SKALARPRODUKE 1 6 Normale Abbildungen 61 Erinnerung Sei V ein n-dimensionaler prä-hilbertraum, also ein n-dimensionaler Vektorraum über K (R oder C) versehen auch mit einer Skalarprodukt, ra K Die euklidische Norm ist definiert durch x x, x Zwei Vektoren x, y V heißen orthogonal, falls x, y 0 (x y) Man sagt, dass die Vektoren e 1,,e n eine Orthonormalbasis in V bilden falls { 1 falls i j e i, e j, also falls e i 1, e i e j für i j 0 sonst Das Standardskalarprodukt in C n (oder R n ) ist definiert durch: x, y x i y i Eine Orthonormalbasis ist tatsächlich eine Basis Die Koordinaten bzgl einer Orthonormalbasis sind leicht zu bestimmen! Den folgenden Satz haben wir auch schon mal gesehen, jetzt aber nochmal als Wiederholung: Satz 611 Sei e 1,,e n eine Orthonormalbasis von V a) Ist x V mit x n x je j, dann gilt x i x, e i also x x, e j e j b) Zwei Vektoren x, y V sind genau dann gleich, wenn für alle z V die Gleichheit x, z y,z gilt Dies ist weiter äquivalent zu x, e i y, e i für i 1,,n c) Ist L : V K eine Linearform, dann existiert genau ein z V mit Beweis a) Es gilt: L(x) x, z für alle z V x, e i x j e j, e i x i b) Seien x, y V Es reicht x y zu zeigen, falls x, e i y, e i gilt für alle i 1,,n Dies folgt aber aus a): Schreibe x x j e j und y y j e j Wegen a) gilt x j x, e j und y j y,e j, also nach der Voraussetzung folgt x y auch c) Setze y i : L(e i ) Dann gilt L(x) x i L(e i ) n x i y i x i e i, y j e j x, y Satz 612 Sei : U V eine lineare Abbildung und L {e 1,,e n }, L {f 1,,f m } Orthonormalbasen in U bzw in V a) Ist, (α ij ), dann gilt α ij e j, f i b) Für S : U V linear gilt S genau dann, wenn Sx,y x, y für alle x, y V
2 SKALARPRODUKE steht der Koordinaten- Beweis a) Folgt einfach aus den Definitionen: in der j-te Spalte von vektor von e j Diese Koordinaten sind eben α ij e i, f j b) Folgt aus dem obigen Satz b) 62 Adjungierte einer linearen Abbildung Der Vektorraum aller linearen Abbildungen von U nach V wird mit L (U, V ) bezeichnet Satz 621 Sei L (U, V ) Es gibt dann genau eine lineare Abbildung : V U mit Ist, so gilt x, y x, y für alle x U, y V M L,L A : A Die Abbildung heißt die adjungierte Abbildung von, und die Matrix A ist die adjungierte der Matrix A Beweis Definiere die Linearform L y : V K, L y (x) : x, y Wegen Satz 611 c) existiert einen eindeutigen Vektor z V mit L y (x) x, z Setze y z Aus der Eindeutigkeit bekommt man, dass linear sein muss Nämlich: sind y 1, y 2 V und λ K, so ist L y1+λy 2 (x) x, y 1 + λy 2 x,y 1 + λ x, y 2 L y1 (x) + λl y2 (x) x, y 1 + x, λ y 2 Beispiel 1 Sei 2 Sei 0 1 So gilt A 1 0 0 1 So gilt A 0 0 0 1 A 1 0 0 0 1 0 3 Sei cos ϕ sinϕ So gilt A cos ϕ sin( ϕ) A 1 sinϕ cos ϕ sin( ϕ) cos ϕ 4 Sei gegeben durch der Diagonalmatrix λ 1 0 0 0 0 0 0 λ n (bzgl einer Orthonormalbasis) Dann die Matrix von ist λ 1 0 0 A 0 0 0 0 λ n 63 Eigenschaften der adjungierten Abbildung und der adjungierten Matrix Im Folgenden werden wir Satz 612 b) ganz oft benutzen 0 Für die Identität I : U U gilt I I Für die Nullabbildung 0 : U V gilt 0 : V U die Nullabbildung
SKALARPRODUKE 3 Beweis Es gelten: und x, I y Ix,y x, y, x, o y 0x, y 0 x,0y Daraus folgt die Behauptung 1 Für : V V gilt Beweis Seien u, v V Dann gilt: u,v u, v v, u v, u u, v 2 Für S, L (U, V ), λ K gilt (S + λ) S + λ Beweis Seien u, v V Dann gilt: (S + λ)u, v Su + λu, v u, S v + λ u, v u, (S + λ )v 3 Für S L (U, V ), L (V,W) gilt (S) S Beweis Seien u U, w W Dann gilt: Su, w Su, w u, S w 4 Für L (U, V ) gilt Kern (Bild ) Beweis Sei u Kern, und sei v Bild Dann gilt u,v u, v 0, also u (Bild ) Ist umgekehrt u (Bild ), so gilt Daraus folgt u 0, dh u Kern 5 Es gilt 0 u, v und somit u,v 0 für alle v V Rang( ) Rang() Beweis Sei A eine Matrix von So ist A eine Matrix von Daraus folgt die Behauptung, denn: Rang() Rang(A) Rang(A ) Rang(A ) Rang( ) 6 Für : V V gilt det() det( ) Beweis Bemerke zunächst, dass für eine beliebige quadratische Matrix gilt det(b) det(b) Diese folgt aus der Definition der Determinante (siehe 413) Sei also A eine Matrix von bzgl einer Orthonormalbasis Dann gilt det() det(a) det(a ) det(a ) det(a ) det( ) 7 Für : V V und λ K gilt de Äquivalenz: λ σ() λ σ( )
4 SKALARPRODUKE Beweis Die Behauptung folgt aus den folgenden Äquivalenzen: λ σ() det( λi) 0 det( λi) 0 λ σ( ) 64 Normale Abbildungen Definition Eine Abbildung : V V heißt normal, falls gilt Beispiel 1 Die Abbildung gegeben durch die Matrix 0 1 0 0 ist nicht normal 2 Die Abbildung gegeben durch die Matrix ( 0 ) 1 1 0 ist normal 3 Ist, oder, oder 1 so ist normal Bemerkung Sei die Matrix von bzgl einer Orthonormalbasis Dann ist A, und somit ist genau dann normal, falls A AA gilt Matrizen mit dieser Eigenschaft heißen auch normal Satz 641 Sei : V V eine lineare Abbildung, so dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von in V existiert Dann ist normal Beweis Sei L eine Orthonormalbasis in V aus Eigenvektoren von, dann λ 1 0 0 λ 1 0 0 A : 0 0, L,L und M 0 0 A 0 0 λ n 0 0 λ n Daraus folgt Satz 642 Ist normal und x V, so gilt Beweis Es gilt AA A A und somit x x x 2 x, x x, x x, x x, x x 2 Satz 643 Sei normal Ist e V und λ K mit e λe so gilt dh e λe, Kern( λi) Kern( λi)
SKALARPRODUKE 5 Beweis Bemerke zunächts das Folgende Ist normal, so ist für jedes λ K auch die Abbildung λi normal Denn es gilt ( λi) ( λi) ( λi)( λi) (λ+λ) +λ λi ( λi)( λi) ( λi)( λi) Nun für e und λ wie in der Behauptung gilt wegen Satz 642: also e λe 0 ( λi)e ( λi) e, Satz 644 Sei normal, und seien e V, λ K mit e λe Setze W : {e} { x V : x, e 0 } Dann ist W invariant unter und, dh es gelten: Beweis Sei w W, also w, e 0 Es gilt wir haben hier Satz 643 benutzt (W) W und (W) W e, w e, w λ e, w 0, dh w W e, w e, w λ e, w 0, dh w W, Hauptsatz 645 Sei V ein komplexer, endlichdimensionaler (prä-)hilbertraum Für : V V linear sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) Es gibt eine Basis in V die aus Eigenvektoren von besteht (ii) Die Abbildung ist normal, dh Beweis Die Implikation (i) (ii) haben wir im Satz 641 gesehen Nun zur Implikation (ii) (i): Wir beweisen mit vollständiger Induktion nach n dim(v ) Der Fall n 1 is klar: jede Abbildung ist normal und (i) ist auch trivialerweise erfüllt Sei also die Aussage für n 1 richtig für jede normale Abbildung auf W mit Dimension dim(w) n Sei e n+1 ein Eigenvektor für : V V, welcher wegen K C existiert (siehe Korollar 542) Wir können natürlich e n+1 umnormieren und somit e n+1 1 erreichen Sei W {e n+1 } und setze S : W ( eingeschränk auf W) So ist, wegen Satz 644, auch die Abbildung S : W W normal Da dim(w) existiert also nach Induktionsvoraussetzung eine Orthonormalbasis e 1,,e n in W aus Eigenvektoren von S (also von ) Diese zusammen mit e n+1 haben die gewünschten Eigenschaften 65 Unitäre und orthogonale lineare Abbildungen Definition Sei : V V linear, das das Skalarprodukt erhält, also mit So heißt a) im Falle K C unitär; b) im Falle K R orthogonal v,u u, v für alle u, v V Entscheidend wird das folgende rick, genannt Polarisierung, das das Skalarprodukt mithilfe der Norm(-Quadrat) bestimmt: x, y 1 ( Für K R gilt: x + y 2 x y 2) 4 Für K C gilt: x, y 1 4 ( x + y 2 x y 2 i x iy 2 + i x + iy 2) (Dies haben wir schon gesehen, siehe 210)
6 SKALARPRODUKE Hauptsatz Sei V komplexer (n-dimensionaler) Hilbertraum Für : V V sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) ist unitär (ii) ist isometrisch, dh erhält die Längen von Vektoren, genauer : v v gilt für alle v V (iii) is invertierbar mit 1 (iv) ist normal mit σ() { λ : λ 1 } (v) transformiert Orthonormalbasen in Orthonormalbasen (vi) Für jede Orthonormalbasis L in V, bilden die Spalten der Matrix eine Orthonormalbasis in C n (vii) Es gibt ein Orthonormalbasis L in V, so dass die Spalten der Matrix eine Orthonormalbasis in C n bilden Beweis (i) (ii): Falls das Skalarprodukt erhält, ist es auch isometrisch: x x, x, x, x x 2 (ii) (iii): Ist isometrisch, so ist injektiv, denn x 0 impliziert x x 0, also x 0 Wegen der Dimensionsformel ist auch surjektiv, also ist invertierbar Wegen Polarisierung gilt x, y x, y x, y Aus Satz 612 b) folgt x x für jedes x V, also 1 (iii) (iv): Es gilt 1 I 1, also ist normal Nach Satz 645 gibt es eine Orthonormalbasis L, so dass A diagonal wird; auf der Diagonale stehen die Eigenwerte λ 1,,λ n Die Abbildung hat einerseits die Matrix anderseits Daraus folgt λ i λ 1 i A A A,, also die Behauptung 1 A 1 (iv) (i): Sei L {e 1,,e n } eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von So ist, wegen Satz 643, x,y x, e i y,e i x, e i y, e i λ i x, e i λ i y, e i x, e i y, e i x, y (i) (v): Sei L {e 1,,e n } eine Orthonormalbasis in V Dann gilt { 1 falls i j e i, e j e i, e j 0 falls i j, also e 1,,e n ist eine Orthonormalbasis in V (v) (vi): Sei L {e 1,,e n } eine Orthonormalbasis in V Nach Voraussetzung bilden e 1,,e n eine Orthonormalbasis in V, deren Koordinatenvektoren in den Spalten von stehen (vi) (vii) ist klar (vii) (iii): Sei L eine Orthonormalbasis in V, so dass die Spalten von eine Orthonormalbasis f 1,,f n in C n bilden In Spaltenvektornotation ist also Somit gilt in Zeilenvektornotation: (f 1, f 2,,f n ) f 1 f n
SKALARPRODUKE 7 Daraus bekommen wir f 1 f n Dh I, also (iii) folgt (f 1, f 2,,f n ) f 1, f 1 f 1, f 2 f 1, f n f n, f 1 f n, f 2 f n, f n I n n Bemerkung Im Falle K R betrachte die Drehung ϕ um Winkel ϕ in R 2 mit matrix cos ϕ sinϕ A ϕ sinϕ cos ϕ Betrachte die folgende Aussage: (iv ) Es gibt eine Orthonormalbasis L in in V, so dass die Matrix von hat die Block-Form: 1 0 0 0 1 1 0, 0 1 ϕ1 0 0 0 ϕk Dann gilt: orthogonal (i) (ii) (iii) (iv ) (v) (vi) (vii), wobei ϕ i mπ für m Z, und wobei in (vi) und in (vii) C n durch R n ersetzt werden muss