0, v 6 = , v 4 = 1

Aufgabe 6. Linearkombinationen von Vektoren Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 : M = v =, v =, v 3 =, v 4 =, v 5 =, v 6 =. Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor v i M, i =,,..., 6, als Linearkombination der anderen Vektoren aus M\{v i } schreiben lässt.. Zeigen Sie, dass gilt: span(v, v 5, v 6 ) = span(v 3, v 5, v 6 ). 3. Geben Sie eine Basis des von M aufgespannten Untervektorraums des R 4 an. 4. Betrachten Sie für λ, λ,..., λ 6 R die Vektorgleichung (Linearkombinationen des Nullvektors R 4 ): λ v + λ v { + λ 3 v 3 + λ 4 v 4 + λ 5 v 5 + λ 6 v 6 =. Zeigen Sie, dass die Menge K := (λ, λ,..., λ 6 ) R } 6 λ i v i = aller Vektoren λ = (λ, λ,..., λ 6 ) R 6, welche die obige Vektorgleichung erfüllen, ein Untervektorraum des R 6 ist. i= LÖSUNG:. v ist eine Linearkombination (LK) von n Vektoren v,.., v n V (Vektorraum über K), n N. v = λ v + λ v +... + λ n v n = n λ i v i mit λ i K. Durch Vergleich der Komponenten der Vektoren erkennt man beispielsweise: v = v + v 4, v = v v 4, v 3 = v v 5, v 4 = v v, v 5 = v v 3, v 6 = v + v 3. n span(v,.., v n ) = { λ i v i λ i R, i =,.., n} Wir zeigen zunächst span(v, v 5, v 6 ) span(v 3, v 5, v 6 ) und suchen v als LK von v 3, v 5, v 6 v = v 3 + v 5 v, v 5, v 6 span(v 3, v 5, v 6 ) span(v, v 5, v 6 ) span(v 3, v 5, v 6 ) Umgekehrt gilt: v 3 = v v 5 v 3, v 5, v 6 span(v, v 5, v 6 ) span(v 3, v 5, v 6 ) span(v, v 5, v 6 ) i= Insgesamt folgt: span(v 3, v 5, v 6 ) = span(v, v 5, v 6 ) Zusatz: Wegen v = (v 5 + v 6 ) bzw. v 3 = (v 6 v 5 ) gilt: span(v, v 5, v 6 ) = span(v 3, v 5, v 6 ) = span(v 5, v 6 ) 3. Um eine Basis des Untervektorraums (?) U = span(v, v,..., v 6 ) anzugeben, müssen wir eine minimale Teilfamilie B von {v, v,..., v 6 } mit span B = span(v, v,..., v 6 ) angeben. Für die Vektoren v 4, v 5, v 6 gilt nach.: v 4 = v v, v 5 = v v 3 und v 6 = v + v 3. Somit gilt span(v, v,..., v 6 ) = span(v, v, v 3 ). i=

Nun ist noch die lineare Abhängigkeit der drei Vektoren v, v und v 3 zu untersuchen. Wir vermuten, dass diese drei Vektoren linear unabhängig sind, und zeigen dazu, dass diese nur eine triviale LK des Nullvektors bilden, d.h. aus dem Ansatz: λ v + λ v + λ 3 v 3 = folgt λ = λ = λ 3 =. λ + λ + λ 3 = λ + λ = λ = λ λ + λ + λ 3 = λ + λ + λ 3 = λ 3 = λ + λ = λ = λ = λ = λ 3 = Somit sind die drei Vektoren v, v und v 3 linear unabhängig und B = (v, v, v 3 ) eine minimale Teilfamilie mit span B = span(v, v,..., v 6 ). Also ist B eine Basis des Untervektorraumes U, der ein drei-dimensionaler Untervektorraum des R 4 ist. 4. Es sei also K = {λ = (λ,..., λ 6 ) R 6 λ i v i = }. i= Um nachzuweisen, dass K ein Untervektorraum ist, weisen wir nach, dass K nicht die leere Menge ist, dass K unter der Vektor-Addition abgeschlossen ist, und dass K unter Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist. Dabei ist noch zu bemerken, dass bei dem Beweis die spezielle Gestalt der Vektoren v,..., v 6 gar nicht berücksichtigt werden muss. (Um Platz zu sparen, schreiben wir die Elemente von R 6 als 6-Tupel.) K, weil der Nullvektor (,,,,, ) in K ist. Es seien λ = (λ,..., λ 6 ), µ = (µ,..., µ 6 ) K. Dann ist auch λ + µ K, weil λ + µ = (λ + µ,..., λ 6 + µ 6 ) und gilt. (λ i + µ i )v i = i= (λ i v i + µ i v i ) = ( i= λ i v i ) + ( Es sei λ = (λ,..., λ 6 ) K und α R. Dann ist auch αλ K, weil αλ = (αλ,..., αλ 6 ) und i= µ i v i ) = + = i= gilt. ((αλ i ) v i ) = i= (α (λ i v i )) = α ( (λ i v i )) = α = i= i=

Aufgabe 64. Basiswechsel konkret. Gegeben seien die drei Einheitsvektoren e, e, e 3 R 3 sowie drei weitere Vektoren v, v, v 3 R 3 : e =, e =, e 3 =, v =, v =, v 3 =.. Die Standardbasis des R Vektorraums R 3 besteht aus den drei Einheitsvektoren e, e, e 3 R 3. Zeigen Sie, dass die Vektoren v, v, v 3 R 3 ebenfalls eine Basis des R 3 bilden, und stellen Sie die Einheitsvektoren e, e, e 3 als Linearkombinationen der Vektoren der Basis {v, v, v 3 } dar.. Gegeben seien nun die drei Vektoren p = 6 3, q = 3 und s = s s R 3. 9 6 s 3 Stellen Sie die drei Vektoren p, q und s jeweils (a) als Linearkombination der Vektoren der Standardbasis {e, e, e 3 } dar und (b) als Linearkombination der Vektoren der Basis {v, v, v 3 } dar. LÖSUNG:. Wir zeigen, dass die drei Vektoren v, v, v 3 R 3 linear unabhängig sind, durch den Ansatz: λ v + λ v + λ 3 v 3 = mit λ, λ, λ 3 R λ + λ + λ 3 = () () λ = () λ + λ 3 = (3) () λ 3 = () λ + λ + λ 3 = () λ + λ 3 = (3) λ + λ + λ 3 = λ = λ = λ 3 = Behauptung. Da die Dimension von R 3 drei ist, bilden v, v, v 3 eine Basis des R 3 und es lassen sich alle Vektoren des R 3 als Linearkombinationen der Basisvektoren v, v, v 3 darstellen. Wir bestimmen die Linearkombination für e i, i =,, 3 jeweils durch den Ansatz: λ v + λ v + λ 3 v 3 = e i Für i = : λ +λ mit λ, λ, λ 3 R +λ 3 = () λ + λ + λ 3 = () λ + λ 3 = (3) λ + λ + λ 3 = () () λ = () λ + λ 3 = λ = λ =, λ 3 = e = v + v v 3. (3) () λ 3 = Für i = : λ +λ +λ 3 = () λ + λ + λ 3 = () λ + λ 3 = (3) λ + λ + λ 3 = () () λ = () λ + λ 3 = (3) () λ 3 = λ =, λ =, λ 3 = e = v + v. Dies kann man auch direkt sehen!

Für i = 3 : λ +λ () () λ = () λ + λ 3 = (3) () λ 3 = +λ 3 = () λ + λ + λ 3 = () λ + λ 3 = (3) λ + λ + λ 3 = λ =, λ =, λ 3 = e 3 = v + v 3. Dies kann man auch direkt sehen!. (a) Die Vektoren p, q und s erhält man direkt als Linearkombinationen der Einheitsvektoren e, e, e 3 : p = 6 e + 3 e + 9 e 3, q = 3 e + e + 6 e 3, s = s e + s e + s 3 e 3. (b) Da wir in. die Einheitsvektoren als Linearkombinationen der Vektoren v, v, v 3 bestimmt haben: e = v + v v 3, e = v + v, e 3 = v + v 3 bekommen wir die Linearkombinationen der Vektoren p, q und s in der Basis v, v, v 3 direkt als: p = 6 e + 3 e + 9 e 3 = 6 (v + v v 3 ) + 3 ( v + v ) + 9 ( v + v 3 ) = 3 v + 3 v 3 Probe durch Nachrechnen! q = 3 e + e + 6 e 3 = 3 (v + v v 3 ) + ( v + v ) + 9 ( v + v 3 ) = v v + 3 v 3 Probe durch Nachrechnen! s = s e + s e + s 3 e 3 = s (v + v v 3 ) + s ( v + v ) + s 3 ( v + v 3 ) = (s s ) v + (s + s s 3 ) v + ( s + s 3 ) v 3 = s v + s v + s 3 v 3 mit s = s s, s = s + s s 3, und s 3 = s + s 3 als Koordinaten von s in der Basis {v, v, v 3 }. Damit haben wir eine einfache Umrechnung der alten Koordinaten s, s, s 3 von s bzgl. der alten Basis {e, e, e 3 } in die neuen Koordinaten s, s, s 3 von s bzgl. der neuen Basis {v, v, v 3 }. Bemerkung: Man kann die neuen Koordinaten von p, q oder s auch über folgenden Ansatz bestimmen: λ v + λ v + λ 3 v 3 = p, q oder s mit λ, λ, λ 3 R Dies führt wie oben auf Lineare Gleichungssysteme zur Bestimmung der neuen Koordinaten λ, λ, λ 3 in der Basis {v, v, v 3 }, z.b. für s : λ () λ + λ + λ 3 = s () λ + λ 3 = s (3) λ + λ + λ 3 = s 3 + λ λ = s s, λ = s + s s 3, λ 3 = s + s 3 s = (s s ) v + (s + s s 3 ) v + ( s + s ) v 3. + λ 3 = () () λ = s s () λ + λ 3 = s (3) () λ 3 = s 3 s Damit gilt für p : p = (6 3) v + (6 + 3 9) v + ( 6 + 9) v 3 = 3 v + 3 v 3 und für q : q = (3 ) v + (3 + 6) v + ( 3 + 6) v 3 = v v + 3 v 3 s s s 3