Bemerkungen Die Erweiterung der Definition von partiellen Ableitungen 1. Ordnung für Funktionen u = f (x 1,..., x n ) mit n > 2 Veränderlichen ist offensichtlich: f xi (x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x i + x i,..., x n ) f (x 1,..., x n ) lim. x i 0 x i Man beachte, dass die partielle Differentiation 1. Ordnung eine Ableitungsfunktion in n Veränderlichen liefert, die sich (unter geeigneten Voraussetzungen) wiederum partiell differenzieren läßt. Durch mehrmaliges partielles Differentieren ergeben sich somit partielle Ableitungen höherer Ordnung: f f x, f y f xx, f xy, f yx, f yy f xxx, f xxy, f xyx,... Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010 12 / 34
Satz von Schwarz (ohne Beweis) Die Funktion u = f (x 1,..., x n ) habe stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Dann gilt f xi x k = f xk x i. Die Aussage läßt sich auf höhere partielle Ableitungen erweitern, falls alle vorkommenden partiellen Ableitungen stetig sind. Für u = f (x, y) gilt dann z.b. f xxy = f xyx = f yxx Bei nicht stetigen partiellen Ableitungen ist die Aussage i.a. falsch Beispiel: Für f (x, y) = { xy x y x+y für (x, y) (0, 0) 0 für (x, y) = (0, 0) ergibt sich f xy (0, 0) = 1 1 = f yx (0, 0). Dies liegt an der Unstetigkeit der beiden partiellen Ableitungen 2. Ordnung an der Stelle (0, 0). Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010 13 / 34
Outline 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen 2 Grenzwert und Stetigkeit 3 Partielle Ableitungen 4 Die verallgemeinerte Kettenregel 5 Das totale Differential 6 Extremstellen Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010 14 / 34
Beispiel einer verketteten Funktion Verkettete Funktion z = f (x, y) = x 2 + 6xy mit x = x(t) = cos(t), y = y(t) = sin(t) (t [0, π]). Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010 15 / 34
Satz: Die verallgemeinerte Kettenregel z = f (x, y) sei eine Funktion, deren Variablen x, y von einem Parameter t abhängen: x = x(t), y = y(t) (t [a, b] IR). Die Ableitung der verketteten Funktion z = f (x, y) = f (x(t), y(t)) =: F(t) des Parameters t kann mit der verallgemeinerten Kettenregel gebildet werden: dz = z dx dt x dt + z dy. y dt Hierbei sind in den partiellen Ableitungen z z x und y die Variablen x und y durch die Parametergleichungen zu ersetzen. Beweis: Der Beweis dieser Aussage beruht im wesentlichen auf dem Mittelwertsatz (s. Rösch: Mathematik für Chemiker, Springer-Verlag). Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010 16 / 34
Die verallgemeinerte Kettenregel Die verallgemeinerte Kettenregel läßt sich auf Funktionen von mehr als zwei Veränderlichen erweitern. Für Funktionen von drei Veränderlichen u = f (x, y, z) = f (x(t), y(t), z(t) ergibt sich du dt = u dx x dt + u dy y dt + u dz z dt. Ganz analog erhält man für Funktionen von n Veränderlichen u = f (x 1, x 2,..., x n ) = f (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)): du dt = u dx 1 + u dx 2 + + u dx n x 1 dt x 2 dt x n dt. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010 17 / 34
Outline 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen 2 Grenzwert und Stetigkeit 3 Partielle Ableitungen 4 Die verallgemeinerte Kettenregel 5 Das totale Differential 6 Extremstellen Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010 18 / 34
Tangentialebene Tangentialebene z 5 = 2 (x 1) + 4 (y 2) im Punkt P = (1, 2, 5) an der Bildfläche von z = f (x, y) = x 2 + y 2. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010 19 / 34
Veranschaulichung des totalen Differentials Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010 20 / 34
Definition: Das totale Differential Unter dem totalen oder vollständigen Differential einer Funktion z = f (x, y) von zwei Veränderlichen versteht man den linearen Differentialausdruck dz = f x dx + f y dy. Unter dem totalen oder vollständigen Differential einer Funktion u = f (x 1,..., x n ) von n Veränderlichen versteht man den linearen Differentialausdruck du = f x1 dx 1 + + f xn dx n. Wichtige Anwendungsmöglichkeiten des totalen Differentials finden sich z.b. bei der Linearisierung von Funktionen, der impliziten Differentiation und der Fehlerfortpflanzung. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010 21 / 34