der Berag de Vekor O ein: O O 0 r Dami laue die Kreigleichung: k : x y ( ) ( ) 0 Beipiel: Ermile die Gleichung de durch P() gehenden Kreie, der beide Koordinaenachen berühr. Löung: Um den Krei angeben zu können, müen wir ielpunk und Radiu de Kreie wien. Denken wir zunäch einmal an den ielpunk. Da der Punk P im eren Quadranen lieg, mu auch der Krei elb und dami ein ielpunk im eren Quadranen liegen. Wenn nun dieer Krei beide Koordinaenachen berühr, müen beide Koordinaen de ielpunke r ein. ha alo die Koordinaen (rr). (Überlegen ie ich die an einer Skizze!!!) Dami können wir aber einmal in die allgemeine Kreigleichung diee Koordinaen von einezen. Die allgemeine Kreigleichung laue: k : x u y v r ( ) ( ) Wir ezen ein: k : x r y r r ( ) ( ) Da nun aber auch P auf dieem Krei liegen oll, können wir die Koordinaen de Punke P für x und y einezen: ( r ) ( r) r Dami haben wir aber eine Gleichung mi einer Unbekannen, au der wir un r errechnen können. Wir poenzieren zunäch die Binome: r r r r r
ahemaik: ag. Schmid WolfgangLehrerInneneam Wir faen die linke Seie zuammen: r 8r r r r 8r 0 i unerer Löungformel für quadraiche Gleichungen berechnen wir nun r: 8 ± 8 r 8 ± r 8 r 8 r E gib alo zwei Kreie, die die Bedingungen erfüllen. Der ielpunk de eren Kreie laue demzufolge: ( ), der ielpunk de. Die beiden Kreie lauen alo: zweien Kreie: ( ) k : ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) k : Beipiel: Ermile die Gleichung eine Kreie, der die x-ache berühr, den Punk P(0) enhäl und den Radiu r ha. Löung: Da wir den Radiu berei kennen, müen wir noch den ielpunk ermieln, um den Krei angeben zu können. Al Ere können wir wieder aunüzen, da der Krei die x-ache berühren oll. Die bedeue aber wie wir oben erkann haben, da die y-koordinae de ielpunk genau der Radiu r ein mu. ha alo die Koordinaen (u). Sezen wir in die allgemeine Kreigleichung ein: k :( x u) ( y ) Da der Krei außerdem durch den Punk P gehen oll, können wir dieen in die Kreigleichung einezen: k : 0 u ( ) ( ) Nun können wir un u berechnen. Wir quadrieren zunäch: 00 0u u Wir faen die linke Seie zuammen: u 0u u 0u 0 0 ± u 00 00
ahemaik: ag. Schmid WolfgangLehrerInneneam 0 ± 0 u 0 0 u 0 0 u Auch hier gib e alo wieder zwei Löungen. Die Koordinaen der jeweiligen ielpunke lauen: ( ) ( ) Dami laue der geuche Krei: k : x y ( ) ( ) ( x ) ( y ) k : Beipiel: Ermile die Gleichung eine Kreie, der durch die Punke P(-8-) und Q(-0) geh und den Radiu r ha. Löung: Wir machen un zunäch einmal eine Skizze, die un klar mach, wa e bedeue, da der Krei durch zwei gegebene Punke gehen oll: Q P Da ja ein Krei die enge aller Punke darell, die gleichen Aband zum ielpunk haben, bedeue die, da der ielpunk von P und Q gleich wei enfern ein mu. Alle Punke, die von P und Q gleich wei enfern ind, liegen aber auf der o genannen Sreckenymmerale der Srecke PQ (Die i eine Gerade, die durch den albierungpunk der Srecke PQ geh und normal auf die Srecke PQ i). Ich zeichne die Sreckenymmerale ein:
ahemaik: ag. Schmid WolfgangLehrerInneneam Q P Sreckenymerale Wenn wir un nun aber hier den ielpunk einzeichnen, bekommen wir ein rechwinkelige Dreieck, von dem wir zwei Längen kennen bzw. berechnen können (Radiu r i die Srecke P, und die Srecke P ). P Q P r Sreckenymmerale Nun lä ich aber miel de Saze de Pyhagora die Länge der Srecke ermieln. Wenn wir aber diee Länge wien, können wir miel der Vekorrechnung die Koordinaen von angeben und dami haben wir die Kreigleichung. Führen wir nun da Ganze prakich durch: Al Ere berechnen wir un die Koordinaen de albierungpunke : 8 0 Nun können wir die Länge der Srecke P ermieln. Dazu ellen wir zunäch den Vekor P auf: 8 P Der Berag diee Vekor mu nun die geuche Länge ein:
ahemaik: ag. Schmid WolfgangLehrerInneneam 8 8 P iel de Saze von Pyhagora können wir nun die Länge der Srecke berechnen: r P 8 8 Nun wien wir alo, da wir vom Punk au genau Richung de Normalvekor von ielpunk zu gelangen. Wir ermieln un den Normalvekor auf P 8 Einheien in P gehen müen, um zum P : Da un nur die Richung inereier, mulipliziere ich den Vekor noch mi : P Nun bilde ich den Normalvekor: P n n Da wir eine beimme Länge diee Vekor benöigen, berechnen wir un noch den Einheivekor diee Vekor: n 0 n 0 8 Nun können wir die Koordinaen von berechnen. Wir gelangen zu, indem wir an den Punk genau 8 n 0 Wir ezen enprechend ein: 8 Wir vereinfachen: 8 mal den Vekor n 0 anhängen: 8
ahemaik: ag. Schmid WolfgangLehrerInneneam 8 8 8 Wir erhalen: 8 8 Wir können die Wurzel kürzen: Wir führen die uliplikaion durch: ha alo die Koordinaen (-). Da wir r kennen, können wir die Kreigleichung nun angeben: ( ) ( ) : y x k Beipiel: Ermile die Gleichung de Umkreie de Dreieck A(--), B(-) und C(). Löung: Zur Erinnerung au früheren Semeern. Uner dem Umkrei vereh man einen Krei, der durch alle drei Eckpunke geh. an erhäl den Umkreimielpunk al Schnipunk der Seienymmeralen. Wir ellen un alo zunäch einmal grafich vor, wie man dieen Umkreimielpunk konruier: Um die Sreckenymmerale auf die Srecke AB zu konruieren, halbieren wir die Srecke und errichen in dieem albierungpunk A C B
ahemaik: ag. Schmid WolfgangLehrerInneneam 8 eine Normale auf die Seie AB (al Gerade g bezeichne). Daelbe unernehmen wir mi der Seie AC. Wir halbieren die Srecke und erhalen den albierungpunk und errichen in dieem Punk eine Normale auf die Seie AC (al Gerade h bezeichne). Der Schnipunk dieer beiden Geraden i dann der Umkreimielpunk U. Genau o, wie man zeichnerich den Umkreimielpunk ermiel, o errechnen wir auch analyich die Koordinaen. Wir berechnen zunäch die Gleichungen der beiden Geraden g und h. Der Schnipunk dieer beiden Geraden mu dann der Umkreimielpunk ein. Sellen wir zunäch die Gleichung der Geraden g auf. Zur Erinnerung: an benöig immer einen Punk und einen Richungvekor, um die Gleichung der Geraden angeben zu können. Al Punk können wir un die Koordinaen von ermieln, da die ja der albierungpunk der Srecke AB ein mu: Um die Richung der Gerade fezulegen, nüzen wir au, da g normale auf AB ein mu. Wir beimmen alo zunäch AB : AB (Da Länge uninerean) Nun beimmen wir den Normalvekor: g AB n Die mu alo der Richungvekor der Geraden g ein. Die Gerade g laue alo: : X g A C B g h U
ahemaik: ag. Schmid WolfgangLehrerInneneam Daelbe führen wir nun zur Beimmung der Geraden h durch. i der albierungpunk der Srecke AC. ( ) Die Richung der Geraden h mu normal auf die Srecke AC ein. Wir beimmen alo den Vekor AC : AC Der Normalvekor darauf laue: h AC n Dami können wir h angeben: : X h Der Schnipunk dieer beiden Geraden mu der Umkreimielpunk ein: : h g Wir palen auf: I : II : Ich eliminiere : : I II : I : II : : Wir ezen in g ein:
ahemaik: ag. Schmid WolfgangLehrerInneneam 0 : X g Wir muliplizieren: X Der Umkreimielpunk U ha alo die Koordinaen U(--). Nun müen wir nur noch den Radiu de Kreie beimmen. Die i aber einfach, da der Krei ja durch alle drei Eckpunke geh. Folglich mu zum Beipiel der Aband von U zu A der Radiu ein. Wir beimmen den Vekor UA: 8 UA Der Radiu mu der Berag diee Vekor ein: UA r Nun können wir die Gleichung de Umkreie angeben: ( ) ( ) : y x k