Polynominterpolation Aufgabe 1 Gegeben sei die Wertetabelle i 0 1 2 3 x i 0 1 2 4 f i 3 1 2 7 a) Bestimmen Sie das Interpolationspolynom von Lagrange durch die obigen Wertepaare. b) Interpolieren Sie die Wertetabelle gemäß der Newton-Form. c) Wie lautet das Interpolationspolynom unter Hinzunahme des Punktes (x 4, f 4 ) = ( 1, 1) bzw. der Punkte (x 4, f 4 ) = ( 1, 1) und (x 5, f 5 ) = (3, 6)?.
Polynominterpolation 2 P 4 (x) = 4 f(x j ) l j4 (x) j=0 = ( 3) x 1 0 1 x 2 0 2 x 4 0 4 x + 1 0 + 1 +1 x 0 1 0 x 2 1 2 x 4 1 4 x + 1 1 + 1 +2 x 0 2 0 x 1 2 1 x 4 2 4 x + 1 2 + 1 +7 x 0 4 0 x 1 4 1 x 2 4 2 x + 1 4 + 1 x 0 +1 1 0 x 1 1 1 x 2 1 2 = 7 15 x4 83 30 x3 + 53 15 x2 + 83 30 x 3. x 4 1 4
Polynominterpolation: Lagrange-Form Die Lagrangschen Grundpolynome lauten n x x l jn (x) = k, j = 0,..., n. x i x k k = 0 k j Sie haben die Eigenschaft l jn (x i ) = δ ji, i, j = 0,..., n, wobei δ ji das Kronecker Symbol bezeichnet. In der Lagrange-Darstellung lautet die Interpolationspolynom n P n (x) = f(x j )l jn (x). j=0
Polynominterpolation: Newton-Form Die Newton-Basis lautet w 0 (x) = 1, w k (x) = k 1 (x x i ), i=0 mit k = 0,..., n. Die dividierten Differenzen berechnen sich rekursiv nach der Formel [x 0,..., x n ]f = [x 1,...,x n ]f [x 0,...,x n 1 ]f x n x 0 mit [x i ]f = f(x i ). Das Interpolationspolynom in der Newton Form lautet n P n (x) = [x 1,..., x k+1 ]f w k (x). k=0
Polynominterpolation Aufgabe 2 Sei f(x) = e x und p(x) P 3 dasjenige Polynom, das f(x) an den Stellen x 0 = 1, x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, interpoliert. a) Geben Sie p(x) in der Newton-Form an. b) Wie groß kann der Interpolationfehler im Interval [1, 2] höchstens werden? c) Wie läßt er sich an der Stelle x = 1 2 abschätzen und wie groß ist er tatsächlich?
Polynominterpolation: Fehlerabschätzung Für x i [a, b] und f R n+1 [a, b] gilt f(x) P n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! wobei ξ [a, b] und ω n+1 (x), ω n+1 (x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x n ). Die Fehlerabschätzung auf [a, b]: f (n+1) (ξ) f(x) p n (x) = ω (n + 1)! n+1 (x) f (n+1) (x) max x [a,b] (n + 1)! max ω n+1(x) x [a,b]
Aufgabe 3 Die Funktion Polynominterpolation f(x) := 2 sin(3πx) soll durch Polynome an den Stützstellen interpoliert werden. x 1 = 0, x 2 = 1 12, x 3 = 1 6, x 4 = 1 3 a) Werten Sie das Interpolationspolynom P (f x 1, x 2, x 4 )(x) an der Stelle x = 1 10 mit dem Aitken-Neville-Schema aus. b) Bestimmen Sie die Lagrange- und die Newton-Darstellung des Polynoms P (f x 1, x 2, x 3 )(x). c) Werten Sie die Newton-Darstellung aus Teilaufgabe b) mit dem Horner-Schema an den Stellen y 1 = 1 10 und y 2 = 1 8 aus. d) Schätzen Sie den Interpolationsfehler P (f x 1, x 2, x 3 )(x) f(x) im Intervall [0, 1 6 ] ab. e) Ermitteln Sie das Interpolationspolynom P (f x 1, x 2, x 3, x 4 )(x). Welche Darstellung wählen Sie?
Polynominterpolation: Horner-Schema Zur Berechnung des Wertes des Polynom n P n (a) = c k w k (a) = c 0 + (a x 0 )(c 1 k=0 +... (c n 1 + (a x n 1 )c n )...)). mit c k = [x 1,..., x k+1 ]f an der Stelle x = a benutzt man eine effiziente Methode Setze p := c n. Für k = n 1,..., 0 berechne s = c k + (a x k )p
Polynominterpolation: Neville-Aitken-Schema Lemma 8.6. P i,k = x x i k x i x i k P i,k 1 + x i x x i x i k P i 1,k 1 = P i,k 1 + u i u u i u i k (P i 1,k 1 P i,k 1 ) für 0 k i n.
Aufgabe 4 Die Funktion Polynominterpolation f(x) = x 0 sin 2 (t) dt soll im Intervall I = [0, π 2 ] äquidistant so tabelliert werden, daß bei linearer Interpolation der Interpolationsfehler für jedes x I kleiner als 0.25 10 4 ist. Wie groß darf der Stützstellenabstand h dann höchstens sein und wieviele Funktionswerte müssen in die Tabelle aufgenommen werden?
Polynominterpolation Aufgabe 5 Gegeben seien die reellen Stützstellen x 0, x 1,..., x n R mit x 0 < x 1 < < x n und eine stetige Funktion f : R R. Das Interpolationspolynom P (f x 0,..., x n ) ist eindeutig bestimmt. Gegeben seien die reellen Stützstellen x 0, x 1,..., x n R mit x 0 < x 1 < < x n und eine stetige Funktion f : R R. Sei τ S {0,1,...,n} eine Permutation der Punkte 0 bis n. Dann gilt P (f x 0, x 1,..., x n ) = P (f x τ(0), x τ(1),..., x τ(n) ).
Aufgabe 5 Polynominterpolation Seien [a, b] R ein kompaktes Intervall und f : [a, b] R (n + 1)-mal stetig differenzierbar. Dann läßt sich der Approximationsfehler abschätzen durch max f P n max ω n max x [a,b] x [a,b] x [a,b] f (n) (x) (n + 1)!. Es sei l i,n (x) die Lagrange Grundpolynome zu den Stützstellen x 0,..., x n, n 1, dann gilt n (x + 1) n = l i,n (x)(x i + 1) i=0 für alle x [x 0, x n ].