Kapitel 2: Die Entscheidung des Konsumenten Hauptidee: Die Konsumentin wählt das Güterbündel, das sie unter all denen, die sie sich leisten kann, am liebsten hat.
Vorbemerkung Der Konsument weiß selbst, was für ihn gut ist D.h. wir nehmen die Präferenzen des Konsumenten als gegeben hin und akzeptieren diese Beispiel: vs. 2
2.1 Budgetbeschränkung Der Marktwert eines Bündels x = x 1, x 2,, x I ist p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p I x I wobei p i > 0 der (Stück-)Preis des Gutes i ist Was kann sie sich leisten? Konsumentin hat ein gewisses Budget oder Einkommen Y > 0 Dann ist die Budgetbeschränkung der Konsumentin p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p I x I Y Aus der Budgetbeschränkung ergibt sich die Budgetmenge: d.h. die Menge aller Güterbündel, welche die Budgetbeschränkung erfüllen 3
Anmerkung Wenn die Konsumentin monotone Präferenzen hat («mehr ist besser»), wird sie ihr Budget vollständig ausschöpfen D.h. das gewählte Güterbündel x erfüllt die Budgetgleichung p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p I x I = Y Aus der Budgetgleichung ergibt sich die Budgetgerade: d.h. die Menge aller Güterbündel, welche die Budgetgleichung erfüllen 4
Beispiel p 1 = 1, p 2 = 2, Y = 50 x 2 25 = Y p 2 a 20 b 10 Budgetmenge Budgetgerade 10 0 30 c 50 = Y p 1 x 1 5
Auswirkung von Parameteränderungen Preisänderung (p 1 steigt): Budgetänderung (Y steigt): x 2 x 2 25 p 1 = 1 50 Y = 100 25 p 1 = 2 Verlust Y = 50 Zuwachs 0 25 50 x 1 0 50 100 x 1 6
2.2 Entscheidungsproblem Annahme 1: Konsumentin wählt das Güterbündel, das sie unter all denen, die sie sich leisten kann, am liebsten hat Annahme 2: Präferenzen der Konsumentin werden durch eine Nutzenfunktion u repräsentiert Dann wählt die Konsumentin das Bündel, das den höchstmöglichen Nutzen innerhalb der Budgetmenge stiftet Das optimales Bündel wird mit x = x 1,, x I bezeichnet 7
Nutzenmaximierung max x u(x 1,, x I ) unter den Nebenbedingungen p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p I x I Y x 1 0,, x I 0 8
Idee zur Lösung Wir wollen das Nutzenmaximierungsproblem lösen unter der Annahme, dass die Präferenzen monoton sind und es I = 2 Güter gibt Dann gilt: - Jedes optimale Güterbündel x liegt auf der Budgetgeraden - Die Indifferenzkurve durch x schneidet nicht das Innere der Budgetmenge 9
Beispiel 1: «Innere Lösung», x = e Budgetgerade g 25 20 c f 10 d e a I 3 I 2 I 1 0 10 30 50 x 1 10
Beispiel 2: «Randlösung», x = e 25 e I 3 I 2 Budgetgerade I 1 50 x 1 11
Innere Lösung Ein nutzenmaximierendes Bündel x mit x 1 > 0 und x 2 > 0 heißt innere Lösung Für eine innere Lösung x gelten die Bedingungen erster Ordnung p 1 x 1 + p 2 x 2 = Y, GGG 1,2 x = p 1 p 2 In Worten: An der Stelle x ist das Budget ausgeschöpft und die Steigung der Indifferenzkurve, GGG 1,2 x, gleicht der Steigung der Budgetgerade, p 1 /p 2 D.h. im Optimum ist die Budgetgerade tangential zur Indifferenzkurve 12
Randlösung Ein nutzenmaximierendes Bündel x mit x 1 = 0 oder x 2 = 0 heißt Randlösung Für eine Randlösung x mit x 1 = 0 gelten die Bedingungen erster Ordnung p 1 x 1 + p 2 x 2 = Y, GGG 1,2 x p 1 p 2 In Worten: An der Stelle x ist das Budget ausgeschöpft und die Indifferenzkurve ist höchstens so steil wie die Budgetgerade Falls x 2 = 0, dann kehrt sich obige Ungleichung um: p 1 x 1 + p 2 x 2 = Y, GGG 1,2 x p 1 p 2 13
Intuition Die Steigung der Indifferenzkurve gibt an, in welchem Verhältnis der Konsument bereit ist, zwischen den Gütern zu substituieren Die Steigung der Budgetgeraden gibt an, in welchem Verhältnis der Konsument entsprechend der Marktpreise zwischen den Gütern substituieren kann Da sich der Konsument im Optimum durch eine Änderung des Bündels nicht besserstellen kann, müssen die beiden Steigungen gleich sein (innere Lösung)... es sei denn, es wird das ganze Budget für eines der beiden Güter ausgegeben (Randlösung) 14
Rolle der Konvexität Wenn die Präferenzen konvex sind, dann ist jedes x, das die Bedingungen erster Ordnung (für eine innere Lösung oder eine Randlösung) erfüllt, tatsächlich nutzenmaximierend D.h. die Bedingungen erster Ordnung sind hinreichend Bei nicht-konvexen Präferenzen kann es Bündel geben, die die Bedingungen erster Ordnung erfüllen, aber nicht nutzenmaximierend sind Bedingungen erster Ordnung sind nur notwendig Um dann die nutzenmaximierenden Bündel zu finden, vergleicht man die Nutzenwerte aller Bündel, welche die Bedingungen erster Ordnung erfüllen 15
Beispiel nicht konvexe Präferenzen 25 a Budgetgerade b I 2 I 1 50 x 1 16
Übungsaufgabe K2.1 Die Nutzenfunktion ist Cobb-Douglas u x 1, x 2 = x 1 b x 2 c Wie lauten x 1, x 2? Von was hängen x 1, x 2 ab und von was nicht? Bestimmen Sie die Ausgaben für jedes Gut p 1 x 1, p 2 x 2 17
Übungsaufgabe K2.2 Die Nutzenfunktion ist u x 1, x 2 = x 1 + x 2 D.h. die Güter sind vollkommene Substitute (Z.B. Gut 1 = Bücher, die über das Internet gekauft werden; Gut 2 = Büchern, die im Buchladen gekauft werden; Y = das für Bücher veranschlagte Budget des Konsumenten) Wie lauten x 1, x 2? 18
2.3 Anwendungsbeispiel Arbeitsangebot Jeder Mensch hat monatlich ein bestimmtes Zeitkontingent T zur Verfügung, das er als Arbeitszeit anbieten oder als Freizeit nutzen kann z.b. T = 30 x 15 = 450 (Stunden) Zeit, die zum Arbeiten verwendet wird, ist gewöhnlich weniger angenehm als Freizeit Auf der anderen Seite hängt das Einkommen (und damit die Konsummöglichkeiten) von der gearbeiteten Zeit ab 19
Wenn man davon ausgeht, dass der individuelle Konsum aus dem Arbeitseinkommen finanziert wird, muss das Wirtschaftssubjekt also zwischen zwei Gütern abwägen: C, dem materiellen Konsum (gemessen in Geldeinheiten) F, der monatlich genossenen Freizeit Nutzenmaximierungsproblem: max C,F u C, F u. d. N. pp = w(t F), C 0, F 0, F T, wobei p der Preis für Konsum ist, w der Stundenlohn und (T F) die Arbeitszeit (gemessen in Stunden pro Monat) 20
Übungsaufgabe K2.3 Zeigen Sie anhand einer Skizze, wie sich die Budgetmenge ändert bei einer 1. Preiserhöhung von Gut 2 2. Budgetsenkung 3. Einführung einer Mengensteuer auf Gut 1 (d.h. pro verkaufter Einheit des Gutes muss ein Geldbetrag an den Staat bezahlt werden) 4. Einführung einer Wertsteuer auf alle Güter (d.h. pro beim Kauf der Güter an den Verkäufer bezahlter Geldeinheit muss ein Geldbetrag an den Staat bezahlt werden) 5. Einführung von Mengenrabatten auf Gut 1 (kauft man von Gut 1 mehr als x, 1 so erhält man auf die gesamte Menge einen Rabatt von 50 %) 6. Rationierung von Gut 1 7. zum Überleben notwendigen Mindestmenge von Gut 1 (konsumiert der Konsument weniger als diese Mindestmenge, so muss er sterben) 21
Zusammenfassung Wir haben folgendes Problem betrachtet: Konsument maximiert Nutzen unter einer Budgetbeschränkung Budgetbeschränkung: Wert des Güterbündels darf Budget nicht übersteigen Bei monotonen Präferenzen wird das Budget ausgeschöpft => Budgetbeschränkung kann durch Budgetgleichung ersetzt werden Innere Lösung: Budgetgerade ist tangential zur Indifferenzkurve vs. Randlösung... GGG 1,2 x = p 1 p 2 22