24 Meßbare Funktionen bilden die Grundlage der Integrationstheorie. Definition 24. : Sei X eine beliebige Menge, Y ein topologischer Raum, λ ein Maß auf X. f : X Y heißt λ-messbar, falls f (Ω) λ-messbar ist für alle offenen Ω Y. Bemerkungen : ) Sei ϑ := {A Y : f (A) ist λ-messbar }. Rechenregeln für Urbilder = ϑ P(Y ) ist eine σ-algebra, die per Definition die offenen Mengen in Y umfaßt. Also : Borel-Mengen in Y ϑ 2) λ Borel-Maß auf X (metr. Raum), f : X Y stetig = f ist λ-messbar, denn f-urbilder offener Mengen in Y sind offen in X. (Analyse der Stetigkeitseigenschaften messbarer f = vgl. Satz 24.3) 3) Sei M X. Dann gilt: ( Übung!) χ M : X R λ-messbar M λ-messbar χ M (x) := { 0, x / M, x M 4) Kriterium für reellwertige Abbildungen : Sei λ ein Maß auf einer beliebigen Menge X und f : X R. Dann gilt : { f ((, t]) oder f ( ) ([s, t]), s, t Q analog mit f λ-messbar λ-messbar für alle t Q, offenen Intervallen
24. MESSBARE FUNKTIONEN 2 denn aus dem System (, t], t Q, kann man alle offenen Mengen R durch abzählbare Schritte, Vereinigungen und Differenzen erzeugen. Entsprechendes gilt für das System [s, + ), s Q. 5) Es ist zweckmäßig, auch Funktionen f : X R = [, ] = R {± } zu betrachten, d.h. f(x) {± } ist möglich. Dabei wird R mit seiner natürlichen Ordnung < x <, x R, versehen und wir sagen : f : X R ist λ-messbar : { f ({ }), f ({+ }), f (I) (I offen R) λ-messbar. Funktionen mit Werten in R treten z.b. als Limiten von Folgen f n : X R auf. Satz 24. : (Rechenregeln für messbare Funktionen) Sei λ Maß auf X. (i) Sind f, g : X R λ-messbar, so auch f + g, f g, f, min{f, g}, max{f, g}. Für g 0 hat man λ-meßbarkeit von f/g. (ii) Sei f k : X R eine Folge λ-messbarer Funktionen. Dann sind inf f k, sup f k, lim inf f k, lim sup f k λ-messbar. k k k k (iii) Seien Y, X topologische Räume, g : Y Z stetig und f : X Y Dann ist g f : X Z λ-messbar. (iv) f : X R n λ- messbar jede Komponente λ-messbar λ-messbar. Bemerkung : In (i) darf man R als Bild nur dann zulassen, wenn keine Ausdrücke vom Typ, 0 auftreten. f : X R und g : X R ist für f + g möglich. (i) Es ist für a R ( ) (f + g) (, a) = r,s Q r+s<a woraus λ-meßbarkeit von f + g folgt. ( f (, r) g (, s) ),
24. MESSBARE FUNKTIONEN 3 Beweis von ( ) :,, : x (f + g) (, a) f(x) + g(x) < a Setze ε := a (f(x) + g(x)) > 0 und wähle r, s Q mit f(x) < r < f(x) + ε 3, g(x) < s < g(x) + ε 3 = x f (, r) g (, x) und r + s < f(x) + g(x) + 2 3 ε = 2 3 (a (f(x) + g(x))) + f(x) + g(x) = 2 3 a + 3 (f(x) + g(x)) < a.,, : Sei f(x) < r, g(x) < s für r, s Q, r + s < a. Dann : f(x) + g(x) < r + s < a = x (f + g) (, a). Wir zeigen λ-meßbarkeit von f 2 : a 0 = (f 2 ) (, a) = f (, a) f ( a, ) λ-messbar a < 0 = (f 2 ) (, a) = Daraus folgt λ-meßbarkeit von f g, denn f g = [ (f + g) 2 f 2 g 2], 2 d.h. f g ist Summe von Quadraten und damit messbar. Rest von (i) : Übung! Bemerkung : f + := f χ f ([0, )), ist λ-messbar f := f χ f ((,0]) - für λ-messbare f, da f (...) λ-messbar. Daraus folgt λ-meßbarkeit von f = f + + f, max{f, g} = (f g) + + g, min{f, g} = (f g) + g.
24. MESSBARE FUNKTIONEN 4 Weiter im Beweis von 24. : (ii) Seien f k : X R λ-messbar ( ) = inf f k ([, a)) = k N ( ) sup f k ([, a]) = k N k= f k k= f k = inf f k, sup f k sind λ-messbar k N k N ([, a)) ([, a]) (Diese Funktionen können durchaus bzw. + sein!) Gemäß lim inf k f k = sup m lim sup f k = inf k m { inf k m f k}, { sup f k } k m folgend daraus die anderen Behauptungen von (ii). Spezialfall : f(x) = lim k f k(x) existiert für x X = f : X R ist λ-messbar. (iii) (iv) Übung! Satz 24.2 : Zerlegung messbarer Funktionen 0 Sei λ ein Maß auf der Menge X, f : X [0, ] sei λ-messbar. Zu jeder Folge {r k } k N mit r k > 0, r k 0, r k = k= gibt es eine Folge {A k } k N λ-messbarer Teilmengen von X mit f = r k χ Ak. (punktweise Konvergenz!) k= Spezialfall : r k = /k. Sei r k = /k, die allgemeine Aussage folge genauso. Setze induktiv A := {x X : f(x) }, A k := {x X : f(x) k + k (x)}, k 2.
24. MESSBARE FUNKTIONEN 5.) Es gilt: f k= Fall : x / k χ A k k= A k = f(x) 0 = Fall 2 : x A k für nur endlich viele k. k= k χ A k (x) Sei k := max{k N : x A k }. Dann ist x A k Def. = f(x) k + k Fall 3 : x A km (x) = k für eine Folge k m m. Zu jedem N N gibt es ein k m N, also (x) = (x). f(x) x A km k m + km N (x) j χ A j (x) = km (x) Mit N folgt die Behauptung aus.). 2.) Ist f(x) =, so folgt x A k für alle k, also k= k χ A k (x) = k= k = f(x) Im Fall f(x) <, gilt x / A n für unendlich viele n (sonst Widerspruch zu.) und der Divergenz der harm. Reihe). Für jedes solche n ist per Def. von A n n f(x) (x) n Nach.) ist die linke Seite 0, n ergibt die Behauptung Wir wissen : λ Borel Maß auf R n, f : R n R k stetig = f λ-messbar. Was kann man über die Stetigkeitseigenschaften messbarer Funktionen aussagen? Meßbare Funktionen lassen sich dem Maße nach durch stetige Funktionen approximieren bzw. sind bereits größtenteils stetig.
24. MESSBARE FUNKTIONEN 6 Satz 24.3 : (von Lusin) Sei λ ein Borel-reguläres Maß auf R n und f : R n R N λ-messbar. Es sei A R n λ-messbar mit λ(a) <. Dann gibt es zu jedem ε > 0 eine kompakte Menge K = K ε mit K A und λ(a K) < ε, so dass f k : K R N stetig ist. (Das bedeutet nicht, dass f an jeder Stelle x K stetig ist, lediglich f K hat diese Eigenschaft.) Bemerkung : Allgemeine Versionen finden sich bei Federer, 2.3.5. Für jedes i N zerlege den Bildraum in der Form R N = B ij mit disjunkten Borel-Mengen B ij (d.h. B il B ik = für l k), wobei diam B ij < i (konkret: Würfelzerlegung von RN ). [Gemeinsame Seiten werden jeweils nur einem Würfel zugeschlagen!] Die Mengen A ij := f (B ij ) A sind λ-messbar und A = A ij für jedes i. Nach 23.4 (beachte λ(a) < ) ist ν := λ A ein Rodon-Maß, der Zusatz zu 23.5 liefert kompakte Mengen K ij A ij mit ν(a ij K ij ) ε 2 (i+j). Es folgt : λ (A ) K ij = ν (A ) K ij ( ) = ν (A ii K ii ) ε 2 i. ν(a ii K ii )
24. MESSBARE FUNKTIONEN 7 Aus λ(a) < und folgt : N(i) N mit ( N(i) (+) λ A ( lim λ A N ) K ij = λ (A ) K ij N K ij }{{} =:D i ) 2ε 2 i. Die Mengen D i sind kompakt. Für i, j N wähle b ij B ij beliebig und setze g i : D i R N, g i (x) := b ij, falls x K ij. Da K ij,..., K in(i) paarweise disjunkt sind und somit (als kompakte Mengen) Abstand > 0 haben, ist g i stetig. Außerdem : ( ) f(x) g i (x) i für alle x D i, da diam B ij < i. Sei schließlich K := D i, dann gilt : K A ist kompakt, g i f nach ( ) und daher ist f K stetig. i= Außerdem : ( λ(a K) = λ A ) D i i= i= λ(a D i ) (+) 2ε. Korollar : Sei λ ein Borel-reguläres Maß auf R n, A R n sei λ-messbar mit λ(a) <. f : R n R N sei λ-messbar. Dann gibt es zu jedem ε > 0 eine stetige Funktion f = f ε : R n R N mit λ ( {x A : f(x) f(x)} ) < ε. Wähle nach dem Satz K A kompakt mit λ(a K) < ε und f K : K R N stetig. f K läßt sich zu einer stetigen Funktion f : R n R N fortsetzen. (nicht trivial, benutzt das,,lemma von der Zerlegung der Eins Übung!) genauer : Ist K R n kompakt und g : K R N stetig, so gibt es eine stetige Fortsetzung g : R n R N. Gemäß {x A : f(x) f(x)} A K folgt die Behauptung.
24. MESSBARE FUNKTIONEN 8 Definition 24.2 : Sei λ ein Maß auf der Menge X, A X. Eine Eigenschaft gilt λ-fast überall auf A (λ-f.ü.), wenn sie bis auf eine λ-nullmenge A A richtig ist. Beispiele :.) f = χ R Q ist L -f.ü. =, denn f(x) = x Q und Q ist L -Nullmenge. 2.) Sei λ ein Maß auf X, Y ein topologischer Raum und f : X Y sei λ-messbar. Ist g : X Y λ-f.ü. gleich f, also λ({x X : f(x) g(x)}) = 0, so ist g λ-messbar. Übung! Der folgende Satz zeigt : punktweise Konvergenz liefert glm. Konvergenz abgesehen von,,kleinen Restmengen. Satz 24.4 : (von Egoroff) Sei λ ein Maß auf der Menge X, die f k : X R N seien λ-messbar. A X sei λ-messbar mit λ(a) <, und es gelte f k g λ-f.ü. auf A. Dann gibt es zu jedem ε > 0 eine λ-messbare Menge B A mit λ(a B) < ε und f k g (gleichmäßig!) auf B. Sei C i,j := {x : f k (x) g(x) > 2 i }. k=j Dann gilt C i,j+ C i,j und somit (wegen λ(a) < ) ( lim λ(a C i,j) = λ A j für jedes i N. Sei x A ) C i,j C i,j. Dann heißt x A C i,j : k mit f k (x) g(x) > 2 i. Außerdem gehört x auch zu A C i,k +, d.h. k 2 k + mit f k2 (x) g(x) > 2 i, usw.
24. MESSBARE FUNKTIONEN 9 Man gewinnt eine Teilfolge {f kl (x)}, k l l, mit der Eigenschaft f kl (x) g(x) > 2 i l, d.h. f m (x) g(x) bei m. Die Menge der Punkte x aus A, bei denen keine Konvergenz gegen g(x) vorliegt, haben nach Vor. λ-maß 0, also lim λ(a C i,j) = 0 i. j Sei ε > 0 gegeben. Zu jedem i N wähle man N(i) mit λ(a C i,n(i) ) < ε 2 i und setze B := A C i,n(i) = λ(a B) i= λ(a C i,n(i) ) < ε. i= Es gilt ( ) f m (x) g(x) 2 i für alle x B und alle m N(i), also f m g auf B. Wäre nämlich für ein x B und ein m N(i) f m (x) g(x) > 2 i, so hätte man x C i,n(i), was B C i,n(i) = widerspricht. Definition 24.3 : Konvergenz dem Maße nach Sei λ ein Maß auf X, f k, f : X R n seien λ-messbar. Sei A X λ-messbar. {f k } konvergiert dem Maße nach auf A gegen f, wenn : lim λ ({x A : f k(x) f(x) ε}) = 0 für alle ε > 0. k Korollar: (zu Egoroff) Sei λ ein Maß auf X, A X messbar mit λ(a) <, und des gelte f k f f.ü. auf A für die λ-messbaren Funktionen f k, f. Dann gilt : f k f auf A dem Maße nach. Hierbei sind f k, f R n -wertig.
24. MESSBARE FUNKTIONEN 0 Sei für gegebenes ε > 0 E k (ε) := {x A : f k (x) f(x) ε}. Zu zeigen : lim λ(e k(ε)) = 0. k Sei δ < ε. Nach Egoroff gibt es E A messbar mit λ(e) < δ und f k f auf A E. Es gibt also k(δ) mit f k (x) f(x) < δ für alle x A E, k k(δ). Daraus folgt E k (ε) E gemäß δ < ε. Also : λ(e k (ε)) < δ k k(δ), d.h. lim λ(e k(ε)) = 0. k Man kann das Korollar teilweise umkehren, d.h. punktweise Konvergenz λ-f.ü. auf A ist nur etwas stärker als nur Konvergenz dem Maße nach. Satz 24.5 : (von Riesz) Sei λ ein Maß auf X, A X sei λ-messbar. f k, f : A R n seien λ-messbar mit f k f dem Maße nach auf A. Dann gibt es eine Teilfolge, die λ-f.ü. auf A gegen f konvergiert. Bemerkung : Die Folge selbst muß nicht λ-f.ü. auf A gegen f konvergieren. vgl. H.Bauer, Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie.
24. MESSBARE FUNKTIONEN Definition 24.4 : (noch eine Aussage über die Struktur messbarer Funktionen) Sei X eine Menge. f : X R n heißt eine einfache Funktion, wenn f nur endlich viele verschiedene Werte annimmt. Mit Bildf = {α,..., α N } und A k := {x : f(x) = α k } gilt : f = N α k χ Ak. k= Satz 24.6 : Sei λ ein Maß auf der Menge X und f : X [, ] sei λ-messbar. Dann gibt es eine Folge {f k } von reellwertigen λ-messbaren Funktionen f k : X R mit folgenden Eigenschaften : f k ist einfach f k f k+ lim k f k(x) = f(x) für alle x X. Ist f beschränkt, so gilt : f f auf X. Ist f 0, so gilt : 0 f f 2... f k f. Beweisskizze : Sei f 0. Für n N und k 2 n n sei A n,k := { x X : k 2 n f(x) < k 2 n }, B n := {x X : f(x) n}. Die Mengen A n,k, B n sind λ-messbar = f n (x) := n 2 n k= ist λ-messbare, einfache Funktion 0. Es gilt: () f n (x) n x X, k 2 n χ An,k(x) + n χ Bn (x) denn ist f(x) n, so folgt x / A n,k für k =,..., n2 n, so dass f n (x) = n χ Bn (x) = n. Ist hingegen f(x) < n, so folgt f n (x) = n 2 n k= k 2 n χ An,k (x) = j 2 n, wenn j 2 n f(x) < j 2 n für ein j {,..., n 2 n }. Offenbar ist aber j 2 n < n.
24. MESSBARE FUNKTIONEN 2 Außerdem gilt : (2) f n f n+ < f (Monotonie) und (3) f(x) f n (x) < 2 n x / B n zu (2) : f n f wurde unter () schon erledigt, die Ungleichung f n (x) f n+ (x) rechnet man mit Fallunterscheidung nach. Ist x / B n also f(x) < n, so gilt : und somit f(x) [ k 2 n, k 2 n ) für genau ein k {,..., n 2n } f n (x) = k 2 n. Das bedeutet 0 f(x) f n (x) < 2 n x / B n. Ist also f(x) =, so folgt f n (x) = n für alle n, mithin f n (x) f(x). Für f(x) < ist x / B n für n n > f(x), also gilt nach (3) ebenfalls f n (x) f(x). Sei f beschränkt, also f(x) c. Gemäß (3) gilt wieder Daher : 0 f(x) f n (x) < 2 n n n > c. f n f. Hat f beliebiges Vorzeichen, so zerlegt man f = f + f und benutzt den ersten Beweisteil für f ±.