Quantenmechanik für Lehramtskandidaten und Meteorologen Alexander Shnirman Institut für Theorie der Kondensierten Materie, Karlsruher Institut für Technologie Dated: 17. Januar 014) 1
Contents I. Motivation 4 II. Zustände in Quantenmechanik 4 A. Hilbert-Raum 4 B. Einfachster Hilbertraum: Quantenbit oder Spin 1/ oder Zwei-Niveau-System 6 C. Ein Teilchen in 1-D 6 III. Die Observable 7 A. Der Impuls-Operator 9 IV. Schrödinger-Gleichung 10 A. Erhaltung der Wahrscheinlichkeit 10 B. 3-D Teilchen 11 C. Stationäre Zustände 11 V. Impuls-Darstellung einer Wellenfunktion 1 A. Unschärfe-Relation 13 VI. Wellenpakete 16 VII. Streuzustände und gebundene Zustände 18 A. Randbedingungen 18 B. Streuzustände 19 C. Barriere 19 D. Gebundene Zustände 1 VIII. Harmonischer Oszillator IX. Drehimpuls 4 A. Sphärische Koordinaten 5 B. Leiteroperatoren 6 C. Der Operator L 6 X. Wasserstoffatom 7
XI. Spin 1/ 8 XII. Periodensystem der Elemente 30 A. Pauli-Prinzip 30 XIII. Spin 1/, Dynamik 31 A. Magnetisches Moment 31 B. Gyromagnetisches Verhältnis 31 C. Spin-Präzession 3 3
Literatur: Griffiths, David J. 004). Introduction to Quantum Mechanics nd ed.). Prentice Hall. Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik.. Auflage. De Gruyter, Berlin 1999 Franz Schwabl: Quantenmechanik Eine Einführung. 6. Auflage, Springer, Berlin,Heidelberg,New York 00 I. MOTIVATION Quantenmechanik wurde um 195 von mehreren Wissenschaftlern entwickelt. U.a., W. Heisenberg, E. Schrödinger, M. Born, P. Jordan, W. Pauli, P. Dirac, J. von Neumann... Alte Quantentheorien: 1) 1900 - Strahlungsgesetzt von Max Planck. Planck konnte das Strahlungsspektrum der schwarzen Körper nur mit Hilfe der Hypothese erklären, dass die Energie der elektromagnetischen Wellen gequantelt ist. Das Energie-Quantum lautet E = hν = ω. Hier h/π) 1.054 10 34 J s. ) 1905 - Photoeffekt, A. Einstein. Bei Bestrahlung mit kurzwelligem Licht werden aus der Oberfläche eines Metalls Elektronen herausgelöst. Die kinetische Energie eines Elektrons hängt von der Frequenz des Lichtes aber nicht von der Intensität ab. E kin = ω W, wobei W die Austrittsarbeit ist. 3) Atommodel von Niels Bohr, 1913. Elektronen befinden sich in diskreten stationären Zuständen mit Energien E n. Übergänge zwischen den Zuständen durch Ausstrahlung E n E m = ω. 4) de Broglie 193) p = k. Z.B., für Photonen aus E = ω = cp und ω = ck folgt p = k. Wellen der Materie. Interferenz. II. ZUSTÄNDE IN QUANTENMECHANIK A. Hilbert-Raum In der klassischen Mechanik der Zustand des Systems ist ein Punkt im Phasenraum. Z.B., für ein Teilchen kennen wir den Zustand wenn wir den Ortsvektor r und den Impuls p 4
kennen. In der Quantenmechanik liegen die Zustände im Hilbertraum nach David Hilbert genannt). a. Definition: Hilbertraum ist ein vollständiger)vektorraum mit Skalarprodukt. Skalarprodukt definiert die Norm eines Vektors und folglich Konvergenz. Die Vollständigkeit bedeutet, dass jede Cauchy-Folge konvergiert zu einem Element des Raums).) b. Skalarprodukt: In der Quantenmechanik werden ausschließlich) komplexe Hilberträume benutzt Vektorraum über C). Der Skalarprodukt in einem komplexen Hilbertraum hat die folgenden Eigenschaften: Skalarprodukt ist linear bezüglich des zweiten und semilinear bezüglich des ersten Arguments: g αu + βv = α g u + β g v αu + βu g = α u g + β v g, 1) wobei u, v, g die Vektoren des Hilbertraums sind und α, β C. Motiviert durch Skalarprodukt-Bezeichnung u v definiert man die ket-vektoren v und die bra-vektoren u. c. Superposition-Prinzip: Wenn u und v zwei physikalischen Zustände sind, ist auch g = α u + β v ein physikalischer Zustand. d. Basis: Mit Hilfe von Basisvektoren n können alle Vektoren des Hilbertraums zerlegt werden: u = c n n. ) n Weiteres es ist sehr bequem eine orthonormierte Basis zu wählen, d.h., m n = δ m,n. Es ist auch nicht schlecht wenn die Vektoren n eine klare physikalische Bedeutung haben. Z.B., verschiedene Positionen eines Teilchens. e. Normierung, Wahrscheinlichkeiten, globale Phase: Alle physikalischen Zustände sind normiert, d.h., u u = 1. Mit der Zerlegung ) bedeutet das u u = n,m c mc n m n = n c n = 1. 3) Das ergibt die Interpretation der Normierung: c n sind die Wahrscheinlichkeiten das System im Zustand n zu finden. Normierung bedeutet, dass Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1. Darüber hinaus der Zustand ist unverändert durch Multiplikation mit einer Phase. D.h., der Vektor e iγ u stellt den gleichen physikalischen Zustand wie u dar. 5
B. Einfachster Hilbertraum: Quantenbit oder Spin 1/ oder Zwei-Niveau-System Die Basis besteht nur aus zwei Zuständen: 0 = und 1 =. Ein beliebiger Zustand kann wie folgt zerlegt werden: u = α + β, 4) wobei α + β = 1. Da die globale Phase unwichtig ist können wir einen beliebigen Zustand durch zwei reelle Parameter Winkeln) parametrisieren: ) ) θ θ α = cos, β = e iϕ sin wobei θ [0, π] und ϕ [0, π]., 5) Also klassisch kann ein Bit nur zwei Zustände haben, d.h., 0 und 1. Quantenmechanisch haben wir ein Kontinuum der Zustände parametrisiert durch θ und ϕ. Jedoch, es gibt nur zwei linear-unabhängige Basiszustände, 0 und 1. D.h., der Hilbertraum ist zweidimensional. C. Ein Teilchen in 1-D Analog zum Quantenbit betrachten wir jetzt die, zunächst diskrete, Menge der Positionen eines Teilchens x n. Zu diesen Positionen ordnen wir eine orthonormale Basis zu: x n, d.h., x m x n = δ mn. Ein beliebiger Zustand lautet: ψ = n ψx n ) x n. 6) Das Skalarprodukt zwischen den zwei Zuständen ψ und φ lautet φ ψ = n φ x n )ψx n ). 7) Die Normierung-Bedingung lautet ψ ψ = n ψ x n )ψx n ) = n ψx n ) = 1. 8) Wir verallgemeinern jetzt für den Fall wo x n zu einer kontinuierliche Koordinate x wird. Dann wird der Zustand ψ durch die Wellenfunktion dargestellt, d.h., ψx n ) ψx). Die Normierung-Bedingung lautet jetzt ψ ψ = dx ψx) = 1. 9) 6
Das Skalarprodukt lautet φ ψ = dx φ x)ψx). 10) Dieser Hilbertraum heißt L - der Raum von Quadrat-Integrierbaren Funktionen. f. Die Interpretation : ψx) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Teilchen im Ort x zu sein. III. DIE OBSERVABLE In der klassischen Physik die Observable, d.h., die messbaren Größen sind, z.b., der Ort r, der Impuls p, die Energie E = H r, p) u.s.w. In der Quantenmechanik die Observable sind Hermitische) lineare Operatoren. g. Beispiel: Ortsoperator: Wir definieren den Operator ˆx sodass, φ = ˆx ψ bedeutet φx) = xψx). Im diskreten Fall bedeutet das ψ = n ψx n ) x n, 11) ˆx ψ = n x n ψx n ) x n. 1) Wenn der Zustand ψ normiert ist, ist der Vektor ˆx ψ nicht unbedingt normiert. Untersuchen wir das Matrixelement ψ ˆx ψ = dx x ψx). 13) Es ist klar, dass ψ ˆx ψ der Erwartungswert von x ist, weil ψx) die Wahrscheinlichkeitsdichte ist das Teilchen im Ort x zu finden. h. Matrix-Elemente: Operator A wirkend auf Zustand u ergibt den Zustand v : v = A u. 14) Jeder Zustand lässt eine Zerlegung in der Basis n zu: u = n u n n = n n n u. 15) Beweis: n u = n m u m m = m u m n m = m u mδ n,m = u n. Daraus folgt auch die Vollständigkeit-Relation n n n = ˆ1 Einheitsoperator). Dann gilt v = A u = A m m m u, 16) 7
und n v = n A u = m n A m m u, 17) oder v n = m A nm u m, 18) wobei A nm n A m sind die Matrixemenete des Operators A. Also jeder Operator ist definiert durch seine Matrix A nm in der Basis n. i. Hermitisch konjugierter Operator: Der zu A Hermitisch konjugierte Operator A ist definiert durch die Relation die für beliebige Zustände ψ und φ gelten muss: A φ ψ φ Aψ. 19) Für die Matrixelemente bedeutet das m A n = m An = A m n = n A m = n A m. 0) Wir erhalten also A ) = A mn mn). D.h., Hermitische Konjugation ist äquivalent der Transposition zusammen mit der komplexen Konjugation. j. Selbstkonjugierte Hermitische) Operatoren Ein Operator heißt Hermitisch nach Charles Hermite) wenn gilt A = A. Für die Matrixelemente bedeutet das A mn = A nm. 1) Zum Beispiel der Ortsoperator ist Hermitisch. Beweis: φ ˆxψ = dx φ x) x ψx)), ) und ˆxφ ψ = dx x φx)) ψx). 3) Da x reell ist gilt φ ˆxψ = ˆxφ ψ. Noch ein Beispiel: der Operator ˆk = i / x. Wir erhalten und φ ˆkψ = ˆkφ ψ = dx φ x) dx i ψx) ) x, 4) i φx) ) ψx). 5) x 8
Wir benutzen sie partielle Integration dx i φx) ) ) φ x) ψx) = dx i ψx) x x = iφ x)ψx) + + dx φ x) i ψx) ). 6) x Der erste Term verschwindet, da die Funktionen φx) und ψx) integrierbar sein müssen gehören dem L ), d.h., sie müssen auf x ± verschwinden. Also wir haben bewiesen, dass φ ˆkψ = ˆkφ ψ. k. Eigenzustände Eigenzustand v eines Operators  ist definiert durch  v = a v, 7) wobei a C der Eigenwert ist. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die reellen symmetrischen Matrizen eine vollständige Basis von Eigenvektoren besitzen. Genauso die Hermitische Operatoren besitzen eine vollständige Basis von Eigenvektoren. Das wird hier nicht bewiesen. Die Eigenwerte der Hermitischen Operatoren sind reell. Beweis: Anderseits, da A = A gilt v A v = v Av = v av = a. 8) v A v = Av v = av v = a. 9) Also a = a. Zwei Eigenvektoren eines Hermitischen Operators mit unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal. Beweis: wir haben A n = a n n, und A m = a m m, und a n a m. n A m = n Am = a m n m. 30) Anderseits n A m = An m = a n n m. 31) Da a n a m, erhalten wir n m = 0. A. Der Impuls-Operator Der Impuls-Operator lautet ˆp i x. 3) 9
Motivation: für eine ebene Welle ψx) = e ikx das in nicht Integrierbar!) gilt ˆpψx) = kψx), 33) und nach de Broglie gilt p = k. Als wir schon gezeigt haben, ist der Operator ˆp Hermitisch. IV. SCHRÖDINGER-GLEICHUNG In der Quantenmechanik entwickeln sich die Zustände in der Zeit gemäß der Schrödinger- Gleichung i t ψ = Ĥ ψ, 34) wobei Ĥ der Hamilton-Operator a.k.a. Hamilton) ist. Für ein Teilchen in 1-D lautet der Hamilton-Operator Ĥ = ˆp + V ˆx) = m m Die Schrödinger-Gleichung dann lautet ψx, t) i t + V ˆx). 35) x = ψx, t) + V x)ψx, t). 36) m x A. Erhaltung der Wahrscheinlichkeit gilt Wir wollen zeigen, dass die Norm des Zustandes konstant bleibt. D.h., wenn zur t = 0 dx ψx, t) = 1, 37) dann gilt das auch für alle späteren Zeiten t > 0. Wir erhalten { dx ψx, t) = dx ψ ψ } t t + ψ t ψ Aus der Schrödinger-Gleichung folgt und ψ t ψ t = 1 i ] [ ψ m x + V ψ = 1 ] [ ψ i m x + V ψ. 38) 39). 40) Die potentielle Energie V x) ist natürlich reell). Dann erhalten wir { dx ψ ψ } t + ψ t ψ = i { } dx ψ ψ m x ψ x ψ = 0. 41) 10
Die letzte Gleichung ergibt sich durch gedoppelte partielle Integration. Jetzt untersuchen wir die zeitliche Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte: t ψ = i { } ψ ψ m x ψ x ψ = [ { i ψ ψ }] x m x ψ x ψ. 4) Wir führen ein die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ ψ und die Wahrscheinlichkeits- { Stromdichte j mi ψ ψ ψ ψ}. Dann die Gleichung 4) ist die Kontinuitätsgleichung: x x ρ t + j x = 0. 43) B. 3-D Teilchen Die Verallgemeinerung von 1-D auf 3-D ist ganz direkt. Es gibt drei Koordinaten r = r 1, r, r 3 ) und drei Impulse p = p 1, p, p 3 ), wobei p i i r i. 44) Der Hamilton-Operator lautet Die Schrödinger-Gleichung lautet Ĥ = p + V r). 45) m wobei ψ r, t) i t Die Kontinuitätsgleichung lautet wobei j = m ψ r, t) + V r)ψ r, t), 46) ),,. 47) r 1 r r 3 ρ t + j = 0, 48) ) } {ψ ψ ψ ) ψ mi. 49) C. Stationäre Zustände Eine besondere Rolle in der Quantenmechanik wird von Eigenzuständen des Hamilton- Operators gespielt. Der Hamilton entspricht der Observable Energie und muss Hermitisch 11
sein. Es existiert eine vollständige Basis des Hilbertraums die aus allen Eigenvektoren von H besteht. H n = E n n. 50) Die reelle Eigenewerte E n heißen Eigenenergien. Die Zeitentwicklung von einem Eigenzustand ist sehr einfach. Der Zustand ψt) = exp ie ) nt n 51) stellt eine Lösung der Schrödinger-Gleichung dar. Beweis: i t ψt) = exp ie ) nt E n n = exp ie ) nt H n = H ψt). 5) Also der Zustand ist stationär, da die globale Phase exp ient nicht ändert. ) den physikalischen Zustand V. IMPULS-DARSTELLUNG EINER WELLENFUNKTION Wir betrachten die Fourier-Transformation einer Wellenfunktion ψx). dp ψx) = π gp) eipx/ 53) oder mit p = k dk ψx) = π gk) eikx, 54) wobei gk) = g k). Die inverse Fourier-Transformation lautet gk) = dx ψx) e ikx. 55) Normierung ergibt: dx ψx) = Untersuchen wir den Erwartungswert von ˆp oder ˆk = ˆp/ = i x ). ψ ˆp ψ = dx ψx) i x ) ψx) dk1 = dx π g k 1 )e ik1x i x ) dk1 dk = dx π π g k 1 )gk ) k e ik k 1 )x dk = π gk) k = 1 dk π gk). 56) dk π gk )e ik x dp π gp) p. 57)
Hier haben wir die Delta-Funktion benutz die der folgenden Relation genügt: dx e iqx = πδq). 58) Also, man kann gp) genauer gp)) als Wellenfunktion in p-darstellung betrachten. l. Delta-Funktion Delta-Funktion ist der Limes einer sehr scharfen Glocke deren Integral eins ist. Die Haupteigenschaften: dq δq) = 1. 59) Für eine stetige Funktion fq) Probe-Funktion) gilt dq δq q 0 )fq) = fq 0 ). 60) A. Unschärfe-Relation m. Gauss-Verteilung Wir untersuchen eine besondere Wellenfunktion ψx) = N e ik 0x e x x 0) /4b. 61) Die Normierung-Konstante N bestimmt man aus der Normierung-Bedingung dx ψx) = 1. 6) Das ergibt Also es gilt N dx e x x 0) /b = N πb = 1. 63) N = πb ) 1/4. 64) Für den Erwartungswert x = ψ x ψ erhalten wir x = ψ x ψ = N dx x e x x 0) /b = N dy y + x 0 )e y /b. 65) Der erster Term verschwindet wegen Symmetrie, wobei der zweite ergibt einfach ψ x ψ = x 0. Jetzt untersuchen wir die Variation x) [x x ] = x x. 66) 13
Wir erhalten x) = N dx x x 0 ) e x x 0) /b = N dy y e y /b = b. 67) Also b is die Breite der Verteilung. Wie sieht dieser Zustand in der p-darstellung aus? Wir erhalten gk) = dx ψx)e ikx = N = N e ik k 0)x 0 = N e ik k 0)x 0 dx e x x 0 ) 4b e ik k 0)x dx e x x 0 ) 4b e ik k 0)x x 0 ) dy e y 4b e ik k 0)y = N e ik k 0)x 0 e b k k 0 ) = N e ik k 0)x 0 e b k k 0 ) = N e ik k 0)x 0 e b k k 0 ) b π dy e y+ik k 0 )b ) 4b dz e z 4b = N k e ik k 0)x 0 e b k k 0 ), 68) wobei die neue Normierung-Konstante lautet N k = 8πb ) 1/4. Wir sehen, dass die Wellenfunktion in der p-darstellung ist wieder eine Gaußglocke. Wir haben schon die Erfahrung gesammelt mit den Gauß-Verteilungen. Wir schreiben um wie gk) = N k e ik k 0)x 0 e k k 0 ) 4c, 69) wobei c = 1/4b ). Das ergibt p = k = k 0 70) und p) = k) = c = 4b. 71) Wir haben jetzt ein sehr wichtiges Ergebnis erhalten: für die Gauß-Wellenfunktion gilt x p =. 7) n. Algebraischer Beweis Wir betrachten zwei Hermitische Operatoren A und B und den Zustand ψ. Die Erwartungswerte von A und B im Zustand ψ sind gegeben als Ā = ψ A ψ, B = ψ B ψ. 73) 14
Wir definieren und Dann gilt und a = A Ā) ψ 74) b = B B) ψ. 75) a a = ψ A Ā) ψ = σa 76) b b = ψ B B) ψ = σb. 77) Wir benutzen die bekannte Ungleichung von Schwarz a a b b a b. 78) Das Skalarprodukt z = a b ist eine komplexe Zahl. Dann gilt Also oder z = Rez)) + Imz)) Imz)) ) z z =. 79) i ) a b b a a a b b, 80) i σ A σ B ψ AB BA i ψ 81) Für A = ˆx und B = ˆp erhalten wir ˆxˆp ˆpˆx) ψ = x i ) ψ i ) xψ = i ψ. 8) x x Also Schließlich [x, p] = xp px = i. 83) σ x σ p. 84) 15
VI. WELLENPAKETE Wir betrachten ein freies Teilchen, das zur t = 0 im Zustand dk ψx) = π gk) eikx 85) vorbereitet wurde. Der Hamilton-Operator des Teilchens lautet H = p m. 86) Zu einer späteren Zeit t > 0 ergibt sich, dann, der Zustand dk ψx, t) = π gk) eikx e iωk)t, 87) wobei ωk) = p m = k m. 88) Hier kann man die ebene Welle e ikx als nicht normierbarer) Eigenzustand des Hamilton- Operators betrachten mit der Eigenenergie E k = ωk). 89) o. Gruppengeschwindigkeit Wir nehmen an, dass gk) um k 0 konzentriert ist. Diese Situation heißt Wellenpaket, da wir ein Paket von ebenen Wellen haben. Dann gilt für relevante k) und ψx, t) dk π = e ik 0x iωk 0 )t ωk) ωk 0 ) + ωk) k { gk) exp dk gk) exp π Wir sehen, dass das Wellenpaket sich mit der Geschwindigkeit k k 0 ) +... 90) k0 ik 0 x + ik k 0 )x iωk 0 )t i ωk) } k k 0 )t k k0 { ik k 0 ) x ωk) )} t. 91) k k0 v g ωk) k bewegt. Diese Geschwindigkeit heißt die Gruppengeschwindigkeit. 9) k0 16
p. Dispersion Betrachten wir den nächsten Glied in der Entwicklung ωk) ωk 0 ) + ωk) k k 0 ) + 1 ωk) k k k k0 k k0 0 ) +... = ωk 0 ) + v g k k 0 ) + ak k 0 ) +... 93) Was ist die Rolle der Größe a? Um das zu verstehen betrachten wir das Gauß sche Beispiel Das ergibt gk) = N k e b k k 0 ). 94) ψx, t) N k e ik 0x iωk 0 )t dk k k 0 π e b ) e {ik k 0)x v g t)} e iak k 0) t = N k e ik 0x iωk 0 )t dk iat)k k 0 π e b ) e ik k0) xt), 95) wobei xt) x v g t. Wir vollständigen das Quadrat mit q k k 0 : ) b iat)q + iq x = b i x x iat) q b iat) 4b iat). 96) Mit ergibt sich ψx, t) z q Wir erhalten wieder eine Gauß-Glocke mit ψx, t) Also die neue Varianz ist gegeben durch i xt) b iat) [ ] N k e ik 0x iωk 0 )t dz iat)z e b π x e 4b iat) wobei die Impuls-Varianz bleibt unverändert Wir erhalten = e x) = b + a t e x ) b 4 +a t b x 97) 4b iat). 98). 99) b, 100) p) = 4b. 101) x) p) = ) 1 + a t. 10) 4 b 4 Wir beobachten, das das Wellenpaket zerfließt. Das heißt Dispersion. Für die Dispersion ist die Größe a = 1 ωk) verantwortlich. Das Licht im Vakuum mit ω = ck hat keine Dispersion. k 17
VII. STREUZUSTÄNDE UND GEBUNDENE ZUSTÄNDE Wir betrachten jetzt Teilchen in externem Potential V r). in 1-D ist der Hamilton- Operator gegeben durch und die Schrödinger-Gleichung lautet ψx, t) i t Wir suchen nach den stationären Zuständen, sodass H = p + V x) 103) m = ψx, t) + V x)ψx, t). 104) m x ψx, t) = ψx) e Et. 105) Dann muss gelten oder ψx) + V x)ψx) = Eψx). 106) m x H ψ = E ψ, 107) Die einfachste Situation tritt dann auf, wenn das Potential stückweise konstant ist. D.h. V x) = V 1 für x 1 x < x, V x) = V für x x < x 3 usw. Dann, in jedem Intervall muss die folgende Gleichung gelöst werden ψx) = E V m x n )ψx). 108) Die Lösungen sind offensichtlich wieder die ebenen Wellen e ikx mit me Vn ) k = ±. 109) Für E > V n ergeben sich zwei reelle Wellenvektoren k Wellennummer). Sonst, für E < V n, sind die Wellenvektoren k rein imaginär. A. Randbedingungen Wir brauchen Randbedingungen für jeden Punkt x n wo das Potential springt. Die Randbedingungen sind einfach: ψx) und ψx)/ x müssen stetig sein. Das folgt aus der Tatsache, dass die Schrödinger-Gleichung der zweiten Ordnung in der x-ableitung ist. Wenn ψx)/ x stetig ist, dann darf ψx)/ x höchstens einen Sprung haben. Das ist genau was gebraucht wird in den Grenzpunkten zwischen den Intervallen. 18
Abbildung 1: Barriere B. Streuzustände In diesem Fall ergeben sich ebene Wellen für x und/oder x. Solche Zustände sind nicht normierbar. Wir brauchen eine alternative Interpretation. Hier hilft uns die Strom- Dichte j { ψ ψ } mi x ψ x ψ Für die ebene Welle mit Amplitude eins ψ = e ikx bekommen wir. 110) j = k m = v g. 111) Man redet dann von einem Fluss von Teilchen mit Dichte ρ = ψ = 1 und Stromdichte j = ρv g = v g. Die Frage ist dann welchen Anteil des Flusses wird nach vorne oder zurück gestreut. C. Barriere Ein gutes Beispiel ist die Streuung auf einer rechteckigen Barriere Fig. 1). Die potentielle Energie lautet V x) = 0 für x < 0 Bereich I) und x > a Bereich III), und V x) = V 0 für 0 x a Bereich II). Wir suchen nach Lösungen mit E > 0. Dann der Wellenvektor in Bereichen I und III ist gegeben durch k 1 = k 3 = me. 11) 19
Wir nehmen hier die positive Wurzel. Die negative Wurzel wird dann explizit berücksichtigt. Im Bereich II gilt k = me V0 ). 113) Für E > V 0 ist k reell. Für 0 < E < V 0 ist k rein imaginär. Wir suchen nach einer Lösung die im Bereich I wie folgt aussieht ψ I x) = e ik 1x + re ik 1x, 114) wobei r der Reflexion-Koeffizient ist. So eine Lösung entspricht der Situation wo eine ebene Welle der Amplitude eins von der linken Seite auf die Barriere geschickt wird. Die reflektierte Welle hat, dann, die Amplitude r. Im Bereich III erwarten wir ψ III x) = te ik 3x a). 115) Das entspricht dem Teil der Welle der transmittiert wurde. Letztendlich im Bereich II gilt ψ II x) = Ae ik x + Be ik x. 116) Unseres Ziel ist r und t zu Bestimmen. Die Randbedingungen ergeben folgendes. Aus ψ I 0) = ψ II 0) folgt 1 + r = A + B. 117) Aus ψ I 0) = ψ II 0) folgt k 1 1 r) = k A B). 118) Aus ψ II a) = ψ III a) folgt Ae ik a + Be ik a = t. 119) Aus ψ II a) = ψ III a) folgt k Ae ik a Be ik a ) = k 3 t = k 1 t. 10) Aus den ersten zwei Randbedingungen 117,118) erhalten wir A 1 + k ) + B 1 k ) =. 11) k 1 k 1 Aus den letzten zwei Randbedingungen 119,10) erhalten wir A = te ik a 1 + k ) 1, B = teik a 1 k ) 1 k k, 1) 0
und Dann, aus 11) und 13) erhalten wir A 1 + k ) k 1 B = A e ik a k k 1 k + k 1. 13) + A e ik a k k 1 k + k 1 Ak 1 + k ) A e ik a k 1 k ) 1 k ) =. 14) k 1 k 1 + k = k 1. 15) Ak 1 + k ) A e ik a k 1 k ) = k 1 k 1 + k ). 16) A = k 1 k 1 + k ) k 1 + k ) e ik a k 1 k ). 17) t = A e ik a k k 1 + k ) = 4k 1 k e ika k 1 + k ) e ik a k 1 k ). 18) t = Für E > V 0 k reell) ergibt sich t = Für E < V 0 k = iκ) ergibt sich t = k 1 k k 1 k cosk a) ik 1 + k ) sink a). 19) 4k1k 4k1k + k1 k) sin k a) = 4EE V 0 ) 4EE V 0 ) + V0 sin k a). 130) 4k1κ 4k1κ + k1 + κ ) sinh κa) = 4EV 0 E) 4EV 0 E) + V0 sinh κa). 131) Tief im Tunnel-Regime E < V 0, wenn gilt κa 1 d.h. die Breite der Barriere ist groß genug), ergibt sich die exponentiell kleine Tunnel-Wahrscheinlichkeit t EV 0 E) V 0 e κa, 13) wobei κ = mv0 E). 133) D. Gebundene Zustände Übung 1
VIII. HARMONISCHER OSZILLATOR Der Hamilton-Operator lautet H = p m + mω x. 134) Wir suchen nach Eigenzustände. Probieren wir zunächst die Gauß-Funktion ψx) = Ne x 4b, 135) wobei N = πb ) 1/4 und b noch zu bestimmen ist. Es ergibt sich Hψ = m ψ + mω x = m 1 b ψ m d dx x ) b ψ + mω x ψ ψ = m [ x ] mω x ψ + ψ. 136) b Wenn die zwei letzen Terme verschwinden, erhalten wir einen Eigenzustand. Also 4mb = 4 mω b = mω 137) und die Eigenenergie lautet E = m 1 b = ω. 138) Wir werden später zeigen, dass das der Grundzustand ist, d.h., der Zustand mit niedrigster Eigenenergie. In diesem Zustand x = 0 und x) = b = 0. Also 0 = mω π ) } 1/4 exp { mωx. Wir nennen diesen Zustand mω, 139) H 0 = ω 0. 140) q. Algebraische Lösung Wir definieren mω a = x + i p 141) mω Wir berechnen und a = mω x i p 14) mω aa = mω x + 1 mω p + i px xp), 143) a a = mω x + 1 mω p i px xp). 144)
Also, wir erhalten und Schließlich gilt H = 1 ω a a + aa ), 145) aa a a = i px xp) = 1. 146) H = ω a a + 1 ). 147) Wir nennen den Operator N a a. Aus 140) folgt N 0 = 0. Wir erhalten [N, a ] = a aa a a a = a, 148) und [N, a] = a aa aa a = a. 149) Operator N ist ein Hermetischer Operator und soll eine vollständige Basis der Eigenzustände haben. Wir fangen an mit dem Zustand a 0. Wir erhalten Na 0 = a + a N) 0 = a 0. 150) Also, a 0 ist ein Eigenzustand des Operators N mit dem Eigenwert 1. Seine Norm erhalten wir aus a 0 a 0 = 0 aa 0 = 0 1 + N) 0 = 1. 151) Wir nennen 1 = a 0. 15) Für den Zustand gilt N 1 = 1, H 1 = 3 ω Analog untersuchen wir den Zustand a 1. Wir erhalten 1. 153) Na 1 = a + a N) 1 = a 1. 154) Wir normieren a 1 a 1 = 1 aa 1 = 1 1 + N) 1 =. 155) Also der normierte Zustand lautet = 1 a 1 oder a 1 =. 156) 3
Es ist klar, dass es sich eine Reihe der Zustände n ergibt, sodass N n = n n. Durch das Normieren bekommen wir a n a n = n aa n = n 1 + N) n = n + 1. 157) Also Den Zustand n erhält man aus dem Zustand 0 durch Als Nächstes untersuchen wir den Zustand a n. Wir erhalten Insbesondere a 0 = 0. a n = aa n n 1 = a n = n + 1 n + 1. 158) n = a ) n n! 0. 159) N + 1) n n 1 = n n 1. 160) Den Operator a nennt man Erzeugungsoperator und den Operator a wird als Vernichtungsoperator genannt alternativ Aufsteige- und Absteigeoperatoren oder Leiteroperatoren). Wir haben also gezeigt, dass es eine Leiter der stationären Zustände n gibt, sodass ˆN n = n n, 161) und Ĥ n = ω n + 1 ) n. 16) Das ist eine vollständige Basis im Hilbertraum L ) ohne Beweis). IX. DREHIMPULS Wir betrachten jetzt Teilchen in 3-D. Insbesondere werden wir uns interessieren für quantenmechanische Zustände im zentralsymmetrischen Potential wie im Kepler-Problem), d.h., V r) = V r. In der klassischen Mechanik eine wichtige Rolle wurde vom Drehimpuls gespielt. Das war neben Energie) einer der Erhaltungsgrössen. Wir untersuchen nun den Drehimpuls in der Quantenmechanik. Der Drehimpuls-Operator lautet L = r p. 163) 4
Komponentenweise gilt L x = yp z zp y = i y z z ) y L y = zp x xp z = i z ) L z = xp y yp x = i x y y x. 164) x x. 165) z ). 166) Wir benutzen [r α, p β ] = i δ α,β sowie [r α, r β ] = 0 und [p α, p β ] = 0. Hier r 1, r, r 3 ) = x, y, z) und p 1, p, p 3 ) = p x, p y, p z ). Wir untersuchen den Kommutator [L x, L y ] = [yp z zp y ), zp x xp z )] = [yp z, zp x ] + [zp y, xp z ] = i yp x + i xp y = i L z. 167) Analog [L y, L z ] = i L x und [L z, L x ] = i L y. 168) A. Sphärische Koordinaten Also In sphärischen Koordinaten haben wir x = r cos θ cos φ, y = r cos θ sin φ, z = r sin θ und φ = x φ x + y φ y + z φ z = r cos θ sin φ x + r cos θ cos φ y = x y y x = L z i. 169) L z = i φ. 170) Es gilt auch ohne Beweis) L x = i sin φ ) + cot θ cos φ, θ φ 171) L y = i cos φ ) + cot θ sin φ, θ φ 17) Wir sehen, dass die r-abhängigkeit der Wellenfunktion hier keine Rolle spielt, d.h., die Eigenfunktionen der L Operatoren haben die Struktur ψ r) = Rr)W θ, φ). 173) 5
Die Eigenfunktionen des L z -Operators sind einfach zu finden L z e imφ = m e imφ. 174) Es ist klar, dass m ganzzalig ist m = 0, ±1, ±,.... Sonst wäre die Wellenfunktion nicht eindeutig. Wir nennen diese Zustände vorläufig m. B. Leiteroperatoren Die sogenannten Leiter-Operatoren L ± L x ± il y 175) spielen hier eine wichtige Rolle. Wir erhalten [L x, L ± ] = [L z, L x ± il y ] = i L y ± L x = ± L ±. 176) Das ergibt L z L + m = L + L z + L + ) m = m + 1)L + m. 177) Also der Zustand L + m = c m + 1, wobei die Konstante c noch zu bestimmen ist. C. Der Operator L Wir definieren den Operator L = L = L x + L y + L z. 178) Man kann zeigen [L, L x ] = [L, L y ] = [L, L z ] = 0. 179) r. Eigenzustände von kommutierenden Operatoren Betrachten wir zwei Hermitische Operatoren A und B die miteinander vertauschen [A, B] = 0. Dann haben die beiden einen gemeinsamen Satz von Eigenzustände. Beweis: Betrachten wir den Zustand a, sodass A a = a a. Dann gilt AB a = BA a = Ba a = ab a. 180) 6
Also, B a ist auch ein Eigenzustand von A mit dem selben Eigenwert a. Falls a nicht entartet ist der einzelne Zustand mir dem Eigenwert a), dann gilt B a a, d.h., a ist Eigenzustand von B. Falls es eine Entartung gibt, d.h., A a n = a a n n = 1,,..., N), dann liegt B a n im gleichen Subraum, d.h., B a n = m a m a m B a n. Die Matrix a m B a n ist Hermitisch und lässt sich diagonalesieren. Das ergibt N Eigenzustände von B die alle gleichzeitig Eigenzustände von A mit dem Eigenwert a sind. Nun kann man die Eigenzustände mit zwei Quantenzahlen charakterisieren, und zwar a und b, A a, b = a a und B a, b = b a, b. Wenn danach noch die Entartung gibt, d.h., es gibt mehrere Zustände die die gleichen a und b haben, muss man noch einen Operator C finden der mit A und B vertauscht. So geht s bis man den vollständigen Satz von kommutierenden Operatoren hat, so, dass es keine Entartung mehr gibt. s. L und L z als vollständiger Satz kommutierenden Operatoren Als vollständiger Satz der kommutierenden Operatoren wählen wir L und L z. Die Zustände werden l, m genannt. Es gilt ohne Beweis) L l, m = ll + 1) l, m. 181) L z l, m = m l, m. 18) Die Quantenzahl l ist positiv und ganzzahlig. Die Quantenzahl m kann die folgenden Werte annehmen m = l, l + 1, l +,..., l, l 1, l. 183) Die Eigenfunktionen sind die sogenannten Kugelfunktionen Y l,m θ, φ). X. WASSERSTOFFATOM Im Wasserstoffatom gibt es ein Proton mit Ladung +e und ein Elektron mit Ladung e. Wie im Keppler-Problem gehen wir erst in das Schwerpunkt-Bezugsystem über. Dann mit der relativen Koordinate r = r e r p lautet der Hamilton-Operator H = m r ) e 1 4πɛ 0 r, 184) wobei m = m em p m e + m p m e 185) 7
die reduzierte Masse ist. In Kugelkoordinaten erhält man H = 1 r ) + ˆL m r r r mr e 1 4πɛ 0 r. 186) Mit dem Ansatz ψ = Rr)Y l,m θ, φ) 187) ergibt sich aus der Schrödinger-Gleichung Hψ = Eψ die folgende Gleichung [ 1 r ) ] + ll + 1) e 1 Rr) = ERr). 188) m r r r mr 4πɛ 0 r Es ergeben sich die Eigenzustände mit Eigenenergien n = 1,, 3,..., wobei die Rydberg Energie ist. E Ry = 1 E n = E Ry n, 189) me 4 13, 6eV 190) 4πɛ) Für jede Quantenzahl n gibt es n Zustände. Die erlaubte Werte von l für gegebenes n sind l = 0, 1,..., n 1. Für jedes l gibt es l + 1 Werte von m. Das Gesamtspektrum ist gegeben durch n, l, m. 191) Der vollständige Satz der kommutierenden Operatoren ist H, L, L z. XI. SPIN 1/ t. Drehimpuls, Zusammenfassung Die Algebra der Drehimpuls-Operatoren ist gegeben durch [L x, L y ] = i L z, [L y, L z ] = i L x, [L z, L x ] = i L y. 19) Die Eigenzustände l, m erfüllen die folgenden Relationen L l, m = ll + 1) l, m. 193) L z l, m = m l, m. 194) Die Leiteroperatoren L ± = L x ± il y wirken wie folgt ohne Beweis) L + l, m = l m)l + m + 1) l, m + 1 195) 8
L l, m = l + m)l m + 1) l, m 1 196) Wir beobachten, dass L + l, m = l = 0 sowie L l, m = l = 0. Das ergibt die Einschränkung m = l, l + 1,..., l 1, l. u. Spin Für den Bahn-Drehimpuls gilt L = r p, die Eigenfunktionen sind die Kugelfunktionen l, m = Y l,m θ, φ). Die Eigenfunktionen von L z = i / φ sind proportional zu e imφ und wir sehen, dass m Z. Jedoch, alle algebraischen Relationen könnte man auch mit halbzahligen m und l erfühlen. Z.B., mit l = 1/ hätte m = 1/, 1/. Genauso mit l = 3/ hätte man m = 3/, 1/, 1/, 3/. Solche Wellenfunktionen existieren aber nicht in der Form ψ r). Man braucht einen anderen Hilbert-Raum oder andere Darstellung). Den Drehimpuls, der kein Bahn-Drehimpuls ist nennt man Spin. Um vom Bahn-Drehimpuls unterscheiden zu können bezeichnet man den Spin-Operator S statt L. Die Quantenzahl l nennt man jetzt s. Die Quantenzahl darf halbzahlige oder ganzzahlige Werte annehmen: s = 1/, 1, 3/,, 5/, 3,.... Für s = 1/ ist der Hilbert-Raum besonders einfach. Die Basis besteht nur aus zwei Zuständen: s = 1/, m = 1/ = und s = 1/, m = 1/ =. Mann stellt diese zwei Zustände als Objekte Spinoren) mit zwei Komponenten dar: = 1 and = 0 0 1 Die beiden Zustände sind Eigenzustände des Operators S z = σ z = 1 0. 197) 0 1 Wir erhalten S z = und S z =. 198) Der gesamt Spin-Operator lautet S = σ, 199) wobei die Pauli-Matrizen sind gegeben durch σ x = 0 1 σ y = 0 i σ z = 1 0 00) 1 0 i 0 0 1 Man kann sich überzeugen, dass alle Vertausch-Relationen erfühlt sind. Für die Leiter- 9
Operatoren erhalten wir S + = S x + is y = 0 1 + i 0 i = σ + = 0 1, 01) 1 0 i 0 0 0 und S = S x is y = 0 1 i 0 i = σ = 0 0. 0) 1 0 i 0 1 0 Ein beliebiger Zustand kann wie folgt zerlegt werden: u = α + β, 03) wobei α + β = 1. Da die globale Phase unwichtig ist können wir einen beliebigen Zustand durch zwei reelle Parameter Winkeln) parametrisieren: ) ) θ θ α = cos, β = e iϕ sin wobei θ [0, π] und ϕ [0, π]. Wir erhalten ψ σ z ψ = cos θ sin θ, 04) = cos θ. Auch ψ σ x ψ = sin θ cos ϕ und ψ σ y ψ = sin θ sin ϕ. Wir beobachten, dass σ in Richtung θ, ϕ zeigt. v. Postulat: Ein Elektron hat Spin 1/. Der Hilbertraum ist ein direktes Produkt L Spin 1/). Die Wellenfunktionen haben zwei Kompottenten: ψ r) und ψ oder in der Spinor-Form ψ, σ = ψ r) ψ r). 05) XII. PERIODENSYSTEM DER ELEMENTE A. Pauli-Prinzip Elektronen sind Fermionen. Jeder Zustand kann nur von einem einzelnen oder von keinem) Fermion besetzt sein. 30
XIII. SPIN 1/, DYNAMIK A. Magnetisches Moment Eine drehende Ladung entspricht einer Strom-Schleife und, deswegen, einem magnetischen Moment. Das magnetische Moment einer Stromschleife ist ein Vektor senkrecht der Schleife mit der Amplitude µ = I A, 06) wobei I ist der Strom und A - die Fläche der Schleife. Für eine kreisartige Schleife mit einem Elektron mit Geschwindigkeit v und Radius r erhalten wir: I = qv/πr) und A = πr. Das ergibt In der Vektor-Form gilt µ = qvr. 07) µ = q r v) = q m r p) = q m L. 08) Die Energie eines magnetischen Momentes im Magnetfeld lautet H = µ B. 09) B. Gyromagnetisches Verhältnis Das Elektron hat den gesamt Drehimpuls J = L + S. 10) Das Elektron hat die Ladung q = e. Das mit dem Bahn-Drehimpuls verknüpfte magnetische Moment lautet µ L = e m L = µ B L. 11) Hier µ B e ist das sogenannte Bohr-Magneton. Der Spin ist auch ein Drehimpuls. Jedoch, m für den Spin gilt µ S = gµ B S, 1) wobei g = ist das sogenannte gyromagnetisches Verhältnis. Das gesamt magnetische Moment eines Elektrons lautet µ = µ B L + S ). 13) 31
Die Tatsache, dass für den Spin g = 1 bedeutet, dass es zu naive ist den Spin als Drehung des Elektrons sich vorzustellen. C. Spin-Präzession Der Hamilton-Operator eines Spind im Magnetfeld lautet H = µ S B = gµ B S B = gµ B B σ. 14) Wir können immer die Richtung von B als z wählen. Dann erhalten wir wobei H = gµ BB σ z = ω B σ z, 15) ω B = gµ BB Die Eigenzustände und Eigenenergien des Hamilton-Operators lauten. 16) und Für den Anfangszustand mit erhalten wir H = ω B σ z = ω B H = ω B σ z = ω B α = cos, 17), 18) ut = 0) = α + β 19) ) θ, β = e iϕ sin ) θ 0) ut) = α e ω B t + β e ω B t. 1) Das ergibt ) ) ut) = e ω B t θ cos + e ω B t θ e iϕ sin [ ) ) ] = e ω B t θ θ cos + e iϕ+ωbt) sin Da die Gesamtphase unwichtig ist ist der neue Zustand durch die zwei Winkeln. ) θt) = θ, φt) = φ + ω B t 3) gegeben. Wir erhalten Präzession des Spins um die z-achse die Richtung des Magnetfeldes). 3