D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Flächeninhalt und Integration Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom. und 4. Oktober.. Das Bild zeigt die Graphen der Funktionen f() = + + und g() = 3 + 5 4 +. 0 8 6 4 0 0 a) Berechnen Sie die Stellen < < 3, an denen sich die Graphen der beiden Funktionen schneiden. b) Berechnen Sie das Integral 3 (f() g())d. c) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche.. Bestimmen Sie zu jeder Funktion f aus den Aufgaben a) - g) eine Stammfunktion. Erledigen Sie so viel wie möglich im Kopf. Überprüfen Sie Ihre Antworten durch Differentiation. Es ist f() =... a) i. ii. iii. + b) i. 3 4 ii. 4 iii. 4 + + 3
c) i. ii. 5 iii. 5 d) i. 3 ii. iii. + e) i. 3 3 ii. 3 3 iii. 3 4 3 f) i. π sin π ii. 3 sin iii. sin π 3 sin 3 g) i. sec ii. 3 sec 3 iii. sec 3 3. Diskutieren Sie den Graph der Funktion anhand der folgenden Schritte: a) Was ist der Definitionsbereich von f? f() = 4 3 b) Ist diese Funktion gerade, ungerade oder weder gerade, noch ungerade? c) Was sind die Nullstellen von f? d) Was ist die Ableitung von f? e) Wo ist die Tangente des Funktionsgraphen waagrecht? Hinweis: Das Polynom 5 8 3 + 6 verschwindet genau dann, wenn = 0 oder 4 8 + 6 = 0. Da 4 8 + 6 = 0 ein quadratisches Polynom in ist, können wir seine Nullstellen mittels Mitternachtsformel bestimmen: 4 4 + 3 = 0 genau dann, wenn = oder = 3, also = ± oder = ± 3. f) Was sind die offenen Intervalle, auf denen die Funktion wächst und auf denen sie fällt? g) Besitzt f lokale Etremwerte? Sattelpunkte? h) Was sind die einseitigen Grenzwerte lim f(), + lim f()? i) Was ist der Grenzwert j) Skizzieren Sie den Graph von f. lim f()? +
4. Wir betrachten die Gleichung 0. sin = 0.85. a) Zeigen Sie, dass diese Gleichung wenigstens eine Lösung zwischen 0 und π besitzt. Hinweis: Zwischenwertsatz. b) Approimieren Sie diese Lösung, indem Sie zwei Iterationsschritte des Newtonschen Verfahrens für f() = 0. sin 0.85 mit dem Startwert 0 = π berechnen. Benutzen Sie einen Taschenrechner für die Iteration. 5. Die Ableitung einer Potenzfunktion p, wobei p eine beliebige reelle Zahl (für > 0) ist, ist ( p ) = p p. Es folgt, dass Stammfunktionen von Funktionen der Form p p wie folgt aussehen p p d = p + Konst. Division durch p, sofern dies nicht Null ist, liefert p d = p p + Konst. oder, durch Umbenennung des Eponenten (p = a + ), erhält man die folgende Formel, gültig für a : a d = a+ a+ + Konst. Für den Fall p =, verwenden wir die Ableitung der Logarithmusfunktion (ln ) =. Geometrisch betrachtet stellt ln die Fläche zwischen der -Achse und des Graphen von zwischen und dar, wenn > : Zur Bestimmung des zeitlichen Ablaufs der Bewegung eines Planeten hat man die sogenannte ezentrische Anomalie ϕ des Planeten zur Zeit t. Diese genügt der Keplerschen Gleichung ϕ ε sin ϕ = πt U, () wobei die numerische Ezentrizität der Bahnellipse ε = 0., und πt = 0.85 mit U die Umlaufzeit und t U die seit dem Periheldurchgang verstrichene Zeit bezeichnen, realistische Werte sind. 3
y ln = t dt = graues Gebiet Im Allgemeinen (für 0) gilt d = ln +Konst, wobei der Fall wenn < 0 von der Kettenregel folgt Erhalten Sie ähnliche Formeln für: a) ( b) a d (ln ) = (ln( )) = =. b) d b c) Was ist der Flächeninhalt zwischen der -Achse und dem Graphen von im + vertikalen Streifen zwischen der y-achse und der Gerade = e? Die Lösungen sind:. a) = 3, = 0, 3 = 3. b) 0 c) 8 3. a), 3 3, 3 3 +. b) 3, 3 3, 3 3 + + 3. c), 5, + 5. d) 3,, 3 3 +. 4
e) 3, 3, 3. f) cos π, 3 cos, cos π + cos 3. π g) tan, tan, tan 3. 3 3 3. a) (, ) (, ) (, + ), d.h. R\{± } b) Die Funktion f ist gerade. c) = ± 4 3. d) f () = 5 8 3 +6 4 4 +4 e) = 0,,3 = ± und 4,5 = ± 3. f) f ist für die Intervalle (, 3), (, 0), (, ), (, 3) monoton fallend und für die Intervalle ( 3, ), (, ), (0, ), ( 3, + ) monoton wachsend. g) f besitzt lokale Minima bei 0 und ± 3, lokale Maima bei ±. h) lim + f() = +, lim f() = i) + 4. a) f(0) = 0.85 < 0, f(π) = π 0.85 > 0 und Zwischenwertsatz. b).058, 0.93. 5. a) ( b) a d = ( b)a+ a+ + Konst, a b) d = ln b + Konst, b b c) 5
MC-Serie 4. Welche der folgenden Aussagen über die Funktion im Intervall [0, ] ist richtig? f() = 3 (a) f nimmt in [0, ] ihr globales Minimum im Punkt = 3 an. (b) f nimmt in [0, ] ihr globales Maimum im Punkt = 3 an. (c) f nimmt in [0, ] ihr globales Minimum im Punkt = 3 an. (d) f nimmt in [0, ] ihr globales Maimum im Punkt = 3 an. 6
. Das Maimum der Funktion im Intervall [, 5] ist f() = ln (a) 0. (b). (c) e. (d) ln 5 5. 7
3. Das Minimum der Funktion im Intervall [, 5] ist f() = ln (a) 0. (b). (c) e. (d) ln 5 5. 4. Es sei f : D R eine dreimal differenzierbare Funktion und D. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? (a) Gilt f () = 0, so nimmt f in ein Etremum an. (b) Gilt f () = 0, f () > 0, so nimmt f in ein Maimum an. (c) Gilt f () = f () = 0 und f () 0, so hat f in einen Wendepunkt. (d) Nimmt f in ein Etremum an, so gelten f () = 0 und f () 0. 8
5. Sei n eine Approimation von einer Nullstelle des Polynoms p() = α wobei α > 0. Was ist unter Anwendung des Newtonverfahrens die nächste Approimation n+? (a) n+ = ) (3 n + αn. (b) n+ = ) ( n αn. (c) n+ = ) ( n + αn. (d) n+ = ) (3 n αn. 9
6. Approimieren Sie den Wert 5, indem Sie zwei Iterationsschritte des Newtonschen Verfahrens für f() = 5 mit dem Startwert 0 = 3 berechnen. Dann ergibt sich die Approimation: (a) = 7 3 (b) = 47 (c) = 07 987 (d) = 4870847 78309 0
7. Welche ist eine korrekte Stammfunktion von + + +? (a) arctan() + ln +. (b) arctan() ( + ). (c) arsinh() + ln +. (d) arsinh() ( + ). 8. Seien F, G Stammfunktionen von f, g : (a, b) R. Welche der Aussagen ist falsch? (a) F + G ist eine Stammfunktion von f + g. (b) F G ist eine Stammfunktion von fg. (c) Sei c R. Dann ist F + c eine Stammfunktion von f. (d) F G ist eine Stammfunktion von fg + F g.
9. Wie gross ist der Flächeninhalt F der Figur im ersten Quadrant, die zwischen der Parabel y = und der Geraden y = liegt? y (a) F = 7 6. (b) F = 4 3. (c) F = 5 6. (d) F = 0 3.
0. Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion sin, den beiden Koordinatenachsen und der Geraden = π begrenzt wird y = π π ist (a) π 0 sin t t dt. (b) π 0 sin t t dt. (c) π 0 sin t t dt. (d) π 0 sin t t dt. 3