5. Übung (Normalverteilung) Die Normalverteilung spielt eine sehr wichtige Rolle in den Biowissenschaften, unter anderem auch in der Tiermedizin. Ihre Wichtigkeit beruht an dem sog. zentralen Grenzwertsatz. Intuitiv kann man folgendes sagen. Die Summe einer großen Zahl von unabhängigen Zufallsvariablen befolgt asymptotisch eine Normalverteilung bei endlicher Varianz der Zufallsvariablen. Die statistischen Methoden nützen sehr oft aus, dass die Versuchsdaten normalverteilt oder mindestens angenähert normalverteilt sind. Normalverteilung Die Normalverteilung kommt bei kontinuierlichen Zufallsvariablen vor. Man stelle vor, dass das Körpergewicht von vielen Hühnern an einer Hühnerniederlassung gemessen wird. Es wird eine Normalverteilung entstehen. Die Inaugenscheinnahme der Normalverteilung Frage: Es gibt eine Hühnerniederlassung. Was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Masse einer zufällig ausgewählten Huhne genau 1500, 1600 oder 1700 gramm. ist? Antwort: Es ist einfach zu beantworten. Das Gebiet unter der Dichtefunktion in einem Punkt (z.b. bei x=1500) ist immer Null. d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine stetige Zufallsvariable einen konkreten Wert annimmt Null ist. Im Falle einer diskreten Verteilung hat man einfach gezählt, was die Wahrscheinlichkeit der einzelnen möglichen Werten. Im Falle einer stetigen Verteilung fallen die unendlich vielen möglichen Werte in einem Intervall. Hier wird das Variationsbereich in Teilintervallen geteilt und es wird gefragt, was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Beobachtung in einem bestimmten Teilintervall einfällt. Vom folgenden Menü kann man Kurven zeichnen: Distribution/Continuous distributions/normal distribution/plot normal distribution Die Normalverteilung hat zwei Parameter: der Erwartungswert (mü) und die Standardabweichung (sigma). Die nennt man auch Lageparameter. Der Erwartungswert (mü) bestimmt, wo der Mittelwert liegt. Es ist die höchste Stelle der Funktion und liegt auch in der Mitte, die weil Normalverteilung symmetrisch ist. Die Streuung (sigma) gibt die Breite der Funktion an. Börzsönyi L. 1
Die drei vorhergehenden Normalverteilung sehen sehr ähnlich aus. Wenn man alle drei Verteilungen auf einer Abbildung dargestellt, dann sieht man die Unterschiede. Wenn die Streuung größer ist, dann ist die Dichtefunktion breiter und flacher. Wenn die Streuung kleiner ist, dann ist die Dichtefunktion steiler und höher. Es ist eigentlich keine Überraschung, nämlich das Gebiet unter der Dichtefunktion ist 1. Rechenaufgaben Frage: Es wird eine Rinderniederlassung mit 800 Kühen bezüglich der Michlaktation beobachtet. Die durchschnittliche Milchproduktion der Kühe ist 32.625 Liter und die Streuung ist 9.522 Liter ist. Wie viele Prozent der Niederlassung produziert weniger, als 28 Liter? Antwort: Man nehme an, dass eine Normalverteilung vorliegt. Man gebe im Menü: Distribution/Continuous distributions/normal distribution/normal Probabilities Den Mittelwert und die Streuung. Sowie gibt man den Wert 28 an, nämlich es wird gefragt, was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wie viel Prozent der Niederlassung weniger, als 28 Liter Milch gibt? Man kann im Programm wählen, dass man von der angegebenen Grenze (28 Liter) weniger (lower tail) oder größere (upper tail) Menge angeben möchte. Börzsönyi L. 2
> pnorm(c(28), mean=32.625, sd=9.522, lower.tail=true) [1] 0.3135838 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird in Output-Fenster erscheinen. In unserem Falle ist es 31.36%. Frage: In der vorher erwähnten Niederlassung was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kuch zwischen 28 und 30 Liter Milch gibt? Antwort: Man kann genauso verfahren wie vorher. Man nehme an, dass eine Normalverteilung vorliegt. Man gebe im Menü: Distribution/Continuous distributions/normal distribution/ Normal Probabilities Den Mittelwert, die Streuung und die Wahrscheinlichkeit gibt man dafür an, dass die Milchmenge mehr als 28 bzw. 30 Liter sein wird. Die Zahlen 28 und 30 muss man durch leere Stelle trennen. > pnorm(c(28,30), mean=32.625, sd=9.552, lower.tail=false) [1] 0.6858751 0.6082695 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann man in Output-Fenster ablesen. Hier erscheinen wie Werte. Man denke nach: Es gilt: P(28<X<30)=P(X<30) P(X<28). Die erste Wahrscheinlichkeit gibt an, dass die Milchproduktion mehr als, 28 Liter ist. Die zweite gibt an, dass die Milchproduktion mehr als, 30 Liter ist. Die Differenz der zwei Wahrscheinlichkeiten gibt dafür die Wahrscheinlichkeit an, dass die Milchmenge zwischen 28 und 30 Liter liegt. In Script-Fenster gibt man die Differenz einfach an: > 0.6858751-0.6082695 [1] 0.0776056 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 7.76%. Wenn man statt dem upper tail eben lower tail gewählt hätte, dann hätte man das selbe Ergebnis mit negativen Vorzeichen bekommen. Börzsönyi L. 3
Frage: Man möchte die schlechtesten 10% der Niederlassung bezüglich Milchproduktion ausscheiden. Was ist die Minimale Milchproduktion, wobei ein Kuch noch in der Niederlassung bleiben kann? Antwort: Man nimmt an, dass eine Normalverteilung vorliegt. Im Menü Distribution/Continuous distributions/normal distribution/normal Quantiles Gibt man den Durchschnitt, die Streuung und die den Wert wofür die Wahrscheinlichkeit berechnet wird. > qnorm(c(0.1), mean=32.625, sd=9.552, lower.tail=true) [1] 20.38362 Nach diesem Ergebnis muss man alle Kühe, die unter 20.38 Liter produzieren, ausscheiden. Frage: Was ist das auf dem Durchschnitt symmetrischen Intervall, in dem 95% der Milchproduktionen einfallen? (Das ist ein Konfidenzintervall mit 95% Wahrscheinlichkeit um den Mittelwert.) Antwort: Man nimmt an, dass eine Normalverteilung vorliegt. Im Menü: Distribution/Continuous distributions/normal distribution/normal quantiles gibt man den Durchschnitt, Streuung und die entsprechende Wahrscheinlichkeit an. Wenn man ein Konfidenzintervall mit 95% Sicherheit angeben will, dann erlaubt man 5% zu irren. Wegen der Symmetrie halbiert man diese 5%, d.h. von beiden Seiten lässt man 2.5-2.5% weg. Daraus folgt, man muss zu den 2.5% und 97.5% gehörenden Werte abfragen. > qnorm(c(0.025,0.975), mean=32.625, sd=9.522, lower.tail=true) [1] 13.96222 51.28778 Man bekommt die Intervallgrenzen, die zu der 95% Sicherheit angehören, d.h. die Intervallgrenzen um den Mittelwert sind 13.96 und 51.29. Mit anderen Worten, wenn man ein Kuh von dieser Population ausgewählt wird, dann ihre Milchleistung fällt mit 95% Wahrscheinlichkeit zwischen diesen Grenzen. Börzsönyi L. 4
Relative Risk, Odds, Logit Frage: Die folgende Tabelle zeigt das Vorkommen von Darmtumor in der verschiedenen englischen Regionen 1 : Region Population Fallzahlen Cambridge 141264 19 Oxford 157658 21 Greenwich 220632 37 Wie groß ist das relative Risiko in Oxford bezüglich Cambridges? Antwort: In beiden Region wird den Quotient von Fallanzahl und die ganze Population berechnet (d.h. di Häufigkeit des Vorkommens) und Zahlen werden durcheinander geteilt. RR=(21/157658)/(19/141264)=0.99 Frage: Wie groß ist das Odds des Tumors in den ersten zwei Region? Antwort: das Odds ist die Wahrscheinlichkeit der Anzahl der positiven Fällen geteilt durch die Wahrscheinlichkeit der Anzahl der negativen Fällen. Cambridge: (19/141264)/((141264-19)/141264))=19/(141264-19)= 1,34518 10-4 Oxford: 21/(157658-21)= 1,332175 10-4 Frage: Wie groß ist der Logit des Tumors in den ersten Region? Antwort: Der Logit ist ln Odds, d.h. ln(1,34518 10-4 ) = -8.913813 Frage: Wie groß ist der Quotient von Odds in Oxford bezüglich Cambridge? Antwort: Der Odds-Quotient ist 0.0001332175/0.000134518 = 0.9903321 0,99 1 http://www.guardian.co.uk/commentisfree/2011/oct/28/bad-science-diy-data-analysis Börzsönyi L. 5