6.6 Fequenzgang Neben de Übeagungfunkion zu Becheibung de Signalübeagung in einem lineaen Übeagungglied im Bildbeeich wid in vechiedenen Teilgebieen de Elekoechnik noch eine andee Kennfunkion benuz, de og. Fequenzgang. Fomal mahemaich i e definie al Übeagungfunkion auf de imaginäen Ache de Ebene. 6.7 Man ha nu in de Übeagungfunkion die komplexe Vaiable duch die ein imaginäe Vaiable zu eezen. Beipiel: δ Dgl: { RC y& y u T y u T T * T T T T T T T 443 443 T Re{ } Im{ } Wie man au dieem Beipiel u. a. ieh, ell w eine komplexe Funkion mi de Vaiablen w da. Wie gezeig, kann ie in de üblichen Weie in Real- und Imaginäeil zeleg weden:
Re{ } T T Im{ }. T Naülich kann auch die Daellung duch Beag und Agumen gewähl weden: Re{ } Im{ } 6.7 T T T T. T Im{ } ag ac an 6.7 Re{ } T ac an ac ant. Fü die weie unen folgende phyikaliche Deuung de Fequenzgange i diee Daellung duch Beag und Agumen nüzliche. E ei bemek, daß man diee Daellung de Fequenzgange au eine leichung i. a. chnelle ehäl, wenn man nach dem folgenden, fü da Beipiel illuieem Mue vogeh: d. h. komplexe Zahl T Z Z T Z T ag ag ag Z T ac an ac ant. Wenn man nun die Vaiable z. B. von bi laufen lä, kann man die komplexe Funkion w in de komplexen auß chen Zahlenebene bildlich daellen. Dazu ha man enwede punkweie ode Re{ }, Im{ }, ag
3 fü geeigne gewähle und aueichend viele Wee auzuechnen Weeabelle und die enpechenden Punke in de auß chen Zahlenebene einzuagen. Jede diee Punke i duch den zugehöigen - We zu kennzeichnen. Die Vebindung diee Punke liefe die og. Okuve de Fequenzgange. Fü da voliegende Beipiel ehäl man z. B. einen Halbkei im IV. Quadanen: Bild 6.8: Okuve de Fequenzgange Einnen wi un an die fomale Einfühung de Fequenzgange mi 6.7, o kann man diee Egebni deuen al die Abbildung de Punke < < de Ebene da i die obee Hälfe de imaginäen Ache de Ebene vemiel de komplexen Funkion ode Abbildvochif in eine andee komplexe Ebene: Bild 6.9: Zu Deuung de Abbildungvochif 6.7
4 Zweifello i bi ez nich o ech einzuehen, wehalb diee al Spezialfall fü au de Übeagungfunkion hevogehende Fequenzgang eine lineaen Syem Übeagunggliede eingefüh wid. Die wid geechfeig duch die goße meechniche Bedeuung de Fequenzgange und die hohe Anchaulichkei, die e in viele Seien de lineaen Signal- und Syemheoie hineinzubingen vemag. E i nämlich noch ein ganz andee anchauliche Zugang zum Fequenzgang eine lineaen Syem möglich, de daauf beuh, da de Fequenzgang die aionäe Anwo de Übeagunggliede bei Aufchalung hamoniche Schwingungen becheib. Schale man am Eingang eine lineaen zeiinvaianen Übeagunggliede ein hamoniche Eingangignal { e ˆ } u ˆ in Im 6.73 ode { e ˆ } u ˆ co Re 6.74 auf, o ell ich am Augang nach einem gewien Übegangvogang wiede eine aionäe hamoniche Schwingung gleiche Fequenz w ein, deen Ampliude und Phaenlage abe gegenübe de eegenden Eingangchwingung i. a. veände ind: Bild 6.: Sinuanwo eine lineaen zeiinvaianen Syem Im aionäen Zuand eagie alo ein lineae zeiinvaiane Übeagungglied auf die hamoniche Eingangchwingung mi u ˆ in y Yˆ in w. 6.75
5 Wenn man diee Expeimen mi unechiedliche Fequenz duchfüh, o ell man fe, daß ich die Ampliude Yˆ und die Phaenlage de aionäen Anwochwingung mi de Fequenz w änden. u bekann und eh makan i diee Taache, au Beobachungen von Reonanzecheinungen bei chwingungfähigen Syemen, z.b. RLC Nezweken, Fede Mae Schwingen uw. Bei Eegung olche Syeme mi hamonichen Schwingungen een in de Nähe de Reonanzfequenz ake Ampliudenübehöhungen Yˆ bzw. goße Ampliudenvehälnie Yˆ ˆ und deuliche Phaendehungen de ezwungenen aionäen Augangchwingung gegenübe de eegenden Schwingung auf. Fü eine geziele Emilung de Fequenzabhängigkeien de Ampliudenvehälnie und de elaiven Phaenlage benöig man folgende Meanodnung: Bild 6.: Zu meechnichen Emilung de Fequenzgange Da auf diee Weie expeimenell emielbae fequenzabhängige Ampliudenvehälni und die fequenzabhängige Phaendehung ϕ Yˆ ˆ hängen nun mi dem oben mahemaich eingefühen Fequenzgang wie folg zuammen: Yˆ Ampliudengang 6.76 ˆ
6 ϕ ag. Phaengang. 6.77 Dami ehäl de Fequenzgang w eine echniche Inepeaion und anchauliche Ekläung. Auf diee Weie i e möglich, die oben al bildliche Daellung de Fequenzgange eingefühe Okuve punkweie meechnich zu emieln: Fü einen beimmen Fequenzwe i die Länge de Zeige alo de Beag duch da fü diee Fequenz gemeene Ampliudenvehälni beimm, und de Winkel de Zeige zu poiiven eellen Ache alo da Agumen ag enpich de fü diee Fequenz gemeenen elaiven, Phaendehung de aionäen Augangchwingung gegenübe de Eingangchwingung: ag Yˆ ϕ e e. 6.78 ˆ Mi dieem phyikalichen Veändni de Fequenzgange, da ich au dem Übeagungvehalen lineae Syeme fü hamoniche Signale im eingechwungenen aionäen Zuand egib, laen ich nun weiee nüzliche Zuammenhänge mi den andeen Fomen de mahemaichen Becheibung lineae zeiinvaiane Syeme heellen. Zunäch abe ollen die Sinuanwo 6.75 eine lineaen zeiinvaianen Syem mi gebochen aionale Übeagungfunkion und die Zuammenhänge 6.76, 6.77, 6.78 mi dem Fequenzgang auf echneichem Weg emiel weden. Man vegleiche hiezu auch die in 6. im nepunk 3 duchgefühen Beechnungen de Sinuanwo fü ein Beipielyem. Odnung mi Hilfe de Übeagungfunkion. Ein lineae zeiinvaiane Übeagungglied habe die gebochen aionale Übeagungfunkion. Dann gil fü beliebige koepondieende Ein- und Augangignale die leichung 6.: Y *. Al Eingangignal wid eine Sinuchwingung aufgechale ˆ kon. ˆ in o, 6.79 u o da im Bildbeeich fü da heaukommende Augangignal gil Y *. 6.8 Die Rückanfomaion in den Zeibeeich nehmen wi übe die Paialbuchenwicklung von Y vo. Nehmen wi dazu o. E. d. A. an, da ämlich vechiedene eelle Pole beiz, o laue de Anaz dafü:
7 4 4 3 4 4 4444 4 3 44 44 4 Y n... 6.8 n Pole i von, k.k.p.p. ± von, koepondie mi y u& &. Koepondie mi y. " "... Schwingung e e e y n n Wenn alle Pole i von in de linken Hälfe de komplexen Ebene liegen, wie da fü og. abile Übeagunggliede de Fall i, o vechwinden fü goße Zeien die een n Teilvogänge >, > i i e lin, } Re{ < i o da al aionäe Anwo nu die Schwingung y - 6.8 aufi. Die beiden Paialbuchkoeffizienen, ind wie die Pole, konugie komplex zueinande und können nach 5.3.. wie folg beechne weden:, *. * ~> Daellung duch Beag und Agumen: * ϕ 9 9 ag ag * *. ag ag ag ϕ 9 9 Dami folg au 6.8
8 ϕ 9 ϕ9 y - e e ϕ9 ϕ 9 e e e e. Mi de Eule Beziehung i da eine Co Schwingung bzw. y * co ϕ 9 y * in ϕ. 6.83 ag Die aionäe Anwo 6.83 auf die Eegung mi u in i wiede eine Sinuchwingung mi de gleichen Fequenz, de Ampliude ˆ Y * und de Phaenvechiebung ϕ ag. Dami ind 6.76 und 6.77 echneich beäig.