Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft weggelassen.) Regeln: Für alle a, b, c R gilt: (A) a + (b + c) = (a + b) + c (A2) a + b = b + a (A3) a + = a (A4) Zu jedem a R gibt es genau ein x R mit a + x = (Diese Zahl wird mit a bezeichnet.) (M) a(bc) = (ab)c (M2) ab = ba (M3) a = a (M4) Zu jedem a aus R gibt es genau ein y R mit ay = (Diese Zahl wird mit a oder bezeichnet). a (D) (a + b)c = ac + bc Allgemein definiert man: Eine Menge K, zusammen mit 2 Verknüpfungen + : K K K, (a, b) a + b (Addition), : K K K, (a, b) a b (Multiplikation) nennt man einen Körper, wenn es in K Elemente gibt, so dass die obigen neun Regeln ( Axiome ) gelten. Das Element heißt neutrales Element der Addition oder Null und heißt neutrales Element der Multiplikation oder Eins. a = Negatives von a; a = Reziprokes oder Inverses von a. Beispiele: Außer R gibt es noch weitere Körper. a) Sei Q = Menge der rationalen Zahlen a, wobei a, b Z und b. b Q ist ein Körper, mit den gleichen Verknüpfungen wie R, denn: a b a b a b + a b = aa bb Q, falls a b und a b = ab + a b bb Q, falls a b aus Q sind, und a b aus Q sind,
Also sind + und Verknüpfungen auf Q. Die Regeln (A) bis (A3), (M) bis (M3) und (D) gelten in Q, da sie in R gelten. (A4) Aus r = a a Q folgt r = Q b b (M4) Aus r = a Q, r folgt a und = b Q. b r a b) Später wird der Körper der komplexen Zahlen eingeführt: C = {a + ib a, b R} mit i 2 =. c) In der Zahlentheorie werden sogenannte endliche Körper (das sind Körper mit nur endlich vielen Elementen) eingeführt. Abkürzende Schreibweisen: Sei K ein Körper, a, b K und n N. a a b := a + ( b) ; b b, falls b n a : } a + a + {{... + a } und a n := a } a {{...a} n mal n mal Dabei: a := und a := ( n) a := (n a) und a n := (a n ) B Vektorräume: Sei K ein Körper. V sei eine nicht leere Menge, zusammen mit zwei Verknüpfungen + : V V V, (x, y) x + y (Additon) : K V V, (a, x) a x(skalarmultiplikation) V heißt Vektorraum über K, wenn die folgenden Rechenregeln (Vektorraum- Axiome) gelten: Für alle x, y, z V und alle a, b K ist (A) x + (y + z) = (x + y) + z (A2) x + y = y + x (A3) Es gibt genau ein Element in V - welches mit bezeichnet wird -, für das gilt x + = x für alle x V (A4) Zu jedem x V gibt es genau ein y V mit x + y = 2
(Dieses Element wird mit x bezeichnet ( Negatives von x).) (SM) (SM2) (SM3) (SM4) (ab)x = a(bx) x = x a(x + y) = ax + ay (a + b)x = ax + bx Die Elemente eines Vektorraums V heißen die Vektoren in V. Schreibe x y für x + ( y). Rechenregel (Übungsaufgabe): Für x, y V und a K gilt Aus ax = folgt: a = oder x = Beispiele: x =, a = ( a)x = (ax) = a( x); ( )x = x a(x y) = ax ay a) Sei n N, n und K n die Menge der n Tupel Gleichheit: x =. x x =., x i K für i =,...,n x x n x n = y. y n x + y Addition: x + y =. x n + y n = y genau dann, wenn x = y x n. = y n Skalare Multiplikation: ax a a x =. ax n 3
Aus den Körperaxiomen folgt: K n ist ein K Vektorraum mit Null = =.. Veranschaulichung im Falle V = R 2. Wähle in der Zeichenebene E einen Punkt und lege durch ein kartesisches Koordinatensystem. Achse λx λv = λ x v =.. x. x v = x Achse Identifiziere jeden( von) ausgehenden anschaulichen Vektor v mit dem x x Koordinatenpaar seines Endpunkts: v = v ist der zu v entgegengesetzte Vektor gleicher Länge. λx λ > : λv = hat die gleiche Richtung wie v, aber die λ fache λ Länge. Interpretiere v als im Punkt angreifende Kraft: λv ist dann das λ fache der Kraft v. 4
v + w ergänzt das Dreieck (, v, w) zu einem Parallelogramm ( Kräfte- Parallelogramm für die resultierende Kraft.) v x + y v + w = + y 2 y w = y 2 Die schraffierten Dreiecke sind offenbar kongruent. Folglich ist das Viereck (, w, v + w, v) ein Parallelogramm. b) Sei I R ein Intervall. Wir bezeichnen mit R I die Menge der Funktionen f : I R. f ist eine Vorschrift, die jedem x I einen eindeutig bestimmten Wert y = f(x) R zuordnet. Definiere die Funktion f + g durch (f + g)(x) := f(x) + g(x) und λ f durch (λf)(x) := λ f(x) Damit wird R I zu einem R-Vektorraum mit der Nullfunktion (f(x) = für alle x I) als Null. Sei V nun ein beliebiger Vektorraum über K ( K Vektorraum ). Definition: Eine Teilmenge W V heißt linearer Teilraum oder Untervektorraum von V, wenn W die Null enthält und abgeschlossen ist unter Addition und Skalarmultiplikation, d.h. wenn gilt: W, aus x, y W folgt x + y W, ist λ K, x W, so auch λx W. 5
Damit wird innerhalb des Untervektorraums W eine Addition und Skalarmultiplikation induziert W W W, (x, y) x + y; K W W, (a, x) ax (.) Bemerkung: Ist W V ein Untervektorraum, so ist W bezüglich der induzierten Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum. Beweis: Es ist lediglich zu zeigen: Ist x W so auch x: Wegen x W und W Untervektorraum ist auch x = ( )x W (siehe obige Rechenregel). Summenschreibweise: Sind x,, x 3 V so gilt (x + ) + x 3 = x + ( + x 3 ). Lasse daher die Klammern weg und schreibe für das Resultat x + + x 3. Rekursiv erklären wir: x + + x 3 := (x + ) + x 3 x + + x 3 + x 4 := (x + + x 3 ) + x 4 Ist x + +... + x n schon erklärt, so setzt man x + +... + x n + x n+ = (x + +... + x n ) + x n+ Abkürzende Schreibweise mit dem Summenzeichen : m x k := x + +... + x m (Entsprechende Schreibweisen sind in K erklärt.) Aus den Axiomen ergeben sich weitere Regeln: m x k + m y k = m (x k + y k ) λ m x k = m (λx k ) ( m ) λ k x = m λ kx m λ k x k + m µ k x k = m (λ k + µ k )x k, u.s.w. Beispiele von Untervektorräumen: 6
a) V ist ein Untervektorraum ( UVR ) von V. b) {} ist ein UVR von V. (Schreibe dafür ). c) Man kann auch lineare Gleichungssysteme mit Koeffizienten aus K (anstelle R) definieren. Alle Aussagen in Kapitel I gelten dann entsprechend. Sei also n a ij x j =, i =,...,m j= ein homogenes lineares Gleichungssystem in n Unbekannten x,...,x n mit Koeffizienten a ij aus K. Gesucht sind seine Lösungen x =. in K n. Nach Kapitel I, 2 gilt: ist eine Lösung. Sind x, y Lösungen und ist a K, so sind auch x + y und ax Lösungen. Fazit: Die Lösungsmenge L eines homogenen linearen GLS in n Unbekannten ist ein UVR des K n, der sogenannte Lösungsraum des linearen Gleichungssystems. d) Für Teilmengen M, N V definieren wir die Summe M + N = {m + n m M und n N} x x n Sind U, U 2 V Untervektorräume, so sind auch ihre Summe U + U 2 und ihr Durchschnitt U U 2 = {x V x U und x U 2 } Untervektorräume. Beweis: Seien u + u 2, v + v 2 aus U + U 2 mit u i, v i U i, i =, 2 u + v U und u 2 + v 2 U 2, da beides UVRe sind. Es folgt (u + U 2 ) + (v + v 2 ) = (u + v ) + (u 2 + v 2 ) U + U 2 a K : au U und au 2 U 2, da beides UVRe sind. Also ist a(u + u 2 ) = au + au 2 U + U 2. Ferner ist = + U + U 2. Analog zeigt man, dass U U 2 ein UVR ist (ÜA). Offenbar ist U U + U 2, U 2 U + U 2, also auch U U 2 U + U 2. Konkretes Beispiel: 7
a) Die Gleichungen x + +x 3 = bzw. 2x +4 +3x 3 = haben UVRe E bzw. E 2 als Lösungsmengen. Fasse jeweils und x 3 als freie Variable auf. Nach Gauß (I, 4.2) besteht E aus den Vektoren der Form λ + λ 2 mit bel. Zahlen λ, λ 2 R. Anschaulich. E ist die von den Vektoren und aufgespannte Ebene im R 3. 2 Entsprechend wird E 2 von und 3 2 aufgespannt. x E E 2 = Lösungsmenge des GLS + + x 3 = : 2x + 4 + 3x 3 =, freie Variable x 2 4 3 2 3. Nach Gauß. G = E E 2 2 ist die von dem Vektor aufgespannte Gerade. 2 2 b) E E 2 ist kein UVR, denn E, E 2 aber + = liegt weder in E, noch in E 2. 8
c) = = = 2 + E + E 2, + E + E 2, da E + E 2 UV R, E E + E 2 + E + E 2, da E + E 2 UV R, E E + E 2 Da E + E 2 UVR ist, folgt: Für alle x, y, z R ist x y = x + y + z E + E 2. Also ist E + E 2 = R 3. z 9