Kapitel 16. Invertierbare Matrizen

Kapitel 16. Invertierbare Matrizen

Die drei Schritte des Gauß-Algorithmus Bringe erweiterte Matrix [A b] des Gleichungssystems A x auf Zeilenstufenform [A b ]. Das System A x = b ist genau dann lösbar, wenn die letzte Spalte b kein Stufenvektor ist. In diesem Fall führt geeignetes Streichen/Einfügen von Nullzeilen zu erweiterter Matrix [A b ], wobei A eine quadratische Matrix ist und der Hauptdiagonaleintrag jedes Stufenvektors Eins ist. b ist dann eine spezielle Lösung. Ferner führt Ersetzen der Hauptdiagonaleinträge Null (der Nichtstufenvektoren) durch -1 1

zu einer Basis des Lösungsraums des homogenen Gleichungssystems A x = 0.

Schritt 1: Zeilenstufenform Gegeben sei die erweiterte Matrix [A b] = 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 2 1 2 2 1 1 Umformung in Zeilenstufenform: 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 4 2 1 0 Wir lesen ab: Das System ist lösbar! 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Beachten Sie, dass die Summe der ersten drei Zeilen gleich der vierten ist. 2 2 1 0 3 1 1 0 2

Schritt 2: Streichen/Einfügen von Nullzeilen Aus 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 1 1 0 wird die Matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 1 0 1 0 Die rechte Seite x 0 = [3, 1, 0, 1, 0] ist eine spezielle Lösung. 3

Schritt 3: Lösungsraum des homogenen Systems Die beiden Vektoren h 1 = 1 0-1 0 0, h 2 = 1 0 0 0-1 bilden eine Basis des Lösungsraums des homogenen Systems. Das lineare Gleichungssystem A x = b ist durch Angabe von [x 0 ; h 1, h 2 ] vollständig gelöst! 4

Gleichwertigkeit von Lösungsdaten Sei A x = b ein lineares Gleichungssystem. Wir nehmen an, dass wir ein Lösungssystem [x 0 ; h 1, h 2,..., h n r ] kennen. Wir setzen also voraus, dass x 0 eine spezielle Lösung von A x = b ist und die h i s eine Basis für den Lösungsraum des homogenen Systems A x = 0 bilden. Wie können wir entscheiden, dass ein anderes System [x 0 ; h 1, h 2,..., h n r] dieselbe Lösungsmenge beschreibt? Sicher können wir nicht die im allgemeinen unendliche Lösungsmenge Element für Element abprüfen, um hier sicher zu gehen. Nachzuprüfen haben wir zwei Dinge: (a) x 0 x 0 liegt in H := h 1, h 2,..., h n r. (b) Es gilt h 1, h 2,..., h n r = h 1, h 2,..., h n r. 5

Invertierbare Matrizen Wir befassen uns momentan mit quadratischen Matrizen vom festen Format n n. Definition. Eine n n-matrix A heißt n n-matrix B mit invertierbar, wenn es eine A B = E n und B A = E n gibt. In diesem Fall ist B durch A eindeutig bestimmt und heißt die zu A inverse Matrix. Bezeichnung: B = A 1. Eindeutigkeit: Seien B und C zu A invers, dann gilt: B = E n B = (C A) B = C (A B) = C E n = C. 6

Kennzeichnung invertierbarer Matrizen Satz. Für eine n n-matrix A sind äquivalent: (1) A ist invertierbar. (2) Es gibt eine n n-matrix B mit A B = E n. (3) Die Spalten von A bilden eine Basis des R n. (4) Die lineare Abbildung f : R n R n, x A x, ist ein Isomorphismus. Eine weitere äquivalente Bedingung ist: (2 ) Es gibt eine n n-matrix B mit B A = E n. 7

Nachweis der Äquivalenz (1) = (2): klar. (2) = (3): Sei B = [b 1, b 2,..., b n ], dann ist A b i = e i für 1 i n. Es folgt, dass b 1, b 2,..., b n im R n linear unabhängig und dann auch eine Basis sind. (3) = (4): Sei A = [a 1, a 2,..., a n ], dann ist f(e i ) = a i (1 i n). Das Bild von f, also a 1, a 2,..., a n, ist wegen (3) der R n. Per Rangsatz ist ferner der Kern von f gleich Null; insgesamt ist f dann ein Isomorphismus. (4) = (3): Es ist A = M(f); setze B = M(f 1 ). Aus f g = 1 R n = g f folgt für die zugehörigen Matrizen dann A B = E n = B A. 8

Berechnung der inversen Matrix Wir setzen voraus, dass die Spalten von A eine Basis des R n bilden. Das Problem A X = E n mit X = [x 1, x 2,..., x n ] führen wir auf das Lösen der n linearen Gleichungssysteme A x i = e i (1 i n) zurück. Wir wissen, dass diese Lösung durch elementare Zeilenumformungen möglich ist; dieselben führen wir simultan durch. Satz. Sei A eine invertierbare n n-matrix. Die zu A inverse Matrix ermitteln wir wie folgt: Wir formen die Matrix [A E] durch elementare Zeilenumformungen solange um (Zeilenstufenform) bis die Form [E n B] erreicht ist. Dann ist B die zu A inverse Matrix. 9

Für die 3 3-Matrix A = 1 2 3 1 3 4 1 3 5 Beispiel soll entschieden werden, ob sie invertierbar ist. Für diesen Fall soll ferner die zu A inverse Matrix A 1 berechnet werden. Durch elementare Zeilenumformungen überführen wir [A E] in die Form [D B]: 1 2 3 1 0 0 1 3 4 0 1 0 1 2 3 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 3 1 1 0 1 1 1 1 0 1 3 5 0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 1 Fazit: A 1 = 1 0 0 0 1 1 0 0 1 3 1 1 1 1 0 0 1 1 3 1 1 1 2 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 1 1 2 1 0 1 1. 10

Kommentar: Invertierbarkeit Das beschriebene Verfahren gestattet nicht nur im Fall der Invertierbarkeit von A die zu A inverse Matrix zu berechnen. Vielmehr lässt sich auch entscheiden, ob A invertierbar ist: Die n n- Matrix A ist nämlich genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten eine Basis des R n bilden. Dies ist genau dann der Fall, wenn A den Rang n hat. In genau diesem Fall ist die zugehörige Zeilenstufenform von A gerade die Einheitsmatrix. Bringen wir also [A E n ] auf Zeilenstufenform [A B], so teilt uns dieselbe mit, ob A invertierbar ist: Dies ist genau dann der Fall, wenn A = E n ist. 11

Inverse Matrizen: Rechenregeln Satz. A, B seien n n-matrizen. Es gilt (1) Die Einheitsmatrix E n ist invertierbar und E 1 n = E n. (2) Ist A invertierbar, so auch A 1. Es gilt dann: (A 1 ) 1 = A. (3) Sind A und B invertierbar, so auch A B. Es gilt dann: (A B) 1 = B 1 A 1. Man beachte in (3) die Umkehrung der Reihenfolge. 12

Rechenregeln: Begründung Zu (1): Aus E n E n = E n folgt, dass E n zu sich selbst invers ist. Eindeutigkeit der Inversen liefert die Behauptung. Zu (2): Die Beziehung A A 1 = E n = A 1 A, die ausdrückt, dass A 1 zu A invers ist, lässt sich durch Verkehrung der Rollen beider Faktoren auch so lesen, dass A zu A 1 invers ist, also A = (A 1 ) 1 ist. Zu (3): Es gilt (A B) (B 1 A 1 ) = A (B B 1 ) A 1 = A E n A 1 = A A 1 = E n. Entsprechend folgt (B 1 A 1 ) (A B) = E n und dann die Behauptung. 13

Invertierbare Matrizen und lineare Gleichungssysteme A sei eine invertierbare n n-matrix und b eine n-spalte. Wir befassen uns erneut mit dem Lösen des linearen Gleichungssystems A x = b, betrachten dieses nunmehr aber aus dem Blickwinkel der Matrizenrechnung. Satz. Das lineare Gleichungssystem A x = b ist eindeutig lösbar. Diese Lösung ist x = A 1 b. Beweis. Einsetzen von x = A 1 b ergibt, dass x eine Lösung von A x = b ist. Sei andererseits x eine Lösung von A x = b, so ergibt Links-Multiplikation mit der Matrix A 1, dass dann x = A 1 b sein muss. 14

Bewertung der Lösungsformel x = A 1 b (1)Gegenüber der algorithmischen Lösung von A x = b durch Umformen von [A b] auf Zeilenstufenform ist es vorteilhaft, dass wir die Lösung x durch eine allgemeingültige Formel x = A 1 x angeben können. (2) Diese Formel verdeutlicht zudem die Denkökonomie der Matrizenrechnung. Bis auf die Feinheit, dass wir auf die Reihenfolge der Faktoren zu achten haben, entspricht sie genau der Lösung der Zahlengleichung ax = b für a 0. (3) Nachteilig ist, dass die Formel nur für invertierbare Matrizen A gilt. (4) Ferner ist der Rechenaufwand zu beachten: Wir erzeugen hohen Rechenaufwand durch Bestimmung der inversen Matrix und anschließende Matrixmultiplikation. Im Vergleich schneidet die direkte algorithmische Lösung besser ab. 15

Elementarmatrizen Definition. Unter einer Elementarmatrix verstehen wir eine Matrix die aus einer n n-einheitsmatrix E n durch eine einzige elementare Zeilenumformung hervorgeht. Wir haben wir damit folgende drei Typen von Elementarmatrizen: (1) Für i k die Matrix E i,k, die aus E n durch Vertauschen von i-ter und k-ter Zeile hervorgeht. Es ist E i,k = E k,i. (2) Für i = 1,..., n und einen Skalar α 0 die Matrix E i (α), die aus E n durch Multiplikation der i-ten Zeile mit dem Faktor α hervorgeht. (3) Für i k und einen beliebigen Skalar α die Matrix E i,k (α), die aus E n durch Addition des α-fachen der k-ten Zeile zur i-ten Zeile hervorgeht. Hinweis. Elementare Spaltenumformungen der Einheitsmatrix führen auf dieselben Typen von Matrizen. 16

Elementarmatrizen und elementare Zeilenumformungen Satz. (a) Elementare Zeilenumformungen (bzw. Spaltenumformungen) ergeben sich gerade durch Linksmultiplikation (bzw. Rechtsmultiplikation) mit einer Elementarmatrix. (b) Jede Elementarmatrix ist invertierbar. (c) Der Spaltenrang einer Matrix ändert sich nicht durch elementare Zeilen- oder Spaltenumformungen. 17

Nachweis der Eigenschaften I Wir verwenden momentan e 1, e 2,..., e n zur Bezeichnung der Standardbasis des R n in Zeilenform. Zu (a): Sei A = a 1. a n eine im Zeilenaufbau gegebene n p-matrix, so ist e i A = a i. Die Behauptung (a) folgt dann unmittelbar hinsichtlich der Zeilenumformungen. Der Beweis für elementare Spaltenumformungen verläuft analog. Zu (b): Von einer Elementarmatrix E kommen wir durch eine einzige elementare Zeilenumformung zur Einheitsmatrix E n zurück. Nach (a) gibt es daher eine Elementarmatrix E mit E E = E n. 18

Nachweis der Eigenschaften II Zu (c): Wir wissen schon, dass sich der Spaltenrang einer Matrix durch elementare Zeilenumformungen nicht ändert. Wir haben uns noch mit dem Fall elementarer Spaltenumformungen zu befassen. Wegen (b) reicht es zu zeigen, dass die m n-matrizen A und A B denselben Spaltenrang haben, wenn B eine invertierbare m m- Matrix ist. Übersetzt in die Sprache der linearen Abbildungen müssen wir daher nachweisen, dass lineare Abbildungen f und f g : R n R m denselben Rang haben, falls g : R m R m ein Isomorphismus ist. Offensichtlich haben wegen g(r m ) = R m die beiden Abbildungen f und f g dasselbe Bild und daher denselben Rang. 19

Zeilenstufenform invertierbarer Matrizen Den folgenden Sachverhalt haben wir schon kennengelernt: Satz. Jede invertierbare n n-matrix A lässt sich durch elementare Zeilenumformungen zur Einheitsmatrix umformen. Beweis. Wir formen A durch elementare Zeilenumformungen in eine Matrix B um, die Zeilenstufenform hat. Als invertierbare Matrix hat A den Spaltenrang n (die Spalten von A sind linear unabhängig); folglich hat auch B den Spaltenrang n und besteht folglich n Stufenvektoren, somit den Vektoren e 1, e 2,..., e n der Standardbasis. B ist folglich die n n-einheitsmatrix. 20

Invertierbare Matrizen und Elementarmatrizen Satz. Jede invertierbare n n-matrix A ist darstellbar als Produkt von Elementarmatrizen. Beweis. Wir wenden die vorstehenden Sätze auf A an. Zunächst einmal lässt sich A durch elementare Zeilenumformungen zur Einheitsmatrix umformen. Ferner entspricht jeder Umformungsschritt der Linksmultiplikation mit einer Elementarmatrix. Es gibt daher Elementarmatrizen E 1, E 2,..., E s mit ein Produkt von Elementarmatri- Folglich ist A = E1 1 E2 1 Es 1 zen. E s E 2 E 1 A = E n. In der hier verwendeten Schreibweise bitte nicht E i mit der i i-einheitsmatrix verwechseln! 21

Umformulierung Folgerung. Jede invertierbare n n-matrix lässt sich wie folgt erhalten. Wir starten mit der Einheitsmatrix E n und wenden eine geeignete Folge von elementaren Zeilenumformungen an. Anmerkung. Aus Symmetriegründen gelten entsprechende Aussagen für elementare Spaltenumformungen. 22

Zeilenstufenform Jede m n-matrix A lässt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform und analog durch elementare Spaltenumformungen auf Spaltenstufenform bringen. Satz. Zu jeder m n-matrix A gibt es eine invertierbare Matrizen Q und R, so dass Q A Zeilenstufenform und A R Spaltenstufenform hat. Beweis. Durch elementare Zeilenumformungen lässt sich A auf Zeilenstufenform bringen. Damit gibt es Elementarmatrizen E 1, E 2,..., E s, so dass E 1 E 2 E s A Zeilenstufenform hat. Das Produkt Q = E 1 E 2 E s ist eine invertierbare Matrix mit der gewünschten Eigenschaft. Der Beweis für die Spaltenstufenform verläuft analog. Dies bedeutet, dass durch Vertauschen von Spalten und Zeilen eine Matrix von Zeilenstufenform entsteht. 23

Zeilen- und Spaltenumformungen Satz. Jede m n-matrix A lässt sich durch zulässige Zeilen- und Spaltenumformungen auf die Form ( ) Er 0 0 0 bringen, wobei E r die r r-einheitsmatrix ist und die Symbole 0 für Nullmatrizen geeigneten Formats stehen. Dabei ist r der Spaltenrang von A. Beweis. Durch elementare Zeilenumformungen bringen wir A zunächst auf Zeilenstufenform. In den r Stufen dieser Matrix stehen die ersten r Vektoren e 1, e 2,..., e r der Standardbasis. Diese Spalten bringen wir anschließend durch elementare Spaltenumformungen in die ersten r Positionen; von den verbleibenden Spalten wissen wir, dass sie Linearkombinationen von e 1, e 2,..., e r sind. Dieselben können daher durch weitere elementare Spaltenumformungen zu Null umgeformt werden. 24

Umformulierung Satz. Sei A eine m n-matrix vom Spaltenrang r. Dann gilt: (a) Es gibt Elementarmatrizen E 1, E 2,..., E s bzw. F 1, F 2,..., F t, so dass E 1 E 2 E s A F 1 F 2 F t = ( Er 0 0 0 (b) Es gibt invertierbare Matrizen Q und R, so dass ( ) Er 0 Q A R =. 0 0 ). Beweis. (a) ergibt sich unmittelbar aus dem vorangehenden Satz. Aussage (b) folgt dann aus (a). 25

Zeilenrang = Spaltenrang Satz. Für jede m n-matrix A stimmen Zeilenrang (die maximale Anzahl eines Systems linear unabhängiger Zeilen) und der Spaltenrang (die maximale Anzahl eines Systems linear unabhängiger Spalten) überein. Beweis. Durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen lässt sich A zu einer Matrix ( ) Er 0 B = 0 0 umformen. Bei dieser Umformung bleiben Zeilen- und Spaltenrang erhalten. Ersichtlich stimmen für B Zeilen- und Spaltenrang überein, also auch für A. 26

Beweis: Reduktion auf Zeilenstufenform Wir starten mit einer m n-matrix A = (a ik ) mit dem Spaltenaufbau [a 1, a 2,..., a n ]. Falls alle Spalten Null sind, sind wir fertig. Andernfalls sei i 1 der kleinste Index, für den die zugehörige Spalte ungleich Null ist. Durch Vertauschen von Zeilen können wir erreichen, dass der erste Eintrag von a i1 ungleich Null und nach Multiplikation der ersten Zeile mit einem geeigneten Faktor sogar a 1,i1 = 1 gilt. Die übrigen Einträge dieser Spalte können wir durch elementare Zeilenumformungen zu Null machen. Es ergibt sich dann eine Matrix der Form 0 0 1 0 0 0.. B 0 0 0 27

Fortsetzung des Beweises Hierbei ist B eine (m 1) (n i 1 )-Matrix. Durch Induktion nach der Zeilenzahl m können wir daher annehmen, dass sich B durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform B bringen lässt. Diese Zeilenumformungen wenden wir auf die ganze Matrix an. Für jede Stufe von B können wir wegen des dort vorhandenen Eintrags 1 erreichen, dass durch elementare Zeilenumformung der Eintrag der ersten Zeile Null wird. Das Ergebnis ist eine Matrix in Zeilenstufenform. 28