TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra WS 006/07 en Blatt 3.0.006 Einführung in die Matrizenrechnung Zentralübungsaufgaben Z Matrixmultiplikation Seien A, B Mat R (n, n) zwei n n-matrizen mit Koeffizienten A (a i j ) i,j n beziehungsweise B (b i j ) i,j n. Dann ist das Produkt A B definiert als n A B : a il b l j l i, j n Zeigen Sie anhand des folgenden Beispiels, dass im allgemeinen A B B A gilt (Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ), wobei A und B gegeben sind durch 5 0 3 A 0 0 B 0. 0 0 3 4 Zeigen Sie abstrakt, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, das heißt im allgemeinen gilt A B B A. Betrachten wir 3 3-Matrizen. Um zu beweisen, dass das im allgemeinen Matrixprodukt nicht kommutiert, reicht ein Gegenbeispiel. Für spezielle Matrizen kann A B B A erfüllt sein (z. B. falls eine der Matrizen eine Diagonalmatrix ist), im allgemeinen jedoch ist dies falsch! Wir berechnen zuerst A B. 5 0 3 + 0 0 5 3 + 0 0 A B 0 0 0 0 + 0 + 0 0 + 0 3 0 + 0 4 0 0 3 4 4 + + 0 0 + + 0 6 + 0 + 0 0 7 7 0 3 4 5 6 Wir werden sehen, dass B A nicht dasselbe ergibt! 0 3 5 + 0 + 6 4 + 0 + 3 0 + 0 + 0 A B 0 0 0 + 0 + 0 + 0 + 0 5 + + 0 0 3 4 0 0 + 0 8 0 + 0 4 0 3 + 0 8 0 6 8 4 3
Die Differenz zwischen A B und B A (genannt Kommutator von A und B) verschwindet nicht: 0 7 7 8 0 A B B A 0 3 4 6 5 6 8 4 3 8 6 7 0 3 5 9 Aus der Definition des Matrixprodukts folgt auch abstrakt der allgemeine Fall: n n A B B A a il b l j b il a l j i, j n l n a il b l j l l n a jl b li i,j n 0 l i, j n Z Invertierbarkeit Im Vektorraum der n n-matrizen ist id R n (δ i j ) i, j n das Einselement, das heißt sei A Mat R (n, n) eine beliebige Matrix, so gilt A id R n A id R n A. Eine Matrix A heißt invertierbar, falls eine Matrix B existiert mit A B id R n B A. Zeigen Sie, dass Links- und Rechtsinverses einer Matrix gleich sind, sofern sie existieren. Geben Sie Matrizen an, die nicht invertierbar sind. Warum sind sie nicht invertierbar? Invertieren Sie folgende Matrix per Hand : A Im Vektorraum der n n-matrizen ist 0 0 id R n 0.............. 0 0 0 die Identität. Wie auch bei den reellen (oder rationalen) Zahlen wird das inverse Element zu einer Matrix so definiert, dass A A id R n. Allerdings existiert nicht zu jeder Matrix ein inverses Element! Ein Linksinverses zu einer Matrix A ist die Matrix L A, für die gilt: L A A id R n. Analog dazu ist ein Rechtsinverses R A die Matrix, die A R A id R n löst. Nehmen wir letztere Gleichung und multiplizieren mit dem Linksinversen von links: L A (A R A ) L A id R n L A (L A A) R }{{} A R A id R n Also sind Links- und Rechtsinverse gleich, sofern sie existieren.
Ein paar offensichtliche Kandidaten sind 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 An dieser Stelle ist es vielleicht weniger offensichtlich, dass Matrizen, dessen Spalten (und Zeilen) nicht linear unabhängig voneinander sind (man betrachtet jede Zeile bzw. Spalte als Vektor), nicht invertierbar sind. 0 3 9 0 0 9 9 Wir invertieren per Hand : Sei also B die inverse Matrix zu A (wir verwenden B statt A um nicht A (a i j ) i, j n schreiben zu müssen). Da wir aus Teilaufgabe wissen, dass Linksund Rechtsinverses durch die gleiche Matrix gegeben sind, reicht es aus folgende Gleichung zu lösen: b b A B! id b b R b + b b + b 0 b + b b + b 0 Wir haben also vier Gleichungen mit vier Unbekannten. b + b b + b 0 b b b + b 0 b b b + b (iv) Wenn wir Gleichung in Gleichung bzw. in (iv) einsetzen, erhalten wir: b b b b b b Das inverse Element zu A ist also gegeben durch B Wir machen trotzdem noch die Probe indem wir A B berechnen. Wie erwartet erhalten wir id R. A B + + 0 + + 0 Z3 Lineare Gleichungssysteme Wie sieht ein lineares Gleichungssystem aus? Was kann man über die smenge sagen? 3
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen und dessen geometrischer Interpretation. Diskutieren Sie die drei möglichen Fälle: keine, genau eine und unendlich viele en. Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: 4 6 3 7 x x x 3 8 0 Ein allgemeines lineares Gleichungssystem ist eine Gleichung der Art A x b, wobei A Mat R (n, n) eine Matrix ist und x, b R n (Spalten-)Vektoren. a... a n x.. b.. a n... a nn x n b n a x +... + a n x n b.. a n x +... + a nn x n Die smenge (also die Vektoren x R n, die A x b erfüllen) kann leer sein, sie kann genau eine enthalten oder unendlich viele. Ist b 0 heißt die Gleichung homogen, ansonsten inhomogen. Man kann jede der Gleichungen als Bestimmungsgleichung einer Ebene in Ebenennormalenform interpretieren. Der Schnitt aller Ebenen ist die smenge. Sind zwei (oder mehr) der Ebenen parallel (ohne dass sie zusammenfallen), gibt es keine, schneiden sie sich alle in einem Punkt, ist die smenge nur dieser Schnittpunkt. Für den Fall unendlich vieler en gibt es viele Möglichkeiten: Ebenen könnten zusammenfallen oder die Ebenen sich in einer Gerade schneiden. Hier hat sich in dem ausgeteilten Blatt ein kleiner Tippfehler eingeschlichen, vor dem letzten Eintrag der Matrix fehlt ein Minuszeichen (richtig ist 7 statt 7!). Wir lösen wie gewohnt per Hand (im Laufe der Vorlesung lernen wir viel effektivere Methoden kennen). Wir haben also folgende drei Gleichungen: b n x x + 4x 3 8 6x x + x 3 0 x 3x + x 3 3x + x 7x 3 3x + (3x + x 3 ) 7x 3 Aus Gleichung erhalten wir 6x 3, also ist x 3 und aus Gleichung erhalten wir x 3x. Das setzen wir in Gleichung ein. x (3x ) + 4 ( ) 8 x x Daher ist die smenge gegeben durch {(,, )}. 4
Tutoraufgaben T Invertierbarkeit Untersuchen Sie die Invertierbarkeit von A Mat R (, ) in Abhängigkeit von λ R (mit Probe) und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. A λ Wir invertieren wieder per Hand ; dabei müssen wir aber darauf achten, welchen Wert der Parameter λ R annimmt. b b A B! id λ b b R b + b b + b b + λb b + λb Wir haben also vier Gleichungen mit vier Unbekannten. 0 0 b + b b + b 0 b b b + λb 0 b λb b + λb (iv) Wenn wir Gleichung in Gleichung bzw. in (iv) einsetzen, erhalten wir für λ : Das inverse Element zu A ist also gegeben durch ( + λ)b b +λ λ b ( + λ)b b +λ b B λ +λ +λ +λ +λ λ + λ Wir sehen so deutlich, dass für λ das Inverse nicht existiert, die beiden Zeilen von A sind linear abhängig und der Vorfaktor +λ divergiert. Wir machen trotzdem noch die Probe für den Fall λ indem wir A B berechnen. Wie erwartet erhalten wir id R. λ A B λ + λ + λ λ + + λ + λ + λ Im allgemeinen ist das Inverse einer -Matrix A (a i j ) i, j gegeben durch A det A a a a a 0 0 T Determinante für -Matrizen 5
Die Determinante einer -Matrix A (a i j ) i,j ist definiert als det A : a a a a. Zeigen Sie, dass für zwei Matrizen A, B Mat R (, ) gilt: det(a B) det A det B. Nach Definition des Produkts haben wir A B (a i b j + a i b j ) i,j. Wir setzen in die Definition der Determinante ein und erhalten det A B det (a i b j + a i b j ) i,j a b + a b a b + a b a b + a b a b + a b a b a b + a b a b + a b a b + a b a b a b a b + a b a b + a b a b + a b a b a a b b + a a b b + a a b b + a a b b a a b b + a a b b + a a b b + a a b b a a b b + a a b b a a b b + a a b b a a b b b b a a b b b b det A det B T3 Gleichungssystem mit Parameter Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mit Parameter in Abhängigkeit vom Parameter λ R: 4 x 0 6 x 0 3 λ 0 Wir lösen wie gewohnt per Hand (im Laufe der Vorlesung lernen wir viel effektivere Methoden kennen). Wir haben also folgende drei Gleichungen: x 3 x x + 4x 3 0 6x x + x 3 0 x 3x + x 3 3x + x + λx 3 3x + (3x + x 3 ) + λx 3 0 Aus Gleichung erhalten wir (λ + )x 3 0; diese Gleichung ist für λ immer erfüllt und wir haben unendlich viele en. Für λ muss x 3 0 sein, damit Gleichungen und gleichzeitig erfüllt sein können. Sei also λ. Wir setzen Gleichung in ein und erhalten x (3x + x 3 ) + 4x 3 0, also x + 3x 3 0. x 3x 3 x 3 x 3 in x 3 3 x 3 + x 3 x 3 Somit lösen alle Punkte auf der Gerade 3 µ µ R 6
das Gleichungssystem. Nun zum einfacheren Fall λ. Dann muss x 3 0 sein, und daher auch x 0 x, was man aus den obigen Gleichungen direkt ablesen (die ersten zwei Gleichungen enthalten nicht den Parameter λ und wir müssen bloß den Schnitt zwischen der smenge der ersten zwei Gleichungen (die Gerade oben) und der letzten Gleichung bilden). Hausaufgaben H Matrizenmultiplikation und Invertierung Seien A und B gegeben durch 0 4 A 0 B 0 4 0 Berechnen Sie A B, B A sowie A B B A. Invertieren Sie B (mit Probe). Das Produkt von A und B ist 0 4 λ + 0 + 0 0 + 0 4 0 + 0 + 4 A B 0 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 4 0 4λ + 0 + 0 0 0 + + λ 4 4 0 0 4λ 4 3 Analog dazu berechnen wir B A. 0 4 λ + 0 + 0 0 + 0 + 0 4λ + 0 + 0 B A 0 0 0 + 0 4 0 + 0 0 4 0 + 0 + 4 0 + 0 + + λ 0 4λ 4 4 4 0 3 Die Differenz von beiden ist nun λ 4 4 λ 0 4λ 0 4 4 4λ A B B A 0 0 4 4 4 0 4 4λ 4 3 4 0 3 4λ 4 4 0 Wir invertieren wieder per Hand : c c c 3 B C 0 c c c 3 0 c 3 c 3 c 33 λc λc λc 3 c c 3 c c 3 c 3 c 33! 0 0 0 0 c + c 3 c + c 3 c 3 + c 33 0 0 7
Wir erhalten so zwar neun Gleichungen mit neun Unbekannten, aber drei davon sind trivial: nehmen wir λ 0 an: λc c /λ λc c 0 λc 3 c 3 0 Aber auch die anderen sechs Gleichungen sind leicht zu lösen: c c 3 0 c c 3 c c 3 c c 3 c 3 c 33 0 c 3 c 33 (iv) (v) (vi) Wir setzen nun in die verbleibenden drei ein: c + c 3 0 c c 3 c + c 3 0 c c 3 c 3 + c 33 c 3 c 33 (vii) (viii) (ix) Gleichungen (iv) und (vii) implizieren, dass c 3 0 c, (v) und (viii) bedeuten, dass c c, also c c 3. Aus Gleichungen (vi) und (ix) folgt ihrerseits c 3 c 3 +, also c 3 und c 33. Daher ist das Inverse von B gegeben durch / C 0 0 Wir machen die Probe (nur eine, die andere geht ganz genauso). / B C 0 0 0 0 λ /λ + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 0 + 0 0 + 0 + 0 0 H Determinante und Invertierbarkeit ( ) Zeigen Sie, dass eine -Matrix A genau dann invertierbar ist, wenn det A 0 ist (Hinweis: siehe Aufgabe T und Definition des Inversen einer Matrix). Wir nehmen an, A sei invertierbar: dann wenden wir T auf die Gleichung A A id R an und erhalten so det(a A ) det id R T det A det A Mit markierte Aufgaben sind meistens etwas, manchmal viel schwieriger. 8
Daher ist det A det A. Anderseits, sei det A 0. Dann ist für eine -Matrix das Inverse von A (a i j ) i, j gegeben durch A a a det A a a Das Inverse existiert also, solange det A 0 ist. 9