Basis eines Vektorraumes Basisergänzungssatz: Ist U V ein Unterraum von V und dim V = n, so kann jede Menge linear unabhängiger Vektoren aus U zu einer Basis von U erweitert werden Und es gilt: Beweis: dim U dim V 1Fall: U = { 0} Es gibt keine Menge linear unabhängiger Vektoren; dim U = 0 2Fall: U { 0} Es sei { u 1,, u k } U linear unabhängig Fall 21: U = Span({ u 1,, u k }) { u 1,, u k } ist Basis Fall 22: U Span({ u 1,, u k }) u k+1 U \ Span({ u 1,, u k }) { u 1,, u k, u k+1 } ist linear unabhängig Wiederhole, bis Fall 21 eintritt Dies geschieht spätestens bei n Vektoren { u 1,, u n}, da dim V =n TU Dresden, 9122013 Einführung in die Mathematik für Informatiker Folie 1
Basis eines Vektorraumes Basisergänzungssatz: Ist U V ein Unterraum von V und dim V = n, so kann jede Menge linear unabhängiger Vektoren aus U zu einer Basis von U erweitert werden Und es gilt: dim U dim V Folgerungen: Hat V eine Basis B = { b 1,, b n} (dh dim V = n), so ist jede Menge aus n linear unabhängigen Vektoren in V eine Basis und jede Menge aus n den Vektorraum V aufspannenden Vektoren eine Basis TU Dresden, 9122013 Einführung in die Mathematik für Informatiker Folie 2
Basiswechsel Gegeben sei ein Vektorraum V mit einer Basis B = { b 1,, b n} Es wird eine neue Basis B = { b1,, } betrachtet Frage: Ein beliebiger Vektor v V ist mit Koordinaten [ v] B gegeben Wie lauten seine neuen Koordinaten [ v] B? Berechnen die Koordinatenvektoren der alten Basis B in der neuen Basis B aus den Bedingungen: b1 = a 11 b1 + + a 1n bn = a n1 b1 + + a nn TU Dresden, 9122013 Einführung in die Mathematik für Informatiker Folie 3
Basiswechsel Es sei nun v V mit Koordinaten [ v] B = (v 1,, v n) T gegeben: v = v 1 b1 + + v n bn = v 1 (a 11 b1 + a 12 b2 + + a 1n ) + v 2 (a 21 b1 + a 22 b2 + + a 2n ) + +v n(a n1 b1 + a n2 b1 + + a nn ) = (v 1 a 11 + v 2 a 21 + + v na n1 ) b1 + (v 1 a 12 + v 2 a 22 + + v na n2 ) b2 + [ v] B = +(v 1 a 1n + v 2 a 2n + + v na nn) v 1 a 11 + v 2 a 21 + + v na n1 v 1 a 12 + v 2 a 22 + + v na n2 v 1 a 1n + v 2 a 2n + + v na nn a 11 a n1 = [ v] B a 1n a nn }{{} =:W B, B Die (n n)-matrix W B, B heißt Basiswechselmatrix von B nach B TU Dresden, 9122013 Einführung in die Mathematik für Informatiker Folie 4
Basiswechsel Basiswechselmatrix: W B, B = a 11 a n1 a 1n a nn Koordinatenvektoren der alten Basis B in der neuen Basis B: b1 = a 11 b1 + + a 1n bn = a n1 b1 + + a nn ( W B, B = [ b 1 ] B,, [ ) b n] B Die Spalten der Basiswechselmatrix sind die Koordinatenvektoren der alten Basis in der neuen Basis TU Dresden, 9122013 Einführung in die Mathematik für Informatiker Folie 5
Basiswechsel Spezialfall: V = R n Vektoren sind üblicherweise in Koordinaten der Standardbasis geschrieben Es seien Basen B = { b 1,, b n} und B = { b1,, } in R n gegeben Berechnung der Koordinatenvektoren der alten Basis B in der neuen Basis B: b1 = a 11 b1 + + a 1n bn = a n1 b1 + + a nn In Matrixform geschrieben: a ( ) 11 a n1 ( b1,, = b1,, ) b n }{{}}{{} a 1n a nn = B }{{} =B =W B, B Diese Matrixgleichung B W B, B = B ist mit dem Gauss-Algorithmus lösbar TU Dresden, 9122013 Einführung in die Mathematik für Informatiker Folie 6
Spaltenraum und Kern einer Matrix a 11 a 1n A = = ( a 1 a 2 a n) a m1 a mn Spaltenraum von A: Col(A) := Span({ a 1,, a n}) Kern von A: Ker(A) := { x K n A x = 0} Ker(A) ist die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems A x = 0 Es gilt: Col(A) ist ein Unterraum des Vektorraumes K m Die Pivotspalten von A formen eine Basis von Col(A) Rang von A: rg(a) := dim Col(A) Ker(A) ist ein Unterraum des Vektorraumes K n Ist { x K n x = t 1 v 1 + t 2 v 2 + + t k v k, t 1,, t k K} die Lösungsmenge von A x = 0 in parametrischer Vektorform, so ist { v 1,, v k } Basis von Ker(A) Dimensionsformel: rg (A) + dim Ker(A) = n TU Dresden, 9122013 Einführung in die Mathematik für Informatiker Folie 7
Spaltenraum und Kern einer Matrix Beispiel Ablesen: 1 6 2 5 2 1 6 0 3 1 2 12 4 10 3 dim (Col(A)) = rg(a) = 3 1 6 2 5 2 0 0 2 8 1 0 0 0 0 1 Basis für Col(A): B = 1 1 2, 2 0 4, 2 1 3 dim (Ker(A)) = 2 = 5-dim (Col(A)) TU Dresden, 9122013 Einführung in die Mathematik für Informatiker Folie 8
Spaltenraum und Kern einer Matrix Basis des Kerns bestimmen: 1 6 2 5 2 1 6 0 3 0 1 6 0 3 1 0 0 1 4 0 2 12 4 10 3 0 0 0 0 1 Lösungsmenge: x 1 = 6x 2 3x 4 mit Parametern x 2 = t, x 4 = s : x = t x 3 = 4x 4 x 5 = 0 6 1 0 0 0 } {{ } =: v 1 { v 1, v 2 } ist eine Basis für Ker(A) +s 3 0 4 1 0 } {{ } =: v 2, t, s R TU Dresden, 9122013 Einführung in die Mathematik für Informatiker Folie 9
Lineare Abbildungen Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls (1) u, v V : f( u + v) = f( u) + f( v) (2) v V α K : f(α v) = αf( v) dh: u, v V α, β K : f(α u + β v) = αf( u) + βf( v) Eine Abbildung f : V W heißt injektiv, falls u, v V : u v f( u) f( v) surjektiv, falls w W v V : f( v) = w bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist Der Kern einer Abbildung f ist Ker(f) := { v V f( v) = 0} = f 1 ({ 0}) Das Bild einer Abbildung f ist Im(f) := { w W v V : f( v) = w} = f(v ) Es gilt: Ker(f) ist ein Unterraum des Vektorraumes V Im(f) ist ein Unterraum des Vektorraumes W TU Dresden, 9122013 Einführung in die Mathematik für Informatiker Folie 10