3.1. JORDAN-NORMALFORM 63

3.1. JORDAN-NORMALFORM 63 Der Beweis ist mit Bedacht so gewählt, dass man noch diverse Strategien bei der Auffindung der linearen Abhängigkeiten anwenden kann. Im Unterschied zur Hauptraumzerlegung ist diese direkte Zerlegung in zyklische Summanden weit davon entfernt eindeutig zu sein: Es gibt viele solche Zerlegungen, aber man kann sich überlegen, dass Aut α (V ) transitiv auf der Menge der Zerlegungen, bei denen die zyklischen Summanden der α-länge nach geordnet sind, operiert. Wir können zunächst jeder Zerlegung in zyklische Räume eine Partition der natürlichen Zahl c, wo p c = χ α ist, als Längentupel zuordnen. Zur Erinnerung: Definition 3.13. 1.) Eine Partition der natürlichen Zahl c ist ein k-tupel λ = (λ 1,..., λ k ) N k für ein k N mit λ 1 λ 2... λ k und λ 1 + λ 2 + + λ k = c. 2) Ist λ = (λ 1,..., λ k ) N k eine Partition von c N, so ist die konjugierte Partition λ von λ definiert durch λ i := {j λ j i}. Man visualisiert üblicherweise die Partition durch Kästchen, die man linksbündig in Zeilen untereinander anordnet mit λ i Kästchen in der i-ten Zeile. Dies nennt man das Young-Diagramm der Partition. Die Young-Diagramme von λ und λ sind transponiert zueinander. Definition 3.14. Sei α End(V ) mit χ α = p c mit irreduziblem p K[X]. Eine Zerlegung V = v 1 α v k α mit λ(v 1 ) λ(v k ) > 0 heißt der Längen nach geordnet. Ihr wird die Partition (λ(v 1 ),..., λ(v k )) von c zugeordnet. Nun zeigen wir noch, dass die Zuordnung einer Partition unabhängig von der gewählten Zerlegung von V ist, sondern nur von α abhängt, d.h. wir zeigen, dass zwei verschieden gewählte Zerlegungen die selbe Partition liefern. Satz 3.15. Sei α End(V ) mit χ α = p c mit irreduziblem p K[X]. Je zwei der Längen nach geordnete Zerlegungen von V in zyklische Teilräume ist dieselbe Partition von c zugeordnet. Diese Partition heißt die zu α gehörige Partition. Beweis. Wir setzen V 0 = V und V i := Bild(p(α) i ) für i > 0. Mit jeder Zerlegung von V bekommen wir automatisch Zerlegungen der V i, so dass man sofort sieht: Die zu einer Zerlegung gehörige Partition ist die konjugierte Partition von (Dim K[X]/pK[X] (V 0 /V 1 ), Dim K[X]/pK[X] (V 1 /V 2 ),..., Dim K[X]/pK[X] (V m 1 /V m )), wo m minimal ist mit V m = {0}. Aus dieser Beschreibung wird die Unabhängigkeit von der speziellen Wahl der Zerlegung evident. q. e. d.

64 KAPITEL 3. ÄQUIVALENZ FÜR ENDOMORPHISMEN Es ist klar, dass man für allgemeine Endomorphismen eine Partition für jeden Hauptraum bekommt. Beispiel 3.16. 1) Ist m = c, so ist die zugeordnete Partition gleich (c) = (1,..., 1) N 1. 2) Ist m = 1, so ist die zugeordnete Partition gleich (1,..., 1) = (c) N c. Übung: Zeige ohne Benutzung der Existenz einer Zerlegung in zyklische Teilräume, dass die konjugierte Partition eines Endomorphismus wohldefiniert ist, dass also Dim K[X]/pK[X] (V i 1 /V i ) Dim K[X]/pK[X] (V i /V i+1 ) für alle i gilt. (Hinweis: ν = p(α) induziert einen Epimorphismus.) Übung: Ist a die zu α End(V ) gehörige Partition, so gilt a 1 = m, wobei µ α (X) = p m. Übung: Wie kann man statt mit V i := Bild(p(α) i ) mit V i bestimmt sich daraus die Partition? := Kern(p(α) i ) arbeiten? Wie Wir fassen die bisherigen Ergebnisse nochmals in Matrixform zusammen als folgenden Hauptsatz. Satz 3.17. (Jordan) Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und α End(V ) mit charakteristischem Polynom χ α (X) = p c für ein normiertes irreduzibles Polynom p K[X]. Ist λ = (λ 1,..., λ k ) N k die zu α gehörige Partition von c, so gibt es eine Basis B von V mit B α B = Diag(J(p λ 1 ),..., J(p λ k )). Diese Matrix heißt (verallgemeinerte) Jordan-Normalform (für die α beschreibenden Matrizen). Wir wollen die Aussage des letzten Satzes in einem neuen Licht betrachten. Sei also wiederrum α End(V ) mit µ α = p m und χ α = p c mit irreduziblem p K[X] und seien v 1,..., v k V mit k V = v i α. Für 0 j c definiere nun U j = Kern(p(α) j ). Dann ist U c = V und U 0 = {0} und i=1 {0} = U 1 U 2 U c = V. Sei nun α i = α vi α, d.h. die Einschränkung von α auf den α-invarianten Teilraum v i α. Weiter sei µ αi,v i = p m i. Die einzigen α-invarianten Teilräume dieses Raums sind nach

3.1. JORDAN-NORMALFORM 65 Satz 3.9 die Räume Kern(p(α i ) j ) für 0 j m i. Also erhalten wir für 0 j c die Zerlegung k U j = Kern(p(α i ) j ) i=1 von U j in eine direkte Summe zyklischer Teilräume. Man beachte, dass obwohl für einen einzigen zyklischen Teilraum v α gilt, dass Kern(p(α) i ) = Bild(p(α) m i ), wobei m = λ(v), für beliebige Vektorräume stimmt dies ist nicht mehr, da ja die zyklischen Summanden alle unterschiedliche Längen haben können. Angenommen k = 5 und es sei (λ 1, λ 2, λ 3, λ 4, λ 5 ) = (3, 3, 2, 2, 1). Bildlich können wir uns die Situation dann so vorstellen: v 1 α v 2 α v 3 α v 4 α U 3 p(α)v 1 α p(α) 2 v 1 α v 5 α U 2 U 1 p(α) 3 v 1 α U 0 Nach Übungsaufgabe 40 wissen wir nun: Sind w 1,... w r U i, so dass (α l (w j ) + U i 1 1 j r, 0 l < d) eine K-Basis von U i /U i 1 sind, so ist w 1 α +... + w r α = w 1 α... w r α. Weiterhin sehen wir, dass die Abbildug τ : U i /U i 1 U i 1 /U i 2 : u + U i 1 p(α)(u)+u i 2 injektiv ist: Sei τ(u+u i 1 ) = τ(w +U i 1 ), d.h. p(α)(u w) p(α)(u i 1 ) U i 2 = Kern(p(α) i 2 ). Also ist p(α) i 1 (u w) = 0, d.h. u w U i 1. Damit können wir nun einen Algorithmus angeben, um die Jordannormalform zu berechnen: Algorithmus zur Berechnung einer Jordanbasis: 1. Für i = 0,... berechne eine K-Basis für U j = Kern(p(α) j ). 2. Setze m = min{j U j = U j+1 }. 3. Seien v 1,... v r1 U m, so dass (α l (v j ) + U m 1 1 j r 1, 0 l < d) eine K-Basis von U m /U m 1 sind. 4. Für i = m 1,..., 1 seien bereits Vektoren w 1,..., w k U i+1 berechnet, so dass (α l (w j ) + U i 1 j k, 0 l < d) eine K-Basis von U i+1 /U i sind. Man beachte, dass diese Vektoren weiterhin linear unabhängig bleiben, wenn sie unter p(α) abgebildet werden. Ergänze nun (p(α)(α l (w j )) + U i 1 1 j k, 0 l < d) durch Vektoren u 1,..., u s, so dass (p(α)(α l (w j )a) + U i 1 1 j k, 0 l < d) (α l (u j ) + U i 1 1 j s, 0 l < d) eine K-Basis für U i /U i 1 ist.

66 KAPITEL 3. ÄQUIVALENZ FÜR ENDOMORPHISMEN Das folgende Beispiel soll demonstrieren, dass man in der Praxis durch Ad-hoc-Überlegungen, die meistens darauf basieren, dass man die zugehörige Partition vorraussagen kann, die Zerlegung meistens schneller als im Beweis von Satz 3.12 finden kann. Beispiel 3.18. 1 2 0 0 1 2 0 2 A := 1 2 2 1 2 0 0 0 F 4 4 3 hat Minimalpolynom (X 2) 3. Es gilt 0 1 0 1 (A 2I 4 ) 2 0 2 0 2 = 0 2 0 2 0 1 0 1 Unseren ersten Vektor v wählen wir als Vektor in V, aber nicht in V 1 = Bild(A 2I) = Kern((A 2I) 2 ). Der Rang ist 1, wir werden also den ersten Jordan-Block aus dem zweiten Standardbasisvektor v bekommen. Dies liefert die Vektoren (v, p(a)v, p(a) 2 v) (man beachte, dass der Grad von p 1 ist). Weitherhin werden diese Vektoren durch den dritten Standardbasisvektor w zur Basis von W = Kern(A 2I 4 ) = E A (2) ergänzt. Also ist unsere neue Basis B = (v, (A 2I 4 )v, (A 2I 4 ) 2 v, w) und die transformierte Matrix ist 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 2 F 4 4 3. Es stellt sich abschließend die Frage nach trennenden Invarianten für die Konjugationsoperation. Der Satz von Jordan gibt einen Standardvertreter an und einen Algorithmus, diesen auszurechnen. Wir wollen dies nochmals in einem Satz ausdrücken. Satz 3.19. Zwei Endomorphismen α, β End(V ) sind genau dann unter GL(V ) konjugiert, wenn gilt a) die Minimalpolynome sind gleich: µ α (X) = µ β (X) und b) für jeden normierten irreduziblen Teiler p K[X] des Minimalpolynoms sind die Partitionen des p-hauptraumes von (V, α) und von (V, β) gleich. In anderen Worten: Die Minimalpolynome zusammen mit den Partitionen bilden ein System trennender Invarianten für die Ähnlichkeitsklassen.

3.1. JORDAN-NORMALFORM 67 Beispiel 3.20. Ähnlichkeitsklassen in C 4 4 : χ A (X) µ A (X) Partitionen Vertreter (X a) 4 X a (1, 1, 1, 1) Diag(a, a, a, a) (X a) 2 (2, 1, 1) Diag(J 2 (a), a, a) (X a) 2 (2, 2) Diag(J 2 (a), J 2 (a)) (X a) 3 (3, 1) Diag(J 3 (a), a) (X a) 4 (4) J 4 (a) (X a) 3 (X b) (X a)(x b) (1, 1, 1), (1) Diag(a, a, a, b) (X a) 2 (X b) (2, 1), (1) Diag(J 2 (a), a, b) (X a) 3 (X b) (3), (1) Diag(J 3 (a), b) (X a) 2 (X b) 2 (X a)(x b) (1, 1), (1, 1) Diag(a, a, b, b) (X a) 2 (X b) (2), (1, 1) Diag(J 2 (a), b, b) (X a) 2 (X b) 2 (2), (2) Diag(J 2 (a), J 2 (b)) (X a) 2 (X b)(x c) (X a)(x b)(x c) (1, 1), (1), (1) Diag(a, a, b, c) w=a,b,c,d (X w) (X a) 2 (X b)(x c) (2), (1), (1) Diag(J 2 (a), b, c) w=a,b,c,d (X w) (1), (1), (1), (1) Diag(a, b, c, d) Übung: Gib ein Vertretersystem aller Konjugiertenklassen von Endomorphismen von F 3 3 2 und von R 3 3 an. Wir erinnern uns, dass dass C End(V ) (α) eine K-Teilalgebra von End(V ) ist und dass Aut α (V ) := GL(V ) C End(V ) (α) = Stab GL(V ) (α) = {β GL(V ) α β = β α}. Wir wollen noch die Bahnen von Aut α (V ) auf V andiskutieren. Satz 3.21. Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und α End(V ) mit charakteristischem Polynom χ α (X) = p c für ein normiertes irreduzibles Polynom und λ = (λ 1,..., λ k ) N k die zugehörige Partition von c. Sei ω = (ω 1,..., ω l ) die Partition mit ω 1 >... > ω l und {λ 1,..., λ k } = {ω 1,..., ω l }. (D.h. in ω kommt jedes λ i nur einmal vor.) Dann ist die Anzahl der Bahnen von Aut α (V ) auf V beschränkt durch l i=1 (ω i + 1). Genau l dieser Bahnen sind dadurch ausgezeichnet, dass ihre Elemente als Erzeuger eines zyklischen Raumes in einer Zerlegung von V vorkommen. Die Anzahl der Bahnen auf Kern(p(α)) (mit ν := p(α)) ist auch gleich l. Beweis. An der Matrixbeschreibung sieht man, dass je zwei nach Längen geordnete Zerlegungen von V in zyklische Teilräume in derselben Bahn unter Aut α (V ) liegen und dass damit genau l Bahnen auf der Menge der Erzeuger von zyklischen Teilräume aus irgendeiner Zerlegung. Wir betrachten jetzt den Spezialfall λ 1 =... = λ k, also l = 1.. In diesem Fall folgt sofort

68 KAPITEL 3. ÄQUIVALENZ FÜR ENDOMORPHISMEN aus dem Beweis von Satz 3.12, dass die Menge der Erzeuger von zyklischen Teilräumen aus irgendeiner Zerlegung identisch ist mit V p(α)(v ). Da p(α) mit der Operation von Aut α (V ) vertauschbar ist, sieht man leicht, dass sämtliche Bahnen gegeben sind durch V p(α)(v ), p(α)(v ) p(α) 2 (V ),..., p(α) a(1) 1 (V ) {0}, {0}, also hat man λ 1 + 1 Bahnen. Jetzt betrachten wir den allgemeinen Fall: V = W 1 W 2 W l wobei jedes W i direkte Summe von bezüglich α zyklischen Teilräumen der Länge λ i ist. Jedes v V hat also die Gestalt v = v 1 + + v l mit v i W i. Wenn wir statt ganz Aut α (V ) nur die Untergruppe (Stabilisator der Zerleung) U := {g Aut α (V ) g(w i ) = W i, i = 1,... l} operieren lassen, sehen wir, dass jedes v i aus λ i + 1 vielen Bahnen kommen kann, also v aus l i=1 (λ i + 1) vielen Bahnen. (Man beachte jedoch, die Bahnen unter ganz Aut α (V ) sind sehr viel größer, so dass dies nur eine nicht sehr gute Abschätzung ist.) Sei nun zusätzlich p(α)(v) = 0. Dann gilt p(α)(v i ) = 0 für i = 1,..., l. Wir lassen es als Übungsaufgabe folgendes zu zeigen: Falls v 1 + + v i 0 ist, dann liegt v 1 + + v i genau dann in derselben Bahn unter Aut α (V ) wie v i, falls v i 0 gilt. q. e. d. Man beachte, dass im letzten Satz alle Elemente von V deren Minimalpolynom gleich dem Minimalpolynom von α ist, alle in einer Bahn unter Aut α (V ) liegen. Dies ist bei weitem die größte Bahn, wobei das Wort größte eigentlich noch genau spezifiziert werden müßte.

Kapitel 4 Allgemeine Bilinearformen und unitäre Vektorräume 4.1 Erinnerung an Bilinearfomen und Matrizen Definition 4.1. Sei V ein K-Vektorraum. 1) Eine Abbildung Φ : V V K : (v, w) Φ(v, w) heißt Bilinearform von V, falls Φ in jeder Komponente linear ist, d.h. und Φ(av + bv, w) = aφ(v, w) + bφ(v, w) für alle a, b K, v, v, w V Φ(v, aw + bw ) = aφ(v, w) + bφ(v, w ) für alle a, b K, v, w, w V Die Menge aller Bilinearformen von V bezeichnen wir mit Bifo(V ). 2) Eine Bilinearform Φ Bifo(V ) heißt symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch, falls Φ(v, w) = Φ(w, v) bzw. Φ(v, w) = Φ(w, v) für alle v, w V. Die Menge der symmetrischen Bilinearformen von V bezeichnen wir mit Bifo + (V ) und die Menge der schiefsymmetrischen mit Bifo (V ). Ferner heißt Φ Bifo(V ) alternierend, falls Φ(v, v) = 0 für alle v V gilt. Die Menge der alternierenden Bilinearformen wird mit Bifo A (V ) bezeichnet. Beispiel 4.2. Seien δ 1, δ 2 V = Hom(V, K) für einen beliebigen K-Vektorraum V. Dann ist δ 1 δ 2 : V V K : (v, w) δ 1 (v)δ 2 (w) eine Bilinearform, die genau dann symmetrisch ist, wenn (δ 1, δ 2 ) linear abhängig ist. δ 1 δ 2 δ 2 δ 1 ist schiefsymmetrisch, sogar alternierend. Das letzte Beispiel ist eine allgemeine Konstruktion, die uns schnell zu einer Basis von Bifo(V ) für endlich erzeugte K-Vektorräume V führt. Übung: Sei δ (V ) n eine Basis des Dualraumes V von V, so ist (δ 1 δ 1, δ 1 δ 2,..., δ 1 δ n,..., δ n δ n ) Bifo(V ) n2 69

70KAPITEL 4. ALLGEMEINE BILINEARFORMEN UND UNITÄRE VEKTORRÄUME eine Basis von Bifo(V ). Der folgende Satz, der in Analogie zur Beschreibung von Endomorphismen durch Matrizen besteht, löst nicht nur diese Übungsaufgabe, sondern liefert gleichzeitig einen Kalkül zur Berechnung der Werte. Satz 4.3. Sei V ein K-Vektorraum mit Basis B V n. Dann gilt: Bifo(V ) K n n : Φ B Φ B ist ein Isomorphismus, wobei BΦ B : n n K : (i, j) Φ(b i, b j ) die Grammatrix von Φ heißt. Weiter gilt für alle v, w V : Φ(v, w) = v B BΦ B Bw wobei v B := ( B v) tr. 4.2 Struktur eines Vektorraumes mit Bilinearform Wir stellen wieder die Frage nach Invarianten, denn wir haben die offensichtliche Bemerkung: Bemerkung 4.4. GL(n, K) K n n K n n : (g, F ) g tr F g 1 ist eine Operation von GL(n, K) auf K n n. Jede Bahn besteht aus den Grammatrizen BΦ B einer (festen) Bilinearform Φ Bifo(V ) bezüglich aller Basen B V n von V. Offensichtliche Invarianten dieser Operation sind der Rang der Grammatrizen F und Dim(Kern(ϕ F )) = n Rg(F ). Wir wollen diese interpretieren, was ihre Bedeutung für Bilinearformen ist. Dabei beschränken wir uns auf den Fall symmetrischer oder schiefsymmetrischen Bilinearformen, weil es manchmal verwirrend ist, zwischen Links- und Rechtsorthogonalität zu unterscheiden. Definition 4.5. Sei Φ Bifo ± (V ), also Φ Bifo + (V ) oder Φ Bifo (V ). 1) Für M V heißt M,Φ = M := {v V Φ(w, v) = 0 für alle w M} der Orthogonalraum von M bezüglich Φ. 2) V heißt das Radikal von Φ. 3) Φ heißt nicht ausgeartet, falls V = {0}, anderenfalls ausgeartet.