Analyse und Entwurf von Mehrgrößenregelung im Frequenzbreich

Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Regelungs - und Steuerungstheorie Prof Dr-Ing habil Dipl Math Klaus Röbenack Analyse und Entwurf von Mehrgrößenregelung im Frequenzbreich Prof Dr-Ing habil Dipl Math Klaus Röbenack 8 Dezember 24 Mitschrift von Bolor Khuu

Inhaltsverzeichnis Mehrgrößensysteme in Zustandsraumdarstellung 3 Systembeschreibung 3 2 Kalmankriterium und Steuerbarkeitsindizus 3 3 Entwurf einer Zustandsrückführung mittels Regelungsnormalform 6 4 Hautus - Kriterium und Stabilisierbarkeit 2 4 Nullstellen und Smith-Normalform 5 2 Beschreibung linearer Systeme durch Polynommatrizen 2 2 Polynomiale Systemdarstellung 2 2

Mehrgrößensysteme in Zustandsraumdarstellung Systembeschreibung Lineare Zustandsraummodelle Typisch: m, r << n oft m = r D = kein Durchgriff ẋ = A x + B u, A R n n, B R n m y = C x + D u, C R r n, D R r m Lösung im Zeitbereich mit Anfangswert x() = x R n x(t) = e At t x + = φ(t)x + t φ(t) = e At = e A(t τ) Bu(τ)dτ φ(t τ)b u(τ)dτ k= (At) k k! Fundamentalmatrix 2 Kalmankriterium und Steuerbarkeitsindizus Definition Ein System heißt vollständig (zustands)-steuerbar, wenn es von jedem Anfangszustand x() in endlicher Zeit T > durch geeignete Wahl des Eingangssignal u : [, T ] R m in einem beliebig vorgegebenen Endzustand x(t) überführt werden kann Mitschrift am 2224 3

Steuerbarkeitskriterien: Kalman Hautus Gilbert Gram Satz(Kalmanische Steuerbarkeitskriterium) Das System ist genau dann zustandssteuerbar, wenn die kalmanische Steuerbarkeitsmatrix Q s = (B, AB,, A n B) den Rang n besitzt (voller Zeilenrang) (Matlab/Octave) :Q s = ctrb(a, B) (SciLab) :Q s = cont_mat(a, B) SI(single-input, m = ): Q s R n n, quadratisch, steuerbar Q s regulär (invertierbar) MI(multi-input, m > ): Q s R n nm, rechteckig, n-zeilen, nm-spalten maximal n-spalten können linear unabhängig sein Definition Die kleinste Zahl q mit rang(b, AB,, A q B) = n heißt Steuerbarkeitsmatrix von (A, B) Umordnung/Auswahl der Spalten der Steuerbarkeitsmatrix ) Q A = (b, Ab,, A k b, b 2, Ab 2,, A k2 b 2,, b m, Ab m,, A km b m R m n Auswahlmatrix mit Rang Q A = n, m k i = n i= Zusammenhang zum Steuerbarkeitsindex q max i m k i (k,, k m ) Pseudosteuerbarkeitsindizes Beispiel A = 2 3, B = 2 } rangb = 2 steuerbar und q = 2 rang(b, AB) = 3 rang(a, AB, A 2 B) = 3 4

Ziel möglichst gleichmäßige Aufteilung der Indizes bzw Eingänge Mögliche Steuerbarkeitsindizes (, 3), (, 2), (2, ), (2, ), (3, ) Indizes: Auswahlmatrix Rang (, 3) : (b 2, Ab 2, A 2 b 2 ) = 5 3 (, 2) : (b, b 2, b 2 A) = 2 5 3 (2, ) : (b, Ab, b 2 ) = 2 4 3 (3, ) : (b, Ab, A 2 b ) = 2 4 8 2 Auswahl der ersten n linear unabhängige Spaltenvektoren der Steuerbarkeitsmatrix (von links nach rechts) Q s = (B, AB, ) = (b,, b m, Ab,, Ab m, ) ggf auch Vertauschung der Eingänge zuläßig Diese Auswahl führt auf die Steuerbarkeitsindizes oder Kronecker Indizes Beispiel (Fortsetzung): Q A = (b, Ab, b 2 ) Steuerbarkeitsindizes (2, ) Vertauschung der Eingänge: n n 2 : ˆB = (b2, b ) = 2 Steuerbarkeitsindizes: (, 2), (2, ) Bemerkung Steuerbarkeitsindizes kann bis auf Vertauschung eindeutig Vertauschung ist nicht immer möglich Es gilt: q = max i m k i 5

3 Entwurf einer Zustandsrückführung mittels Regelungsnormalform Transformation des Originalsystems 2 ẋ = Ax + Bu, A R n n, B R n m in die Regelungsnormalform x = Ā x + Bu Rückführung K R m n mit! = Ā B K = Ā k p, p,p Koeffezienten der gewünschten charakteristischen Polynome Transformation: 2 Mitschrift am 2924 x = T x, T R n n x = T ẋ = T (Ax + Bu) = T} AT {{ } x + }{{} T B u Ā B k m k m k mm Frobenius Regelmatrix 6

Ansatz für Zustandsrückführung u = k x = }{{} kt x k Transformationsmatrix Ähnlichkeitstransformation T AT = Ā T A = ĀT t T, t T,2 t T,k A = t T, t T,2 t T,k Vergleich liefert t T i,j A = tt i,j+ für Transformationsmatrix noch zu bestimmen Forderung am Eingangsmatrix: i=,,m j=,,k i T = t T, t T, A t, A k t T m, t m, A t T m, Akm t T, =: tt t T m, =: tt m 7

Für einen Block R k i e ki = t T i t T i t T i A b i A k i Zeilenweise für i tes Teilsystem: t T i (b i, Ab i,, A k i b i ) = e T k i Simultan für alle in Teilsysteme mit t T t T m (b, Ab,, A k b,, b m, Ab m, A km b m ) } {{ } Q A Auswahlmatrix v = k v 2 = k + k 2 v m = k + + k m = e T v e T v m t T t T m = e T v e T v m Q A Beispiel (Fortsetzung) A = 2 3, B = 2 Steuerbarkeitsmatrix Q s = ( B, AB, A 2 B ) = 2 4 5 8 Auswahlmatrix zu Steuerbarkeitsindizes k = 2, k 2 = : Q A = (b, Ab, b 2 ) = 2 4 Aufstellen der Steuerbarkeitsmatrix Q s 2 Bestimmung der Steuerbarkeitsindizes (Aufstellen Auswahlmatrix Q A ) k = 2 k 2 =, Q A = (b, Ab, b 2 ) = 2 4 8

3 Bestimmung der blockweise ersten Zeilenvektoren t T,, tt m der Transformationsmatrix t T t T 2 = ( e T v e T v 2 v = k = 2 v 2 = k + k 2 = 3 ) Q A = Q 5 5 A = 4 Aufstellen der Transformationsmatrix t T, T = t T,2 = t T 2, t T t T A t T 2 = 5 5 5 5 Transformation des Systems Ā = T AT = 2 3 5, B = T B = Problem tritt nur bei verschiedenen Steuerbarkeitsindizes auf Allgemeine Form Zeile v = k B = Zeile v 2 = k + k 2 Zeile v m 5? Zusammenfassen der Zeilen v,, v m t T Ak B =: V R m m t T m A km Korrektur durch Eingangstransformation B := B V = T BV = = (e v,, e vm ) 9

2 Variante der Zustandsrückführung u = V K x = V} {{ KT } x k R m n Blockweiser Ansatz für Reglerverstärkung K : k T km T K = T k m, k m,m }{{} = }{{} k k m k T k T m R m n Geschloßener Kreis (Beispiel m = 3) Ā = B K = a T a T m a T 2 a T m2 a T m a T mm k T k T 2 k T m k T 2 k T 22 k T m2 k T m k T 2m k T mm Vorgabe für geschloßenen Kreis Ā B K p T = } {{ p T m } =:P mit i ten Teilsystem R k i k i p T i = p i, p i,ki p T i = ( p i, p i,ki ) charakteristische Polynom CP i (s) = p i, + p i, s + + p i,ki s k i + s k i

Entkopplung der Teilsysteme (=Nebendiagonal und Null): a T ij kt ij = T Vorgabe der Wunschdynamik ( Haupdiaganolblöcke) Darstellung in Originalkoordinaten a T ii k T ii! = p T i k T ii = a T ii p T i ẋ = (A BK)x x = T (A BK)T x = (T A }{{} T B V K)T x B } {{ } B Zeile v i (T A B K)T T A B K! = p = pt t T i,k i A k T i }{{} i te Zeile K = p T i T k T i = t T i,k i A p T i T = t T i A k i + p i, t T i p i, t T i A p i,ki t T i Ak i = t T i (p i, I + p i, A + + p i,ki A k i + A k ) = t T i CP i (A) Gesammtverstärkung K = V K = V t T CP (A) t T mcp m (A) Verallgemeinerung der Ackermannformel für Mehrgrößensystem Beispiel Fortsetzung 3 Teilsystem: Eigenwertvorgabe, 2 CP (s) = (s + )(s + 2) = s 2 + 3s + 2 k T = t T CP (A) = (, 5, 5)(2I + 3A + A 2 ) = ( 6, 6, 25) 3 Mitschrift am 524

2 Teilsystem: Eigenwert 3, CP 2 (s) = (s + 3) k T 2 = t T 2 CP 2 (A) = (,, )(3I + A) = (,, 3) ( k k T ) = 6, 6, 25 k2 T =,, 3 5 V = Gesammtverstärkung: K = V K = ( 6 6 ) 2 3 4 Hautus - Kriterium und Stabilisierbarkeit System: ẋ = Ax + Bu, A R n n B R n m Satz (Hautus - Kriterium) Das System (bzw das Paar (A, B)) ist dann zustandssteuerbar, wenn s C, rang(si A, B) = n Bemerkung: Die Bedingung muss nur für Eigenwerte s, der Matrix A überprüft werden 2 Gilbert-Kriterium (A, B) werden in der Jordan-Normalform (Ã, B) betrachtet (si Ã, B) = s s s s s s 2 s s 3 Rangabfall in der letzten 3 Zeilen für si à für s = s i Der Abfall bei si à für einen Eigenwert s i, muss durch Einträge in B ausgeglichen werden Forderung: Ein System mit k > Jordanblöcken des gleichen Eigenwertes kann m dann steuerbar sein, wenn es mindestens m k Eingänge besitzt Definition: Das Paar (A, B) heißt stabilisierbar, falls s C mit Re(s), Rang(sI A, B) = n Interpretation: Alle instabilen Eigenwerde und steuerbar 2

Kalman-Zerlegung nach Steuerbarkeit: Sei q rangq s < n, Dann existiert eine Zustandstransformation ) ( x x = = T x, T R n n, regulär x 2 die das System in ein steuerbares und ein nicht steuerbares Teilsystem zerlegt ) ) x (Ã Ã = 2 ( x B + u x 2 Ã 22 x 2 }{{}}{{} Ã B Ã R q q, B R q m (Ã, B ) ist steuerbar Eigenwerte eig (A) = eig (Ã) = eig (Ã) eig (Ã22) Das System ist dann stabilisierbar, wenn die Matrix Ã22 stabil ist (dh alle Eigenwerte haben negativen Realteil) Zerlegung des Zustandsraumes: Transformationsmatrix R n = im Q s Unterraum der steuerbaren Zustände T = ( ker Q T s Unterraum der unsteuerbaren Zustände ) q Spaltenvektoren die imq s aufspannen (n q) Spalten (Komplement) Seien u,, u m R m die Spalten von u = (u,, u m ) und v,, v n R die Spalten von v = (v,, v n ) Dann : M = usv T = r σ i u i vi T i= }{{} dyad Produkt Spalten u,, u r spannen Bild der Matrix M auf 3

Spalten u r+,, u m bilden Komplement (u orthogonal) Transformationsmatrix: Q s Beispiel: u, S, v SVD T = u T = u = orthogonal ut x = T x = u T x x = T ẋ = T (Ax + Bu) = T AT x + T Bu = u} T {{ Au} x + u}{{} T B u à B Inverses Pendel auf Rädern x x x 2 x 3 x 4 = a 42 x 2 x 3 x 4 + b 4 u x 5 x 5 ohne I-Anteil (n = 4) : steuerbar, rangq s = 4 mit I-Anteil (n = 5) : nicht steuerbar, rangq s = 4 < 5 Begründung (Gilbert): doppleter Eigenwert bei 2 2 Block ẋ=3 ẋ 3 =a Block I-Anteil des Reglers Für s = s : Rangabfall 2 (in Hautus-Matrix), aber nur m = Eingang à 22 = nicht stabilisierbar Reglerentwurf für stabilisierbare Systeme: Kalman-Zerlegung nach Steuerbarkeit ) ) x (à à = 2 ( x + x 2 à 22 x 2 2 Zustandsrückführung für steuerbares Teilsystem liefert Verstärkung K B u Matlab/Octave: K = place(ã, B, [ ]) K = ( K ) keine Rückführung für unsteuerbarer Teilsystem 3 Zustandsrückführung in Originalkoordinaten x = T x = u T x Scilab: K = ppol( ) bzw x = u x u = Kx = Ku }{{} x K = K u K = Ku = Ku T Scilab: K = stabil(a, B, [ ]) Eigenwerte für steuerbares Teilsystem 4

4 Nullstellen und Smith-Normalform Zustandsraummodell 4 ẋ = Ax + Bu, y = Cx A R n n Hautus-Kriterium: Das System bzw Paar (A, B) ist steuerbar, wenn s C : rang (si A, B) = n Das System bzw das Paar (A, C) heißt beobachtbar, wenn si A s C : rang = n C Definition: Eine Zahl s C heißt Eingangs-Entkopplungsnullstelle (input-decoupling zero), falls rang (s I A, B) < n 2 Ausgangs-Entkopplungsstelle (output-decoupling zero), falls s I A rang < n C 3 Eingangs-Ausgangs Entkopplungsnullstelle (input-output-decoupling zero), wenn sie sowohl Eingangs als auch Ausgangsentkopplungsnullstelle ist Eingangs-Entkopplungsnullstelle = nicht steuerbare Eigenwerte/Modi Ausgangs-Entkopplungsnullstelle = nicht beobachtbare Eigenwerte/Modi Eingangs-Ausgangs-Entkopplungsnullstelle = Eigenwerte, die weder steuerbar noch beobachtbar sind Beispiel: A = 2, B = C = ( ) Eingangs-Entkopplungsnullstelle s = 2 stabilisierbar 2 Ausgangs-Entkopplungsnullstelle s = detektierbar 3 keine 4 Mitschrift am 224 5

Gilbert-Kriterium Lösung: t x(t) = e At x() + = e t e 2t e A(t τ) B u(τ)dτ e t nur steuerbare Eigenwerte erscheinen in e At B Ausgang: x() + t y(t) = Cx(t) = Ce At + t e t τ u(τ)dτ e (t τ) C e A(t τ) Bu(τ)dτ = (e t, e 2t, ) x() + nur beobachtbare Eigenwerte erscheinen in Ce At nur steuerbare und beobachtbare Eigenwerte erscheinen in Ce At B Modifizierte Hautus-Bedingung: Das System bzw das Paar (A, B) ist stabilisierbar, wenn e t τ dτ s C mit Re(s) : rang (si A, B) = n Das System bzw das Paar (A, C) heißt detektierbar, wenn si A s C mit Re(s) : rang = n C Normalrang einer Polynommatrix M: System mit in Ein-und Ausgängen max s C rangm(s) ẋ = Ax + Bu, A R n n, B R n m y = Cx, C R m n Rosenbrock-Matrix P (s) = si A B R[s] (n+m) (n+m) C Die Rosenbrock-Matrix habe den Normalrang n+m Eine Zahl s C heißt dann invariante Nullstelle si A B rang < n + m C Berechnung: det P (s)! = 6

Beziehung zu Entkopplungs-Nullstellen Aus rang (si A, B) < n folgt rang s I A B < n + m C als si A rang < n folgt rang C s I A B < n + m C Entkopplungsnullstellen sind auch invariante Nullstellen Beziehung zu Übertragungsfunktion G(s) = C(sI A) B Schur-Formel: ( A B det C ) = det (A) det (D C A B) für A regulär det P (s) = det si A B = det (si A) det ( C(sI A) ( B)) C = det (si A) det (C(sI A) B) }{{} G(s) Nullstellen der Übertragungsfunktion sind auch invariante Nullstellen Invarianzeigenschaften der inverianten Nullstellen reguläre Transformation des Eingangsvektors 2 reguläre Transformation des Zustandsvektors 3 Zustandsrückführung x(t) = T x x = T ω(t) = V u(t) (A, B) (A, BV ) u(t) = V ω(t) x (A, B, C) ( T AT, T B, CT ) Ähnlichkeits -transformation u = Kx + w (A, B) (A BK, B) Beweis in 3: Rosenbrock-Matrix des geschloßenen Kreises ( si (A BK) B si A B P (s) = = C C ) In K I m }{{} det Invariante Nullstellen werden durch unimodulare Transformation, die auf die Rosenbrock-Matrix angewendet werden, nicht verändert 7

Definition: Eine quadratische Polynommatrix U(s) R[s] n n heißt unimodular, falls det(u) R \ {} (Determinante ist nicht Null und hängt nicht von s ab) Folgerung: Sei U unimodular, dann existiert Inverse U und die Inverse ist wieder eine Polynommatrix Satz: U = adj(u) det }{{ U}}{{} P olynommatrix reelle Zahl Sei M R[s] p m mit Normalrang r Dann existieren unimodulare Matrizen U, V derart, dass mit Diagonalmatrix U(s)M(s)V (s) = (s) Smith-Normalform: = λ (x) λr(s) R[s]p m mit monischen (monic) Polynome λ,, λ r R[s] wobei λ λ 2 λ r monisch höchster Koeffizient ist Anwendung auf Rosenbrock-Matrix 5 Folgerung: P (s) = si A B C det (U(s) P (s) V (s)) = det U(s) det P (s) det P (s) }{{}}{{} konst konst = det = λ (s) λ r (s) =: ρ(s) für Normalrang r = n + m Die invariante Nullstellen sind die Nullstellen von ρ(s) erlaubt allgemeine Definition der invarianten Nullstellen (auch für rechteckige bzw singuläre Rosenbrock- Matrizen) Anwendung auf die Hautus-Matrizen liefert Eingangs-bzw Ausgangs-Entkopplungsnullstellen (A, B) ist genau dann steuerbar, wenn die Hautus-Matrix (si n A, B) die Smith-Normalform (I n, ) besitzt (A, C) ist genau dann beobachtbar, wenn ( si n A) ( C die Smith-Normalform In ) besitzt 5 Mitschrift am 2624 8

Beispiel: A = 2, B = 2 rang Q s = 2 < 3 nicht steuerbar existiert Eingangsentkopplungsnullstelle n rang Q s = Kalman-Zerlegung 2 V AV =, V B = 2ist Eingangsentkopplungsnullstelle Smith-Normalform von (si A, B) = s s + 2 s + 2 ist Berechnung mit Matlab A = [ ]; B = [ ]; s = syms( s ) M = [s eye(size(a)) A, B]; S = maple( smith, M, S); 9

2 Beschreibung linearer Systeme durch Polynommatrizen 2 Polynomiale Systemdarstellung Systemgleichung: A d dt x(t) + B( d dt ) u(t) = mit Differentialoperatoren d A = dt d B = dt g i= h j= A i d i dt i B j d j dt j Konstante Matrizen u(t) R m, x(t) R n, u Steuersignale x Systemsignale 2